Автобалансировка жесткого ротора в вязко-упругих ортотропных опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36:62-565

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2

АВТОБАЛАНСИРОВКА ЖЕСТКОГО РОТОРА В ВЯЗКО-УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОПОРАХ

B. Г. Быков

C.-Петербургский государственный университет, доцент, vgbykov@mail.ru

Проблемам автобалансировки жестких роторов, закрепленных в анизотропных упругих опорах, посвящены работы [1—4]. В [1] и [2] на основе разработанного И. И. Блехманом [5] метода прямого разделения движений установлено существование двух зон асимптотической устойчивости сбалансированного режима для симметрично закрепленного, статически неуравновешенного ротора. Аналогичная методика использована в [3] для исследования автобалансировки несимметрично закрепленного ротора. В [4] модель динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплос-костным автобалансировочным устройством, изучается методами теории бифуркации. В настоящей работе для исследования автобалансировки ротора в ортотропных опорах используется метод осреднения.

1. Механическая модель и уравнения движения. Рассмотрим жесткий, динамически симметричный, статически неуравновешенный ротор массы Ы, закрепленный в вертикальных вязко-упругих ортоторопных опорах. Для компенсации статического дисбаланса ротор оснащен одноплоскостным шаровым автобалансировочным устройством (АБУ), представляющим собой заполненную жидкостью кольцевую полость, в которой могут свободно передвигаться п шариков одинаковой массы т. В рамках модели Джеффкотта [6] будем рассматривать движение ротора и балансировочных шариков только в плоскости статического эксцентриситета, т.е. горизонтальной плоскости, проходящей через центр масс ротора О и пересекающей ось ротора в точке С. Статический эксцентриситет ротора СО обозначим через в. Балансировочные шарики будем считать материальными точками, расстояния от которых до оси ротора одинаковы и равны г.

Введем неподвижную систему координат OXYZ, ось Z которой направим вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центры опор, а начало координат выберем так, чтобы оси X и Y лежали в плоскости статического эксцентриситета. Не умаляя общности, будем считать, что оси X и Y направлены вдоль осей эллипса податливости опор. Соответствующие этим осям коэффициенты упругости и демпфирования обозначим через кх, ку и сх, су (рис. 1).

Если АБУ содержит п шариков, а угол поворота ротора в = в(Ь) является заданной функцией времени, то описанная механическая система в силу сделанных допущений имеет п + 2 степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат безразмерные координаты х = Х/г, у = Y/г точки С в неподвижной системе и углы фг (г = 1,.. .,п) отклонения балансировочных шариков В¿, отсчитываемые от прямой СО. Коэффициент вязкого демпфирования в АБУ обозначим через сф. Запишем

© В. Г. Быков, 2013

Рис. 1. Жесткий ротор с АБУ в ортотропных опорах.

уравнения Лагранжа второго рода в безразмерном виде:

X + öxX + кхх = —

y + öyy + Ky y = —

1 d2 (1 + n() dr2

1 rf2 (1 + n() dr2

£ cos 9 + ( ^^ cos(9 + фг)

i=1 n

£ sin 9 + U ^^ sin(9 + фг)

s

фг H—~Фг = £ Sin(6» + ?/>?.) — У COS(6» + V7?.) — г = 1, .. ., гг..

(1)

В системе (1) точки обозначают производные по безразмерному времени

V 2(M + nm)

параметры £ = s/r и ^ = m/M считаем малыми, а остальные параметры имеют следующий смысл:

2kx 2ky

к

kx + ky

kx + ky

xy x = (M+ пт)П' y = (M+m?7.)iV

Mr2ü'

ö

к

■Ф

x

3. Стационарные режимы. Рассмотрим вращение ротора с постоянной безразмерной угловой скоростью в = ш = const. В случае ротора без АБУ, т.е. при ц = 0, первые два уравнения системы (1) независимы и имеют частные решения вида

xo = aox cos(wr + фох), yo = aoy sin(wr + фоу), (2)

где

X X

eWX eWX

«о* - , 9 ,, a0y - , (á)

V(Kx - wX)X + S2XWX - W2)2 + S^2

—Sxw — Sy W

tg</>0x =-:—-, tg ф0у =-y—. (4)

Kx — Wx Ky — Wx

Движение ротора, описываемое формулами (2)—(4), имеет характер эллиптической прецессии. На рис. 2 представлены графики стационарных амплитудно- и фазо-частотных характеристик, рассчитанных при следующих значениях безразмерных параметров: е = 0.05, кх = 0.67, ку = 1.33, Sx = Sy = 0.15. Характеристики демонстрируют наличие двух критических частот woi и Wox, которые являются точками экстремума амплитуд aox и аоу. Анализ графиков показывает, что траектория точки C в окрестности woi имеет вид эллипса, вытянутого в направлении оси X, а в окрестности Wox — эллипса, вытянутого вдоль оси Y, при этом в докритической области w < woi имеет место прямая прецессия (угол сдвига фаз фу — фх < п/2), в области woi < w < wox —обратная прецессия (п/2 < фу — фх < п), а в закритической области w > wox — прямая эллиптическая прецессия, стремящаяся с ростом угловой скорости к круговой.

