МЕХАНИКА
УДК 531.36:534.013
АВТОМАТИЧЕСКАЯ БАЛАНСИРОВКА ДИСКА НА ГИБКОМ МАССИВНОМ ВАЛУ
В. Г. Быков1, А. Е. Мельников2
1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
Первая теоретическая модель ротора, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством (АБУ), была построена в 1932 году [1]. В дальнейшем во многих работах рассматривались проблемы автоматической балансировки либо жестких роторов [2], либо гибких, но без учета влияния распределенной массы вала [3]. Решена задача о балансировке гибкого ротора с распределенным дисбалансом с помощью набора сосредоточенных грузов, расположенных вдоль осевой линии вала [4]. Исследована динамическая балансировка и устойчивость ротора с распределенным дисбалансом с помощью АБУ, установленных в нескольких сечениях [5].
Построена математическая модель неуравновешенного гибкого ротора с распределенной массой [6] на основе предложенной в [7] методики введения обобщенных лагран-жевых координат, учитывающих формы колебаний упругого тела. В настоящей работе данная методика применяется для построения математической модели гибкого ротора с сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым АБУ. Найдены условия существования и проведено исследование устойчивости сбалансированного стационарного режима. Получены аналитические формулы для амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик несбалансированных стационарных режимов. Проведено сравнение результатов расчетов по данной модели с результатами, полученными в [8] для модели ротора с невесомым валом.
1. Описание модели и вывод уравнений. Рассмотрим ротор в виде тонкого диска, насаженного на гибкий упругий вал круглого сечения с равномерно распределенной массой, вращающийся в шарнирных опорах (рис. 1). Диск считаем абсолютно твердым однородным телом массы т, жестко скрепленным с валом в точке О1 —центре диска.
© В. Г. Быков, А. Е. Мельников, 2011
Неуравновешенность ротора зададим с помощью точечной массы то, закрепленной на диске в точке Д. Обозначим через г о расстояние от центра диска до точки дисбаланса.
Рис. 1. Диск на гибком валу.
Рис. 2. Балансировочные шарики.
Пусть ротор оснащен шаровым АБУ с N балансировочными шариками массы т^, І = 1,...^, которые могут перемещаться в плоскости диска по концентрическим окружностям радиуса г^ с центром в точке 0\. Предполагаем, что шарики движутся внутри трубок, заполненных вязкой жидкостью с коэффициентом сопротивления с]^. Обозначим через 6^ угол поворота І-го шарика (рис. 2).
Введем неподвижную систему координат Охух, начало которой поместим в центр неподвижной шарнирной опоры, а ось Ох направим по оси недеформированного вала, проходящей через центры шарниров. Предполагая, что вал мало отклоняется от неде-формированного положения, будем считать, что проекция центра диска Оі на ось Ох остается неизменной. Обозначим эту проекцию как хо. Подвижную невращающуюся систему координат Оі хі уіхі введем так, чтобы ось Оіхі была направлена по нормали к плоскости диска.
Зададим текущее положение точек осевого сечения вала координатами X(х, і) и У(х,ї) и разложим их по собственным формам колебаний вала без диска, соответствующим условиям шарнирного закрепления:
П , П ,
. V—л . . . кпх т_, . х—л , . . кпх . .
= ^2'хк(1)зт—, 1 (г,і) = ^2ук(і)8,т—, (1)
к=1 к=1
где хк (і) и у к (і) —величины максимального прогиба вала, п — количество рассматриваемых собственных форм, I —длина вала.
Обозначим через V = {хі(і) + іуі(і),Х2(і) +іу2(і) ,...,хп(і)+іуп(і)}Т п-мерный комплексный вектор обобщенных координат вала. Поскольку диск жестко связан с валом, вектор V однозначно определяет положение центра диска и ориентацию его плоскости. Для того чтобы получить полную систему обобщенных координат ротора с АБУ, добавим к вектору V угол 6о, задающий поворот диска, и N углов 6^, задающих текущее положение балансировочных шариков. Число степеней свободы системы равно п + N + 1.
Введем следующие обозначения: а = {аі,а2,...,ап}Т, Ь = {Ьі,Ь2,...,Ьп}Т, где коэффициенты ак = вт(кпхо/1) и Ьк = кп/1 сов(кпхо/1) характеризуют отклонения искривленной оси вала и углы наклона касательной к ней в точке хо для к-й формы колебаний.
