Нестационарные режимы движения статически неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА С АВТОБАЛАНСИРОВОЧНЫМ МЕХАНИЗМОМ

B. Г. Быков

C.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

В 1932 году американский инженер Сирл [1] предложил шаровой автобалансировоч-ный механизм (АБМ) для уравновешивания роторов с вертикальной осью вращения. Сегодня подобные устройства широко применяются в разнообразных роторных машинах, что мотивирует интерес к теоретическому исследованию проблем автоматической балансировки. В [2] построены математические модели и найдены необходимые условия работы автобалансира для ротора в виде неуравновешенного диска, закрепленного на невесомом валу, а также для гибкого ротора с распределенной массой. В [3] проведено исследование устойчивости и динамического поведения АБМ на основе модели ротора Джеффкотта, а в [4] аналогичные результаты получены на основе модели ротора Стодолы—Грина. В [5] и [6] аналитически исследованы синхронные и асинхронные режимы движения автобалансира для статически и динамически неуравновешенного ротора. В [7] устойчивость стационарных режимов статически неуравновешенного ротора с АБМ анализируется путем численного бифуркационного анализа с использованием специализированного пакета, а в [8] рассмотрены процессы установления сбалансированного режима при постоянной угловой скорости ротора.

Настоящая работа является продолжением статьи [9], где для простейшей модели статически неуравновешенного ротора (модель Джеффкотта) с учетом взаимодействия с шариковым АБМ получены условия существования и устойчивости стационарных режимов. Выведенные в [9] уравнения приведены к комплексной форме, позволяющей более просто получить выражения для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ) несбалансированных стационарных режимов. Численно исследованы различные режимы прохождения ротора с АБМ через критическую скорость. Исследовано влияние вязкого трения в АБМ на процесс установления сбалансированного стационарного режима.

1. Механическая модель ротора с АБМ. Рассматривается модель статически неуравновешенного ротора в виде жесткого диска, закрепленного посередине невесомого вала, вращающегося в шарнирных опорах Oi и O2 (рис. 1). Ротор оснащен шариковым автобалансировочным механизмом, представляющим собой закрепленную на диске круговую полость, заполненную вязкой жидкостью, в которой могут свободно передвигаться n балансировочных шариков одинаковой массы. Полагаем, что движение центра масс диска (точки G) и балансировочных шариков происходит в горизонтальной плоскости, перпендикулярной оси O1O2, при этом расстояние между шариками и геометрическим центром диска (точкой C) считаем постоянным и равным г.

Обозначим через mo —массу диска, ш\ —массу одного шарика АБМ, Iq — момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку G перпендикулярно плоскости диска, s = |CG| —статический эксцентриситет, с — коэффициент упругости вала,

© В. Г. Быков, 2010

Рис. 1.

di,d,2,d,3 —коэффициенты диссипации, учитывающие потери энергии, соответственно, при колебаниях диска, движении шариков АБМ и вращении вала, Мвр — внешний вращающий момент, приложенный к валу.

Запишем безразмерные уравнения движения ротора [9]:

П

(1 + n^)x + 5\x + X = £ (é2 cos в + ¿ sin в^ + COS фк + фк sin фк ),

к=1

(1 + n^)y + ¿1У + y = £ (в2 sin в - ecos в) + (фк sin фк - фк cos фк ),

k=1

(1)

je в + ¿3в — S2 ^3 (фк — в) = M + £ (X sin в — y cos в),

к=1

^ ^фк + ¿2(95к - 0) = м(Хв1пфк - у^фк), к = 1,... ,п.

В системе (1) точка обозначает производную по безразмерному времени # = Ш, где П = у/с/то; ж = Лу?’, у = У/г— безразмерные координаты точки С; 0 — угол поворота ротора; фк = 0 + фк', Фк —углы отклонения балансировочных шариков в плоскости диска (рис. 1). Остальные безразмерные параметры имеют следующий смысл:

то в ,1а + то в2

£=

mi

¿1 =

di

у/сто'

s

r ’ ¿2 =

je = d2

mor2

¿3 =

d3

дУсто'Г2 ’ у/сто г2

Вводя новую переменную г = ж + гу, представим систему (1) в комплексной форме:

(1 + n^)z + ¿1¿ + z — £(в2 — iO)ei® + M 53 (ф^к — ъфк)ё

к=1

П

je в + ¿зв — ¿2 X) (ф к — в) = M + £lm[¿e-ie ], к=1

фк + ¿2(95к — в) = —Mlm[ze-*Vfc], к = 1,..., п.

