НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ УПРУГО-ПОРИСТОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 53

www.mai.ru/science/trudy/

УДК: 539.3

Нестационарные поверхностные функции влияния для упруго-пористой полуплоскости

Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В.

Аннотация

Рассматривается плоская нестационарная задача о распространении поверхностных возмущений от границы полуплоскости, заполнненой упруго-пористой средой. Состоящей из двух фаз: деформируемый скелет и расположенная сжимаемая жидкость в порах. Используется модель Био. Для решения применяются преобразования Фурье по пространственной координате и Лапласа по времени. Оригиналы находятся аналитически в частном случае одномерной задачи и на границе полуплоскости. При этом используется алгоритм совместного обращения преобразований, основанный на построении аналитических представлений изображений.

Ключевые слова

упруго-пористая среда; модель Био; полуплоскость; поверхностные функции влияния; интегральные преобразования Лапласа и Фурье.

Введение

Одной из неклассических моделей сплошных сред является упруго-пористая среда, для которой часто используется модель Био [1]. В монографии [2] рассмотрены различные нестационарные задачи для этой модели. В том числе построены изображения по Лапласу и Фурье поверхностных функций влияния для полупространства. Однако явный вид оригиналов не приводится. Подобные среды рассматриваются и в ряде других работ (см., например, [3,4]). В данной статье аналогично [5] для изотропной упруго-пористой полуплоскости с помощью интегральных преобразований построен явный вид нестационарных поверхностных влияния, соответствующих силовым граничным условиям. Подобные задачи находят применение в различных областях новой техники, в том числе являются составляющими проблемы приземления различных аппаратов авиационной и ракетно-космической техники.

1. Постановка задачи

Движение среды описывается линейными уравнениями модели Био относительно скалярных потенциалов ( (х, г, г), ( (х, г, г) и ненулевой компоненты у (х, г, г) векторного потенциала перемещений [2] (точками обозначено дифференцирование по времени г):

= ЛФи {к = 1,2), Ау/ = у2ъу}, А = + • (1-1)

Здесь и далее используется прямоугольная декартова система координат Охуг, начало которой лежит на границе полуплоскости, а ось Ог направлена в глубь полуплоскости.

Тангенциальные и и и, а также нормальные ч и Ж перемещения скелета и жидкости в порах связаны с потенциалами следующими соотношениями:

д((1 + (2) дш д((1 + (2) дш

и = —----, ч = —-- +--,

дх дг дг дх ^

и=д + ) Р д ш ж = д (Р( + ) , Р д ш '

дх дг дг дх

Кинематические соотношения для такой среды записываются так ( ег} и ег}. - компоненты тензоров деформаций в скелете и в жидкости; указаны только ненулевые величины):

ди 1 (ди дч ^ дч

, е = еп + 633,

(1.3)

611 дх ' 613 2 [ дг + дх ), е33 дг ' 6 611 + eзз,

ди 1 (ди дЖ ) дЖ

, е 1 + .

'11 п 5 "13 _ I ~ 1 ~ Ь "33 п 5 " "11 1 "33-

дх 2 у дг дх ] дг

Компоненты тензора напряжений ац в скелете и напряжения а в жидкости связаны с тензорами деформаций физическими соотношениями [2]:

(1.4)

а11 = ^11 + а 22, а12 = а23 = 0, а13 = 2^lel3,

а = Л26 + ще, а = 2^33 + а22, а = щ6 + ще.

Предполагаем, что на бесконечности возмущения отсутствуют, а на границе полуплоскости заданы напряжения (£( х) - дельта-функция Дирака):

Иг=0=0, а33 |г=0 =а |г=0 = б(х)б(г). (15)

В начальный момент времени возмущения отсутствуют:

( 1=0 = Н= 0 =( 1=0 = Ш|г=0 = 0 (к = 1'2) . (16)

В соотношениях (1.1) - (1.5) и далее используются безразмерные величины (штрихи соответствуют безразмерным величинам; далее они опущены):

w = L ' U ' = U L , W ' = W = —, T = L cxt ~L , a'ij 11 н|а а'

( i = 1,2 ), cj N % , Yk = cl

,(j = P11 + Pljpз, L2 ck

а

H

, w 2 P + QP}

V =77' c j =-n

L j pu +pljP]

P =- —, Щ = N ,Щ= — ,Ъ= — ,m= R, H = P + 2Q + R, P = A + 2N.