Кинетическая Т и потенциальная П энергии, а также диссипативная функция Рэлея Я для ротора без АБУ были выведены в [6]. Для ротора с АБУ имеем
Т = \ + |то + ^2 то^ V + ,]рв20 + ^ т^з^з ~ 21т[уТВу] +
N
+ ^22гзтз6з1т^Те гв°]
з=о
1 1 ( N
п = ^тяутГ22у, Н = - 1(1 \ТV + <10в20 + ^2 ~ ®о)2
2 “ 2 ,
3=1
где Еп — единичная матрица п х п, А = а • ат; В = Ь • Ьт; П2 = diag{ш2, ш\,..., ш2п}; ms = 1/2рБ1 — приведенная масса вала; ш2 = k4п4EJ/(рБ14) —собственные частоты поперечных колебаний вала; р, Б, EJ — плотность, площадь поперечного сечения и изгибная жесткость вала соответственно; 7р, Jt — полярный и транверсальный моменты инерции диска, ! и с!о — коэффициенты сопротивления при изгибе и вращении вала. Запишем уравнения Лагранжа второго рода:
N
(msЕп + J^B + (т + Е тз)А)у + (2^рб0В + ! Еп)у+
3 = 0
N
+ (г.1р60В + msП2)у = Е тзгз(62 —гОз)аегд^,
3=0
.. . . . ,.Т
^р + т0г2)в0 + т0г01гп[\-Те-г9о]&+(10в0+^2 ^(в0-^) = Мв-iJplm.lv Ву],
3=1
тз г2 63 + тз Г3 1ш[ут е-д ]а + 8,3 (63 — 60) =0, ] = 1 . ..М,
(2)
где Ыд — внешний вращающий момент, приложенный к валу.
Предположим, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш. Перейдем к новым переменным w = \е-гшг в системе координат Ох2У2%, вращающейся с угловой скоростью ш вокруг оси Ох. Также введем относительные углы поворота шариков а.3 = 63 — шЬ. После упрощения и перехода к безразмерным переменным получим уравнения ротора с АБУ во вращающейся системе координат:
(Еп + J^B + mA)(W+2^Ш W — ш 2W) + (2iJpШ В + (1Еп)(л¥ + iШW)+
N
+ Е т 3Г3(га.3 — (а3- + ш)2)ае®“3' + П2^^ =0,
3 = 0
0.3 + — 1т[(л¥ + 2ш<к — £>2л¥)Те~г“3']а + =0, 3 = 1... N.
Г3
Безразмерные параметры в уравнениях (3) имеют следующий смысл:
(3)
N
т + Е тз
х ~ ~ п2 иг ~ п2ир з=о _ тз
=—, 2=7, Ъ = Ш\Ъ, Л = 75--1 Л = 75------> т= ----------------> тз = ------,
го I 12тя 12тя тя ms
] ш „ Гз ~ ~ П2 ~ I „
(і =--------------, ш = —, гз = —, сіз =-----т,— Г22 = —ту, В = —гВ.
тя ші ші го тз г2ші ш2 п2
Далее, для большей наглядности, символ «~» над безразмерными параметрами писать не будем.
2. Стационарные режимы движения ротора. Рассмотрим стационарные режимы движения ротора, при которых осевая линия вала и углы, описывающие положение балансировочных шариков, сохраняют постоянное положение во вращающейся системе координат. Для нахождения стационарных режимов положим в системе (З) w = w = 0, oij = a.j =0, w = w* = const, aj = a* = const. В результате получим
уравнения, описывающие стационарных режимы движения ротора:
( n *
(П2 + (id — u)uEn — (Jt + 2Jp)u2B — mu2A w* = u2 E mjrjeiaj
j=o
Im[(wT a)e-i“j ] = 0, j = 1,...,N.
Стационарный режим, при котором осевая линия вала совпадает с осью Oz, назовем сбалансированным, в противном случае — несбалансированным. Особо выделим частный случай, при котором ось вала искривлена, но центр диска лежит на оси Oz. Этот режим назовем псевдосбалансированным.
Рассмотрим сбалансированный режим. Полагая w* = 0, из первого уравнения системы (4) получим
N
J2mj rjeiaj = °. (5)
j=o
Условие (5) означает, что центр тяжести системы, образованной балансировочными шариками и дисбалансом, лежит в точке Oi . Предположим, что все шарики имеют одинаковую массу mi и лежат на одинаковом расстоянии ri от центра диска. В таком случае двух шариков оказывается достаточно, чтобы уравновесить любой дисбаланс, для которого moro < 2miri. При этом «1 = —а* = arccos(—moro/(2miri)). Для системы из более чем двух шариков существует бесконечное количество решений, а для системы с одним шариком решение существует только в случае miri = moro. Далее, для краткости будем обозначать сбалансированный режим как режим С.