2. Стационарные режимы движения при вращении ротора с постоянной угловой скоростью. Предположим, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью в = w. Для исследования стационарных режимов движения ротора, при которых расстояние |OC| = const и углы ф* = const, удобно перейти к системе координат, вращающейся с угловой скоростью w вокруг оси OZ. Обозначим через z комплексную координату во вращающейся системе координат. Связь между старыми и новыми переменными выражается следующими соотношениями:

Подставляя соотношения (3) в уравнения (2), получим автономные уравнения движения во вращающейся системе координат:

Заменяя в (4) 5 = аеіф и полагая значения всех производных от обобщенных координат 5 и фк равными нулю, приходим к уравнениям, описывающим стационарные режимы движения ротора:

Стационарный режим движения ротора, при котором геометрический центр диска— точка С — лежит на оси О1О2, назовем сбалансированным, или режимом типа С. Подставляя в уравнения (5) а = 0, получаем

Уравнения (6) при п > 2 имеют бесконечное множество решений. При п =1 единственное решение ф = п существует только при выполнении условия Ц = £. При п = 2 из уравнений (6) находим формулы для углов отклонения балансировочных шариков:

Введем новый безразмерный параметр а = 2^,/е и назовем его балансировочным коэффициентом. Из формул (7) следует, что сбалансированный режим может существовать тогда, когда значение балансировочного коэффициется больше или равно единице.

Полагая в уравнениях (5) п =2 и а = 0, получаем уравнения описывающие стационарные несбалансированные режимы движения ротора:

z = zeiwi, z = (z + i zw)eiwi, z = (z + 2i zw — гш2)е!Ші.

(3)

(1 + n^)z + (¿1 + 2i(1 + n^)w) z + (1 + i#iw — (1 + n^,)w2) z 2

(4)

k=i

„ ^фк + $2'Фк = — Я-Im [(z + 2iwz — w2z)e-i^fc] , k = 1,..., n.

(5)

n

n

(6)

фі = —ф2 = arccos(—є/2^).

(7)

аеіф (1 + iJiw — (1 + 2M)w2) = w2 (є + ^(e^1 + e^2 )) , sin(^ — фк) =0, k =1, 2.

(8)

Из двух последних уравнений системы (7) следует, что либо Ф2 = Фі = Ф, либо Ф2 = Фі = Ф — п, т. е. при стационарном режиме движения ротора балансировочные шарики лежат на одной прямой с точками О и С. При этом возможны три типа конфигурации шариков на диске. Первый тип (назовем его для краткости режимом НС1) соответствует случаю, когда балансировочные шарики располагаются дальше от точки О чем точка С. Второй тип (режим НС2) возникает, когда шарики находятся ближе к точке О чем точка С. И, наконец, возможен еще вариант (режим НС3), когда Ф2 = Фі + п, т. е. шарики располагаются на противоположных концах диска. Наглядное представление о стационарных режимах дает табл. 1. Отметим, что как простейший анализ действия на шарики центробежных сил ([10]), так и строгий математический анализ [9], показывают, что стационарные режимы НС2 и НС3 неустойчивы, а значит нереализуемы на практике.

Таблица 1. Типы стационарных режимов

Тип режима Стационарное решение Расположение шариков

С 'ф\ = — '¡/>2 = arccos( — 1/сг) „ Bi V w?\ J —V

НС1 'Ф1 = 'Фз = ф, а = а*(ш), ф = ф*(ш) О / С \в! "У /в2

НС2 -е- to 1 3 в\ у

НСЗ І>2 = 'Ф1 + тг в,/ с \в

Рассмотрим режим НС1. Из первого уравнения системы (7) имеем

е1Ф =_______________—________________. (9)

о(1 — (1 + 2yi i)uj2 + i5\uj) —

Далее, из условия |егф | = 1 получаем квадратное уравнение относительно амплитуды а

(а2 + ß2)a2 — 2 ааеи^а + е2^4(а2 — 1) = 0, (10)

где а = 1 —(1+2^)w2, ß = ¿1^. Корни уравнения (10) дают выражение для стационарной АЧХ: _______________________

* 2сг«М ± у/а2{и) + /32М(1 - а2)

“ М ='" ------------a?M+F-М----------------' <П)

Определив величину a*(w), ФЧХ найдем из уравнения (9):

, (а(ш)а*(ш) \

ф{ш) = arccos ( ----¡5-----а J . (12)

Рис. 2. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов.

На рис. 2 для значений безразмерных параметров є = 0.1, ¿і = 0.14 представлены АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа НС1, рассчитанные для трех значений балансировочного коэффициента. При а < 1 масса шариков недостаточна для балансировки ротора, поэтому режим НС1 существует во всей области частот. Случай а =1 определяет границу существования сбалансированного стационарного режима. При а > 1 несбалансированный режим существует только в докритической области частот, или,

более точно, и> < w*, где = ^1 + 2/1 + <5i2(сг2 — 1) — 5\\/а2 — 1^ /а/1 + 2/х. Пунктиром показаны неустойчивые ветви АЧХ и ФЧХ ([9]).

3. Нестационарное прохождение через критическую скорость при вращении ротора с постоянным угловым ускорением. Результаты расчетов нестационарного прохождения через критическую скорость ротора с АБМ, полученные в результате численного интегрирования системы (1), представлены на рис. 3-5. Во всех расчетах принимался линейный закон изменения угловой скорости ротора:

w(t) = Ai,

т =

A = const.

На рис. 3 (а,Ь,о) показаны графики амплитудных кривых и углов отклонения балансировочных шариков, рассчитанные при различных значениях параметра А для случая

о.

