НЕСВЯЗНЫЙ ПОРЯДОК В АФФИННОМПРОСТРАНСТВЕ И ЕГО АВТОМОРФИЗМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.46 DOI 10.24147/2222-8772.2021.4.17-38

НЕСВЯЗНЫЙ ПОРЯДОК В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЕГО АВТОМОРФИЗМЫ

А.К. Гуц

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: guts@omsu.ru

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. В работах А.Д. Александрова был изучен связный предпоря-док в аффинном пространстве и вычислены его автоморфизмы. В данной статье исследуется несвязный предпорядок (частичный порядок). Вычислены порядковые автоморфизмы и даётся классификация однородных несвязных предпорядков. Несвязный порядок позволяет строить аксиоматики специальной теории относительности, основанные на понятии причинности, не распространяемой на явления микромира.

Ключевые слова: аффинное пространство, несвязный порядок, порядковые автоморфизмы, аксиоматики, специальная теория относительности.

Введение

В работе А.Д. Александрова [1] был изучен связный предпорядок в аффинном пространстве и вычислены его автоморфизмы.

В данной статье исследуется несвязный предпорядок. Вычислены порядковые автоморфизмы и даётся классификация однородных несвязных предпорядков. Результаты статьи были анонсированы в [2], частично опубликованы в [3] и полностью депонированы в [4].

На основе несвязного порядка строится аксиоматическая причинная теория относительности, не предполагается, что причинно-следственные взаимодействия распространяются на явления микромира [5].

1. Основные определения и предварительные сведения

Предпорядок в аффинном и-мерном пространстве Ап, п ^ 2, есть семейство

подмножеств V = [Рх : х Е Лп}, удовлетворяющее аксиомам: Р1. Ж Е Рх.

Р2. Если у Е Рх, то Ру С Рх.

Р3. Если х Е Аа, а £ — произвольный параллельный перенос, то Ь(РХ) =

Предпорядок нетривиальный, если Рх = Ап .

Если дополнительно выполнено условие х = у влечёт Рг = Ру , то V есть порядок в Ап.

Порядок тривиальный, если Рх = {ж}.

Отношение у Е Рх иногда будем обозначать как х ^ у.

Через е будем всегда обозначать фиксированную точку пространства Ап. Если М с Ап, то через Мх обозначаем множество ¿(М), где £ — перенос такой, что Ь(е) = х.

Будем писать Р вместо Ре.

Если М с Ап, то через ъпЪ(М), М, дМ, сопу(М) обозначаются внутренность, замыкание, граница и выпуклая оболочка соответственно множества М.

Говорим, что предпорядок V связный, если е Е Р \ {е}, и несвязный в противном случае. Предпорядок V замкнутый (соотв.: открытый), если Р замкнуто (соотв.: Р \ {е} открыто).

Пусть V предпорядок в Ап, а / : Ап ^ Ап, биекция. Говорим, что / есть порядковый автоморфизм или V-автоморфизм, если для любой х Е Аа

Группу порядковых автоморфизмов обозначаем через АиЪ(Р).

Пусть Е — некоторая гиперплоскость, а 1 — вектор (или луч V), не параллельный Е.

Определение 1.1. Смещением йЕ\ (соотв.: йЕь ) называется гомеоморфизм Аа на себя такой, что:

1) на каждой гиперплоскости Ех, параллельной Е, ¿е\ (соотв.: ¿еь) есть параллельный перенос;

2) <1Е\ (соотв.: ¿еь) отображает отрезки (лучи), равные и параллельные 1 (соотв.: V) в такие же отрезки (лучи).

Определение 1.2. Квазицилиндром Я(Е, 1) называется множество М с Ап, удовлетворяющее условиям:

1) существуют гиперплоскости ...,Е-1,Е0,Е1,..., параллельные Е, причём £¿+1 получено из Е^ переносом на вектор 1, притом такие, что

где каждое есть цилиндр, образованный открытыми отрезками, равными 1 (как векторы) с концами на Е^, Е+ (не исключается, что некоторые и даже все Мг пусты);

2) М не допускает представления (1.2) с той же гиперплоскостью Е и вектором 1', параллельным 1, но большим, чем 1.

Через Ь(х,у) обозначаем луч с началом х, проходящий через у, у = х; [х,у] = ь(х,у) П Ь(у,х).

/ (Рх) = Рг {х).

(1.2)

Определение 1.3. Квазицилиндр Q(E,L), где Е — гиперплоскость, проходящая через точку е, а L = L(e,x0), х0 е/Е, есть множество

U

хем

где М с Е.

Определение 1.4. Предпорядок V называется квазицилиндрическим, если Р есть квазицилиндр.

Нетрудно видеть, что квазицилиндрические предпорядки в качестве автоморфизма имеют произвольные смещения, и в этом смысле группа порядковых автоморфизмов может быть весьма обширной. Поэтому интерес представляют предпорядки с группой автоморфизмов, являющейся подгруппой группы Aff(Ап) аффинных биекций Ап на себя. Группа Äff(Ап) — это группа преобразований, порождённых аффинной структурой пространства Ап. Следовательно, при изучении предпорядков, удовлетворяющих аксиоме инвариантности Р3 наибольший и естественный интерес представляют предпорядки с группой автоморфизмов Aut(V), содержащейся в Äff(Ап).

Определение 1.5. Предпорядок V называется непрерывно аффинным, если группа его непрерывных порядковых автоморфизмов Autc(V) есть подгруппа группы аффинных биекций Äff(Ап), и аффинным — если Aut(P) с Äff(Ап).

Может быть высказано предположение, что при разумных дополнительных условиях, которым должен удовлетворять предпорядок в Ап, возможны либо аффинные предпорядки, либо квазицилиндрические. Это предположение подтверждает следующая теорема [1].

Теорема А. Пусть предпорядок V в Ап, п ^ 2, удовлетворяет условиям:

1) существует окрестность и точки е такая, что

и П Р П Р- = {е},

где Р-_ = {у : у X е};

2) Р содержит конус с внутренними точками и с вершиной е.

Тогда либо предпорядок V непрерывно аффинный, либо V квазицилиндрический, причём если Р — квазицилиндр Я(Е, 1),...^(Е, 1), то любой непрерывный V-автоморфизм имеет вид

f = ^ О dElh О ... О ¿Ет1т, (1.3)

где /о — аффинная биекция. В формуле (1.3) допустимы любые смещения, которые коммутируют друг с другом.