Рассмотрим случай псевдосбалансированного режима. Обозначим через p = wTa = p e%e комплексный вектор, определяющий положение центра диска во вращающейся системе координат. Очевидно, что в случае псевдосбалансированного режима должны выполняться два условия: p = 0 и w* = 0. Умножим первое уравнение (4) слева скалярно на wT, получим
|nw*|2 + idu\w*\2 — u2|w*|2 — (Jt + 2Jp)u2|bT w*|2 = 0. (6)
Приравнивая вещественную и мнимую части уравнения (6) нулю, заметим что псевдо-сбалансированный режим может существовать только при d = 0 и только для определенных значений угловой скорости. Поэтому на практике этот режим малоинтересен.
В случае несбалансированного режима имеем p = 0. В этом случае вторую группу уравнений (4) можно представить в виде
p Im[ei(e-j)] = 0, j = 1,...,N.
Данные уравнения выполняется только при условиях в — а** = nSj, где Sj равняется либо 0, либо 1.
Рассмотрим сумму из правой части первого уравнения (4):
NN
'"jr j
mjrjeiaj = m0 + mjrjei(e nSj) = m0(1 + eieа), (Т)
j=o j=i
N
где а = 1/тоо Е тзгзе-іп6і. Так как равняется либо +1, либо —1 для любого і,
з=1
а является вещественным числом. Параметр а назовем балансировочным коэффициентом. Физически балансировочный коэффициент определяет положение центра масс системы шариков на линии, соединяющей текущее положение центра диска с его положением на неискривленном валу.
Рассмотрим три случая, при которых возможны несбалансированные режимы:
1) а > 0 — обозначим как режим НС1,
2) а < 0 — обозначим как режим НС2,
3) а = 0 — обозначим как режим НС3.
Режимы НС1 и НС2 имеют место, когда центр масс балансировочных шариков находится соответственно на большем или меньшем расстоянии от положения центра на неискривленном валу, чем его текущее положение. В режиме НС3 центр масс балансировочных шариков совпадает с текущим положением центра вала.
Подставив (7) в первое уравнение (4), получим
И^* = ы2т0 (1 + еіва) а, (8)
где
И. = Ї72 + ы(ъ$ — ы)Еп — (^ + 2.1р]и>2 В — 'ты2 А.
Для матриц вида И в [6] было доказано что
ат11 ха ( I - + 2.1р)ш2
S'll(l — S22(Jf, + 2 Jp)uj2) + S22(Jt + 2 Jp)u!2
где
T _1 n /sin anz0. sh anzo Л
bn = а Л а —> —5- ---------sin anil — zo)------:--sh anil — z o) ,
n^o 4a3 \ sin an sh an J
a a T * -1u n (cos anzo . ch anzo ,
021 = <bi2 = а Л b —> —tt -----------------sin anil — zq)-------sh anil — zq) , ,
n^oo 4a2 \ sin an sh an J (9)
с vTa-1u П ( cos anzo ch anzo ,
022 = b Л b —> —---------------;----cosan(l — zo) H----- ----------cha:7r(l — zq)
n^o 4a у sin an sh an
a = \/' и)2 — idui.
Выражая из уравнения (8) w* и умножая его скалярно на вектор а, получаем
регв = J2mo (1 + егвa) aTR-1a. (10)
Разрешая уравнение (10) относительно егв, из условия \егв \ = 1 получаем квадратное относительно амплитуды р уравнение
р2 — 2u2moa Re[aTR-1a]p + w4m2(a2 — 1)\aTR-1a\2 = 0, (11)
корни которого имеют вид
р = иГ'то ^<т 11е|атК 1а] ± ^/Пе[атК 1а]2 + (1 — а2) 1т[атК 1а]2^ . (12)
Для определения фазовой характеристики в подставим выражение для р в уравнение (10): ^
р
008 в = Ие
и2т0аТ И. 1а
Амплитуду угловой прецессии ротора ^ТЪ| найдем из уравнения (8):
(13)
X = 1"^Ъ| = ш2ш0 |( 1 + ег/3а) ЪтИ ха| . (14)
Условия существования несбалансированных стационарных режимов, обусловленные положительностью амплитуды р, представлены в таблице.
