CC BY
2НЕСТАЦИОНАРНЫЙ РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛУПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ
А. Л. Бурка, Е.В. Великанов
В работе рассматривается численное решение краевой задачи для радиационно-кондуктивного теплообмена (РКТ) в слое селективно-поглощающей, излучающей и рассеивающей среды.
Проблема совместного переноса тепла теплопроводностью и излучением в настоящее время актуальна во многих практических задачах, в частности при исследовании процесса нагрева и охлаждения стекол, пластмасс, кристаллов.
Спектральный коэффициент объемного поглощения при температуре 7=300 К рассчитывался по экспериментально измеренному спектру пропускания оргстекла [1].
Краевая задача для уравнения энергии в безразмерном виде записывается следующим образом:
20 д 1г> о(1)
(2)
pcL-= —I Л-I---, 0 < £ < 1,т > 0
p дт д£{ д£ J T* д£
дв a0L
-
-Лтi ^Оюв-£=0
* Q„
-в).
д£ Л М '
a L
(3)
ЛТ i лхЩв - Еп(в)Щ> £ =1
* Q.
0&О) = 6о©. (4)
Система уравнений переноса для прямой и обратной интенсивностей записываются
+
(Т) +
dx
+ ~2~ ¡{р(М,М')1+л(x,t) + р(м,-м')!~л(x-t) , (5)
2 t=o
шл -
t-Л-Р,!- = -Кл1л(Т) -dx
1
\{p(-t,t)1++ (x,t) + p(-t,-t)1-(x,-t))dt ,
0<x<L
л(°,M) = (1 - Кло)1рл(Т0) + кЛ01л (0,-t - +
1л (L,-t) = (1 - Ял1)1рл(Т1) + Л1* (L t
Здесь Ел1 = 1ль(Т); t = |cos ф|, Ф - угол между лучом и положительным направлением
2
оси x, 0 <t<1;
2 Ас:
1 ль(Т) =
0
2,5 n л
exp(hc0 /(nXkT)) - 1
кл -спектральный коэффициент объемного
поглощения материала для частоты ал -спектральный коэффициент объемного рассеяния; рл - спектральный коэффициент ослабления (рх =кл+ол), р - сферическая инди-катрисса рассеяния, п - показатель преломления; ср - удельная теплоемкость; р - плотность среды; Л - коэффициент теплопроводности; £ - толщина слоя; 7, 7* - температуры внешней среды и внешних излучателей; I/ -спектральные интенсивности излучения в положительном и отрицательном направлениях оси х; 1^(7) - функция Планка; Ом - плотности падающих потоков; Ем - плотности собственного излучения; £м - степени черноты; ^ -коэффициенты отражения; Ц - спектральные области непрозрачности граничных поверхностей; а, - коэффициенты конвективной теплоотдачи на границах; =0, 1.
0
Используя замену U =
0
задача перепишется в виде:
0- U = F(0),
д£
L дE
дв
где F (в) =--+ R--J Л(в)dz,
T* д£
дт
G(£,z) =
с использованием функции Грина
ch(1 -£)ch(z)/ sh(1), 0 < z <£
- ch(£)ch(1 - z)/ sh(1), £< z < 1 ,
являющейся решением однородной краевой задачи [2].
д G (£, z)
дz
2
- G(£, z) = S(£, z), 0 <£, z < 1;
с граничными условиями
в
0
t=0
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛУПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ
дв
дъ дв
дг
= 0, г = 0;
= 0, г = 1;
где 5(§, ^) - функция Дирака; начально-
краевая задача (1)-(4) сводится к нелинейному интегральному уравнению относительно искомой безразмерной температуры 9(§, т) , которое имеет вид
9 1 п\
1Л(9)0Ъ = ?0в(§,0) - д в(§,1) + |F(9, г,г)в(§, , (7)
0
0
а0 Ь
здесь д0 = -°^(0(0,г) -90) -
0
а^
Чг = 1 (9] -9(1, т)) +
а
л
[б,1(9Г) -£„(9)]^ ,
а 1
Щ,Г)=Щ,Г)/Г.; в*=Т*Т; 6(£0)=-сИ(1-9/зИ(1); в(£1)=-сЬ(9/зЬ(1); ^=х/1; в=Т/Т**; ы=1/(ЛТ); Г*=1}рср; ¡=0, 1;
Т* - характерная температура.
Интенсивности излучения, которые определяются из решения краевой задачи (5), (6) для уравнения переноса излучения, имеют вид:
Г ь§ —
I,(§,-)=1 П(0,-) «(ЭД+
о, ь § —у
ь г -у { I '
—--1 г - 1 р(м„)1л(у, -)ФФ I-г
2 - у =
I, (§,--) =
I, (1,--) + — | г - I, (Т)0у
(8)
-
+ ~Т~ 1 г - I р(М0) 1,(у. ц'Уц'ау
2 - у = § „'-=-!
