CC BY
38
УДК 533.932.12:537.533.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ПРОЦЕССА ФРОНТАЛЬНОЙ ЭРОЗИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ВДОЛЬ ОМИЧЕСКОГО ПЛАЗМЕННОГО КАНАЛА, НА ДИНАМИКУ РЕЗИСТИВНОЙ ШЛАНГОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Е. К. Колесников1, А. С. Мануйлов2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
Введение. В последнее время внимание исследователей все больше привлекают вопросы распространения релятивистских электронных пучков (РЭП) в газоплазменных средах [1—15]. Особый интерес в комплексе проблем, связанных с транспортировкой РЭП, представляет исследование крупномасштабных неустойчивостей пучка, среди которых наибольшую опасность представляет резистивная шланговая неустойчивость (РШН). Основным физическим механизмом развития РШН является взаимодействие тока пучка с вихревыми токами, генерируемыми в плазменной среде при поперечном смещении РЭП. Кроме того, наличие формируемого в результате индукционных процессов равновесного обратного плазменного тока определяет дополнительный механизм роста шланговой амплитуды, поскольку противоположно направленные токи пучка и плазмы имеют тенденцию к расталкиванию.
Известно, что одним из деструктивных процессов, сопровождающих распространение РЭП в газоплазменных средах, является процесс эрозии фронта пучка (рассыпание головной части) [3, 4, 8]. Эрозионный процесс представляет собой смещение области самофокусировки пучка (так называемого «тела» пучка) к хвостовой части импульса и обусловлен омическими потерями в пучке и его поперечной дисперсией при многократном кулоновском рассеянии частиц пучка на атомах и молекулах фонового газа. В настоящее время одной из малоизученных областей в теории динамики РШН РЭП является исследование взаимодействия указанной моды с различными деструктивными процессами, сопровождающими распространение РЭП в газоплазменных средах. В частности, особый интерес представляет вопрос о взаимодействии РШН с эрозионным процессом во фронтальной части пучка.
В настоящей работе исследована задача о влиянии процесса эрозии фронта РЭП на динамику РШН.
Постановка и решение задачи. Рассмотрим параксиальный моноэнергетический азимутально-симметричный РЭП, распространяющийся вдоль оси г цилиндрической системы координат (г, в, г) по предварительно созданному омическому плазменному каналу с радиальным профилем проводимости асно(г). Далее будем считать, что имеет место полная зарядовая нейтрализация, и возмущение проводимости ка-
© Е. К. Колесников, А.С.Мануйлов, 2013
нала отсутствует. В этом случае
47гсгегш(0)Дьо
Vch 1 = 0, -> 1, (1)
c
где achi —возмущение проводимости канала, <тсл,о(0) —значение невозмущенной проводимости канала на оси его симметрии, Дьо — характерный радиус пучка, c — скорость света.
В рамках модели «жесткого» пучка на линейной стадии развития РШН уравнение динамики неустойчивости имеет вид [5-7, 9-13]
д2 Y д Y
-k%(Y-D)-aphks-ñ-, (2)
dz2 - -j д
д Б
= ^ (3)
где У — амплитуда поперечного смещения пучка, Б — амплитуда смещения оси симметрии коллективного электромагнитного поля системы плазма—пучок, г — дистанция распространения, £ — расстояние от фронта РЭП до рассматриваемого сегмента пучка, а.рь — коэффициент фазового перемешивания траекторий электронов пучка в ангармонической потенциальной яме коллективного электромагнитного поля пучко-во-плазменной системы [9], к$ — квадрат волнового числа шланговых колебаний, — дипольная скиновая длина, на которой затухают вихревые плазменные токи, вызванные поперечным смещением РЭП,
2 21Ь0 7г асКо (0) Н2Ь0
кз *(е) ^ - 2сС(г, О ' (4)
где 1ьо — характерный полный ток пучка, 1а — предельный ток Альфвена, Б (£) — функция модуляции тока пучка вдоль его импульса, Дьо — характерный радиус пучка, О (г, £) —функция, моделирующая процесс фронтальной эрозии РЭП согласно формуле
т
Ri (z, £) = (5)
G (z, £)
здесь
О £) = / (£ + £о) / (£г + аег г), £ е [0, + Д£], (6)
О (г,£)-\1, £ е (£г + Д£, £р). (6)
где £о = 0.1 Дьо, £г —характерная длина изменения радиуса пучка в его головной части, Д £ = аег г, аег — скорость фронтальной эрозии.
