Нетривиальное решение задачи о равновесии сыпучего шара с малым трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 109-115 Механика

УДК 539.3

Нетривиальное решение задачи о равновесии сыпучего шара с малым трением

М.Н. Скачков

Аннотация. С помощью принципа минимальной работы внешних сил и условия текучести Кулона-Мора развивается нелинейная модель сжимаемой сыпучей среды с внутренним трением. В рамках модели — для слабого трения — исследуется задача о напряжениях в шаре при заданном внешним давлении. Решение задачи записывается в элементарных функциях. Показано, что напряжённое состояние сыпучего шара является, вообще говоря, неоднородным и анизотропным. Напряжения концентрируются на периферии и по параболе спадают к центру.

Ключевые слова: сыпучие среды, анизотропия сплошного шара, уплотнение, задача Ламе.

Введение

Проблема равновесия сферы или кольца под действием внешнего и внутреннего давления, благодаря своей симметрии, входит в число простейших и традиционных задач механики сплошных сред. Классическое решение этой задачи применительно к линейно-упругому материалу выполнил в середине XIX в. Г. Ламе. Решение Ламе запрещает неравномерное распределение напряжений в полярно-симметричном теле без внутренней полости, поскольку в таком случае напряжения в его полюсе оказываются бесконечными.

Задача Ламе служит объектом приложения многих моделей зернистых и порошковых сред (в частности, [1-4]). При этом интерес и теоретиков, и экспериментаторов обычно фокусируется только на телах с внутренней полостью, [1-2]. Тем не менее, вопрос о напряжениях полярно-симметричного сыпучего тела без полости нельзя считать закрытым. Решение такой задачи необязательно тривиально, ведь в любой точке пористого тела всегда мыслима пора.

Настоящее исследование посвящено описание напряжений сыпучего шара, испытывающего приложенное по поверхности давление.

Исследование проводится с позиций составленной ранее нелинейной модели податливой на сжатие сыпучей среды с внутренним трением и хрупким,

неизменным по плотности скелетом, [3, 4]. Модель связывает плотность пористой среды р с гидростатическим напряжением а через плотность скелета р3, пористость до нагружения во (0 < во < 1) и материальную константу к (> 0), названную уплотняемостью:

р = р8(1 - в0е К<7)■ (1)

Отметим, что здесь и ниже соблюдается обычное для теорий сыпучих сред правило положительных сжимающих напряжений, [8]. О порядке уплотня-емости позволяет судить проделанный с точки зрения раскрываемой модели анализ экспериментальных данных, [5-7]. Так, у карбонатной породы к = 15 • 10-9 Па-1, [5]. У снега к = 16.5 • 10-5 Па-1, [6, 7].

В русле выдерживаемого подхода также были определены напряжения сыпучей сферы подвергнутой действию заданного внешнего и внутреннего давления, [4]:

г Рь - Ра 2 , РаЬ2 - РЬО2 ф 0 Рь - Ра 2 , РаЬ2 - РьО2

а = ________ г + ___________ а ^ = 2 _______ г + ___________

Ь2 - а2 Ь2 - а2 ’ Ь2 - а2 Ь2 - а2 ’

где аг и аф — радиальное и окружное напряжения, Ра и Рь — внутреннее и внешнее давления, г — текущий полярный радиус рассматриваемой точки, а и Ь — внутренний и внешний радиусы деформированной сферы. Описание напряжений сплошного шара выводится как частный случай из описания сферы при а = 0:

а = (Рь - Ра)(г/Ь)2 + Ра, = 2(Рь - Ра)(г/Ь)2 + Ра, (2)

где Ра теперь означает давление в центре шара.

Из определения гидростатического напряжения радиально-симметричного тела а = (аг + 2а^)/3 и соотношений (2) получается:

а = (5/3)(рь - Ра)(г/Ь)2 + Ра■ (3)

Принятый подход ниже развивается с помощью двух таких широко используемых в механике сыпучих сред идей, как стремление системы к минимальной работе внешних сил (например, [9]) и условие текучести Кулона-Мора (например, [2,8]).

Определение давления в центре сыпучего шара

Теорема. Работа сил, сжимающих сыпучий шар, как функция его полярного давления монотонно возрастает, достигая стационарного значения с равенством полярного и поверхностного давлений.