Ф1, Ф 2

Ф1, Ф 2

b) X =0.01

о.

Ф1, Ф 2

с) А, =0.1

Рис. 3. Прохождение через резонанс ротора с АБМ в случае а < 1.

а а

0.4 0.4 0.4

см о /| /1 0.2 11 1

У 1 1_^= V }\ Л/

Ф1, Ф 2

0.5

Ф1, Ф 2

10

Ф1, Ф 2

Ф1, Ф 2

Ь) А, =0.01

с) А, =0.1

Рис. 4. Прохождение через резонанс ротора с АБМ в случае <г =1.

0 .

Ф1, Ф 2

Ф1, Ф 2

а) А =0.001 Ь) А =0.01 с) А =0.1

Рис. 5. Прохождение через резонанс ротора с АБМ в случае <г = 2.

а = 0.5, т. е. когда масса шариков недостаточна для балансировки. Пунктиром отмечена стационарная АЧХ. Анализ графиков обнаруживает интересную особенность ротора с АБМ: максимальная амплитуда колебаний ротора при «медленном» (Л ^ 1) нестационарном переходе через критическую скорость превышает максимальную амплитуду стационарной АЧХ. Это явление связано с тем, что в резонансной области балансировочные шарики не остаются в покое, а начинают двигаться, создавая дополнительное инерционное возмущение для ротора.

На рис. 4 представлены результаты расчетов для случая а = 1, т. е. когда масса шариков достаточна для балансировки ротора. Графики демонстрируют, что в закри-тической области устанавливается сбалансированный режим, но при этом минимальное значение угловой скорости вращения ротора, при которой наступает балансировка, существенно зависит от величины углового ускорения ротора. С ростом углового ускорения полная балансировка наступает при более высоких угловых скоростях вращения.

На рис. 5 приведены результаты расчетов для случая, когда а = 2. Отметим, что в последних двух случаях максимумы амплитудных кривых при нестационарном ре-

Ф1, Ф 2

) .

Ф1, Ф 2

) .

ф г, ф 2

- 40 л

а) 82=3.5 b) ô2=0.7

Рис. 6. Влияние вязкого трения в АБМ (<г = 2).

с) 82=0.07

жиме, превышают максимум амплитуды стационарного режима даже в случае относительно «быстрого» (А=0.1) прохождения скорости через критическое значение. Отсюда можно сделать вывод о том, что максимальная амплитуда отклонения ротора при нестационарном переходе скорости через критическое значение существенно зависит не только от углового ускорения вала, но и от массы балансировочных шариков.

Рассмотрим, как влияет на вид амплитудных кривых величина коэффициента вязкого трения в АБМ. На рис. 6 (a,b,c) представлены кривые прохождения скорости через критическое значение, рассчитанные для случая а = 2 для трех значений коэффициента ¿2.

Из графиков видно, что наименьшее значение максимум амплитуды имеет при среднем значении коэффициента трения, т. е. и «слишком большое», и «слишком малое» демпфирование ухудшают режим автобалансировки. В случае достаточно малого коэффициента трения (¿2 < 0.2) при нестационарном прохождении скорости через критическое значение возникает интересное явление быстрого вращения балансировочных шариков. При этом, как видно из рис. 6c, на прецессионные движения ротора накладываются высокочастотные колебания, обусловленные движением шариков. Очевидно, что этот режим нежелателен для балансировки, так как ведет к затягиванию процесса прецессионного движения ротора с большой амплитудой.

Литература

1. Thearle E. L. A new type of dynamic-balancing machine // Transactions of ASME. Vol. 54. N12. 1932. P. 131-141.

2. Детинко Ф. М. Об устойчивости работы автобалансира для динамической балансировки // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. №4, 1959. С. 38-45.

3. Chung J., Ro D. S. Dynamic analysis of an automatic dynamic balancer for rotating mechanisms // Journal of Sound and Vibration. Vol. 228. 1999. P. 1035-1056.

4. Chung J., Jang I. Dynamic response and stability analysis of an automatic ball balancer for a flexible rotor // Journal of Sound and Vibration. Vol. 259. N1. 2003. P. 31-43.

5. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-plane auto-balancing of rigid rotors // Technische Mechanik. Vol. 24. N1. 2004. P. 1-24.

6. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Non-synchronous motions near critical speeds in a singleplane auto-balancing device // Technische Mechanik. Vol. 24. N1. 2004. P. 25-36.

7. Green K., Champneys A. R., Lieven N. J. Bifurcation analysis of an automatic dynamic balancing mechanism for eccentric rotors // Journal of Sound and Vibration. Vol. 291. N 3-5, April 2006. P. 861-881.

8. Green K., Champneys A. R., Friswell M. I. Analysis of the transient response of an automatic balancer for eccentric rotors // International Journal of Mechanical Sciences. Vol. 48. 2006. P. 274293.

9. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалан-сировочным механизмом // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 90-101.

10. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. M., 1960. 580 с.

Статья поступила в редакцию 6 апреля 2010 г.