Краевые и начальные условия зададим следующим образом:
Y (z,£)|?=o = 0, D (z,£)|?=o = 0, (7)
Y{z,O\z=0= 0.2 Дьо, д
0
dY (z, £)
= 0. (8)
z=0
z
Далее рассмотрим следующие безразмерные переменные:
£ Y D
z1 = zks 0, £i = т-Ц Y1 = —, (9)
£d0 Rbo Rbo
здесь
V 1л то 2 с
Тогда система уравнений (2)—(3) может быть записана в виде
д21-1 _ ч __ _ дУл
д г2 = 6) (£>1 - И) - "рь-д^ 6), (И)
При этом начальные и краевые условия могут быть записаны как
У1 (^,£1)^=0 =0, ЗДь £1)^=0 = 0, (13)
дУ\(г\, £1)
(¿1,6. )1г1=0 =0.2
д г1
= 0. (14)
г1=0
На рис. 1-2 представлены графики зависимости У1 от ¿1, полученные с помощью численного решения системы уравнений (11)—(12) с начальными и граничными условиями (13)-(14). Функция модуляции тока для простоты была выбрана как Б =1. Коэффициент фазового перемешивания на обоих рисунках был взят арь = 0.4, осевая проводимость омического плазменного канала — сто = 5 • 1011 1/с. Отметим, что в работе [14] определен диапазон изменения указанного параметра фазового перемешивания в случае убывающей к периферии радиальной зависимости плотности равновесного тока пучка: арь € [0.3 — 0.65]. На рис. 1 процесс фронтальной эрозии отсутствует (скорость эрозии аег = 0), кривая 1 соответствует поперечному сечению пучка с координатой £1 = 5.4, кривая 2 — £1 = 9. Рисунок 2 соответствует тем же
Рис. 1. График зависимости Ух от гх при аег = 0: 1 — £1 = 5.4;
2 — = 9.
V,
0.4 —i
-0 4 —1
Рис. 2. График зависимости Yi от zi при aer — 0.9: 1 — — 5.4; 2 — — 9.
сечениям пучка, но при наличии достаточно сильного процесса эрозии (aer = 0.9). Необходимо заметить, что выбранные для расчета значения скорости эрозии соответствуют диапазону изменения темпа фронтальной эрозии, определенного в работе [4] для сильноточных электронных пучков, распространяющихся в омической плазме.
Как видно из рисунков, в рамках рассмотренной математической модели РШН РЭП, которая учитывает смещение пинч-точки в головной части пучка в направлении к хвостовой части РЭП, с ростом координаты z наблюдается существенное понижение амплитуды колебаний рассматриваемой резистивной неустойчивости. Полученный результат находится в хорошем соответствии с экспериментальными данными по транспортировке РЭП в плотной газоплазменной среде при наличии расширяющейся фронтальной части пучка [15].
Литература
1. Рухадзе А. А., Богданкевич Л. С., Росинский С.Е.,Рухлин В. Г. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. М., 1980. 167 с.
2. Диденко А.Н., Григорьев В. П., Усов Ю. П. Мощные электронные пучки и их применение. М., 1977. 277 с.
3. Колесников Е. К., Мануйлов А. С., Филиппов Б. В. Динамика пучков заряженных частиц в газоплазменных средах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 100 с.
4. Lampe M., Sharp W.M. Steady-state relativistic electron beam erosion // Phys. Fluids. 1980. Vol. 23, N 12. P. 2383-2395.
5. Lee E. P. Resistive hose instability of a beam with the Bennett profile // Phys. Fluids. 1978. Vol.21, N8. P. 1327-1343.
