CC BY
43
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 108-113
^ Механика ^
УДК 539.3
Сжимаемая сыпучая среда в вертикальном вращающемся барабане
М.Н. Скачков
Аннотация. Вращающееся сыпучее тело может подобно жидкости существенно нелинейно деформироваться. Предложена модель, рассматривающая сыпучую среду как своеобразную сжимаемую жидкость. Поставленная в рамках модели задача о давлении и плотности вращающегося сыпучего тела решена в элементарных функциях.
Ключевые слова: сыпучий материал, вращение в вертикальном барабане, уплотняемость.
Введение
Поведение зернистых и порошковых тел во вращающейся ёмкости остаётся на протяжении века одной из непреходящих тем исследований, посвящённых сыпучим материалам (см., например, [1-3]). Однако, при изучении этого явления обычно не принимается во внимание специфическая способность сыпучего материала к уплотнению, которая при больших скоростях вращения может вызывать заметные эффекты.
Опыты показывают, что под действием объёмных сил плотность пористых сред способна существенно меняться [4-6]. Так, согласно данным измерений снежных наносов [5], плотность снега на глубине 10 м более чем вдвое превышает плотность у поверхности. Измерения пористости карбонатной породы на глубине до 5500 м [4] свидетельствуют о монотонном падении пористости с глубиной приблизительно от 40 до 4 %. Для описания наблюдаемой опытной зависимости плотности и пористости материала от сжимающей нагрузки исследователи, как правило, привлекают различные эмпирические формулы [4-10].
В работе построена модель вращения сыпучего тела вокруг вертикальной оси, учитывающая его способность к уплотнению.
Модель вращающегося сыпучего тела
Настоящая модель трактует сыпучую среду как пористый континуум в состоянии всестороннего сжатия, уступающий сжатию исключительно за
счёт уменьшения пористости. Для такого материала в работе [12] было предложено определяющее соотношение, связывающее плотность р и давление р через материальную константу к 0), называемую уплотняемостью:
р = ря(1 - вое-кр), (1)
где р8 — плотность скелета пористого вещества, во — пористость при р = 0. В частности, у несжимаемого сыпучего вещества (при к = 0)
р = р5(1 - во). (2)
Судить о порядке уплотняемости различных пористых сред позволяет анализ экспериментальных данных по карбонатной породе и снегу, сделанный в русле излагаемого подхода. У карбонатной породы к = 15 ■ 10-9 Па-1 [4]. У снега к = 16.5 ■ 10-5 Па-1 [5, 6].
С позиций настоящей модели сыпучее вещество при вращении отличается от идеальной жидкости лишь своей способностью к уплотнению, характеризуемой соотношением (1). Задача о жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси, успешно решается в рамках классической механики сплошных сред (см., например, [11]). Учёт эффекта уплотняемости сыпучего материала вносит должные поправки в выполненное для жидкости решение.
Описывая движение зернистого массива в высоком жёстком вертикальном барабане воспользуемся цилиндрической системой координат, совместив её начало с центром дна барабана и направив ось аппликат вверх. Пусть движение стационарно, а зёрна относительно барабана неподвижны. Давление и плотность среды в этом случае есть функции двух цилиндрических координат: р = р(г, г) и р = р(г, г).
Для внутренних точек вращающегося тела справедливы статические уравнения
др/дг = рш2т, др/дг = — рд, (3)
где ш — угловая скорость; д — ускорение силы тяжести. Отсюда следует, что изоповерхности давления независимо от характера сжимаемости материала являются параболоидами. У свободной поверхности вращающегося тела, то есть у его верхней грани,
г = Пт2 — 2, (4)
где О ^ = 722 ) — принимаемая для краткости условная интенсивность вращения; 2 — определяемая граничными условиями константа.
Граничные условия системы уравнений (1), (3) зададим через параметры текущей конфигурации деформированного тела.
Рис. 1 иллюстрирует качественные особенности деформирования сыпучего тела, в покое являющегося цилиндром с плоской верхней гранью. Вращаясь тело может искривиться не теряя вместе с тем односвязности (рис. 1, а). Оно также может приобрести сквозную осевую полость, став двусвязным
(рис. 1, б). Профили податливых к сжатию вращающихся тел очерчены на
рис. 1 жирными сплошными линиями и тонированы. Стойким на сжатие
вращающимся телам отвечают тонкие сплошные линии. Верхние грани в начальной конфигурации изображены у сжимаемых тел жирными штриховыми, у несжимаемых тел — тонкими штриховыми линиями.