Условия существования стационарных режимов НС1, НС2 и НС3
Режим Условие существования Количество корней
НС1 0 < а < 1 1
<т=1, Яе[а^ И, ха] > 0 1
а > 1, Яе[а^ И^а] > \/ср- — 1| 1т[а^ К_1а]| 2
НС2 — 1 < а < 0 1
(7 = —1, Яе[а^ И, ха] < 0 1
(7 < —1, Яе[а^ Ы^а] < — 1| 1т[а^ К_1а]| 2
НСЗ <7 = 0 1
На практике могут быть реализованы только стационарные режимы типа НС1, поскольку, как было показано в [8], режимы типа НС2 и НС3 неустойчивы при любых значениях параметров ротора.
Проведем расчеты стационарного режима НС1 для АБУ с двумя шариками при следующих значениях безразмерных параметров: т = 4.74, ш\ = Ш2 = 0.0033, ^1 = 3,2 = 0.0083, ^ = 0.7198, ^ = 1.4393, й = 0.4792, г1 = г2 = 20, и построим графики АЧХ и ФЧХ для случаев симметричного и несимметричного расположения диска.
Рис. 3. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа НС1 для симметричного ротора в окрестности первой критической скорости.
Рис. 4• АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа НС1 для симметричного ротора в окрестности второй и третьей критической скорости.
Рис. 5. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа НС1 для несимметричного ротора.
На рис. 3 и 4 (сплошные кривые) показаны графики амплитуд р и фазовых углов в для стационарных режимов типа НС1, построенные в окрестности первой и в окрестности второй и третьей критических частот. Г рафики рассчитаны для различных значений балансировочного коэффициента а в случае симметричного расположения диска. Отметим, что у симметричного ротора угловая прецессия не наблюдается ни при каких частотах.
Для ротора с несимметрично насаженным на вал диском (го = 0.3) результаты расчетов представлены на рис. 5 (амплитуды р и фазовые углы в) и рис. 6 (амплитуды угловой прецессии х). Из графиков видно, что движение диска в окрестности всех критических частот имеет характер гиперболоидальной прецессии, возникающей вследствие наложения цилиндрической и угловой прецессий. На третьей и далее критических скоростях возмущения амплитуд и фаз аналогичны представленным на рис. 4 в случае симметричного ротора.
В целом, по представленным графикам можно судить о том, что при угловых скоростях, не сильно превышающих первую критическую скорость, модель ротора без учета массы вала, рассмотренная в [8], дает примерно такие же результаты, как и модель с распределенной массой вала. Однако вблизи второй критической скорости и далее результаты расчетов по двум моделям существенно разнятся.
3. Устойчивость сбалансированного режима. Проведем исследование устойчивости стационарных решений системы (3) путем анализа уравнений возмущенного движения. Пусть Дw и Даз-, і = 1, 2,...,Ы, — малые отклонения обобщенных координат от стационарных значений. Подставляя аз = а* + Даз-, w = w* + Дw в уравнения (3), разлагая в ряд по малым отклонениям, пренебрегая малыми второго порядка и учитывая, что w* и а* удовлетворяют системе уравнений (4), получаем линейную систему уравнений в вариациях:
' (Е„ + ^В + тЛ)(Д\^+2*^Дл¥ — ш2Дw) + (2і7ршВ + d En)(ДW + iшДw)+
N
+ тз’з (іДаз- — 2Даз-ш — іш2 Даз )ега* а + П2Дw = 0,
3 = 1
ДауН----Іт[(Дллг+2*сі;Дл¥ — w2Дw+^Cl^2Дa!3w*)Te~г“J ]а+й3Дау =0, j = 1,..., N.
Тз
(15)
Ищем решение (15) в виде Дw = w0eл^ и Да3- = а°еХі. В результате получим ' (Е„ + ІіВ + тЛ)(Л + iш)2w 0 + (2і1ршВ + d Е„)(Л + iш)w0+
N
+ ітзТз (Л + іш)2а°егаї а + П2 w 0 = 0, (^)
3=1
— 1т[((Л + *^)2(л¥°)т + )е~газ]а + (А + й3)Аа° =0, j = 1,..., N.
Тз
Введем обозначение И(Л) = (Е„ + ,1гВ + тЛ)(Л + іш)2 + (2і7ршВ + d Е„)(Л + іш) + П2. Тогда из первого уравнения (16) при условии, что ёе^ЩЛ)] = 0, имеем
а0^ И^1(Л)а. (17)
Поскольку матрица И(Л) имеет ту же форму, что и матрица К из (8) (легко проверить,
что И(0) = И.) , мы можем записать
Тт> —1/л\ ( 1 + 522&В , , ^ 1
“К (Л)а=І5„(1 + В2,кБ)-31!кв+к«) ’
N
2 1 4 ' т3 гз е1аз
—і(Л + іш)2 І ^2 "3’з
з=1
о
w
где к а = т(Л + *ш)2, кв = (ЛЛ +{(^ + 2Jp)w)(A + {ш), а задаются выражениями (9)
при замене а = \/—(А + ш)2 — с1(Х + га>).