Доказательство. Работа Ш внешних сил на сжатии шара есть 4прь /ьь° г2(1г, где Ь0 — начальный радиус, то есть Ш = (4/3)прь(Ь0 - Ь3). Связь размера Ьо с прочими характеристиками следует из закона сохранения массы. Масса шара М вычисляется как 4п рг2йг, или в виду соотношения

(1), 4жр8§о(1 - вое-ка)г2^г. Без нагрузки М = (4/3)пЬ0р«(1 - в0). При нагрузке выражение массы строится в свете результата (3) через интеграл вероятностей:

М=

4пр3Ь3

3

1

3е-Кра во

2Б

[2гзег! ^ >- е-'?

где для краткости принято обозначение 5 = (5/3)к(рь - ра). Сопоставление двух записей М даёт:

Ь3о = Ь3

1

3е-кра во

25

2~п5ег^(^) - е }/(1 - во)(1 - во).

В итоге,

Ш = 4прьЬ3во Г_ 3е-кРа

3(1 - во)

25

12Т5ег/- е~6'_

(4)

(5)

Представленная формулой (5) функция Ш = Ш(ра) определена на полуоткрытом интервале 0 ^ ра < рь. Для неё имеем: Нш Ш = Ш*, где

Ра *РЬ

4прьЬ3во 3(1 - во)

(1 - е-крь) ■

(6)

Функция Ш = Ш(ра), доопределенная в точке ра = рь значением Ш = Ш*, непрерывна и дифференцируема на отрезке 0 ^ кра ^ крь. Характер этой зависимости на рис. 1 наглядно передает приведенная работа Ш' = Ш

как функция аргументов кра и крь — приведенного полярного и приведенного поверхностного давления. Функция Ш = Ш(ра) монотонно возрастает, достигая стационарного значения в граничной точке ра = рь, что иллюстрирует на рис. 2 её частная производная дШ'/д(кра). Теорема доказана.

Таким образом, согласно принципу минимальной работы внешних сил и представленной теореме, полярное давление ра должно быть минимальным. На пути стремления этого параметра к уменьшению положим условие Кулона-Мора \аф - аг\/(аф + аг) ^ а, где а — синус угла внутреннего трения. С подстановкой результата (2) данный критерий адаптируется к особенностям нашей задачи:

(Рь - Ра)(г/Ь)2

3(рь - Ра)(г/Ь)2 + 2ра

(7)

Левая часть выражения (7) равна нулю в центре шара и максимальна при г = Ь. Отсюда получаем уравнение для отыскания наибольшего из допустимых значений ра: (рь - ра)/(3рь - Ра) = а. Стало быть,

Ра =

1 - 3а 1а

Рь■

(8)

Рис. 1. Приведенная работа внешних сил на сжатии сыпучего шара при л/(кра)2 + (крь)2 < 5 и кра < крь

д\¥'!д{кра),\0Г2

кРь

Рис. 2. Производная приведенной работы по приведенному полярному давлению при л/(кра)2 + (крь)2 < 5 и кра < крь

Из соотношений (2) и (8) находим напряженное состояние сыпучего шара при не заданном давлении в полюсе:

г 2а , /1x9 1 3а

а = ---------Рь(г/Ь)2 +

1а

1а

Ф 4а , , ,2 1 3а

Рь, аф = ------------ рь (г/Ь) + --------- рь ■

1а

1а

Полученный результат отражен на рис.3. Видно, что в общем случае напряжения концентрируются у возмущаемой поверхности шара и плавно спадают к его центру. На рис. 3, кроме того, видно, что линии аф = аф(г) при различных показателях трения а пересекаются в одной точке (г = 6/л/2).

Найденным напряжениям — согласно уравнению (1) — сопутствует плотность, повышенная у поверхности и близкая к начальной у центра. На мезо-уровне эта закономерность, по-видимому, оборачивается самоорганизацией на периферии шара гранулярных заторов (например, [10]), препятствующих проникновению уплотняющего возмущения вглубь тела.

Неравенство ра ^ 0 очерчивает область, в которой справедлива формула (8): а ^ 1/3. Если а = 0, то в теле равномерно распределено давление рь. Если а = 1/3, то внутренних усилий в центре шара нет. Если а > 1/3, то тяготение работы внешних сил к минимуму, судя по всему, должно навязать системе кусочное поле напряжений — с изломом радиального напряжения и разрывом напряжения окружного.