Осевые вращения вращающихся сыпучих тел: а) односвязного, б)
двусвязного
Введём следующие обозначения, отражённые на рис. 1. Радиус барабана — b. Высота тела в начальной конфигурации: несжимаемого — ho, сжимаемого — h. Аппликата центра верхней грани односвязного вращающегося тела: несжимаемого — со, сжимаемого — с. Радиус полости двусвязного деформированного тела: несжимаемого — ао, сжимаемого — a.
В предложенных терминах граничное условие для односвязного тела формулируется как
p(0,с) = 0. (5)
Отсюда, в силу (4), Z = -с, и уравнение свободной поверхности преобразуется к виду z = fir2 + с. Функции p(r, z) и p(r, z) здесь определены в области
0 < r < b, 0 < z < fir2 + с.
Для двусвязного тела в качестве граничного условия записываем:
p(a, 0) = 0. (6)
Из (4) Z = fia2, и уравнение верхней грани обретает вид z = fi(r2 — a2). Функции p(r, z) и p(r, z) здесь определены при a ^ r ^ b, 0 ^ z ^ fi(r2 — a2).
В отсутствие вращения из уравнений (1), (3) и условия p(r, h) = 0 получаем: р = е е-рРк71-г°)+1_g . Масса тела в начальной конфигурации отсюда
выражается как nb2 /oh , или ПК lnt(1 — ^o)ePsgKh + 0о]. Ис-
пользуя этот результат, устанавливаем из закона сохранения массы связь параметров текущей конфигурации с и a с параметром начальной конфигурации h:
b2 г- b г- Пг2+с
— ln[(1 — 0o)ePsgKh + 0o] = 2 rdr / p(r, z)dz, (7)
Jo Jo
b2 и Гb f Q(r2_“2)
— ln[(1 — 0o)ePsg + 0o] = 2 rdr j p(r, z)dz. (8)
J a Jo
Интегрируя систему (3) при учёте соотношения (1) и граничного условия для односвязного тела (5), получаем её решение в элементарных функциях:
р = 11п[(1 - 0о)ер^к(Пг2+с-г) + 0о], (9)
к
1 - 00
Р = Рв
0oe-psgK(Qr2+c-z) + 1 - 0o'
Подстановка этого результата в (7) даёт
г- ь2
b2 ln[(1 - 0o)epsgKh + 0o] = / ln[(1 - ^o)epsgK(nR+c-z) + 0o]dR.
о
Данное уравнение есть неявная зависимость с от h. Представленный здесь интеграл нельзя взять в элементарных функциях, однако можно записать с помощью дилогарифма или в виде ряда. Полагая уплотняемость достаточно малой, выразим из этого уравнения с путём разложения в ряд по степеням к, ограничившись первыми двумя членами ряда
Qb2 Ps0og [ Qb2 \2
с М h - 1---------{—) к
Налагая требование с ^ 0 на это соотношение, получаем приближённое условие односвязности вращающегося сыпучего тела Q ^ Ь2 h — Р3ь°д h2K.
Для уплотняемого сыпучего тела, принявшего в процессе вращения коль-
цеобразную форму, из (1), (3) и (6) находим
p = 1 ln{(1 - 0o)epsgKIn(r2-“2)-zl + 0o}, (10)
к
1 - 0o
P = Ps
в0е-Р°9к№г2-а2)-^ + 1 - 0о •
Значение а определяется подстановкой найденного результата в (8)
(ь2
Ь2 1п[(1 - 0о)еР^ + 0о] = 1п[(1 - 0о)ер^5кП(К-“2) + 0о]^Я.
}а2
С точностью до малых более высокого порядка, чем к, это уравнение даёт
2 г.2 г. /2^ л 1.1, ( Ь 1 /2л"\
а “Ь - V'п+ Р‘0о9,’'‘|3 - к
Отсюда получаем удовлетворяющее требованию а2 ^ 0 приближённое условие двусвязности деформированного сыпучего тела: О ^ ^ ^2к.
Таким образом, переход от односвязного тела к двусвязному осуществляется при О ^ Ь - Р3^2^ ^2к, то есть при Ш ^ | \/$^ ^1 - ^1°)^ ^ . В этом положении верхняя грань деформированного тела касается дна барабана.