Аналогичная теорема в случае несвязного предпорядка будет доказана в этой статье (теорема 2.1). Таким образом, если предпорядки, отличные от аффинных и квазицилиндрических существуют, то в случае их связности нарушено либо условие 1) теоремы А, либо условие 2).

Определение 1.6. Контингенцией сопЪ(М,а) множества М в точке а называется конус, образованный всевозможными пределами лучей Ь(а,х), исходящих из а и проходящих через х Е М, х = а при х ^ а.

Если а не является предельной точкой множества М, то полагаем

сопЬ(М, а) = {а}.

Очевидно, что контингенция соп1(М,а) является замкнутым множеством и

сопЬ(М, а) = сопЬ(М, а).

Если V — предпорядок в Ап, то {сопЬ(Рх,х) : х Е Ап} задаёт предпорядок в Ап, обозначаемый далее через соп1(Р).

Теорема Б [1,6]. Если V — замкнутый предпорядок, то любой непрерывный V-автоморфизм является соп1(Р)-автоморфизмом.

Пусть

ехЬ(Рх) = У Ь(х,у).

уеРх

Множество ех1(Рх) — выпуклый конус с вершиной х (см. [4, лемма 2]). Предпорядок {ех1(Рх) : х Е Ап} обозначаем через ехЬ(Р). Предложение 1.1. Если V — предпорядок в Ап, п ^ 2, то

сопЪ(Р, е) с ~Р С ехг(Р).

Доказательство см. [1].

Будем говорить, что конус К имеет острую вершину е, если К не содержит целиком никакой прямой. Выпуклый конус К с острой вершиной е называем строго выпуклым.

В пространстве Ап вводим естественную евклидову метрику, которую обозначаем как 1х — у1. Открытый шар с центром х и радиусом г > 0 обозначается через В(х,г).

Предложение 1.2. Если V — связный предпорядок в Ап и соп1(Р,е) имеет острую вершину, то существуют строго выпуклый замкнутый конус К с вершиной е и окрестность и точки е такие, что

1) Р П и С К;

2) сопг(Р,е) \ {е} С гпЪ(К).

Доказательство. Утверждение 2) очевидно. Докажем 1). Пусть К — конус, удовлетворяющий утверждению 2) предложения 1.2. Предположим, что требуемой окрестности и не существует. Для любого номера т можно найти точку

хт Е Р П В(е, 1/т) П (Ап \ К), хт = е.

Из последовательности {хт} можно выбрать подпоследовательность {хтк} такую, что

^ L(e, хтк) У L,

где Ь луч, исходящий из е. Но Ь(е,хтк) С Ап \ К. Поэтому Ь не входит в сопЬ(Р,е), что противоречит самому определению контингенции. Предложение 1.2 доказано.

2. Порядковые автоморфизмы несвязного предпорядка

Наша ближайшая цель — изучить группу непрерывных автоморфизмов несвязного предпорядка. В этом параграфе мы покажем, как несвязный пред-порядок может быть сведён к случаю связного, теория которого изложена в статьях А.Д. Александрова [1] и А.В. Левичева [6].

Далее будем предполагать, что V = {Рх : х е Ап} — несвязный предпорядок. Тогда можно ввести следующее обозначение:

Ях Рх \

Ясно, X еЯх.

Определение 2.1. Предпорядок V = {Рх : х е Ап} называется линейчатым, если существует луч Ь = Ь(е,х0), х0 = е такой, что для любой точки у е Ях имеем Ьу С Рх.

Очевидно, Ь С ехЬ(Р), и если V — линейчатый относительно луча Ь, то предпорядок V — также линейчатый по отношению к этому лучу, где

V = {Рх : X е

Если V — предпорядок линейчатый по отношению к лучу Ь, то будем говорить для краткости об Ь-линейчатом предпорядке V.

Определение 2.2. Предпорядок линейчатый по отношению к лучам Ь(е,х\), ...,Ь(е,Хк), где Хг = е (% = 1,...,к), к ^ п, находящимся в общем положении, называется к-линейчатым.

Предложение 2.1. Если предпорядок V в Ап п-линейчатый, то гпЪ(Р) =

Положим

а(Т) = {а(Рх) : х е

где

°(Рх) = П ЯУ.

хеЯу

Лемма 2.1. а(Р) — предпорядок в Ап. Если V — Ь-линейчатый предпорядок, то а(Р) — Ь-линейчатый связный предпорядок.

Доказательство. Пусть х0 Е а(Р). Тогда для всех у таких, что е Е , имеем х0 Е Qy. Так как V — предпорядок, то РХ0 С Qy или QX0 с Qy. Но в таком случае, если

ж Е а(РХ0) = р| Я,,

то х Е Цг при любом ^ таком, что х0 Е . Но если е Е , то х0 Е . Поэтому х Е Qy при любом у, как только выполняется условие е Е Qy, то есть

ж Е Р ЯУ = а(Р).

Иными словами, показано, что о(РХ0) с и(Р).

Следовательно, для а(Т) выполнены аксиомы Р1, Р2.

Пусть V — ¿-линейчатый предпорядок. Тогда для любой у Е Qx имеем Ьу с Qx. Возьмём г Е а(Р). Для любой х такой, что е Е точка г должна лежать в Qx. Поэтому Ьх с Qx, то есть Ьх с а(Р). Следовательно, предпорядок а(Т) — ¿-линейчатый.

Лемма 2.1 доказана. ■

Лемма 2.2. Если V — п-линейчатый предпорядок в Ап, то соп1(а(Р),е) содержит внутренние точки. Обратно, если Ш(соп1(а(Р),е)) = 0, то V — п-линейчатый предпорядок; если а(Р) — связный предпорядок, то V — линейчатый.

Доказательство. Если V есть ¿¿-линейчатый (г = 1,...,п), то Ьг с а(Р) (г = 1,...,п).

Значит, сопЬ(а(Р),е) Э Ьг (г = 1,...,п). Но тогда гпЪ(соп1(а(Р),е)) = 0, ибо лучи Ь1,...,Ьп находятся в общем положении.

Обратно, если т1(сопЬ(а(Р),е)) = 0, то существуют п лучей Ь1,...,Ьп в общем положении, Ьг с сопЬ(а(Р),е) (г = 1,...,п). Имеем в силу предложения 1.1

Ц с а(Р) = р| ду с П Яу,

У

т. е. Ьг с для любой у такой, что е Е Qy. Пусть Ь — перенос, переводящий у в е. Тогда

(Ьг)г(е) с д^у) = ф

для любой точки Ь(е) Е Q. Отсюда заключаем, что для любой х Е Q

(Ьг)х с Q,

т. е. V — ¿¿-линейчатый (г = 1,...,п).

