CC BY
25
Оригинальная статья / Original article УДК: 629.113.001
DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-60-65
АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ ХОФФА НА ТРЕХРЕБЕРНОМ ГРАФЕ С ОДНОЙ ОБЩЕЙ ТОЧКОЙ
© А.В. Белов1
Южно-Уральский государственный университет, 454000, Россия, г. Челябинск, пр. Ленина, 76.
Резюме. Цель. Численное исследование модели Хоффа деформации двутавровых балок в конструкции. Получение модификации метода конечных разностей для вычисления деформации в конструкциях любой сложности. Методы. Для численного исследования модели выбран модифицированный метод конечных разностей. Также был применен численный метод Томаса (прогонки) для вычисления итоговых результатов. Результаты. Составлена обобщенная модель Хоффа на простом геометрическом графе. Получен модифицированный метод, позволяющий рассчитать взаимодействие между балками в конструкции любой сложности. Приведен пример реализации численного эксперимента для конструкции из трех двутавровых балок. Заключение. Полученный метод можно использовать для расчетов сложных конструкций из двутавровых балок при постоянной внешней нагрузке и высоких температурах.
Ключевые слова: модель Хоффа, моделирование на графе, численные методы, метод конечных разностей, метод Томаса, обобщенная модель Хоффа на простом графе.
Формат цитирования: Белов А.В. Алгоритм численного решения модели Хоффа на трехреберном графе с одной общей точкой // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. № 7. С. 60-65. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-60-65
NUMERICAL ALGORITHM OF A HOFF MODEL ON A THREE-EDGE GRAPH WITH ONE COMMON POINT A.V. Belov
South Ural State University,
76 Lenin St., Chelyabinsk, 454000, Russia.
Abstract. The purpose of the article is computational investigation of the Hoff model describing I-beam buckling behavior in a structure as well as the development of a modified finite difference method for deformation computation in the structures of any complexity. Methods. The computational study of the model is carried out with the help of the modified finite difference method. Thomas algorithm (tridiagonal matrix algorithm) is used for final computations. Results. A generalized Hoff model for a simple geometrical graph has been developed. The modified method for I-beams interaction computation applicable to the constructions of any complexity has been obtained. An example of the computation experiment implementation is provided for the construction of three I-beams. Conclusion. The developed method is applicable for the calculations of I-beam complex structures under constant external load and high temperatures. Keywords: Hoff model, graph modelling, numerical methods, finite-difference method, Thomas algorithm, general Hoff model on a simple graph
For citation: Belov A.V. Numerical algorithm of a Hoff model on a three-edge graph with one common point. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, no. 7, рр. 60-65 (in Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2016-7-60-65
Введение
Пусть йс|т - ограниченная область с границей дП класса Сю. Рассмотрим на заданной области уравнение Хоффа
моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки, находящейся под постоянной
1
Белов Александр Вадимович, аспирант, e-mail: [email protected] Belov Aleksandr, Postgraduate, e-mail: [email protected]
(1)
нагрузкой при высоких температурах. Функция и = и(х,г), (х,г) ейх!+ характеризует отклонение точки х балки от состояния равновесия. Считается, что в состоянии равновесия балка прямая. Впервые модель описана Н.Дж. Хоффом [1].
В работах Н.А. Сидорова [2, 3] впервые описано несуществование решений модели Хоффа при произвольных начальных данных. Множество начальных значений, которые обеспечивают существование и единственность решения начально-краевой задачи для уравнения (1), получено Г.А. Свиридюк [4]. Такое множество, называемое фазовым пространством уравнения (1), было изучено в работе [5], где показано, что оно является простым банаховым Ст -многообразием, если а ■ р > 0.
Первым уравнения Хоффа на графе начал изучать Г.А. Свиридюк и его ученики [6]. Им удалось дать полное описание фазового пространства модели Хоффа на геометрическом графе, позже в работе [7] была решена обратная задача. Кроме того, были проведены исследования и получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений Хоффа в области и на геометрическом графе [8].