6. Надеждин Е. Р., Сорокин Г. А. Резистивная шланговая неустойчивость беннетовского пучка // Физика плазмы. 1983. Т. 9, №5. С. 989-991.
7. Надеждин Е. Р. Динамика пучка на нелинейной стадии развития резистивной шланговой неустойчивости // Физика плазмы. 1991. Т. 17, №3. С. 327-335.
8. Колесников Е.К., Мануйлов А. С. Эрозия фронта пучка заряженных частиц в плазменном канале высокой проводимости // Журн. техн. физики. 1992. Т. 62, №9. С. 55-61.
9. Колесников Е. К., Мануйлов А. С. К вопросу о влиянии радиального профиля обратного плазменного тока и эффекта фазового перемешивания на развитие резистивной шланговой неустойчивости релятивистского электронного пучка // Журн. техн. физики. 1990. Т. 60, №3. С. 40—44.
10. Колесников Е. К., Мануйлов А. С. Влияние кольцевого плазменного канала на развитие ре-зистивной шланговой неустойчивости релятивистского электронного пучка // Журн. техн. физики. 1991. Т. 61, №12. С. 43-46.
11. Мануйлов А. С. Обобщенные уравнения динамики резистивной шланговой неустойчивости релятивистского электронного пучка в случае временной зависимости радиуса и тока пучка // Журн. техн. физики. 2000. Т. 70, №1. С. 76-78.
12. Колесников Е. К., Мануйлов А. С., Матвеев М. С. Влияние временной зависимости радиуса релятивистского электронного пучка на развитие резистивной шланговой неустойчивости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 107-112.
13. Колесников Е. К., Мануйлов А. С., Матвеев М. С. К вопросу о влиянии внешнего продольного магнитного поля на динамику резистивной шланговой неустойчивости релятивистского электронного пучка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 1. С. 102-108.
14. Lee E.P., Yu S.S., Barletta W. A. Phase-space distribution of a heavy-ion beam propagation trough a vacuum reactor vessel // Nucl. Fusion. 1981. Vol.21, N8. P. 961-972.
15. Weidman D. J., Nguyen K. T., Rhee M. J. et al. Radius tailoring of an electron beam using a fast rise-time focusing coil: experiment and simulation //J. Appl. Physics. 1994. Vol.76, N6. P. 3244-3249.
Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.
ХРОНИКА
20 февраля 2013 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили кандидаты физ.-мат. наук, доценты И. Е. Лопатухина (СПбГУ), Н. Н. Поляхов (СПбГТУ), Е. Н. Поляхова (СПбГУ) с докладом на тему «К 170-летию профессора Дмитрия Константиновича Бобылева (1842-1917) — заведующего кафедрой прикладной математики С.-Петербургского университета и к 130-летию публикации его "Аналитической механики" (по оригинальным материалам)».
Краткое содержание доклада:
Д.К.Бобылев заведовал кафедрой прикладной математики (механики) С.-Петербургского университета с 1878 по 1916 гг. В 1896 г. он был избран чл.-корр. Императорской Санкт-Петербургской Академии Наук. Работы Д.К.Бобылева относятся к гидромеханике, аналитической механике и теории упругости. В гидромеханике он установил величину потерь кинетической энергии жидкости вследствие ее вязкости и обобщил метод Кирхгофа для отрывных течений. В механике он прославился открытием частного интегрируемого случая в задаче о движении твердого тела около неподвижной точки (случай Бобылева—Стеклова). В 1881-1883 гг. Д. К. Бобылев опубликовал «Курс аналитической механики» — первый большой системный курс механики на русском языке в двух частях: Часть I. Кинематическая. Часть II. Кинетическая. Им были подготовлены несколько поколений выдающихся ученых петербургской школы механики, среди которых А. М. Ляпунов, И. В. Мещерский, А. Н. Крылов, Г. К. Суслов, Г. В. Колосов, А. А. Фридман, Е. Л. Николаи и др.