Лемма 2.2 доказана. ■

Следствие 2.1. Для замкнутого несвязного предпорядка V п-линей-чатость эквивалентна связности предпорядка а(Р) и наличию внутренних точек у его контингенции.

Следующая аксиома, налагаемая на предпорядок V, называется слабой аксиомой Эйнштейна:

Р4Ш. Для любых х,у е Ап, если у е Рх, то Рх П Р" ограничено.

Здесь Р- = {у е Ап : х е Ру}.

Предложение 2.2. Предпорядок, удовлетворяющий слабой аксиоме Эйнштейна, является порядком.

Доказательство. Пусть предпорядок V не является порядком. Тогда существует а = е такая, что Р = Ра, т. е. е — а и а — е. Но если Ь — перенос, переводящий в , то

е — а, Ь(е) = а — Ь(а), Ь(а) — Ь(Ь(а)), ...,е — £ о .... о Ь(а) = ат,...

т-раз

С другой стороны, а — е влечёт Ь(а) — Ь(е) = а — е, Ь(Ь(а)) — Ь(а) — е,..., и наконец,

ат = £ о о £(а) — е. т-раз

Следовательно, {ат} С Р П Р-. Последовательность {ат} неограниченная, поэтому Р П Р- — неограниченное множество. Получили противоречие с аксиомой Р4ад.

Предложение 2.2 доказано. ■

Следующая теорема была известна А.Д. Александрову, но её доказательство впервые было опубликовано в обзоре [7, § 5].

Теорема В. Если предпорядок V = {Рх : х е Ап} удовлетворяет слабой аксиоме Эйнштейна и является либо открытым, либо замкнутым, но с гпЪ( Р) = то любой порядковый автоморфизм является гомеоморфизмом.

Лемма 2.3. Если предпорядок V удовлетворяет слабой аксиоме Эйнштейна, то соЫ(а(Р), е) — строго выпуклый конус.

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы не верно. Тогда сопЬ(а(Р), е) содержит прямую А. В таком случае в силу предложения 1.1

А С соп1 (а(Р), е) С а(Р) = р| ^ С П &

X X

т. е. А С Ях, если Ях э е. Пусть Ь — перенос и Ь(х) = е.

Тогда

г(\) с ¿Ш = Щх) = я,

т. е. Я содержит прямую X = ^Х). Возьмём хс Е X и т — перенос такой, что т(е) = хс. Множество = Р- \ {е} содержит прямую (т-1 о т-1)(Х). Поэтому

л' с д п (г о г)(о-) = д п о-ты.

Данное включение противоречит ограниченности интервала Q П Q-т(Х0).

Лемма 2.3 доказана. ■

Пример 2.1. Утверждение, обратное утверждению леммы 2.3, не верно. В самом деле, пусть

Р = {(0, 0)}и{(х,у) Е К2 : 2 + |ж| ^ у, |ж| ^ 1}и{(х,у) Е К2 : 3 ^ у, 1 ^ 1x1}.

Это несвязный порядок в К2. Если £ — перенос такой, что 1((0,2)) = (0,0), тогда

°(Р ) = КР) \{(0, -2)},

сопг(а(Р),е) = {(х,у) Е К2 : ^ ^ у}

— конус с острой вершиной (0,0). Однако слабая аксиома Эйнштейна не выполнена для V, ибо Р содержит прямую {(х, 4) : х Е К}.

Теорема 2.1. Пусть V — несвязный п-линейчатый предпорядок в Ап, п ^ 2, такой, что V удовлетворяет слабой аксиоме Эйнштейна. Тогда V — либо непрерывно аффинный порядок, либо квазицилиндрический. Причём, если Р — квазицилиндр Я(Е1,11),..., Я(ЕР, 1Р), то непрерывный V-автоморфизм / имеет вид

/ = /с о ¿1 о ... о <1Р, (2.1)

где ¡о — аффинная биекция, а ¿г есть смещение . При этом допустимы любые смещения и различные ¿г коммутируют. (Мы допускаем, что некоторые 1г — это лучи Ьг.)

Доказательство. Из лемм 2.2, 2.3 и предложения 1.2 следует, что а(Т) есть предпорядок, удовлетворяющий условиям 1), 2) теоремы А. Поэтому, а(Т) либо непрерывно аффинный предпорядок, либо квазицилиндрический. В первом случае получаем, что V — непрерывно аффинный порядок, ибо каждый V-автоморфизм является а(Т)-автоморфизмом. Во втором случае порядок V может оказаться непрерывно аффинным. Но это ещё требуется установить. Важно, что в случае, когда а(Т) — квазицилиндрический порядок, каждый непрерывный V-автоморфизм / имеет вид

f = /с о о ... о Вк,

где /о — аффинная биекция, а А есть &е¡га;. Причём благодаря условию 2) теоремы А

соп1(а(Р),е) = Ь1 х ... х Ьк х К,

где Ьг — луч с началом е, параллельный вектору шг, а плоскости Ег и лучи Ьг расположены так, что Ег натянута на конус К и все Ь^, кроме Ьг.

Пусть О = Их о ...оБь. Каждое Бг сохраняет лучи {Ьгх : х е Ап} и плоскости {Егх : х е Ап}. Поэтому таким же свойством обладает Б.

Теперь можно воспользоваться рассуждениями А.Д. Александрова, приведёнными в пп.6.3-6.8 статьи [1]. Не меняя даже обозначений и повторяя эти рассуждения, мы придём к следующему заключению. Либо Б аффинно, и, следовательно, { аффинно, а V — непрерывно аффинный порядок, либо Р — квазицилиндр и Б есть суперпозиция аффинного преобразования и смещений:

Б = g о di о ... od.

'Vi

где g — аффинное преобразование, di есть dEili или dEiLi•

Тогда для f верна формула (2.1).

Теорема 2.1 доказана. ■

Следствие 2.2. Если V — несвязный открытый или замкнутый п-линейчатый предпорядок, удовлетворяющий слабой аксиоме Эйнштейна, то V — либо аффинный порядок, либо квазицилиндрический. Если же Р — квазицилиндр Q(Ei, Ii), ...,Q(EV, \V), тогда

f = fo odE1l1 o ... o dEplp ,

где f0 — аффинная биекция. Смещения произвольны и коммутируют.

