CC BY
59
Дифференциальные уравнения
УДК 517.9
УСТОЙЧИВОСТЬ УРАВНЕНИЙ ХОФФА НА ГРАФЕ
Г. А. Свиридюк1, С. А. Загребина1, П. О. Пивоварова2
1 Южно-Уральский государственный университет,
454080, Челябинск, пр. Ленина, 76.
2 Магнитогорский государственный университет,
455000, Магнитогорск, пр. Ленина, 114.
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
Рассмотрена устойчивость стационарного решения уравнений Хоффа на графе, являющихся моделью конструкции из двутавровых балок. Основной подход — второй метод Ляпунова, модифицированный сообразно нашей ситуации. В заключении дается объяснение технического смысла параметра Ао.
Ключевые слова: уравнения Хоффа, устойчивость, функция Ляпунова, граф.
Введение. Уравнение Хоффа [1]
(Л - Ао)ut + utxx = au + pu3 (1)
моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой. Функция u = u(x,t), (x,t) € (a,b) x R, характеризует отклонение балки от положения u = 0; параметры Л € R+, а, в € R характеризуют нагрузку и свойства материала балки соответственно; физический смысл параметра А0 € R+ будет объяснён ниже. Начально-краевые задачи для уравнения (1) в области (a,b) x R впервые были изучены Н.А. Сидоровым [2] и его учениками [3, 4], причём в [3, 4] был отмечен феномен несуществования решения этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения начально-краевой задачи, было показано в [5]. В [6] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (1), является простым банаховым C-многообразием, если ав € R+. Напомним, что гладкое банахово многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. В [7] показано, что если ав € R-, то фазовое пространство уравнения (1) уже не будет простым многообразием, —оно лежит на сборке Уитни.
Уравнение Хоффа
(Л - Ао)ujt + ujtxx = auj + eu3, (2)
Георгий Анатольевич Свиридюк (д.ф.-м.н, проф.), зав. кафедрой, каф. уравнений математической физики. Софья Александровна Загребина (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. уравнений математической физики. Полина Олеговна Пивоварова, аспирант, каф. математического анализа.
заданное на конечном связном ориентированном графе О = О^, Е), моделирует динамику конструкции из двутавровых балок. Здесь V = {V;} — множество вершин, а Е = {Е;} — множество рёбер, причём каждое ребро Ец имеет длину Ц € М+ и площадь поперечного сечения йц € М+. В вершинах V графа О заданы условия
иц (0,^) = ик(0,^) = ит(1т,Ь) = ип(1п,^), (3)
Е3, Ек € Еа(Уг), Ет, Еп € Еш(У), (3)
^ йицх(0,г) йкикх(1к,Ь)=0, (4)
Е^&Еа(Ъ) Ек&Е^(У^)
где через Еа(ш)(У;) обозначено множество рёбер с началом (концом) в вершине У;, Ь € М. Если граф состоит из одного нециклического ребра (т. е. вершин у графа две), то условие (3) отсутствует, а условие (4) превращается в условие Неймана. Если же ребро циклическое (т. е. вершина у графа одна), то условия (3), (4) превращаются в условия согласования. В общем случае
условия (3) требуют непрерывности решений и = (щ, и2,... ,иц,...) уравне-
ний (2) в вершинах V графа О, а условия (4)—аналог условий Кирхгофа для электрических цепей — описывает «баланс потока» в вершинах. Заметим ещё, что в контексте условий (3), (4) «отсутствовать» —не значит «быть равным нулю». Например, если в вершину У; все ребра «входят», то первые два равенства в (3) и уменьшаемое в (4) именно «отсутствуют», а не равны нулю.
Изучение дифференциальных уравнений на графах началось в 80-х годах прошлого столетия. В монографии [8], первой по данной проблематике, содержится прекрасный обзор всех достижений в этой области. Уравнения (2) относятся к уравнениям соболевского типа, исследования которых переживают в настоящее время пору бурного расцвета. Обстоятельный исторический обзор этих исследований и обширную библиографию можно найти в монографии [9]. Впервые уравнения соболевского типа на графах были рассмотрены в [10], а в [11] показано, что при условиях а/З € М+ фазовым пространством задачи (2)-(4) служит простое банахово С ^-многообразие.