Для исследования стационарных режимов движения ротора с АБУ перейдем в уравнениях (1) к новым переменным £х, пх и £х, пх, удовлетворяющим следующим соотношениям:

x = £х cos wt — пх sin wt, y = £y sin wt + ny cos wt, (5)

X = — £xW sin WT — nxW cos wt, y = £y W cos WT — ny W sin wt. (6)

Новые переменные являются функциями времени, мало меняющимися на протяжении периода одного оборота ротора. Дифференцируя выражения (5) по т и сравнивая результат с (6), имеем

{£х cos wt — nx sin wt = 0, £y sin wt + ny cos wt = 0. В свою очередь, дифференцируя по т выражения (6), имеем

{X = — £xWX cos WT + nxWX sin WT — ¿xW sin WT — nxW cos WT, y = — £y WX sin WT — ny WX cos WT + £y W cos WT — ny W sin WT.

(7)

Подставляя соотношения (5), (6) и (8) в уравнения (1), получаем

(1+ ир) ((¿х + 5х£х)ш + (кх -ш2)^х) вт шт +((Пх + 5х'Пх)и - (кх - ш2)£х) сов шт =

п

- еш2 сов шт — р^^ ((ш + фг )2 С0в(шт + фг) + фг в1п(шт + фг),

г=1

(1+ ир) ^(¿у + ¿у¿у )ш + (ку -ш2)п^ сов шт - ((Пу + 5уПу )ш - (к у -ш2)£у) вт шт =

. .. (9)

еш2 втшт + р ^^((ш + фг)2 сов(шт + фг) - фг вт(шт + фг),

г=1

Фг + — фг = - - МГ]Х) ЙШШГ + (г]х + СОЯ ШТ^ ап(шг +

^(¿у - шпу) сов шт + (г/у + ш£у) вт шт^ сов(шт + фг ), , = 1,..., и.

Разрешив систему уравнений (7), (9) относительно «медленных» переменных ¿х, пх, ¿у, пу и проведя осреднение полученных выражений по времени за период 2п/ш, получим приближенную систему «осредненных уравнений»:

=- ¿.и* - + ^тттм ^ сов -

г=1

1 К ш2 1 ( п \

1 К ш2 п

^ = ■- 2^ " + 20,(1 + пр) ? + 8111 ^ С°8 фг) ' (10)

_ „ I г ^^ / Л , I „/,Л2 ,

г=1

Ку -ш2 1 I 2

, = 1 , . . . , и.

Система уравнений (10), в отличие от исходной системы (1), является автономной и позволяет провести исследование стационарных режимов движения ротора с АБУ.

Полагая в уравнениях (10) значения всех производных равными нулю, получаем систему трансцендентных уравнений, описывающих стационарные режимы:

1 + «м)(^Сж + («ж - W2)^) = М^2 53 SÍn

i=i

n

1 + «мХ^Пж - («ж - ^2)6ж) = -ew2 - Mw2 cos

i=i

n

1 + «м)(£уw£y + («y - w2)%) = Mw2 sin ,

(11)

1 + «м)(^уw^y - («y - w2)Cy) = -ew2 - Mw2 53cos^j,

i=i

Сж + Cy) sin = (пж + Пу) cos =0, i = 1,..., n.

Первые четыре уравнения системы (11) удобно представить в виде двух комплексных уравнений

(1 + - i («ж - w2)(^ - ¿Сж) = - е + м53е^Ч

fc=i

(12)

(1 + «м)(^уw - ¿(«у - w2)(^y - ¿Су) = - е + м£У

w2.

fc=i

Ранее было установлено [7], что ротор в изотропных опорах имеет два типа стационарных режимов — сбалансированный и несбалансированный. Положив в (12) Сж = Су = Пж = Пу = 0, получим уравнение для определения углов отклонения балансировочных шариков в условиях сбалансированного стационарного режима

53 = -

fc=i

М

(13)

которое совпадает с аналогичным выражением для ротора в изотропных опорах. При п = 2 уравнение (13) имеет единственное решение

^io = -^2о = arccos(-е/2м),

(14)

существующее при выполнении условия а = 2^,/е > 1. В случае п > 2, при выполнении условия п^ > £, уравнение (13) будет иметь бесконечное множество решений. Таким образом, можно констатировать, что анизотропность опор не влияет на условия существования сбалансированного стационарного режима.