о

2Рь

3

2Л

Ръ

1

-Ръ

1 2 1 \ / / / /V

1 х3

Ы 2

-у г

Ъ

Рис. 3. Напряжения при различном трении: 1) а = 0 (гидростатическое

сжатие), 2) а = 1/6, 3) а =1/3; аг — пунктир, а

штрихи

Анизотропный сценарий эволюции сжимаемого сыпучего шара оказывается энергетически выгодней его изотропного варианта. Зная проделанную над данным телом истинную работу W, а также гипотетическую работу W*, рассчитанную в предположении отсутствия у тела внутреннего трения, можно указать количественную меру преимущества анизотропного сценария его эволюции. Этот выигрыш состоит в не совершенной работе ДW = W* — W. Соответственно, с занесением сюда уравнений (5) и (6), имеем:

4прь63во 3

3(1 — во) I 2$

где, исходя из вывода (8), $ = ^оО-а)

ег! (у$) — е

-5

1

Заключение

Основы построенной ранее модели дополнены принципом минимальной работы внешних сил и условием текучести Кулона-Мора, позволившими замкнуть ранее найденное решение задачи Ламе о сплошном сыпучем шаре. Благодаря включению в модель новых положений удалось определить искомое давление в полюсе шара при а ^ 1/3. Было выяснено, что тривиальное — однородное изотропное — напряженное состояние суть частный случай общего решения задачи. В общем случае напряжения концентрируются на периферии сыпучего шара и затухают по направлению к его центру. Концентрация напряжений и плотности у принимающей возмущение поверхности свидетельствует о возникающих здесь мезоскопических гранулярных заторах и сводах.

Указано количественное выражение энергетического преимущества, обретаемого нагруженным телом на анизотропном канале эволюции. Необходимым условием неравномерного распределения напряжений и плотности выступает внутреннее трение. Эта неравномерность проявляется тем ярче, чем трение больше.

Основные результаты изыскания даны в элементарных функциях. Предложенная методика в будущем может быть применена к шару с большим трением (а > 1/3), а также к сыпучим сферам с внутренней либо внешней неподвижной границей.

Список литературы

1. Антонова А.А., Калугин И.А., Пономарёв А.В. Прессование сферического порошкового слоя при неподвижной внутренней границе // Наукоемкие технологии. 2008, №7. С.31-33.

2. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляю-щихся сред. Владивосток: Дальнаука, 2007. 172 с.

3. Скачков М.Н. Сводчатая модель сыпучего вещества. Отношения плотности и давления // Труды ДВГТУ. Владивосток: ДВГТУ, 2007. Вып. 146. С.171-176.

4. Скачков М.Н. Конформационные состояния сыпучих материалов // Сб. науч. тр. КнАГТУ: Комсомольск-на-Амуре, 2009. Вып. 13. Ч.1. С.238-240.

5. Schmoker J.W., Halley R.B. Carbonate porosity versus depth; a predictable relation for South Florida // AAPG Bull. 1982. V.66, №.12. P.2561-2570.

6. Tabler R.D., Furnish R.P. In-depth study of snow fences // Public Works. 1982. V.113, №.8. P.42-44.

7. Беховых Л.А., Макарычев С.В., Шорина И.В. Основы гидрофизики. Барнаул: АГАУ, 2008. 172 с.

8. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Наука, 1990. 272 с.

9. Олейников А.И. Гетеромодульная среда с вырожденными полями напряжений и механика сыпучих материалов // Избранные вопросы современной математики: тез. межд. науч. конф. / Калинингр. гос. ун-т. Калининград, 2005. С.253-254.

10. Jamming and static stress transmission in granular materials / M. E. Cates [et al.] //

Chaos. 1999. V.9, №.3. P.511-522.

Скачков Михаил Николаевич ([email protected]), аспирант, кафедра механики и анализа конструкций и процессов, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Nontrivial solution to the equilibrium problem of a granular globe with low friction

M.N. Skachkov

Abstract. A nonlinear model of compressible granular material with internal friction develops using the principle of minimum work of external forces and the yield of Coulomb-Mohr. The model investigates the problem of the stresses in a globe under given external pressure, for faint friction. The solution registers in elementary functions. The stress state of a granular globe is, in the general case, non-uniform and anisotropic. The stresses concentrate at the periphery and subside by parabolas toward the center.

Keywords: granular media, the anisotropy of the continuous globe, compaction, Lame problem.

Skachkov Mikhail ([email protected]), postgraduate student, department of mechanics and analysis of structures and processes, Komsomolsk-on-Amur State Technical University.

Поступила 27.03.2010