Действительно, следует из теорем 2.1, В и предложения 2.1.

3. Максимально линейчатый предпорядок

Условие п-линейчатости несвязного предпорядка может быть сформулировано следующим образом. Пусть К = {Кх : х Е Аа} — замкнутый с внутренними точками конический1 предпорядок в Ага.

Определение 3.1. Предпорядок V называется К-линейчатым, если для любой х е Q имеем Кх с Q.

Доказывается так же, как лемма 2.2.

Предложение 3.1. Если V есть К-линейчатый предпорядок, то К с а(Р). Обратно, если а(Р) — связный предпорядок, то V есть cont(а(Р))-линейчатый.

Определение 3.2. Несвязный предпорядок V называется максимально линейчатым, если он является ext(V)-линейчатым.

Отметим, что если понятие ^-линейчатого порядка приложить и к теории связного порядка, то максимально линейчатый связный предпорядок — это просто конический предпорядок, то есть в случае связного предпорядка

1То есть кх — конус.

определение 3.2 сводится к изменению названия. В то же время максимально линейчатый несвязный предпорядок может быть достаточно произвольным.

Нашей ближайшей задачей является вычисление группы автоморфизмов максимально линейчатых предпорядков.

Лемма 3.1. Пусть V = {Рх : х е Ап} — предпорядок в Ап и хс е Ш(Р). Тогда существуют точки и,у е Ь(е,хс) и число г > 0 такие, что Ь(и, V) с Ь(е,хс) П Ш(Р), а круговой телесный конус

У Ь(и,т)

с вершиной и и осью Ь(и, V) целиком лежит в Ш(Р).

Доказательство. В [3, пункт (2.2)] показано, что:

1) существует луч L(u, v) С L(e,х0) П int(Р);

2) если В(х0, е) С int(Р), е > 0, и t — перенос, для которого t(e) = х0, то найдётся номер т0 такой, что u = tmo(е), v = tmo+l(e) и

В(tт(е),те) С int(Р),

В(tm+i(e), (т + 1)е) ПВ(tm(e),me) = 0

при т ^ т0, где t = t о ... о t.

m-раз

Пусть 1х0 — el = s, е = as, 0 < а < 1. Центр шара В(tm(x0), (т + 1)е) отстоит от е на расстоянии (т + 1)s. Проведём через луч L(e,х0) двумерную плоскость Е, на которой введём прямоугольные координаты х, у, причём начало координат в точке е, и ось х совпадает с лучом L(e,х0). Пусть

С(т) = В(tт(е),те) П Е

— окружность на Е с центром (те, 0) и радиусом т£. Обозначим через (х(т), у(т)), у(т) > 0, точку пересечения окружностей С(т) и С(т + 1). Покажем, что

( т)

--—- ^ а = const (3.1)

тз + х(т)

при т ^ т0.

Действительно, поместим в точку (тs, 0) начало полярных координат (г,ф). Тогда С(т) задаётся соотношениями г = т£, у — любое, а С(т + 1) — уравнением

г2 — 2гs cos у + s2 = (т + 1)2£2. Подставляя = т , находим

s2 — £2(2т+1)

cosy =-, sin у = —-.

2 т 2 т

Следовательно,

y(m) me sinp

ms + x(m) ms + me cosp 2ms2 + s2 — е2(2т + 1)

у/4a2 — (2a2 + % — %)2 ^2 — 9a4

=-;-^-т\- ^ -= con s t

(1 — a2)(2 + %) " 3

при m ^ max(m0,1) = m0 и достаточно малом a, обеспечивающем неотрицательность числа, стоящего под радикалом.

Итак, (3.1) установлено. Это неравенство означает следующее. Если Л = L((0,0), (x(m0) + m0s, y(m0))), то этот луч лежит в плоскости Е «ниже» точек пересечений

С(m) П С(m +1) П {(х, у) Е Е : у> 0}.

Иначе говоря, если Y с Е — угол с вершиной е и граничными лучами Л и полуосью х > 0, то

Y' = to_.^ot (Y) с У В (to_.^ot (xo),me) ПЕ.

mo-раз rn^rno (m-1)-раз

Вращая луч Y' вокруг оси L(e,х0), получим поверхностный круговой конус С с вершиной и такой, что

К = conv(С) с У В(t о .... о t (x0),me) с int(Р). m>mo (т-1)-раЗ

Лемма 3.1 доказана. ■

Предложение 3.2. Если V = {Рх : х е Ап} — нетривиальный предпорядок в Ап такой, что int(Р) = то ext(Р) = Ап, то есть ext(Р) содержится в полупространстве.

Доказательство. Пусть х0 Е int(Р). Тогда существует г > 0 такое, что В(х0, г) с Р. Предположим, что утверждение предложения не верно, то есть ext(Р) = Ап. Возьмём точку х1 центрально симметричную х0 относительно е. В соответствии с определением ext(Р) и в силу предположения ext(Р) = Ап найдётся точка Е Р такая, что

L(e, z) П В(х1, г) = ty.

В таком случае можно взять точку

х Е В(х0, г) П [L(e, z) U L(z, е)].

По лемме 3.1 существует точка x е L(e,x) и круговой телесный конус К с вершиной x и осью Л С L(e,x) такой, что К С int(Р).

Пусть t — перенос, переводящий е в z. Тогда, так как t(e) = z е Р и К с Р,

то

t(K) CPZ СР

и вообще

Кт = t^ot(К) С PZm С Р, (3.2)

т-раз

где

zm = t o . ... °t(e) е Р. т-раз

Из (3.2) следует, что существует номер т0 и строго возрастающая последовательность чисел {гт}™=1, гт > 0, lim гт = таких, что

В, fm) С Кт+то С Р.

Другими словами, Р = Ап, т. е. предпорядок V тривиальный. Это противоречит условию предложения 3.2.

Предложение 3.2 доказано. ■

Если в предложении 3.2 опустить условие int(Р) = 0, то утверждение предложения 3.2 становится ложным.

Лемма 3.2. Пусть V — несвязный предпорядок в Ап, n ^ 2, int(Р) = 0. Тогда

а(Р) С ext(Р), ext(Р) = Ап, следовательно, а(Р) — нетривиальный предпорядок.

Доказательство. В силу предложения 3.2 ext( Р) содержится в полупространстве, то есть д(ext(Р)) = 0.