Считая массу тела и значения ps и $о инвариантами, проследим связь параметров конфигурации при двух подходах: в свете признания тела сжимаемым (параметры h, с, а) и в пренебрежении сжимаемостью (параметры ho, со, ао). Искомые соотношения в линейном по уплотняемости приближении
суть h æ h0 — hoK, с æ с0 — ps00g ^ ^° + j к и а2 æ а0 + Ps63g&2 h0K.
В пределе к = 0 плотность сыпучего тела определяется формулой (2), выражения давления (9) и (10) преобразуются к виду, прямо следующему из решения задачи для жидкости [11]. Так, если fi ^ 2h0/b2, то тело односвязно, p = psg(1 — #0)(fir2 + с0 — z), с0 = h0 — fib2/2. Если fi ^ 2h0/b2, то тело двусвязно, p = psg(1 — #0)[fi(r2 — а2) — z], а0 = b2 — byj2h0/fi. В критическом положении fi = 2h0/b2, C0 = а0 = 0.
Отметим, что благодаря эффекту уплотняемости критическая угловая скорость появления сквозной полости у сжимаемого тела по сравнению с телом несжимаемым понижается, составляя приблизительно 1 — ps®°gh° к от критической угловой скорости последнего.
Заключение
Поставленная задача о давлении и плотности вращающегося в вертикальном барабане сыпучего тела решена в элементарных функциях для произвольных значений уплотняемости и угловой скорости. Соотношения, полученные для несжимаемого сыпучего вещества, соответствуют известному решению для жидкости.
Развитием предложенной модели может служить исследование вращения сжимаемого сыпучего тела в анизотропном напряжённом состоянии.
Список литературы
1. Дэвис Э.В. Тонкое дробление в шаровых мельницах // Теория и практика дробления и тонкого измельчения: сб. тр. / Гос. научно-техническое горное издательство, 1932. С.153-169.
2. Микенина О.А. Упруго-пластическое деформирование сыпучего материала во вращающейся емкости: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2005. 126 с.
3. Zamankhan P., Huang J. Complex flow dynamics in dense granular flows. Pt. II. Simulations // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2007. V.74, №4. P.691-702.
4. Schmoker J.W., Halley R.B. Carbonate porosity versus depth; a predictable relation for South Florida // AAPG Bull. 1982. V.66, №12. P.2561-2570.
5. Tabler R.D., Furnish R.P. In-depth study of snow fences // Public Works. 1982. V.113, №8. P.42-44.
6. Беховых Л.А., Макарычев С.В., Шорина И.В. Основы гидрофизики. Барнаул: Изд-во АГАУ, 2008. 172 с.
7. Athy L.F. Density, porosity, and compaction of sedimentary rocks // AAPG Bull. 1930. V.14. P.1-24.
8. Hedberg H.D. Gravitational compaction of clays and shales // Am. J. Science. 1936. V.31, №184. P.241-287.
9. Клейн ГК. Строительная механика сыпучих тел. М.: Стройиздат, 1977. 256 с.
10. Болтачев Г.Ш., Волков Н.Б., Добров С.В., Иванов В.В., Ноздрин А.А., Паранин С.Н. Моделирование радиального магнитно-импульсного уплотнения гранулярной среды в квазистатическом приближении // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.10. С.58-67.
11. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика сплошных сред. Лекции. М.: Изд-во МГУ, 1998. 92 с.
12. Скачков М.Н. Сводчатая модель сыпучего вещества. Отношения плотности и давления // Тр. ДВГТУ. Владивосток, 2007. Вып.146. С.235-240.
Скачков Михаил Николаевич (m_skachkov@list.ru), аспирант. кафедра механики и анализа конструкций и процессов, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.
Compressible granular medium in a vertical rotating cylinder
M.N. Skachkov
Abstract. A granular body when rotating may nonlinearly warp, like a fluid. A model of granular matter considered as a kind of compressible fluid is proposed. In the model, the problem of the rotating granular body’s pressure and density is solved in elementary functions.
Keywords: granular material, rotation in vertical cylinder, compactibility.
Skachkov Mikhail (m_skachkov@list.ru), postgraduate student, department of mechanics and analysis of structures and processes, Komsomolsk-on-Amur State Technical University.
Поступила 15.01.2010