В п. 1 настоящей работы приводится редукция задачи (2)-(4) к уравнению
ЬЧ = Ми + N (и), (5)
где Ь и М — линейные, а N — нелинейный операторы, определённые на специально подобранных функциональных пространствах. Редукция аналогична [11], однако пространства подобраны другие. Поэтому мы сочли необходимым снабдить все результаты набросками доказательств. П. 2 посвящён исследованию устойчивости стационарного решения и = (0, 0,..., 0,...) задачи (2)-(4) в терминах динамических систем и функций Ляпунова. Все абстрактные результаты являются обобщениями соответствующих результатов [12, гл. 4]. Их приложения к задаче (2)-(4) представляют главное содержание статьи. В заключении даётся объяснение физического смысла параметра Ао. Список литературы не претендует на полноту и отражает только вкусы и пристрастия авторов.
1. Фазовое пространство. Введём в рассмотрение множество 1^(0) = {д = = (д1 ,д2,...дц,...) '■ дц € Ь2(0,13)}, которое становится гильбертовым про-
странством, если ввести скалярное произведение
{9,Н) = ^ йз [ 9зНз(ІХ.
Е, ЄЕ 0
Введём еще одно гильбертово пространство
Я = {и = (и1,и2,... ,Щ,...) : из Є ^21(0, З), причём выполнено (3)} со скалярным произведением и нормой, соответственно —
Г1, _ /*1,
[и, у] = ^ йз (изхУзх + из-Уз)йх и ||и||д = ^ йз (и^х + и2)^х.
Е, ЄЕ 0 Е, ЄЄ ,'0
В силу теорем вложения Соболева пространства ^^(0, Із) состоят из абсолютно непрерывных функций, поэтому пространство Я корректно определено, а в силу теоремы Кондрашева—Реллиха оно компактно вложено в Ь2(0). По теореме Ф. Рисса отождествим пространство 1^(0) со своим сопряженным и через $ обозначим сопряжённое пространство к Я относительно двойственности {■, ■). Пространство $ — банахово, причём имеют место непрерывные вложения Я ^ Ь2(С) ^ $.
Возьмём А0 Є М+ и построим оператор А : Я ^ $
{Ли, у) = ^ йз (изхУзх + А0изУз)йх, и, у Є Я,
Е, єе '0
который является частным случаем оператора Штурма—Лиувилля, определённого на графе О. Оператор А Є С(Я,$) (т.е. линеен и непрерывен), причём квадратичная форма {А-, ■) эквивалентна скалярному произведению [■, ■]. Воспользовавшись этим и теоремой Ф. Рисса, получим существование оператора Грина А-1 Є £(§,Я). Оператор А-1 : Ь2(С) ^ Ь2(С) компактен в силу вложения Я ^ Ь2(С), поэтому спектр а (А) положителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го. Обозначим через {Ак}, к Є М, собственные значения оператора А, занумерованные по невозрастанию с учётом их кратности, а через {(рк} —ортонормированное в смысле {■, ■) семейство собственных функций. Ввиду компактности оператора А-1 семейство {рк} есть базис в Ь2(С), а в силу плотности вложений Я ^ Ь2(0) ^ $ является базисом в Я и $.
Замечание 1.1. Как легко видеть, первое собственное значение оператора А равно А0, причём это собственное значение однократно.
Действительно, пусть Арі = А0Р1, тогда
{(А - А0)р1,р1) = ^ йз (р1зх)2йх = 0.
Е, ЄЕ
Поэтому в качестве первой собственной функции можно взять
Р1 = [£ йзЧ (1,1,..., 1,...).
Е, ЄЕ
Далее возьмём А, а Є М и построим операторы Ь = А — А, М = —а1, где
I в данном случае есть оператор вложения I : Я ^ $. Очевидно, операторы Ь,М Є £(Я; $), причём оператор Ь фредгольмов, т. е. тёЬ = 0.
Лемма 1.1. При всех А Є М \ {Ак}, а Є М или А Є {Ак}, а Є М \ {0}
оператор М (Ь, 0)-ограничен, причём Ь-спектр аь(М) оператора М есть замыкание множества {^к = а(А — Ак) : к Є N \{п : Ап = А}}.