Пусть v е гnt(Q) и L0 = L(e, v). Обозначим через у* точку из L0y П dQ, где у е d(ext(Р)), которая обладает тем свойством, что L0y* С Q, причём, если z е L0y П Q таково, что L0z С Q, то L0z С L0y*. Такая точка у* для каждой у е д(еxt( Р)) найдётся в силу леммы 3.1. Следовательно, на д(еxt(Р)) определена функция h(y) = \у — у*\.

Пусть П — двумерная плоскость, проходящая через L0, и L U L2 = П П д(еxt(Р)). Ясно, что Li,L2 — лучи с началом е. Обозначим через к С П полуплоскость, ограниченную прямой Х(е, v) такую, что L С к. Здесь Х(а, Ь) = L(a, b) U L(b, а).

(a) Если x0 е к П (Ага \ ext(Р)), то существует точка w, w = е, для которой е е Qw, но xo е Qw.

Покажем это. Пусть

{xi} = Loxo П L, L- = (\(е, ьг) \ Lz) U {е} (г = 0,1),

где v0 = v, vi Е Li \ {е} — произвольная точка.

Предположим, что функция h : Li ^ [0, неограниченная.

Тогда из леммы 3.1 следует, что h ограничена на каждом отрезке ъ =

[ai,ai+i], где le — ail < le - ai+il щ Е Li (г = 1, 2,...), ai = е. Положим

si = sup h(z) ^ 0. ze п

Существует подпоследовательность {sik} строго возрастающая. Но тогда возможно следующее построение. Если si ^ ^ для i = 1,2,...,ki, то положим ai = Ti U ... U тк1; если Si ^ skl+i для г = ki + 1,..., k2, то a2 = rkl+i U ... U тк2 и т. д.

В результате получаем последовательность отрезков {ai}^=i, для которой имеем

sup h(z) < sup h(z) ( г = 1, 2,...) (3.3)

zeui zeai+i

и

lim sup h(z) =+ж>. (3.4)

zeai

Зададим e > 0 столь малое, что e < lx0 — x-\\. Тогда в силу (3.3), (3.4) найдутся номер iо ^ 1 и точки у, уо, yi) у2 такие, что

VEaio, {Уо, yi} С Loy, У2 Е L-yi, 1 yi — У21 > 2|xi — el

[Уъ у2] СQ, 1 Уо — yi1 = lxo — xi1, 1 Уо — У*1 < 3, Уо Е (У, У*), Уо EQ, где (a, b) = [a, b] \ {a, b}, а также

Ну — У*1 — sup h(z)l <-.

zeaiQ 3

Взяв теперь перенос t так, чтобы Ь(уо) = x0, получаем, что точка w = t(e) удовлетворяет утверждению (а), ибо x0 Et(Q) и е Е t(Q).

Предположим теперь, что функция h ограничена на Li числом ho ^ 0. Если h) < lxо — xil, то поступаем следующим образом.

Берём прямую Л С п, параллельную Li, пересекающую Q и отстоящую от Li (вдоль Lo) на расстоянии Л,о. Тогда найдутся точки a,b ЕЛ такие, что

b Е L— (a = b), la — Ц > le — xi l, [a, b] С Q.

Если теперь — перенос, переводящий a в xi, то точка w = ( ) — искомая, так как e Е t(Q), но x0 Е-t(Q).

Наконец, допустим, что h® ^ x — x1|. Ясно, что h ограничена на каждом луче Liy, где у Е Li.

Если найдётся точка у Е Li такая, что h ограничена на Liy числом hо меньшим, чем x — xil, то возвращаемся по существу к ситуации, рассмотренной выше. Поэтому предположим, что это неверно. Без ограничения общности считаем, что

^ = sup h(z). ze Li

Но в таком случае найдутся точки у0,у\, у2, у3, для которых справедливы соотношения:

Уо еЬ1} ко - уо) < з 1хо -ххI, [уьу2} С Ь0уо,

viе (уo, у*), \у1 — у0*\ <ö\xo — x\, \у2 — yi\ = \xo — x\, уз е liy2,

1

3'

\Уз — У2\ > \xi — el [y2, Уз] с Q.

Взяв теперь перенос t так, что t(y\) = x0, получим искомую точку w = t(e), ибо xo /(Q), e е t([y2, уз]) С t(Q).

Итак, утверждение (a) доказано.

(b) Утверждение леммы справедливо.

В самом деле, предположим противное. Тогда существует точка x0 е и(Р), x0 = е и x0 е/ ext(Р). Возьмём точку v е int(Q) и рассмотрим двумерную плоскость П, проходящую через точки v,e,x0.

Положим П П д(ext(Р)) = Li U L2. Без ограничения общности можно считать, что x0 лежит в полуплоскости к С П, ограниченной прямой Х(е, v) и содержащей луч L .

Тогда в силу пункта (a) найдётся точка w = е, для которой x0 е/Qw, но е е Qw. Это означает, в силу определения а(Р), что x0 е/а(Р). Получаем противоречие с исходным предположением x0 е и(Р).

Лемма 3.2 доказана. ■

Теорема 3.1. Пусть V — максимально линейчатый несвязный пред-порядок и int( Р) = 0. Тогда а(Р) = ext(Р) и, следовательно, Aut(V) С Aut(ext(V)). Обратно, если а(Р) = ext(Р), то V — максимально линейчатый предпорядок.

Доказательство. Из предложения 3.1 имеем е xt( Р) С а(Р), а из леммы 3.2 следует, что а(Р) С ext(Р). Поэтому а(Р) = ext(Р).

Обратно, если а(Р) = ext(Р), то поскольку ext(Р) — замкнутый выпуклый конус, то cont(а(Р),е) = еxt( Р). В силу предложения 3.1 предпорядок V есть е xt (V)-линейчатый.

Теорема 3.1 доказана. ■

Предложение 3.3. Если V — несвязный замкнутый предпорядок с гnt( Р) = 0 и Р С cont(а(Р), е), то V — максимально линейчатый.

Доказательство. Имеем:

Р С cont(а(Р), е) влечет ext(Р) С cont(а(Р), е) С а(Р) в силу предложения 1.1.

По лемме 3.2 а(Р) С ext(Р). Для замкнутого предпорядка V имеем и(Р) = и(Р). Поэтому из предыдущих заключений выводим и(Р) = ext(Р). По теореме 3.1 V = Р — максимально линейчатый предпорядок.

Предложение 3.3 доказано. ■

Теперь нам нужна сильная аксиома Эйнштейна.

P4S. Внешний конус ext(Р) — строго выпуклый.

