Балансировка статически и динамически неуравновешенного ротора одноплоскост-ным автобалансировочным механизмом Текст научной статьи по специальности «Физика»

2009_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 4

МЕХАНИКА

УДК 531.3:534.013

БАЛАНСИРОВКА СТАТИЧЕСКИ И ДИНАМИЧЕСКИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА ОДНОПЛОСКОСТНЫМ АВТОБАЛАНСИРОВОЧНЫМ МЕХАНИЗМОМ

B. Г. Быков

C.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, vgbykov@mail.ru

Интерес к теоретическому изучению динамики роторных систем, оснащенных пассивными автобалансировочными механизмами (АБМ), обусловлен широким использованием таких устройств на практике. За последние несколько лет появились многочисленные фирменные технологии по применению АБМ в ракетно-космической технике, машиностроении, компьютерной и бытовой технике.

Исследованы условия существования и устойчивости сбалансированного и несбалансированного стационарных режимов движения статически неуравновешенного ротора в виде жесткого диска, закрепленного на гибком невесомом валу [1]. Рассмотрен неуравновешенный жесткий ротор, закрепленный в упругих опорах [2], сделан вывод о невозможности в общем случае полной компенсации статического и динамического эксцентриситетов с помощью одноплоскостного АБМ. Рядом авторов [2, 3] было предложено использовать для этой цели двухплоскостной АБМ, при этом отмечалось, что он эффективен в случае «длинного» ротора. Показано [3], что двухплоскостной АБМ уравновешивает статический и динамический дисбалансы только в области угловых скоростей, превышающих вторую критическую скорость.

Покажем, что в некоторых частных случаях при определенных конструктивных условиях статический и динамический дисбалансы как «длинного», так и «короткого» (типа диска) ротора могут быть полностью компенсированы одноплоскостным АБМ в области угловых скоростей, превышающих первую критическую.

1. Механическая модель ротора с АБМ

Рассматривается ротор в виде динамически симметричного, абсолютно твердого тела, закрепленного в шарнирных упруго-вязких изотропных опорах 0\ и О2 (рис. 1). Предполагается, что ротор имеет статическую и динамическую (моментную) неурав-

© В. Г. Быков, 2009

новешенность, для компенсации которой он оснащен шариковым автобалансировочным механизмом. АБМ представляет собой закрепленную по ободу ротора плоскую круговую полость, заполненную вязкой жидкостью, в которой могут свободно передвигаться п балансировочных шариков одинаковой массы. Плоскость АБМ смещена относительно центра масс ротора. Как будет показано далее, такое смещение необходимо для компенсации динамического эксцентриситета.

Рис. 1.

Пусть шо —масса ротора, Jt —полярный и экваториальные моменты инерции, ш\ —масса балансировочного шарика. Обозначим через О центр масс ротора; С — точку пересечения оси вращения с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку О; 1\ и ¿2 —расстояния от точки С до опор; с¿, ^ (г = 1, 2) —коэффициенты жесткости и демпфирования в опорах; в = |СО| —статический эсцентриситет; х — угол между осью вращения и осью динамической симметрии ротора (динамический эксцентриситет) ; 7 — угол между плоскостью динамического эксцентриситета и плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс ротора (фазовый сдвиг динамического эксцентриситета по отношению к статическому); г и Н — радиус и смещение круговой полости АБМ. Ротор в случае Jí > ^ будем называть «длинным», а в противном случае— «коротким» (типа диска). Если 1\ = ¿2, то ротор будем называть симметрично закрепленным.

Введем неподвижную абсолютную систему координат OXYZ, ось OZ которой направим вдоль оси вращения находящегося в положении статического равновесия ротора. Дополнительно рассмотрим следующие системы координат:

CXlYlZl —подвижная, невращающаяся система координат с началом в точке С, оси которой сонаправлены осям неподвижной системы OXYZ (рис. 2,а);

Схуг — система координат, жестко связанная с ротором, ось С г которой направлена по оси вращения ротора, а ось Су параллельна экваториальной плоскости инерции ротора (рис. 2,б);

О£пС — подвижная система координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции ротора;

Система Схуг при повороте на угол х относительно оси Су переходит в систему, оси которой сонаправлены главным осям инерции ротора. Угол 7 — между отрезком СО и осью Сх — лежит в плоскости статического эксцентриситета. При 7 = 0 или 7 = п ось динамической симметрии ротора и ось вращения лежат в одной плоскости.