В настоящей статье частично использованы результаты собственных исследований: в работе [9] описано численное решение линейной модели Хоффа для одной балки, а также исправлены расчеты, опубликованные ранее в [10, 11], где связка балок была рассчитана неверно. Более того, в данной статье исследуется система нелинейных уравнений Хоффа (до 3 -го порядка).
Численное решение уравнения Хоффа на графе
Пусть ®(Ж, е) - конечный связный ориентированный граф, где % = - множество его вершин, а & = § - множество ребер. На графе ©(%,©) рассмотрим нелинейные уравнения Хоффа
= + , = ти. (2)
моделирующие динамику выпучивания N двутавровых балок, находящихся в конструкции под постоянной нагрузкой при высоких температурах. Здесь каждому ребру Щ поставлены в соответствие два положительных числа, е М+, которые в контексте задачи имеют физический смысл длины -го ребра и площади его поперечного сечения.
Функция и = ц(х,ь), (х,ь) ейх!+ характеризует отклонение точки х-й балки от состояния равновесия. Считается, что в состоянии равновесия каждая балка прямая. х е X -общие для всех балок координаты. В рамках задачи начало координат располагается в начале первой балки.
Необходимо найти численное решение и = (иьи2,......) уравнения (2), каждая компонента которого и = ц(х,ь) удовлетворяет уравнению (2) на ребре Щ, а в вершинах % компоненты удовлетворяют условиям непрерывности
(ц (0,0 = ит (1т, О = ип (1п, О = ик (0,0;
{ ЩЛкеЬа(Щ)ЛтЛпеЬш(Щ), (3)
и «условию баланса потока»
^ и]х(0, О - Ее^ее^сад ^к икх(к, О = 0, (4)
где через еа(%{) (еш($1)) обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине %. Кроме того, искомые компоненты должны удовлетворять начальным условиям Коши:
ц(х, 0) - и^ (х); хе(0,1]). (5)
Чтобы не зависеть от длины шага, необходимо задать неявную разностную схему. Введем для правой части уравнения (2) оператор И:Х ^ и, где Ки — аи + ри3. Левую часть рассмотрим подробнее:
ди _ - иц ^
Ш- к ;
д и _ Щ+1,г+1 + Щ-1^+1 - 2иц+1 дх2 к2
где к - шаг по времени.
Конечная разностная схема для конкретного ребра принимает следующий вид:
Ащ+1 — кЯи + Вщ, (6)
где А представляет собой конкатенацию трехдиагональных матриц, каждая из которых отвечает за конкретное ребро графа, а также строки, отвечающей за связку балок. В них будем использовать условие баланса потока. Матрица В отвечает за предыдущий шаг, К - за правую часть уравнения Хоффа. Матрицы В и К рассчитываются динамически с помощью данных, полученных на предыдущем шаге.
Уравнение Хоффа на трехреберном графе Пусть граф имеет четыре вершины %2, Ж3, %4. Три его ребра обозначим
, ©3, а их длины соответственно будут равны 11, 12, 13. При этом конец ребра ^ связан с началами ребер Ъ2и$3 .В таком случае:
^ е еа(Ж1),^1 е
е $а(%2),$3 е $ш(%4).
Решив данную задачу для случая трехреберного графа с одной общей точкой, можно применить алгоритм к графам любой сложности, так как в данной работе описывается решение связки нескольких ребер.
Для удобства обозначим решения на каждом ребре соответственно и(х,ь), [(х,ь) и д(х, ь). Система уравнений (2) принимает следующий вид:
+ ихП — а1и;
ьи + — а2р; (7)
+ 9ххг — аз9,
условия непрерывности (3):
(и(1ьг) — Г(0,г);
1и( 11,г) — д(0,г), (0)
а условие баланса потока (4)
u(0, t) = 0
Я 12,t) = 0
g(l3,t) = 0 df
, du , àf , àg
dlàTx = d2-f + d3àTx-
(9)
Начальное положение каждой балки (5) задается следующими уравнениями:
ги(х,0) = и0(х),х е (0,п);
Г(х,0) = Г0(х),хе(0,л); (10)
0д(х,0) = до(х),х е (0,п),
где и0(х), [0(х) и д0(х) - собственные функции задачи Штурма - Лиувилля для соответствующих ребер ориентированного графа, нахождение которых будет описано ниже.