Для исследования несбалансированных стационарных режимов представим комплексные координаты в виде пж — ¿Сж = ажегфх, пу — ¿Су = ауегфн и разделим первое уравнение (12) на второе. В результате получим соотношение

^ еКФ*-ФУ) = кУ ~ + i5vw ay кж - w2 + i^w'

е

позволяющее найти аналитические выражения для отношения амплитуд эллипсовидной прецессии и разности фаз в зависимости от угловой скорости ротора:

<(ку-со2)2 + (6усо)2 (кх-ш2)2 + (6хш)2'

tg (Фх - Фу )

(кх - Ш2)6у - (Ку - т2)6х

(кх - и2)(к,у - и2) - Зх6уи;2 '

(16)

На рис. 3 соотношения (16) представлены в виде графиков, анализ которых позволяет полностью описать характер эллипсовидной прецессии ротора.

Рис. 3. Несбалансированные стационарные режимы ротора с АБУ.

Критические скорости находим как точки экстремума отношения амплитуд:

- кХ ± Л/М + Ку+ (ку - Кх)2)2 - 4д2х5у

1,2

- 61 + 2(ку - Кх)

В случае, когда 6х = 6у = 6, формула (17) принимает более простой вид

1,2

1 ±1 62 +

(17)

(18)

Из рис. 3 видно, что в докритической области ш < <¿1 имеет место прямая эллиптическая прецессия, причем эллипс вытянут вдоль оси ОХ. В области <1 < ш < <2 разность фаз по модулю превышает п/2, и мы наблюдаем обратную эллиптическую прецессию. С ростом угловой скорости эллипс вытягивается вдоль оси ОУ, превращаясь при ш = 1 в окружность. В закритической области ш > <2 эллиптическая прецессия становится снова прямой, но при этом эллипс вытянут вдоль оси ОУ. Далее с ростом угловой скорости эллипс вытягивается вдоль оси ОХ, стремясь в пределе к окружности.

3. Устойчивость сбалансированного стационарного режима. Исследуем устойчивость сбалансированного стационарного режима в случае, когда АБУ содержит два балансировочных шарика. Пусть Д£х, Дпх,Д£у, Дпу и Дфi (г = 1, 2) — малые отклонения обобщенных координат от стационарных значений, соответствующих сбалансированному режиму. Подставляя выражения

£х = Д£х, Пх = Дпх, Су = Д£у, Пу = Д'Пу, Фi = 'Фм + ДФi

в уравнения (10), разлагая в ряд по малым отклонениям и пренебрегая малыми второго и выше порядка, получаем, с учетом выражений (13), линейную систему уравнений

а

X

а

у

2

2

2

к„ — к

2

у ■ -х

в вариациях, которую запишем в матричной форме

+ В 2 = 0.

Здесь

2 = {Д£*, Дпх, Д£у, Д%, Д^2, ДА 1, ДА2

а матрицы А и В имеют блочную структуру:

А

где

а = (1 + 2р)(, С = С =

2аЕ О О рС1 аСх О р(2С1 -2р(2С2

О 2аЕ О рС1 , В = О аСу р(2С1 -2р(2С2

О О 1 О О О О -Е

О 2Е УСТ (2С2Т О 26^/р

-(Кх -(2)

6х

СУ =

-(ку - (2)

сов А10 вт А10

сов А20 вт А20

С =

вт А10 ВШ А20 - сов А10 - сов А20

, Е = 1 0 , О = 0 0

0 1 0 0

Анализ коэффициентов характеристического полинома

8

Лк = 0

(20)

к=1

системы (19) показывает, что в случае, когда 6х = 6у = 0 необходимое условие устойчивости, вытекающее из соотношения а7 > 0, можно записать в виде

6^, > 0, (( - 1)(( - (1)(( - (2) > 0.

(21)

Отсюда следует вывод о невозможности автобалансировки ротора шаровым АБУ в частотных диапазонах (<(1 и 1 <(<(2- Это утверждение согласуется с условиями асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима анизотропного ротора с АБУ, полученными ранее [1, 2].

Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей корней характеристического полинома (20) является положительность коэффициентов Рауса с^д, г = 1,..., 9, вычисляемых по рекуррентным формулам

С^ = Сг_2,^-+1 - Сг_1 ,¿+1^-2,1/^-1,1,

2

2

5

6

Кх — (

К„ — (

х

У

У

где

С1,1 = а0, С1,2 = а2, С1,з = а4, С1,4 = ав, С1,5 = а«, С2,1 = а1, С2,2 = аз, С2,з = а5, С2,4 = аг, С2,5 = 0.