Если считать балансировочные шарики материальными точками и не учитывать смещение точки С вдоль оси Z, то механическая модель ротора с АБМ будет иметь п + 5 степеней свободы. В качестве обобщенных координат выберем следующие: X^ — абсолютные координаты точки С; а, в — углы между осью вращения и неподвижными

плоскостями XZ и YZ (рис. 3а); в — угол собственного вращения ротора; = в + ф^, i = 1,..., n — углы отклонения балансировочных шариков в плоскости АБМ (рис. 3б).

Далее, в целях упрощения модели мы будем считать углы а, в и х малыми, а также не будем учитывать влияние силы тяжести.

Система координат CX1Y1Z1 переходит в систему Cx\y\z в результате поворотов на угол а вокруг оси CXi и на угол в относительно оси Cy; система Cxiyiz переходит в систему Cxyz при повороте вокруг оси Cz на угол в. Обозначим соответствующие матрицы поворота через Pa, Pp и Pg:

/10 0 \ /cos в 0 - sin в\ ( cos в sin в 0\

Pa = 10 cos а sin а I , Pe = I 0 1 0 I , Pg = I - sin в cos в 0 1 .

0 - sin а cos а sin в 0 cos в 0 0 1

Матрицу перехода между системами координат Cxyz и CX1Y1Z1 найдем, перемножив матрицы элементарных поворотов. Учитывая малость углов а и в, получаем

(cos в sin в а sin в — в cos в\ - sin в cos в а cos в + в sin в I . в —а 1 /

Выразим матрицу перехода между системами координат О£пС и Cxyz:

(cos х 0 — sin О 1 0 sin х 0 cos х

Обозначим через Re = {X, Y, 0}т вектор-столбец абсолютных координат точки C и через R'g = {s cos y, s sin 7, 0}т —вектор-столбец относительных координат точки О в системе координат Cxyz. Абсолютные координаты точки О найдем из формулы ортогонального преобразования

X + s cos(0 + 7)

g = Re + a rg

s (a sin(0 + 7) — в cos(0 + 7)),

Аналогичным образом находим абсолютные координаты точек Bi —шариков АБМ:

(X + r cos + h( Y + r sin — ha r(a sin — в cos + hj

Найдем проекции вектора абсолютной угловой скорости ротора на оси Кёнига — системы координат G£nC:

(a cos в + (3 sin в — хО —a sin в + (( cos в a(( + X cos О) + (Зх sin в + Оу

Для вывода уравнений движения системы воспользуемся методом Лагранжа. Кинетическая энергия системы имеет вид

1 1 п

T=-{m0R2G + ür{JGü))+-míYJR2B^ (1)

i=1

где Jg = diag{Jt, Jt, Jp} — матрица центрального тензора инерции ротора.

Полагая, что жесткости упругих шарниров в любом направлении, перпендикулярном оси вращения, одинаковы, запишем выражение для упругой потенциальной энергии шарниров:

1/ = I ({X - 1ф)2 + (У + ha)2) + j((X + l2fJ)2 + (Y- ha)2) . (2)

Обозначим через ¿3, ¿4 коэффициенты диссипации, учитывающие потери энергии при вращении ротора и движении шариков АБМ соответственно. Тогда выражение для диссипативной функции Рэлея можно представить в виде

Л = f ((* - 1ф? + {У + ha)2)((X + hP)2 + (Y- ha)2) + f + | ¿ Ф1 (3) 2 2 2 2 i=1

Пусть Mz — внешний вращающий момент, приложенный к ротору. Обусловленные им обобщенные силы найдем из выражения для элементарной работы ó A = Mz ((a + Ó)dt:

Qx = Qy = 0, Q a = Mz 3, Qe = 0, Qe = Mz. (4)

Используя выражения (1)—(4), с учетом малости углов а, в и х получаем (5 + n) уравнений Лагранжа 2-го рода:

