CC BY
29
УДК 517.9
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ХОФФА НА ГРАФЕ. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
П. О. Пивоварова
THE INSTABILITY OF THE SOLUTIONS OF THE HOFF EQUATIONS ON A GRAPH. NUMERICAL EXPERIMENT
P.O. Pivovarova
Целью статьи является численное исследование неустойчивости нулевого решения уравнения Хоффа, заданного на конечном связном ориентированном графе.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, численное моделирование, неустойчивость.
The goal of the paper is the numerical investigation of instability of the zero solution of the Hoff equation, given on a finite connected directed graph. Keywords: Sobolev type equation, numerical simulation, instability,
Уравнение Хоффа [1]
(Л - A0)ut + utxx = au + /Зи3 (1)
моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой. Функция и = u(x,t), (x,t) G (a, b) х М, характеризует отклонение балки от положения и = 0; параметры Л, Ао G R+, а,/3 G М характеризуют нагрузку и свойства материала балки соответственно. Начально-краевые задачи для уравнения (1) в области (а, Ь) х Е впервые были изучены Н.А. Сидоровым [2] и его учениками [3, 4], причем в [3, 4] был отмечен феномен несущестования решения этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения начально-краевой задачи, было показано в [5]. В [б] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (1), является простым банаховым С°°-многообразием, если а/3 G М+. В [7] показано, что если а/3 G К_, то фазовое пространство уравнения (1) уже не будет простым многообразием, - оно лежит на сборке Уитни. Динамику конструкции из двутавровых балок моделируют уравнения Хоффа
(А Аочjtxx ~ -t- /3v,j, (2)
заданные на конечном связном ориентированном графе G = G(93, С), где QJ = {Vi} - множество вершин, а <5 = {Ei} - множество ребер, причем каждое ребро Е3 имеет длину lj G М4. и площадь поперечного сечения dj G R+. В вершинах 2J графа G заданы условия
Uj(0,t) = uk(0,t) = um(lm,t) = un(ln,t), Ej,Ek € Ea(Vi),Em,En G Eu(Vi), (3) ^ 1 djUjx(0,t) — ^ ' dkiifcxtykit) — 0, (4)
Ej£E<*(Vi) EkeE“(Vi)
где через Ea^(Vi) обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине Vt, t G М. Условия (3), (4) обсуждаются, например, в [8]. Нас интересует устойчивость (по Ляпунову)
Серия «Математическое моделирование и программирование:», вып. 7 71
стационарного решения и — (0,0,..., 0,...) задачи (2) - (4) (см., например, [8]). В [8] было проведено исследование данной задачи при Л € [0, Ло] - В результате сформулирована
Теорема 1. (i) При любых а,0 G К+ и X Е [0,Ло) решение О = (0,0,... ,0,...) задачи
(2) - (4) асимптотически устойчиво.
(и) При любых а,/3е ®Lf и А = Ао решение О = (0,0,... ,0,...) задачи (2) - (4) устойчиво.
Целью данной статьи является проведение численного эксперимента по исследованию неустойчивости стационарного решения и = (0,0,... ,0,...) задачи (2) - (4) в случае, когда А > Ао-
Численный эксперимент
На основе теоретических результатов для подтверждения гипотезы о неустойчивости нулевого решения уравнений Хоффа в системе компьютерной математики Maple 13.0. разработана программа, которая позволяет:
1. По заданным коэффициентам сс, /9, А, Ао находить приближенное решение для уравнения Хоффа.
2. Получить графическое изображение, которое иллюстрирует неустойчивость нулевого решения при А > Ао-
Для реализации вычислительных алгоритмов программы использовались встроенные функции и стандартные операторы языка программирования Maple 13.0. Для получения графического изображения подключен пакет plots.
Решение задачи (2) - (4) будем искать в виде суммы
т
<■«) = £ 6{t)(pk, те N, (5)
к=1
где {<Рк} - ортонормированное в смысле ^(G) множество собственных функций оператора Штурма - Лиувилля на графе G.
Поскольку обнаружена первая собственная функция оператора Штурма - Лиувилля на графе G
<,1=1 (м,--
We /
при А > Ао можно записать первое приближение решения (2)
u(t) = S(t)ipi.
Подставим его в (2) и получим уравнение
(А-А0 )5{t)=a5{t)+^{t). (6)
Легко посчитать, что 5{t) = ± /----- ащ—, где С = const.
У -/З+е А_А° Са
Поскольку нам необходимо провести исследование устойчивости решения (6) в окрестности точки нуль, будем выбирать те постоянные С, для которых |<5(£)| < е. Например,
ОД = 4, + £ + £.
Пример 1. Требуется найти численное решение задачи (2) - (4) при заданных коэффициентах а = 5, /3 = 2, А = 6, Ао = 5 в окрестности (-0,01, 0,01).
П.О. Пивоварова
Результаты приближенного решения задачи (2) - (4) частично приведены в таблице и проиллюстрированы на рисунке.
Таблица
Численное решение уравнения (6) при различных значениях параметров * и С
І С = 10001,41 С = 10002,41 С = 10003,41
0,1 ±0,016486946 ±0,016486122 ±0,016485298
0,2 ±0,027184919 ±0,027183559 ±0,027182200
0,3 ±0,044831741 ±0,044829499 ±0,044827256
0,4 ±0,073966153 ±0,073962447 ±0,073958742
0,5 ±0,122179501 ±0,122173357 ±0,122167214
0,6 ±0,202481359 ±0,202471071 ±0,202460784
0,7 ±0,338640683 ±0,338622979 ±0,338605277
0,8 ±0,581719955 ±0,581686939 ±0,581653929
0,9 ±1,094828649 ±1,094747682 ±1,094666732
1,012 ±19,18107065 ±19,04055057 ±18,90307561
Решения уравнений (6) при С = 10002,41, С = 10003,41, С — 10004,41, С — 10005,41, С = 10006,41
Замечание 1. Численный эксперимент, проведенный в данной работе, позволяет сделать вывод о неустойчивости нулевого решения задачи (2) - (4) при А > Ао- Поскольку ранее получен результат о устойчивости нулевого решения данной задачи при А Є [0, Ао], можно сделать вывод о том что, параметр Ао выступает здесь как предельная нагрузка, при которой конструкция еще устойчива.
Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 7 73
Литература
1. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeron. - 1956,- V. 7, № 1. - P. 1 - 20.
2. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров. - Иркутск, 1982.
3. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 9. - С. 1516 - 1526.
4. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 726 - 728.
5. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. матем. - 1993. - Т. 57, № 3. -
С. 192 - 207.
6. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292 - 297.
7. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 10. - С. 54 - 60.
8. Свиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. За-гребина, П.О. Пивоварова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. Вып. 1(20) - С. 6 - 15.
Полина Олеговна Пивоварова, кафедра «Общая математика», Южно-Уральский государственный университет, [email protected].
Поступила в редакцию 4 ноября 2010 г.