3 p22 h h h h

Здесь L - некоторый линейный размер; t - размерное время; c и c3 - скорости распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения в скелете; c2 - скорость распространения волн в жидкости; A и N - упругие постоянные скелета; R - давление, которое должно быть приложено к жидкости, чтобы заполнить пористый объем (при этом общий объем остается неизменным); Q - величина сцепления между твердыми и жидкими компонентами при деформации; рп, р22 - эффективные массы компонент при их относительном движении; р12 - коэффициент динамической связи между твёрдым и жидким компонентами; p. (j = 1, j) - безразмерные физические параметры, которые являются корнями уравнения

(PjjQ - Pij p) Pk+(PjjP - PiR) Pk+PjP -р—=о.

2. Решение в пространстве изображений

К уравнениям (1.1) и граничным условиям (1.5) с учетом начальных условий (1.6) применяем преобразование Лапласа по времени и Фурье по пространственной координате x (индексы « L » и « F » указывают на соответствующие изображения, а s и q - параметры этих преобразований) [6]:

- kj ( q\ s2 = 0 (l = 1,2 ), -V- - kj ( q\ s2 )VF = 0, dz v ' dz v ' (2.1)

k}. (q , s ) = yjq +y]s ( j = 1,2,3), Re^> 0;

прь\ = 0, а^Л = аьр\ = 1. (2.2)

1г=0 33 \z=0 1г=0

Общие решение уравнений (2.1) с учетом их ограниченности имеют вид: щ = С1Е1 (д,z,з) (I = 1,2), ¥ьр = С3Е3 (д,г,з), Е] (д,г,з) = > (] = 1,2,3), (2.3)

где С, С2 и С3 - постоянные интегрирования.

(2.4)

Подстановка их в (1.2) - (1.4) приводит к следующим равенствам для изображений перемещений и напряжений на площадке, параллельной граничной плоскости:

и; = -4 [ОД (4, г, 5) + С2Е2 (4, г, 5)] + ОД3 (q2,52)Е3 (4, г, 5),

™РЬ = -ОД (42, 52)Е1 (^ г 5)- ОД (42, 52)Е2 (q, г, 5),

иРЬ = -4 [С1Р1Е1 (4, г, 5) + С2Р2Е2 (4, г, 5)] + С3к3 (42,52) ДЕ3 (4, г, 5),

= -СРкх (42,52)Е (4, г, 5) - СДк2 (42,52)Е2 (4, г, 5)- 74С3 ДЕ3 (4, г, 5);

аТ = л {-214 [ ОД (q, г5) к1 (4 \5 2)+С2 Е2 (q, г, 5) к2 (4 \5 2)]

- к4 (4 \5 2) ОД (q, г5)},

= (2щ42 + £{252) С1Е1 (4, г, 5) + (2 2 + 52) С2Е2 (4, г, 5) +

(2.5)

+ 2/4щС3Е3 (4, г, 5) к3 (42,52),

= 5'ОД (q, г, 5)+5С2 Е2 (q, г, 5),

где

к4 (4>5) = 24 + 7з5 £ = 2Л + Л2 + Л3Д > = 2Л +ъ + Л3Д

4 =Щ + Л4Д, 4 =Л3 +Л4Д2-

Подставляя равенства (2.4) и (2.5) в граничные условия (2.2), находим постоянные интегрирования. В результате изображения перемещений и напряжений записываются так:

и- =£и- (4,5)Е;. (4,г,5), = £< (4,5)Е; (4,г,5),

.=1 .=1

и;' = £ и;^ (4,5Е (4, г, 5), Ж- =£ Ж"' (4,5Е (4, г, 5 ),

(2.6)

.=1

.=1

= (4,5)Е. (4,г,5) (к = 1,3), = (4,5)Е. (4,г,5).