На рис. 4 представлены двухпараметрические диаграммы устойчивости в плоскости параметров ( - , рассчитанные при следующих значениях безразмерных параметров: £ = 0.05, р = 0.04, 5х = 5У = 0.15. Левая диаграмма соответствует ротору в изотропных опорах (кх = ку = 1), а правая — в анизотропных (кх = 0.67, ку = 1.33). Области асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима

Рис. 4. Двухпараметрические диаграммы устойчивости.

выделены темным цветом. Из рисунков видно, что анизотропия опор приводит к разрыву области устойчивости на две части: первая лежит в диапазоне ш1 < ш < 1, а вторая — в области ш > <2, что полностью соответствует условиям (21).

4. Переходные режимы движения ротора и балансировочных шариков. Представляет интерес исследование нестационарного прохождения ротора через критическую область при его вращении с постоянным угловым ускорением. Для простоты рассматривалось АБУ только с двумя балансировочными шариками. Расчеты проведены для следующих значений безразмерных параметров: е = 0.05, ц = 0.04, 6х = 6у = 0.15, 6ф = 0.26. На рис.5 показаны результаты численного интегрирования системы (1) в случае, когда угол поворота ротора меняется по закону в(г) = 0.0005^¥2. Штриховые кривые соответствуют ротору в изотропных опорах (к1 = К2 = 1), а сплошные — в анизотропных (к1 = 0.67, К2 = 1.33).

а) ст=0.8 б) ст=1.6

Рис. 5. Прохождение критической области с постоянном угловым ускорением.

В случае, когда а < 1 (рис. 5, а), условие существования сбалансированного стационарного режима не выполняется, поэтому, несмотря на то, что в закритической

области балансировочные шарики занимают наиболее удаленную от точки О позицию (—1 = —2 = —п), полной балансировки ротора не происходит. Анизотропия опор приводит к появлению двух критических частот, соответствующих максимальным значениям амплитудной кривой. В случае а > 1 (рис. 5, б) условия существования сбалансированного режима выполнены, и мы наблюдаем процесс автобалансировки ротора после прохождения второй критической частоты. Интересно отметить, что полная балансировка у ротора в ортотропных опорах наступает раньше, чем в случае изотропных опор.

На рис. 6 и рис. 7 показаны результаты численного интегрирования системы (1) в случае вращения ротора с постоянной угловой скоростью и>. Огибающие быстро осциллирующих функций ах = ^£2 + ц2, и ау = 2 + , полученные путем численного интегрирования системы (10), демонстрируют хорошую точность осредненных уравнений. Кривые, показанные штриховой линией, рассчитаны для случая изотропных опор.

Рис. 6. Прецессионные движения ротора и движение балансировочных шариков в окрестности первой критической скорости (^х = 0.796).

Если ш < <¿1 (рис. 6, а), то движение ротора в установившимся режиме представляет собой эллиптическую прецессию, а балансировочные шарики занимают положение, соответствующее несбалансированному стационарному режиму (шарики вместе). В малой окрестности первой критической скорости (рис. 6, б) движение ротора име-

а) 0=1.1

X.Y ФиФг

6)0=1.2

Рис. 7. Прецессионные движения ротора и движение балансировочных шариков в окрестности второй критической скорости (^2 = 1.13).

ет характер биений, при этом балансировочные шарики входят в соприкосновение и совершают неравномерные движения относительно корпуса АБУ. В области частот Ш1 < ш < 1 (рис. 6, в) наблюдается процесс установления сбалансированного режима, при котором отклонение ротора стремится к нулю, а шарики занимают положение, определяемое формулой (14).

Рисунок 7, а демонстрирует неустойчивость сбалансированного режима в области частот 1 < ш < ш2, проявляющуюся в нестационарном характере движения ротора и балансировочных шариков. Рисунок 7, б соответствует устойчивой закритиче-ской области ш > Ш2, и мы опять наблюдаем процесс установления сбалансированного стационарного режима.

Литература

1. Нестеренко В. П. Автоматическое устранение статической неуравновешенности ротора с анизотропными опорами // Машиноведение. 1984. №1. С. 24—25.

2. Агафонов Ю. В., Базыкин Ю. В. Исследование устойчивости шарового автобалансира роторной системы на анизотропных опорах // Машиноведение. 1985. №5. С. 111—113.

3. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Auto-balancing of anisotropically supported rigid rotors // Technische Mechanik. 2004. N24. P. 37-50.

4. Rodrigues D. J. , Champneys A. R., Friswell M. I., Wilson R. E. Two-plane automatic balancing: A symmetry breaking analysis // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2011. Vol.46. P. 11391154.

5. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 806 с.

6. Genta G. Dynamics of Rotating Systems. Springer, 2005. 658 р.

7. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 90-102.

8. Быков В. Г. Нестационарные режимы движения статически неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып.3. С. 89-96.

Статья поступила в редакцию 28 марта 2012 г.