Приведем уравнения (7)-(10) к разностной схеме. Представим каждую балку в виде N равных отрезков. Узлы сетки назовем соответственно и = (и1,и2,...ик,ик+1), / = (1о,кЛ2,.»Ь) и д = (до,д1,д2,...дм). При этом узлы ¡0 и д0 совпадают с узлом щ+1. В них происходит связка балок.
В таком случае шаги схемы будут соответственно = к2=^ и к3 = р
Для всех внутренних точек балки получим рекуррентное соотношение
Ь.1 1-1 Ь.1 1 Ь.1 1 + 1 1 4 '
а для тупиковых (не связанных с другими балками) точек для более точной аппроксимации примем
-1%и1+1+= ^ (12)
если тупиковая точка в начале балки, и
= (13)
если в конце. В этом случае Щ обозначает правую часть уравнения (2), значение которой рассчитывается на основе результатов предыдущего (]-го) шага.
Полученное рекуррентное соотношение (7)-(13) образует трехдиагональную матрицу А, значения которой легко вычислить по алгоритму Томаса (методом прогонки).
Для вычисления значений в каждой связующей вершине графа нам понадобится одна дополнительная строка матрицы А, в которой мы реализуем условие баланса потока.
Так как конец ребра е1 связан сразу с двумя ребрами, условие баланса потока примет следующий вид:
, i3uN+i-4uN+uN-A , Î-3Un+I+4Un+2-Un+2
l( 2hl ) 2 V
212 (14)
3 ( 21г3 ) .
В матрицу Аы+1 мы добавили строку для связки всех трех ребер е1,е2,е3. Обратите внимание, что в последней из трех скобок соотношения (14) в качестве левой точки указана точка иы+1 - таким образом мы связываем ребро е3 с концом ребра е1.
Вычислительный эксперимент Вычислительный эксперимент системы (7)-(14) проводился средствами МаИаЬ. Начальные данные: Ц = 1; 12 = 5; 13 = 7; N = 100; а =15; р = 0,001; 2 = -50; к = 0,02; Ттах = 10 (Ттах- промежуток, на котором мы рассматриваем поведение балки). Начальная деформация балок и0(х) = Бт(х), [0(х) = Ь,1+ Бт(х) и д0(х) = Ь,1 + Бт(х). Результат представлен на рисунке.
а б
Результат вычислительного эксперимента: а - на 30-м шаге (из 100); б - на 70-м шаге (из 100) The result of the numerical experiment: а - at 30th step (from 100); б - at 70th step (from 100)
В результате эксперимента наблюдается гладкая связка ребер, так как вычисление трехдиагональной матрицы проведено для всех ребер. Затухание колебаний конструкции происходит синхронно, как и предполагалось при задании модели.
Библиографический список
1. Hoff N.J. Creep buckling // The Aeronautical Quarterly. 1956. Vol. 7. No. 1. P. 1-20.
2. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 9. C. 1516-1526.
3. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщённые решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. C. 726-728.
4. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Известия РАН. Серия: математика. 1993. Т. 57. № 3. C. 192-207.
5. Свиридюк Г.А., Казак В.О. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа // Математические заметки. 2002. Т. 71. № 2. С. 292-297.
6. Свиридюк Г.А., Шеметова В.В. Уравнения Хоффа на графах // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 1. С. 126-131.
7. Свиридюк Г.А., Баязитова А.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. 2009. № 1 (18). С. 6-17.
8. Загребина С.А., Москвичева П.О. Устойчивость в моделях Хоффа. Саарбрюккен: LAMBERT Academic Publishing, 2012. 84 с.
9. Белов А.В. Измерение динамики выпучивания двутавровой балки // Вестник Магнитогорского государственного университета. Серия: математика. 2012. Вып. 14. С. 17-22.
10. Загребина С.А., Белов А.В. Об измерении динамики выпучивания двутавровой балки в конструкции // Измерения: состояние, перспективы развития: тезисы докл. междунар. науч.-практ. конф. (Челябинск, 25-27 сентября 2012 г.). В 2 т. Челябинск, 2012. Т. 1. С. 101-103.