Доказательство. Если А Є {Ак}, то существует оператор Ь-1 Є £($;Я), и результат вытекает из замечания 4.1.1 [13]. Если А Є{Ак} и а Є
М \ {0}, то результат вытекает из теоремы 4.6.1 [13]. □
Отметим, что здесь и далее термин «оператор М (Ь, 0)-ограничен» означает, что оператор М (Ь, а)-ограничен и то - устранимая особая точка Ь-резольвенты оператора М. Терминология формализована в [13, гл. 4].
Введём в рассмотрение банаховы пространства
Ь4(0) = {д = (д1,д2,...,дз,...) : дз Є Ь4(0,Із)}
с нормой
||д||Ь4(С) = ^ (йз і Е, є£' “'0
Ь4 (Є) = {Н = (Л-1, Л-2, • • •, Л-з, • • •) : Л-з Є Ь4 (0, Ц)}
с нормой
Е, ЄЕ
Как нетрудно видеть, имеют место непрерывные и плотные вложения
Я ^ Ь4(С) ^ Ь2(С) Ь| (О ^ ъ, (6)
причём Ь4(С) можно отождествить с сопряженным к Ь4(С) относительно
двойственности {■, ■) пространством. Теперь возьмем в Є М и построим оператор N : Ь4(С) —>■ 1,4(0):
{М(и), у) = — в ^ йз и3узйх,йх, и, у Є Ь4(0).
Е, ЄЕ
Лемма 1.2. При любых в € М оператор N € Сте(Я, З)
В [8] доказано, что оператор N € С'°°(Ь4(С);Ь4(С)). Наш результат следует отсюда в силу вложений (6).
Итак, редукция задачи (2)-(4) к уравнению (5) закончена. Вектор-функцию и € С^((-т,т);Я) назовём решением уравнения (5), если при некотором т € М+ она удовлетворяет этому уравнению. Решение и = и(£), £ € (-т,т), уравнения (5) назовём решением задачи Коши, если при некотором ио € Я
и(0) = ио. (7)
и
Определение 1.1. Множество Р С Я называется фазовым пространством уравнения (5), если
(1) любое решение и = и(£) лежит в Р поточечно, т. е. и(£) € Р, £ € (—т, т); (п) при любом и0 € Р существует единственное решение задачи (5), (7).
Теорема 1.1. При любых а, в € М и X € М \ {Хк} пространство Я является фазовым пространством задачи (2)-(4).
Рассматривая задачу (2)-(4) в форме (5), заметим, что если X € {Хк}, то существует оператор Ь-1 € С($;Я). Значит, (5) можно привести к эквивалентному виду
и = ^ (и), (8)
где оператор ^ = Ь-1(М + N) € Сте(Я;Я). Утверждение теоремы вытекает из классической теоремы Коши (см. например, [14, гл. IV]).
Рассмотрим случай X € {Хк}, тогда кегЬ = 8рап{рк : X = Хк}, и в силу (Ь, 0)-ограниченности оператора М уравнение (5) эквивалентно системе
и1 = Ь11(М1и1 + QN (и)), (9)
0 = М0и0 + (1 — Q)N (и)
и
где и1 = Ри, и0 = и — и1,
Р = 1 — ^^ {^,1ук) <Рк
Ак =А-Ао
— проектор в Я, Ь1, М1 —сужения операторов Ь, М на ітР, М0 —сужение оператора М на кег Ь,
Q = I — ^ {■,'^к) Ук
Ак=А-Ао
— проектор в ^. Понятно, что задача (5), (7) неразрешима, если
и0 Є М = {и Є Я : М0и0 + (I — Q)N(и) = 0}.
Поэтому рассмотрим множество М, которое в терминах задачи (2)-(4) выглядит следующим образом:
М = {и Є Я : а {и, ук) + в (и3, ук) = 0, Ак = А}. (10)
Лемма 1.3. Пусть А Є {Ак}, тогда при любых а, в Є М, ав Є М+, множество М является простым банаховым С-многообразием.