Предложение 3.4. Если максимально линейчатый несвязный предпорядок V удовлетворяет слабой аксиоме Эйнштейна и int( Р) = 0, то справедлива аксиома P4 .

Доказательство. Из теоремы 3.1 следует а(Р) = ext(Р). Но тогда cont(а(Р),е) = ext( Р). По лемме 2.3 конус cont(а(Р),е) — строго выпуклый. Следовательно, конус ext(Р) также строго выпуклый.

Предложение 3.4 доказано. ■

4. Однородные несвязные предпорядки и их классификация

Пусть V = [Рх : x е Ап}, Рх = {x} U Qx — несвязный предпорядок в Ап, n ^ 2.

Определение 4.1. Несвязный предпорядок V называется однородным, если выполнена следующая аксиома.

P5. (Аксиома однородности.) Стабилизатор Aut(V)е точки е действует тран-зитивно на QQ.

Предложение 4.1. Любой однородный несвязный предпорядок V — либо открытый, либо замкнутый.

Доказательство. Пусть существует точка x0 е dQ nQ и x е dQ — произвольная точка. Тогда существует g е Aut(V)е такой, что д(Р) = Р и g(x0) = x. Так как д(е) = е, и д — биекция, то g(Q) = Q и поэтому x = g(x0) е g(Q) = Q. Итак, если существует точка x0 е dQ П Q, то dQ С Q, т. е. предпорядок V — замкнутый. Если же dQ П Q = 0, то Q — открытое множество. Значит предпорядок V открытый.

Предложение 4.1 доказано. ■

Теорема 4.1. Пусть V — несвязный однородный нетривиальный порядок, удовлетворяющий слабой аксиоме Эйнштейна. Тогда:

1) int(Q) = 0, т. е. предпорядок V — либо открытый, либо замкнутый с внутренними точками;

2) каждый V-автоморфизм является гомеоморфизмом.

Доказательство. Предположим, что утверждение 1) неверно, т. е. гnt(Q) = 0. Тогда дQ = Q. Следовательно, группа Aut(V)е действует транзитивно на Q. Возьмём а е Q. Такая точка существует, ибо порядок V — нетривиальный. Если t — перенос, переводящий е в а, то b = t(a) е Q.

Найдётся V-автоморфизм g е Aut(V)е, для которого g(b) = а. Но а или g(b) ^ Ъ, поэтому в силу монотонности g имеем g(g(b)) ^ g(b) ^ Ъ, и вообще,

gm+l(b) = g(_£(b)_) < g(...g(b)...) = gm(b) ± b. (т+1)-раз т-раз

Последовательность {gm(b)}m=1 бесконечна, ибо с самого начала а = Ь, и поэтому в силу биективности V-автоморфизма g для каждого т gm(b) = gm+1(b).

Далее, для каждого т имеем gm(b) е Р П Р-. Но множество Р П Р- ограничено, ибо порядок V удовлетворяет слабой аксиоме Эйнштейна. Отсюда последовательность {gm(b)} имеет предельную точку. Пусть > 0 столь малое число, что

В(е,е) ПQ = 0, (4.1)

а точки gm(b), gk(b) таковы, что gm(b) ^ gk(b) и

\gm(b) — gk(b)\ <e.

Если t — перенос, переводящий gm(b) в e, то

Р = Т(Рат(Ь)) э t(gk(b)).

Значит t(gk(b)) е В(е, e) ПQ. Это противоречит (4.1).

Итак, утверждение 1) теоремы справедливо. Утверждение 2) вытекает немедленно благодаря теореме В.

Теорема 4.1 доказана. ■

Следствие 4.1. Если V — несвязный нетривиальный однородный замкнутый порядок, удовлетворяющий аксиоме P4W, то Q = int(Q).

Действительно, г nt (Q) = 0 в силу теоремы 4.1. Если x0 е дQ, и существует такое > 0, что

В(x0, е) П int(Q) = 0,

то в силу однородности подобным свойством обладают все точки границы дQ. Но любая точка x1 е n ( Q) \ n ( Q) является граничной. В то же время для любого > 0 имеем В( x1, ) П n ( Q) = 0. Противоречие. ■

Теорема 4.2. Пусть V — несвязный однородный нетривиальный порядок в Ап, n ^ 2, удовлетворяющий слабой аксиоме Эйнштейна и являющийся n-линейчатым. Тогда:

1) порядок V — аффинный, а V — максимально линейчатый аффинный;

2) справедлива сильная аксиома Эйнштейна, причём

еxt(Р) = cont(а(Р), е)

- есть строго выпуклый конус, допускающий аффинную группу G преобразований, действующую транзитивно на n ( x ( Р));

3) множество Q выпуклое и выделяется из конуса ext(Р) гиперплоскостями, отсекающими от ext( Р) конечный объём. При этом группа Aut(V)е является подгруппой группы G.

Таким образом, возможна классификация однородных n-линейчатых несвязных порядков в Ап, n ^ 2, удовлетворяющих аксиоме P4W. Она сводится к классификации однородных строго выпуклых конусов и вычислению группы G. Это сделано в работах Э.Б. Винберга [8,9]. Тогда dР \ {е} есть орбита группы Aut(V)е С G.

Доказательство. (а) Согласно теореме 4.1 Aut(V) = Autc(P). Поэтому в силу теоремы 2.1 порядок V — либо аффинный, либо квазицилиндрический. На основании теоремы 4.1 без ограничения общности можно считать, что V — замкнутый порядок. Тогда по теореме Б каждый V-автоморфизм является cont (<г( Р ))-автоморфизмом.

Следовательно, если f е Aut(V)е, то

f(cont(а(Р), е)) = cont(а(Р), е). (4.2)

Но благодаря лемме 3.2 и теореме 4.1

а(Р) С ext(Р),

поэтому

cont(а(Р), е) С ext(Р).

Предположим, что cont(а(Р),е) не совпадает с ext( Р). Тогда существует точка

x0 е int (ext (Р)) \cont (а(Р), е).

Луч L(e,x0) пересекает dQ в соответствии с определением внешнего конуса. Аналогично, если L(e,x\), x\ = x0, - луч контингенции cont(о(Р),е), то он также пересекает dQ, если x\ е int (cont (а(Р), е))). Пусть

Уо е L(e,xo) П dQ, ух е L(e,xx) ndQ.