(mo + nm1)X + nm1h/3 + duX + ¿12/? + c^X + С12в =

n

= mos (в2 cos(в + 7) + в* sin(в + + m1^(9k cos + 9>k sin ^fc),

fc=1

(mo + nm-1)y — nmlhа + dnY — ¿12«? + C11Y — С12а =

n

= mos (ö2 sln(в + y) - вcos(в + y)) + mi^((k sin (k - (k cos (k),

k=i

( Jt + nmih2)a — nmihY + d22<á — d^Y + C22a — C12Y + Jp (ß? в? + /в) =

n

= Mz ß + x(JP — Jt)(Ö2 sin в — в cos в) — mlrh ^^ ((i k sin (k — (k cos (k )+

? k!

k=i

n

+ mir2 ^ sin (k ((/З — 2<à(?k — ß(k — a(k ) cos (k— (a+2/?(k — a(k +ß(k)sln , (5)

k=i

( Jt + nmih2)/? + nmihX + d22/ß + di2X + C22ß + C12X — Jp<á в =

n

= —x(JP — Jt)(^?2 cos в + в sin в) + mirh ^^ ((k cos (k + (3k sin (k ) —

? k '

k=i

— mir^ cos (k ( (ß — 2a(k — ß(I — a(3k) cos (k — (a+2/ß(k — a(k + ß(k) sin (k

r2

k=i

(Jp + mQs2) в'+d3 в= Mz + mQs (Xsln(e+Y)—l>cos(e+y)) —

n

— mi^ (r(k — (X + h/3) sin (k + (Y — ha) cos ,

k=i

mir2(/3k + k — 0) = mir ^(X + h/3) sin (k — (Y — ha) cos (k^ , k = 1,..., n,

где

dii = di + ¿2, di2 = ¿2^2 — dili, ¿22 = di^2 + ¿2/^, cii = ci + C2, Ci2 = C2I2 — cili, C22 = Ci/2 + C2/2.

Введем безразмерные координаты и время: ж = X/r, у = Y/r, t = Ш, где Q = у/сц/mo. Перепишем уравнения (5) в безразмерном виде, сохранив только члены с

малыми параметрами первого порядка: (1 + n,)X + ¿11X + ¿12/З + x + «12^ =

n

= е (в2 cos(0 + y) + в sin(0 + y)) + , (V k cos Vk + Vk sin Vk),

k=1

(1 + n,)y + ¿ny - ¿12á + y - «12« =

n

= е (в2 sin(e + y) - в*cos(в + y)) + (v?k sin Vk - Vk cos ,k),

x(jp - jí)(e2 sin в - (9cos в) - (v?k sin Vk - Vk cos Vk ),

¿2 „;п(0 , y) ¿'„„s(0 , y)\ , (,'2,

k=1

jtä - n.py + ¿22oá - ¿12УУ + «22« - К12У + jp/3в =

Q2 в ¿)cos в) ,.p ^ ^(,'2

k=1

jtß + n.pX + ¿22/3 + ¿12xx + К22в - K12X - jpáв =

= -x(jp - jt)(Ó2 cos в + в sin в) + (v?k cos Vk + Vk cos ,k),

k=1

n

jpó' + ¿3(9 - ,¿4 (,k - в) = M + е (X sin^ + y) - У cos(0 + y)) ,

k=1

Vk + ¿4(,Vk - в) = (X + p/3) sin ,k - (У - pä) cos ,k, k = 1,..., n.

(6)

В системе (6) параметры , = m1/mo и е = s/r считаем малыми; остальные безразмерные параметры имеют следующий смысл:

h . Jp Jt С12 C22

^p . Jt P=~, Jp = -J' Jt = -2> Kl2 = -02~' K22 =

2 t 2 12 2 22 2 2

r mor2 mor2 mo^2r moi¿2r2

x ¿11 ¿12 ¿22

Ö11 — -TT; ö12 — -tt~, 022

mo^ mo^r' mo^r2'

¿3 = -г, ¿4 = -г, Л4

шо^г2' шхПг2' шо^2г2

Введем вектор-столбец комплексных переменных q = {х + гу, в — га}т, тогда уравнения (6) можно представить в более компактном матричном виде

(Mo + n,M1)q + (D - i0G)q + Cq = Fo(02 - iÖ)ei0 + (,2k - )e¿Vfc,

k=1

jpö + ¿з(0 - ,¿4 (vvk - в) = M + eFj Im[qe-

k=1

Vk + ¿4(vVk - в) + F1TIm[qe-iVk] =0, k = 1,. .., n,

(7)