Подставив w0 из (17) во вторую группу уравнений (16), получим
И.е
N
(Л+іш)4 І тзтзеі(о'к аз )а0 ) ат И 1(Л)а — ш2е рак
з=1
— (Л + dk )тк Лак = 0
к = \,...,Ы.
(18)
Исследуем устойчивость сбалансированного стационарного режима в случае, когда АБУ имеет два балансировочных шарика одинаковой массы и = d2. Поскольку (18) является системой линейных однородных уравнением относительно а.1 и а°, для существования нетривиального решения необходимо, чтобы определитель ее был равен нулю. Отсюда получаем трансцендентное уравнение для определения Л:
1
(Л + dl)Л
т1(Л + іш)4ат И 1(Л)а
(соя2а2 )2.
(19)
Пусть Ля, в = 0,1,..., — корни характеристического уравнения (19), упорядоченные по возрастанию. При достаточно больших в мы можем упростить уравнение (19), пренебрегая членами порядка 1/Л8, а также учитывая, что гиперболическая часть й— « 1/2. В результате получим
зіп (п У-XI - = соя
(20)
Из уравнения (20) находим приближенные значения корней характеристического уравнения с большим номером в:
Л8 ^—с!/2 ± ш8, (21)
где — приближенные значения критических скоростей высокого порядка для диска на гибком валу [6]:
1+4в 2
2 ± (2 — 4го)
Если коэффициент демпфирования в АБУ d > 0, то из формулы (21) вытекает, что при больших в все Ля имеют отрицательные действительные части. Таким образом, можно констатировать, что устойчивость сбалансированного стационарного режима определяется первыми корнями характеристического уравнения (19).
Далее, ограничимся первыми четырьмя формами колебаний вала без диска и, используя критерий Рауса [8], построим численно диаграммы устойчивости в плоскости безразмерных параметров ^, ш) при фиксированных значениях остальных параметров. Пусть т = 4.74, ш\ = 0.0033, dl = 0.0083, ^ = 0.7198, ,1р = 1.4393.
На рис. 7 представлены двухпараметрические диаграммы устойчивости, рассчитанные для симметричного ротора при трех значениях т\. Области, соответствующие асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима, выделены темным цветом. Штриховой линией показана первая критическая скорость шкр! = 0.4156.
На рис. 8 приведены для сравнения диаграммы устойчивости, полученные для ротора с невесомым валом (а) и с учетом распределенной массы вала (Ь). Отметим, что у
2
Рис. 7. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров ^,ш) для симметричного ротора для трех значений т±: 20, 50, 100.
Рис. 8. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров ш) без учета (а) и с учетом (Ь) массы вала.
Рис. 9. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров ш) для несимметричного ротора.
второй модели, в отличие от первой, появляется область неустойчивости в окрестности второй критической скорости.
На рис. 9 представлены аналогичные диаграммы устойчивости для случая несимметричного расположения диска (г° = 0.3). Диаграммы показывают, что в окрестности критических скоростей сбалансированный стационарный режим неустойчив.
1. Thearle E. L., Schenectady N. Y. A new type of dynamic-balancing machine // Transaction of ASME N54(12). P. 131-141. 1932.
2. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plane Auto-Balancing of Rigid Rotors // Tech-nische Mechanik, 2004. Bd 24. Ht 1. P. 1-24.
3. Chung J., Jang I. Dynamic Response and Stability Analysis of an Automatic Ball Balancer for a Flexible Rotor // Journal of Sound and Vibration, 2003. Vol. 259 (1). P. 31-43.
4. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Изд. АН СССР, 1959. 248 с.
5. Детинко Ф. М. Об устойчивости работы автобалансира для динамической балансировки // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение. 1959. №4. С. 38-45.
6. Быков В. Г., Мельников А. Е. Математическая модель гибкого ротора на основе обобщенных Лагранжевых координат. // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4. 2010. С. 110-118.
7. Зегжда С. А., Юшков М. П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Механика твердого тела. 1999. №4. С. 31-35.
8. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалан-сировочным механизмом // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. Вып. 2. 2006. С. 90-101.
Статья поступила в редакцию 5 января 2011 г.