В силу однородности порядка V существует f е Aut(V)е такой, что f(yi) = у0. Поэтому, взяв ух е cont(а(Р), е), мы получим, что f(yi) (/cont(а(Р), е). Это противоречит (4.2). Итак, доказано

cont(а(Р), е) = ext(Р). (4.3)

Из (4.3) и предложения 3.1 следует, что V — максимально линейчатый пред-порядок.

По лемме 2.3 соП(а(Р),е) имеет острую вершину. Поэтому (4.3) означает, что для V выполнена сильная аксиома Эйнштейна.

(б) Покажем теперь, что V не может быть квазицилиндрическим порядком. Если Р — квазицилиндр, то Р — квазицилиндр. Поэтому далее будем считать, что Р — замкнутый квазицилиндр и приведём это предположение к противоречию.

Пусть Р — квазицилиндр ((Ех, \х), ...,((ЕР, \р).

Если х0 е д(, а Иг — прямая, проходящая через е и параллельная вектору \г, то множество ИгХ0 П д(( в качестве замкнутых связных компонент может иметь только точки, отрезки, не вырождающиеся в точки, и лучи. Это непосредственное следствие того, что Р = ((Ег, \г) и сильной аксиомы Эйнштейна.

Последнее в данном случае означает, что Р не может содержать прямую ИгХ0. Рассмотрим множество ИгХ0 П д(( (г = 1, ...,р).

Типом точки х0 назовём тройку чисел (т,к, в), каждое из которых является целым неотрицательным числом, и т — это число замкнутых связных компонент семейства множеств ИгХ0 П д(( (г = 1,...,р), содержащих точку х0 и представляющих собой точку, — число замкнутых связных компонент, представляющих собой отрезок, и, наконец, — число замкнутых связных компонент, совпадающих с лучом.

Поскольку группа АЫ (V )е состоит из гомеоморфизмов, то каждый V-автоморфизм $ е АЫ(V)е точку х0 е д(( с типом (т,к, в) переводит в точку /(х0), имеющую тот же самый тип (т,к, в). Действительно, раз Р — квазицилиндр, то

f = ¡0 О ^ О ... О (1ер1р ,

где /о — аффинная биекция. Каждое смещение с1е^ сохраняет каждое из семейств прямых : х е Ап} (] = 1,...,р). Кроме того,

[Я(Е\г )] = ((Ег, \г), (г=1,..., р),

и раз Р = ((Ег, \г), то

<1Еги[(] = ( (г = 1,...,р).

Поэтому

( = Ж) = (к О ^ О ... О ¿Ерхр)(() = Ш). (4.4)

Но аффинный образ квазицилиндра — это квазицилиндр. Отсюда с учётом (4.4) получаем

Ш(Ег) \г )] = (Е, \3),

поскольку Р может быть только одним из квазицилиндров ((Ех, \х),..., ((Ер, \р)

(р ^ п).

Таким образом, ¡0 отображает семейство прямых {ИгХ : х е Аа} на семейство : х е Аа}. Поэтому тип граничной точки инвариантен при V-автоморфизме / е АЫ(V)е.

Покажем, что если Р есть квазицилиндр Q(E1, l^,..., Q(EP, lp), то существуют граничные точки с различными типами.

Если р = 1, то есть Р может быть квазицилиндром только в единственном представлении Q(E1, li), это утверждение очевидно, ибо в данном случае возможны только три типа (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Тип (1,k, s) легко получить в случае любого значения числа р. Для этого нужно взять точку z е int(Р) и провести прямую Niz. Тогда ближайшая к z точка z' Е Niz П dQ реализует тип (1,к, s). Тип (0,к, s) в случае р = 1 существует благодаря непосредственному определению квазицилиндра.

Предположим, что тип (0,к, s) существует у точек х е dQ, если р ^ t. Докажем, что тип (0,к, s) реализуется, если р = t + 1. Для этого назовём точку х0 е dQ особой, если её тип (0, к, s) и она является концом отрезка или началом луча, которые представляют собой те самые замкнутые компоненты связности, с помощью которых определяется тип точки. В случае р = 1, как легко видеть, особые точки существуют.

Предполагаем, что они существуют при р ^ t. Докажем, что они существуют при p = t + 1.

Квазицилиндр Р = Q(EP, lp) имеет вид (см. определение 1.2)

U М3 и (Р ПЕ®),

где Mj — цилиндры, образованные открытыми отрезками, равными и параллельными (как векторы) вектору lp, с концами на гиперплоскостях Ер\Ер+1\ Следовательно, существует точка х0 Е

dQ П Ер\ Здесь

мы учитываем, что

согласно сильной аксиоме Эйнштейна прямая NpX0 не содержится целиком в Q, а Q замкнуто.

Множество Р П Ер^ есть квазицилиндр вида Q(E1, l1), ...,Q(EP-1, lp-1), раз таковым является Р. Но тогда по индукционному предположению существуют особые точки

д(Р П Ер^). Покажем,

что — особая точка для Р. Действительно, проведём прямую Npz. Если сколь угодно близко к точке z на прямой Npz есть внутренняя точка и Е int(Q), то в силу определения квазицилиндра Q(EP, lp) существует цилиндр С С int(Q), и Е С с образуюшими, параллельными lp, одно основание S которого принадлежит плоскости Ер \ Но тогда z

— внутренняя точка (в топологии Ер"1) основания S. Это означает, что z не

(i) (i)

является особой точкой для квазицилиндра Р ПЕрл, ибо S С Р ПЕр.

Итак, на Npz нет сколь угодно близко к z точек из int(Q), т. е. z — особая точка. Тем самым доказано существование при p = t + 1 особых точек, а значит и граничных точек типа (0,к, s). Выше было показано существование точек с типом (1, , ). Существование граничных точек с различным типом противоречит однородности порядка V. Значит, Р не может быть квазицилиндром.

(в) Как доказано только что, Aut (V) С Aff(An). Если z е int (ext (Р)), то L(e, z) П Q = 0. Поэтому Aut(V)е действует транзитивно на лучах

[L(e, z) : z Е int(ext( Р))}.

Если к группе Aut(V)е добавить подобия, то получим группу G аффинных преобразований, сохраняющих семейство {ext(Рх) : x е An} и действующих транзитивно на n ( x ( Р)).

Тем самым окончательно доказано утверждение 2).