11. Загребина С.А., Белов А.В. Измерение динамики выпучивания двутавровой балки в конструкции // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ; под ред. А .И. Кожанова. Новосибирск, 2012. С. 99-104.
References
1. Hoff N.J. Creep buckling. The Aeronautical Quarterly, 1956, vol. 7, no. 1, pp. 1-20.
2. Sidorov N.A., Romanova O.A. O primenenii nekotorykh rezu'tatov teorii vetvleniya pri reshenii differentsia'nykh uravnenii [On the application of some results of the bifurcation theory when solving differential equations]. Differentsi-a'nye uravneniya [Differential equations]. 1983, vol. 19, no. 9, pp. 1516-1526 (in Russian).
3. Sidorov N.A., Falaleev M.V. Obobshchennye resheniya differentsia'nykh uravnenii s fred-go'movym operatorom pri proizvodnoi [Generalized solutions of differential equations with Fredholm operator at the derivative]. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1987, vol. 23, no. 4, pp. 726-728 (in Russian).
4. Sviridyuk G.A. Kvazistatsionarnye traektorii polulineinykh dinamicheskikh uravnenii tipa Soboleva [Quasistationary trajectories of semilinear dynamical equations of Sobolev type], Izvestiya RAN. Seriya: matematika /Izvestiya. Mathematics^_
5. Sviridyuk G.A., Kazak V.O. Fazovoe prostranstvo nachal'no-kraevoi zadachi dlya uravneniya Khoffa [Phase space of the initial boundary value problem for the Hoff equation]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 2002, vol. 71, no. 2, pp. 292-297 (in Russian).
6. Sviridyuk G.A., Shemetova V.V. Uravneniya Khoffa na grafakh [Hoff equation on graphs]. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2006, vol. 42, no. 1, pp. 126-131 (in Russian).
7. Sviridyuk G.A., Bayazitova A.A. O pryamoi i obratnoi zadachakh dlya uravnenii Khoffa na grafe [On direct and inverse problems for the Hoff equations on a graph]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seri-ya: fiziko-matematicheskie nauki [Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences]. 2009, no. 1 (18), pp. 6-17 (in Russian).
8. Zagrebina S.A., Moskvicheva P.O. Ustoichivost' v modelyakh Khoffa [Stability in Hoff models]. Saarbrücken: LAMBERT Academic Publishing. 2012, 84 p.
9. Belov A.V. Izmerenie dinamiki vypuchivaniya dvutavrovoi balki [Measuring I-beam bulging dynamics]. Vestnik Magni-togorskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: matematika. [Journal of Magnitogorsk State University. Ser. Mathematics] 2012, issue 14, pp. 17-22 (in Russian).
10. Zagrebina S.A., Belov A.V. Ob izmerenii dinamiki vypuchivaniya dvutavrovoi balki v konstruktsii [On measuring I-beam bulging dynamics in a structure]. Tezisy dokladov mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Izmereni-ya: sostoyanie, perspektivy razvitiya" [Abstracts of the reports at the international scientific and practical conference "Measurements: status, development prospects", Chelyabinsk, 25-27 September 2012]. Chelyabinsk, 2012, vol. 1, pp. 101-103 (in Russian).
11. Zagrebina S.A., Belov A.V. Izmerenie dinamiki vypuchivaniya dvutavrovoi balki v konstruktsii [Measuring I-beam bulging dynamics in a structure]. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoi fiziki: sbornik nauchnykh rabot pod redaktsiei A.I. Kozhanova [Non-classical equations of mathematical physics: Collection of scientific works under edition of A.I. Kozhanov]. Novosibirsk, 2012, pp. 99-104 (in Russian).
Критерии авторства
А.В. Белов выполнил исследование, сформулировал основные положения, провел численные эксперименты и написал рукопись. А.В. Белов несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
A. Belov has conducted the research, fomulated the basic concepts, carried out numerical experiments and wrote the article. A. Belov bears the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The author declares that there is no conflict of interests regarding this publication.
Статья поступила 19.05.2016 г. The article was received on 19 May 2016