где

Mo =f0 0), M1 = f1 0), D = (¿11 ¿12), C =f1 «12.,

\0 jt) \p 0y y¿12 ¿22 ) VK12 «22/

0 0 \ ( eeiY \ Í1\ (1

G = 'v0 jj ' Fo = 1-X(jp - jt)J ' F1 = W' V0

2. Стационарные режимы движения ротора с двухшариковым АБМ

Далее мы будем рассматривать ротор с двухшариковым АБМ (п = 2), вращающийся с постоянной угловой скоростью в = ш. Для исследования стационарных режимов движения ротора удобно перейти к уравнениям относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью ш вокруг оси О^. Обозначим через 4 комплексный координатный вектор-столбец во вращающейся системе координат. Связь между старыми и новыми переменными выражается следующими соотношениями:

q = 4е^, 4 =(4 + г 4ш)е^, 4 = (4 + 2г 4ш - 4ш2)е^. (8)

Подставляя соотношения (8) в уравнения (7), получаем автономные уравнения движения во вращающейся системе координат:

' (М0 + 2/иМ1)4+(Б + гш(2М0+4^М1 -С)) 4+(С + гшБ-ш2(М0 + 2^М1 -С)) 4 =

2

= Еош2+((ш + -й)2 -г-к) ,

+ + Е1Т1ш

й=1

0, к = 1, 2 .

(4 + 2гш4 - ш24)е-/к

(9)

Полагая в (9) значения всех производных от обобщенных координат равными нулю, получаем уравнения, описывающие стационарные режимы движения ротора:

Г (С + гшБ - ш2(М0 + 2^М1 - С)) 4 = ш2 (Е0 + ^(е^1 + )) , \е/ 1ш[-ш24 ]=0, к =1,2. (10)

Выражая во втором уравнении (10) вектор обобщенных координат в тригонометрической форме с[ = {а1вг1р1, а2вг1р2}т, где = \/ х2 + у2, а2 = \/а2 + /З2, получаем систему

Г Я1 8ш(^>1 - -1) + ра2 б1п(^2 - -1) = 0, | Я1 б1П(^1 - -2) + рв2 вт(^2 - -2) = 0.

Введем следующую классификацию стационарных режимов движения ротора. Стационарный режим, при котором отсутствует смещение упругих опор, назовем сбалансированным, или стационарным режимом типа С. Очевидно, что в этом случае «1 = «2 = 0. Стационарный режим, при котором 01 = 0, 02 = 0, назовем полусба-лансированым режимом типа П1; движение ротора в этом режиме представляет собой цилиндрическую прецессию. Соответственно, режим при 01 =0, 02 =0 назовем полу-сбалансированым режимом типа П2; движение ротора в этом случае имеет характер конической (угловой) прецессии. Наконец, режим, при котором 01 =0 и 02 =0, назовем несбалансированным, или режимом типа Н.

Полагая в первом уравнении (10) 01 = 02 = 0, получаем систему двух комплексных уравнений относительно двух неизвестных углов отклонения балансировочных шариков -01 и -02:

( + е^2) = -ее47,

\ •/ ■ (11)

Система (11) может быть разрешена лишь при выполнении следующих условий:

(г) 7 = 0 или 7 = п;

(и) р = -

X(jp - jt)

е cos y (ггг) > е.

Условие (г) означает, что ось вращения ротора и ось динамической симметрии лежат в одной плоскости. Условие (гг) необходимо для компенсации центробежного момента, возникающего вследствие динамического эксцентриситета. Условие (ггг) необходимо для компенсации статического эксцентриситета.

При нарушении условий (г) или (гг) АБМ не может погасить угловую (коническую) прецессию ротора, т.е. в этом случае возможны только стационарные режимы типа П1 или Н. Отметим, что при наличии только динамического эксцентриситета (т. е. в случае, когда е = 0 и х = 0) сбалансированный стационарный режим не реализуем. (Случай jt = jp не интересен, так как в этом случае нет самого динамического эксцентриситета). При нарушении условия (ггг) возможны только стационарные режимы типа П2 (цилиндрическая прецессия) или Н.

При выполнении всех трех условий из системы (9) мы можем найти относительные углы отклонения балансировочных шариков, отвечающих сбалансированному режиму -10 = —"020 = arccos(—а), где а = е/2^.