(г) Рассмотрим conv(Q). Возьмём точку x0 е d(conv(Q)) П dQ, и опорную гиперплоскость ТХ0 к conv(Q) в точке x0. Если x е dQ — произвольная точка, то существует f е Aut(V)е такой, что f(x0) = x. Так как f аффинно, то

f(conv (Q) = conv (Q),

и f(TXQ) — опорная к conv(Q) гиперплоскость, содержащая точку x. Следовательно, x е d(conv(Q)). Таким образом, в силу произвольности точки x е dQ мы убеждаемся в равенстве

( n Q) = d Q,

т. е. d Q — выпуклая гиперповерхность, а Q — выпуклое тело. Остальные утверждения пункта 3) теоремы очевидны. Теорема 4.2 доказана. ■

5. Физическая интерпретация линейчатости

На первый взгляд, условие линейчатости порядка кажется искусственным и не имеющим физического смысла. Но в действительности под линейчатостью скрывается вполне определённый взгляд на природу причинности.

Если х — причина события у е д((Х, то в случае несвязного порядка V между х и может не существовать промежуточных событий, находящихся в причинно-следственной связи с х, у. Другими словами, воздействие от х передаётся скачком у. Однако для линейчатого порядка V найдётся луч Ьу с началом у, целиком лежащий в (Х. На этом луче лишь счётное число событий {хп}с^'=1 образуют причинно связанную цепочку, начинающуюся с у = хх. Естественно, что все они должны лежать в ( Х.

Почему же остальные точки луча Ьу должны лежать в (Х, как это предполагает условие линейчатости? Ответ очень простой: причина х — это всего лишь толчок, запускающий непрерывный процесс Ьу с началом в точке у. Для непрерывного процесса нет необходимости требовать, чтобы события, его образующие, составляли причинную кривую, любые два сколь угодно близкие события а,Ь которой должны находиться в причинном отношении а < Ъ (или Ь X а).

Поясним сказанное на примере. Если х — взрыв пороха в патроне, находящегося в стволе ружья, а — начало движения пули, вытолкнутой из ствола пороховыми газами, то пуля летит по мировой линии Ьу, и совсем нелепо считать, что эти газы, давно рассеявшиеся, продолжают толкать пулю в далёком от у состоянии а = у, которое она занимает на линии Ьу.

Остаётся понять, почему непрерывный процесс Ьу должен быть прямолинейным лучом? Ответ также незатейливый. Процесс Ьу — это мировая линия

материальной точки (тела), движущейся по инерции. Именно движению по инерции, т. е. состоянию прямолинейного и равномерного движения материальной точки в пространстве или состоянию покоя, отвечают прямолинейные мировые линии в пространстве-времени М. Закон инерции, т. е. первый закон Ньютона, и составляет содержание условия линейчатости порядка V. Другими словами, предполагая выполнение закона инерции и дополняя его принципом причинности в определённой форме, о которой было сказано выше, мы должны требовать выполнение условия линейчатости порядка.

6. Заключение

Автор уверен, что теоремы 2.1 и 4.2 справедливы и без предположения о линейности порядка. Но это ему не удалось доказать с 1980 по 1987 год. Позже такие попытки не предпринимались.

Литература

1. Александров А.Д. Отображения упорядоченных пространств // Труды МИАН. 1972. Т. 128. С. 3-21.

2. Гуц А.К. К основаниям геометрии пространства-времени // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253, № 2. С. 268-271.

3. Гуц А.К. Изотонные отображения несвязно упорядоченного евклидова пространства // Сиб. мат. ж. 1980. Т. 21, № 3. С. 80-88.

4. Гуц А.К. Несвязный порядок в аффинном пространстве и его автоморфизмы // Учёный совет мат. фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 02.12.92, № 3427-В92. 32 с.

5. Гуц А.К. Хроногеометрия: аксиоматическая теория относительности / Изд. 2, испр. и доп. М. : УРСС, 2018. 352 с.

6. Левичев А.В. Связность пересечений и выпуклая оболочка // Кандидат. диссертация. Новосибирск, Институт математики. 1979.

7. Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // УМН. 1982. Т. 37, № 2. С. 39-79.

8. Винберг Э.Б. Теория однородных выпуклых конусов // Труды ММО. 1963. Т. 12. С. 303-358.

9. Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородных конусов // Труды ММО. 1965. Т. 13. С. 56-83.

NON-CONNECTED ORDER IN AFFINE SPACE AND ITS AUTOMORPHISMS

A.K. Guts

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: guts@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University

Abstract. In the works of A.D. Aleksandrov connected preorder in an affine space was studied and its automorphisms were calculated. In this article we explore a non-connected preorder (partial order). Order automorphisms are calculated and the classification of homogeneous non-connected preorders are given. Non-connected order allows one to construct axiomatics of a special theories of relativity based on the concept of causality, not applicable to the phenomena of the microworld.

Keywords: affine space, disconnected order, ordinal automorphisms, axioms, special theory of relativity.

References

1. Aleksandrov A.D. Otobrazheniya uporyadochennykh prostranstv. Trudy MIAN, 1972, vol. 128, pp. 3-21. (in Russian)

2. Guts A.K. K osnovaniyam geometrii prostranstva-vremeni. Doklady AN SSSR, 1980, vol. 253, no. 2, pp. 268-271. (in Russian)

3. Guts A.K. Izotonnye otobrazheniya nesvyazno uporyadochennogo evklidova pros-transtva. Sib. mat. zh., 1980, vol. 21, no. 3, pp. 80-88. (in Russian)

4. Guts A.K. Nesvyaznyi poryadok v affinnom prostranstve i ego avtomorfizmy. Uchenyi sovet mat. fak. OmGU, Dep. v VINITI 02.12.92, no. 3427-B92, 32 p. (in Russian)

5. Guts A.K Khronogeometriya: Aksiomaticheskaya teoriya otnositel'nosti. Izd. 2, ispr. i dop., Moscow, URCC, 2018, 352 p. (in Russian)

6. Levichev A.V. Svyaznost' peresechenii i vypuklaya obolochka. Kandidat. dissertatsiya, Novosibirsk, Institut matematiki, 1979. (in Russian)

7. Guts A.K. Aksiomaticheskaya teoriya otnositel'nosti. UMN, 1982, vol. 37, no. 2, pp. 39-79. (in Russian)

8. Vinberg E.B. Teoriya odnorodnykh vypuklykh konusov. Trudy MMO, 1963, vol. 12, pp. 303-358. (in Russian)

9. Vinberg E.B. Stroenie gruppy avtomorfizmov odnorodnykh konusov. Trudy MMO, 1965, vol. 13, pp. 56-83. (in Russian)

Дата поступления в редакцию: 01.12.2021