С использованием соотношений (6), (8) из решения системы алгебраических уравнений определяются граничные значения ин-тенсивностей
, -М.
I + (0, м) = 1 Ее,Iи (0) + я,0^1 и (1)г - +
т 1
+ ^ 1 Ipv (г)
--( 2 —
-(2-г)
Оъ +
1 -вь, 1
+ \ я,0 1 г - 1 Р-У,^, -')0-'Оъ +
2- I /=0 1
+ Я,0 Я, 1 г
1 рСмУ,^,I [/Д
+ 1 I, (г) - 0
--(1-г
+
Г !• —(1-ъ) ¡.
+ -2-1 1 г - 1 р(Мс)!д(+
2- V г=0 -'=-1
}• -в-ь(Ъ+1) !• I 1
+ Я,01 г - 1 р(—)!,(г,-)0-сЪ I ^/Д,
Ъ=0 -'=-1 / ^
где £,о=1-^,о; £,1=1-Я,1; 0=1-
В [3] показано, что дЕ =
дг
= 1 т, [Ыхь (г) - в, (2)]Ок ■
где
в, (г) = 2п 1 (I + (г, -) +1, (г,--))0-
-=0
Таким образом, задача о РКТ (1)-(6) в плоском слое селективно-поглощающей, излучающей и рассеивающей среды сводится к решению итерационным методом [4] нелинейного интегрального уравнения (7) относительно искомой безразмерной температуры в£,т).
Интегралы (7), (8) вычислялись по квадратурным формулам Гаусса с 20 узлами, производная д9 / дт аппроксимировалась конечно-разностным отношением.
Прямая и обратная составляющая интенсивности излучения находились поточечным последовательным методом Гаусса-Зейделя.
Для каждого момента времени рассчитывался профиль температуры.
Численные расчеты, для модельной задачи, проводились при следующих теплофи-зических и оптических характеристиках: Тн=293 К; Л - переменная при этом интервалу Т = 91,91 — 674,02 (К) соответствовал Л= 0,64 — 1,79 (Вт(м2*К)); Ср=1,73103 Дж/(кгК); р=1,1103 кг/м3, Т*=403 К, п=1,5.
По формулам, приведенным в работе [6], рассчитаны коэффициент теплоотдачи а0 и температура внешней среды Т0, которые изменяется следующим образом: в интервале 1000 — 1350 сек. значения температуры монотонно возрастает от 5 до 130 С0, а в интервале 1350 — 1800 сек, 130 С0.
На границе Т1=293 К, а1=5 Вт/(м2К). Внутри слоя учитывалось переизлучение, а на его поверхностях — собственное излучение и конвективные потоки тепла. При этом граничные условия (2), (3) принимают вид
I, (1,--) Ч е^Т, (1) + ЯЛ18Л0и (0)г - +
+ Я,0Я»г "
+
+
+ «,0 Якг "
Р,ь
1 ГА
, = 0
А.Л. БУРКА, Е.Л. ВЕЛИКАНОВ
= а0(T-V + J SX0EX0x=0 д Q0
Л1 = ai(Ti-T)- j enEn(T)dX- x=L
Q
В результате численного счета были получены следующие результаты.
Рис.1
110 100 90 80 70 60 50 40 30 20
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
Рис.2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис.3
На рис.1 и рис.2 представлены температурные распределения, где указаны спектральные коэффициенты объемного рассеяния (индекс X не прописан), при этом на всех трех графиках сплошные линии — 1000 сек. от начала нагрева, штриховые — 1200 сек., пунктирная — 1800 сек. При этом на рис.1 Rx0=0, Rx1=1, на рис.2 Rx0=1, Rx1=0.
На рис.3 результирующие потоки излучения и RX0=0, RX1=1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бурка А.Л., Рубцов Н.А., Ступнин В.П. Теоретическое и экспериментальное исследование режимов нагрева органического стекла // Материалы VI Всесоюз. конф. по тепломассообмену «Тепломассообмен-VI». Минск: Ин-т тепло- и мас-сообмена, 1980. -Т.2. -С. 132-137.
2. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
3. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен. М.: Мир, 1976
4. Канторович Л. В. О методе Ньютона // Тр. / АН СССР. Мат. ин-т. 1949. -Т. 28. -С. 135-139.
5. Tauton M.A. Engineering problems associated with supersonic transport aircraft // Aircraft Engng., 1963. -V. 35, N 11. -P. 326-336.
6. Авдуевский В.С., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1975.
T, C
о=10.0