Доказательство дословно переносится из [6]. Сначала с использованием теоремы Вишика—Минти—Браудера устанавливается существование оператора К : іт Р ^ кег Ь такого, что для любого вектора и1 Є іт Р точка и = и1 + К (и1) Є М. Затем строится оператор Б : іт Р ^ М, Б : и1 ^ и1 + + К (и1), который очевидно биективен (Б-1 есть сужение проектора Р на М). И, наконец, включение Б Є Сте(ітР;М) вытекает из теоремы о неявной функции.
Теорема 1.2. В условиях леммы 1.3 множество М является фазовым пространством задачи (2)-(4).
Доказательство. Рассмотрим задачу (2)-(4) в форме (9). Обозначим через Б'! производную Фреше оператора Б в точке и1 € ш Р. Подействовав оператором ! на второе уравнение (9), получим уравнение (8), где оператор ^ = В'риЬ-1!^^ + N) есть сечение касательного расслоения ТМ. И опять утверждение теоремы вытекает из классической теоремы Коши ([14, гл. IV]).□
Замечание 1.2. Доказательство теоремы 1.2 можно провести иным способом. Рассмотрим на Я1 второе (нижнее) уравнение (9), которое запишем в эквивалентном виде
и 1 = С(и1), (11)
где оператор С = Ь-1^(М + ND) € С^(Я1). Теперь к задаче и1(0) = и01 применим все ту же теорему Коши и получим существование ее единственного решения и1 € С^(-т,т). Искомое решение исходной задачи (5), (7) при любом и0 € М имеет вид и(£) = и1(£) + Б(и1(£)), где и1 = и1(£) решение задачи и1(0) = и01 = Ри0.
2. Устойчивость. Как было заявлено выше, мы намереваемся исследовать устойчивость нулевого решения задачи (2)-(4), используя модернизированный второй метод Ляпунова. Считаем нужным пояснить, почему мы прибегли именно ко второму методу; тем более что имеется успешный опыт применения первого метода Ляпунова (он же метод Адамара—Перрона, он же метод исследования устойчивости по линейному приближению) [15]. Дело в том, что возможности применения первого метода ограничены условием
аь(М) П {Ж} = %. (12)
Между тем, как следует из леммы 1.1, Ь-спектр аь(М) оператора М содержит точку нуль, и, стало быть, первый метод здесь неприменим в силу нарушения условия (12). Таким образом, в данной статье впервые применяется второй метод Ляпунова к изучению устойчивости нулевого решения полулинейных уравнений соболевского типа (5).
Теперь сделаем замечание о терминологии. В определении 4.1.1 [12] понятие «динамическая система» отождествляется с понятием «нелинейная полугруппа», хотя полугруппы (в том числе и нелинейные) естественно отождествлять с эволюционными процессами, так же как динамические процессы — с группами [16]. Кроме того, распознавание термина «динамическая система» в математике чрезвычайно затруднено из-за его непомерной перегруженности [17]. В [18, гл. 8А] нелинейные группы и полугруппы предложено называть потоками и полупотоками соответственно. В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой терминологии.
Определение 2.1. Пусть X — метрическое пространство. Семейство {Б4 : £ € М} операторов Б4 : X ^ X называется потоком на X, если
(1) Б0 = I : X ^ X - тождественный оператор;
(п) Б4 ■ Б5 = Б*+5 при всех 1,в € М;
(ш) оператор Б4 : X ^ X непрерывен при любом £ € М;
(Гу) при любом х € X вектор-функция Б4х € Сте(М; X).
Точка х € X называется стационарной точкой потока {Б4 : £ € М}, если х = Б4х при всех х € М.
Замечание 2.1. Если а, в € М и X € М \{Хк}, то в силу теоремы 1.1 задача
(2) - (4) задает поток на банаховом пространстве Я. Если а, в € М, ав € М+ и X € ^к}, то в силу теоремы 1.2 задача (2) - (4) задает поток на простом банаховом С ^-многообразии М.
Определение 2.2. Пусть {Б4 : £ € М} - поток на метрическом пространстве X. Функцией Ляпунова называется функционал V € С(X; М) такой, что
•, . -— т&х) - у(х))
У(х) = Ит ^---------1----^ < О
1 ' ^0+ £
при всех х € X.