.=1

.=1

Здесь

л'+1 Щ =(-1)

14

ч

;ь

=(-1)'

2 . 2 2 2 Л 1^14 + {25

щк1 (q2,52)

Л1 \ + (-1)' ^Г32

2 , 2 2 2

Л 1^14 +ЙГ1Г25

4 ( л\1 2 Л1— + (-1)

и; =РщТ (q, 5);

Ж' = Д< (4,5);

(2.7)

=__

и3 _ ,2 , _ 222

П^А + ^{2 5

;< = ИцЛХ1 , ( . = 1,2,3), (I = 1,2),

п-;' = -

а 133 =

г45 Й

/ 2 , 2 2 2 \ I 2 ! 2 2 (лад + {2 5 Н 4 +{3 5

42 2 2 42 + {

V 5 У

= (—1)'+1 Чд2 + 32

331 V / 2 . 2 2 2

Ч6& + Й—1 У2 3

д2 / л\1 2

.ЛЬ _ „„ _ гд2

, а333 2чс

3 2 , 2 2 2

Ч^ + ЙУ1—23

аЛЬ = (-Г1 —2<Г—1 2 2 2 [Ч1д2 +(-1)'2'

Ч1^1д +С2У1У23 [

= — ^2 , О2 = — ^3 ,

£ = ^ — ^ С = — ^ С = — +ЙУ22-

Структура изображений в (2.7) такова, что она существенно затрудняет построение оригиналов для двумерной задачи при z > 0. Поэтому далее рассмотрим два частных случая.

3. Одномерная задача

В рамках указанной в п. 1 постановки задачи рассматриваем ее одномерный вариант, полагая, что искомые функции зависят только от одной пространственной координаты z . При этом граничные условия (1.5) заменяются следующими (нормальное перемещение скелета распределено равномерно по х):

а331 z=o =а z=o =5(х)б(г). (3.1)

Решение этой задачи в пространстве изображений может быть получено из формул (2.6), (2.7), в которых необходимо положить д = 0. В результате получаем следующие изображения перемещений ( и = и = 0 ) и напряжений (а13 = 0 ):

уцРЬ — _ е У'___а2 е —У цгрь — — е У' _ а202 е У2 . р 2)

$2—1 3 Я2У2 3 ' £—1 3 й—23 3 ' '

аЛЬ = е-У1 sz + а2^2 е-У2Ж арь = а1*=3 е~У ™ + а2^>4 е~У2™ (3 3)

Оригиналы этих функций находятся с помощью свойств преобразования Лапласа и таблиц [6]:

г» / / \

^ 5'(г — у^) — ^ 8\Т — У2 z),

С2—1 £2—2 Р

Ж = 5'(г —У — ^5'(г —У ; .

Я2У1 С2У23

а 33 =Ък 5(г — —1 z ) + 5 (г ——2 z),

С С (3.5)

а = 5(г — у z) + ^5(г —у z).

где штрих обозначает производную.

4. Решение двумерной задача на поверхности

Соответствующие изображения находим из формул (2.6) - (2.9), подставляя в них

г = 0. При этом и1

= 0, а

33

= а

1, что находится в согласии с граничными ус-

ловиями (2.2). Для перемещений из (2.6) и (2.7) получаем следующий результат:

ч

=: < (4.5), и;=Еи? (4,5), (4.5), а=:<..