Следует подчеркнуть, что выполнение условий существования (г), (гг) и (ггг) не гарантируют практическую реализацию автобалансировки ротора. Для этого необходимо ещё подобрать значения параметров системы, обеспечивающих асимптотическую устойчивость сбалансированного стационарного режима.

3. Результаты расчетов

На рис. 4 демонстрируется переход к сбалансированному стационарному режиму несимметричного статически и динамически неуравновешенного «длинного» ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Графики а, б и в представляют зависимости амплитуд ах, а2 колебаний ротора и углов положения балансировочных шариков —1, -02 от времени в случае, когда угловая скорость ротора больше первой критической скорости, но меньше второй (^ = 2). Аналогичные графики г, д и е получены для случая, когда угловая скорость ротора выше второй критической (^ = 5). Более светлые кривые соответствуют ротору без АБМ.

0.4

D.2

0.04

D.D2

в)

0.4

0.2

г)

□. 04

0.02

Д)

$1, Фг

е)

12 12 Рис. 4. Переход к сбалансированному стационарному режиму «длинного» ротора.

На рис. 5 представлены графики переходного процесса для «короткого» ротора типа диска. Результаты расчетов доказывают, что при выполнении условий (г), (гг) и (ггг) как «длинный», так и «короткий» статически и динамически неуравновешенный ротор полностью балансируется при помощи одноплоскостного АБМ в области угловых скоростей, превышающих первую критическую.

Рис. 5. Переход «короткого» ротора к сбалансированному стационарному режиму.

а)

б)

1

0.5

0.1

0.05

ф1,фг

в)

I 1 ' \

12 3 4

г)

1

0.5

0.1

1 2 3 4 5 д)

Л.

е)

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Рис. 6. Прохождение «длинного» ротора через резонансы.

Результаты расчета нестационарного прохождения «длинного» ротора через критические скорости представлены на рис. 6. Анализ полученных графиков показывает, что при нестационарном прохождении симметричного длинного ротора (рис. 6,а, б) через первую критическую скорость его движение в резонансной области представляет собой цилиндрическую прецессию, а движение несимметричного ротора (рис. 6,г, д) — гиперболоидальную прецессию. При этом максимальные амплитуды отклонений точки С (01) и угловых отклонений оси вращения ротора (02) превышают максимальные амплитуды в случае ротора без АБМ (штриховые кривые). После прохождения первой критической скорости прецессионные движения для обоих типов роторов затухают. Далее, с возрастанием угловой скорости возникает небольшая коническая прецессия, амплитуда которой существенно ниже, чем для ротора без АБМ (полусбалансированный режим П2). После прохождения через вторую критическую скорость коническая прецессия исчезает и ротор полностью балансируется. Таким образом, в области угловых скоростей, превышающих первую критическую, мы имеем частичную балансировку длинного ротора (точка С лежит на оси О^, а ось вращения ротора совершает небольшую угловую прецессию). В области угловых скоростей, превышающих вторую критическую, имеет место полная балансировка длинного ротора.

Рис. 7. Прохождение через резонанс «короткого» ротора.

Прохождение через резонанс «короткого» ротора отражено на рис. 7. Форма колебаний симметрично закрепленного короткого ротора в резонансной области (рис. 7,а, б) представляет собой цилиндрическую прецессию с наложением небольших по амплитуде угловых колебаний. После прохождения через критическую скорость цилиндрическая прецессия полностью погашается, а малые угловые колебания (коническая прецессия) сохраняются еще в течение некоторого времени. Движение несимметричного короткого ротора в резонансной области (рис. 7,г, д) имеют характер гиперболоидальной прецессии, которая полностью исчезает после прохождения через критическую скорость. Интересно отметить, что полная балансировка у несимметрично закрепленного ротора наступает раньше, чем у симметричного.

Литература

1. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом // Вестн. СПбГУ. Сер. 1, 2006. Вып. 2. С. 90-101.

2. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-plane auto-balancing of rigid rotors // Technische Mechanik, 2004. Bd 24, Heft 1. P. 1-24.

3. Rodrigues D. J., Champneys A. R., Friswell M. I., Wilson R. E. Automatic two-plane balancing for Rigid Rotors // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2008. Vol. 43. P. 527-541.

Статья поступила в редакцию 3 сентября 2009 г.