Определение 2.3. Пусть {Б4 : £ € М} - поток на метрическом пространстве X, причём х - стационарная точка этого потока. Точка х называется равномерно устойчивой, если Б4у ^ х при у ^ х равномерно по £ € М. Точка х называется равномерно асимптотически устойчивой, если она равномерно устойчива и существует окрестность О С X точки х такая, что Б4у ^ х при £ ^ +то> равномерно по у € О.
Теорема 2.1. (Теорема 4.1.4 [12]) Пусть {Б4 : £ € М} - поток на метрическом пространстве X, причём О - стационарная точка этого потока. Пусть V - функция Ляпунова на X такая, что
(1) V(О) = 0;
(И) V(х) ^ р(||х||), х € X.
Тогда точка О — 'равномерно устойчива. Если вдобавок
(ш) У(х) ^ —ф(||х||), х € X, то точка О равномерно асимптотически устойчива.
Здесь р, ф € С(М+ и {0}) —строго возрастающие функции такие, что р(0) = ф(0) =0; ||х|| = ё181(х,О).
Замечание 2.2. В теореме 4.1.4 [12] X — полное метрическое пространство. Однако внимательный анализ ее доказательства показывает, что требованием полноты можно пренебречь.
Следствие 2.1. При любых а, в € М+ и X € [0, X0) решение О = (0,0,... , 0,...) задачи (2)-(4) 'равномерно асимптотически устойчиво.
До ка з а т е ль с тв о. По теореме 1.1 и замечанию 1.1 в этом случае задача (2)-(4) порождает поток на банаховом пространстве Я. Снабдив это пространство нормой || ■ || = || ■ ||ь4, превратим его в нормированное (метрическое пространство). Умножив уравнения (2) на и скалярно в 1^(0), получим
1 М г ^ /* 3 ^ /* 3
4/ (и% + (^о — А)и^)с1х ^ —(3 4/ и^х. (13)
2 т -“Л ./0 ./0
Ез еС
Определив функцию Ляпунова как
ги
V(и) = ^ ^ (и^х + (X0 — X)u‘j)dx,
*3 1 у^зх Ез£ С -70
мы сразу получим выполнение условия (1) теоремы 2.1. Далее в силу непрерывности вложения Я ^ Ь4(С) мы имеем V(и) ^ (с||и||)2, где с € М+ — константа вложения. Таким образом, условие (И) тоже выполнено. Наконец заметим, что в силу эквивалентности нормы в 1^(0) имеем
Мз и4Мх ^ (с1||и||ь4)4 •
Еи еС 0
Поэтому из (13) получаем У(и) ^ —2в (с11 |и| |)4, что показывает выполнение условия (ш). □
Следствие 2.2. При любых а, в € М+ и X = X0 решение О = (0, 0,... , 0,...) равномерно устойчиво.
До к а з а т е л ь с т в о. Здесь в качестве метрического пространства возьмем подпространство Я1, снабженное нормой || ■ || = || ■ ||^,4. Умножив уравнения (2) скалярно в Ь2(0) на и при X = Xо, получим
1 d rli rli 2 dt ^ L “ljx^ ^ ^
^ dj u1jxdx ^ — в dj u^dx. (14)
Задачу (2)-(4) в случае X = X0 можно привести к уравнению (10), которое определяет поток на Я1. Определив функцию Ляпунова как
V(и) = ^ Мз и2зхМх,
Еи ес ,'0
мы получим выполнение условия (1) теоремы 2.1. Кроме того, V1/2 определяет норму на Я1, эквивалентную индуцированной из Я. Значит, V(и) ^ (с||и||)2 в силу теоремы вложения.
Итак, решение О = (0,0,... ,0,...) для потока на Я1, определенного задачей (2) - (4), равномерно устойчиво. Согласно замечанию 1.2 любое решение и = и(£) задачи (2) - (4) имеет вид и(£) = и1(£)+ Б(и1(£)), где Б € С^(Я1; М), Б(О) = О. Поэтому если и0 ^ О, то и и10 = Ри0 ^ О, а значит в силу доказанного и1(£) = и1(и10,£) ^ О равномерно по £ € М. □
3. Заключение. В работе доказана равномерно асимптотическая устойчивость нулевого решения задачи (2)-(4) при а, в € М, X € [0, X0) и равномерная устойчивость при X = X0. Параметр X характеризует нагрузку, и поэтому он неотрицателен. Значит, Xо выступает здесь как предельная нагрузка, при которой конструкция еще устойчива. В дальнейшем авторы намерены исследовать неустойчивость данной конструкции при X > Xо.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hoff N. J. Creep buckling// Aeron. Quarterly 7, 1956. — No. 1. — P. 1-20.
2. Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1982. — 312 с.
3. Сидоров Н. А., Романова О. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1983. — Т. 19, № 9. — C. 1516-1526; англ. пер.: Sidorov N. A., Romanova O. A. Application of branching theory in the solution of differential equations with degeneration // Differ. Equations, 1983. — Vol. 19, No. 9. — P. 1139-1148.
4. Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщённые решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения, 1987. — Т. 23, №4. — C. 726-728.
5. Свиридюк Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева// Изв. РАН. Сер. матем., 1993. — Т. 57, №3. — C. 192-207; англ. пер.: Sviridyuk G.A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev Type// Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1994. — Vol. 42, No. 3. — P. 601-614.
6. Свиридюк Г. А., Казак В. О. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа// Мат. заметки, 2002. — Т. 71, №2. — C. 292-297; англ. пер.: Sviridyuk G. A., Kazak V. O. The Phase Space of an Initial-Boundary Value Problem for the Hoff Equation // Mathematical Notes, 2002. — Vol. 71, No. 1-2. — P. 262-266.
7. Свиридюк Г. А., Тринеева И. К. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа// Изв. вузов. Математика, 2005. — № 10. — C. 54-60; англ. пер.: Sviridyuk G. A., Trineeva I. K. A Whitney fold in the phase space of the Hoff equation // Russian Math. (Iz. VUZ), 2005. — Vol. 49, No. 10. — P. 49-55.
8. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физматлит, 2004. — 272 с.
9. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. — N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. — 490 p.
10. Свиридюк Г. А. Уравнения соболевского типа на графах / В сб.: Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. — C. 221-225.
11. Свиридюк Г. А., Шеметова В. В. Уравнения Хоффа на графах// Дифференц. уравнения, 2006. — Т. 42, №1. — C. 126-131.
12. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations / Lecture Notes in Mathematics, 840. — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1981. — 348 pp.; русск. пер.: Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
13. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / Inverse and Ill-posed Problems Series. — Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. — 216 pp.
14. Lang S. Introduction to Differentiable Manifolds. — New York: Interscience, 1962. — 126 pp.; русск. пер.: Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
15. Китаева О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: Дис. . .. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защищена 09.06.06: утв. 10.11.06 / Китаева Ольга Геннадьевна. — Магнитогорск, 2006. — 111 с.
16. Свиридюк Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений// ДАН СССР, 1989. — Т. 304, №2. — C. 301-304; англ. пер.: Sviridyuk G. A. Manifolds of solutions of a class of evolution and dynamic equations // Soviet Math. Dokl., 1989. — Vol. 39, No. 1. — P. 78-81.
17. Аносов Д. В. Динамическая система / Математическая энциклопедия. Т. 2 Д-Коо. — М., 1979. — C. 143-149.
18. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications / Applied Mathematical Sciences, 19. — New York: Springer-Verlag, 1976. — 424 pp.; русск. пер.: Мар-сден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. — М.: Мир, 1980. — 368 с.
Поступила в редакцию 15/VII/2009; в окончательном варианте — 13/III/2010.
MSC: 35B35, 35K70
HOFF EQUATION STABILITY ON A GRAPH
G. A. Sviridyuk1, S. A. Zagrebina1, P. O. Pivovarova2
1 State University of South Ural,
454080, Chelyabinsk, Lenin ave., 76
2 State University of Magnitogorsk,
455000, Magnitogorsk, Lenin ave., 114
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
We consider the stability of stationary solutions of the Hoff equation on a graph, which is a model design of I-beams. The basic approach is the second Lyapunov method, modified according to our situation. In the end explains the technical meaning of the parameter X0.
Key words: Hoff equations, stability, Lyapunov function, graph.
Original article submitted 15/VII/2009; revision submitted 13/III/2o1o.
Georgy A. Sviridyuk (Dr. Sc. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Physics Equations. Sophiya A. Zagrebina (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Mathematical Physics Equations. Polina O. Pivovarova, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.