(4.1)

7=1 7=1 у=1 7=1

Для вычисления оригиналов слагаемые в этих суммах, определяемые равенствами в (2.7), преобразуем следующим образом:

< =(-1)'

Л 42 + (-1)' "'{32-

иг=(-1)'+1 д

Л1 ^ + (-1)' а{

(4,5;{),

/Г ( 4,5 ),

(4.2)

^ =ЕД<, и? = А/ (4,5)

Ж- =^3 42 (4,5)

Здесь

а133 =

V 5 У

/1(4,5;{) =

/Т (4,5 ) =

. 2 2 4 +{ 5

2 , 2 2 2 + {2 5

/Г (4,5 ) =

1Ц

2 . 2 2 2 + ^2^25

(4.3)

/ 2 , 2 2 2\ I 2 , 2 2 '

(Л£14 + {2 5 Н 4 +{3 5

Оригинал функции (4,5) находим последовательным обращением преобразова-

ний Фурье и Лапласа с использованием свойств этих преобразований и таблиц [ 6]:

/2 (х, 5 ) =

1 -{1{25\ Л714 •

1

/2 (х,г) = -£

Г-{1{2 5а

И

БЩПх

(4.4)

1* У

Оригинал функций /^ (4,5;{), (4,5) определяем с помощью алгоритма совместного обращения преобразований Фурье и Лапласа, основанном на использовании аналитического представления изображения по Лапласу [6,7]:

г=0

г=0

г 0

3

2

(г2 —У2 х2 Г

2жа^+0 [' 4 ' 7 ' 4 ' /] ^—12—22С2х2 — ЧСг2

(g, у) -—-111т [щ (х+18,т)—щ(х—га, г)] = — 1

^Л2 +Уу 32 г

щ( z,г)=—( ,2—г~л, Л=_;

z (чсЛ +С2У1У22) ^

(2 _ 2 2 V'2

• /ЛИ \ 1 5 (г У Х )+ 1 ^ / 2 2 л—12

д1 (д,3;у) =—2 2 2 2 =—-о(гх)(г2—у2х2)— ,

ж5х у1—2с2 х —ЧСг ж v у+

■,,22 2^ д рь \т -у.х

„2 ,,2,,2 ^ „2___2

д2 „ч. г2 (г2—у2х2)

+

2

жх —1У2С2х — ЧЬг

%Г(д.У)--гх)+22 = ге,(г,х)(г—Ух2^

3 жахх ух у2 д2х —чсг ж 4 7+

2 2 2 (г2 — —2х2) 1

(д3и__г_ (д3)- — х__ь___ь_

2 .) 2 (Ч,л)' / 2 2 2 2\, ^3 (Ч,Л)' 2 2 2 2

3 жх(у2—22С2х2 —чсг ) жУУ2Йх"ЧСг

2/2 2 2 \ 2

• гЛЬ I \ 1 5 х (г ——3 х )+ х „ , ч/2 2 л

^ &Мьх2-чг ~—же"(г,,

JЯ (4.5)

2 J3 (д, 3) • 2 2 2 2 ,

3 Ж —1 —2 С 2х —ЧЬ1г

, 9^22 2\—12 -гд ¿.к, ч г2 5 (г ——3х )+ г2 , 2 2 2 \—3/2

о,, (г, х,—, )=ЧУ )г' * + 2™'УУ , 02 (г, х;—, )==х — ^

(—1—2^2х' — Чй^ ) (—12У22Ь2х' — ЧЬ2 )

г г ЧЬ—Ух2 —2Ч1Сг4 + У32У12—22Ь2х' г ч Зу2у2у2ь2 х3 —(2у1—1д2 + ЧЯУ1 Ух

031 (г,х)= — чьг2)2 0 (г,х)= (У*ах> —

где « -» - знак соответствия изображения и оригинала; производные здесь и далее понимаются в обобщенном смысле: х" = хаИ (х) ; И(х) - функция Хевисайда.

Используя теперь равенства (4.1) - (4.5), получаем оригиналы перемещений скелета и жидкости:

2 3 3 3

* = Е* (д,3), и = £и (д,3), Ж = (д,3), а = ^а-;. (4.6)

] =1 ] =1 У=1 У=1

Здесь

(-Г

п

г / -I \/+1 2

+ (-1) "¡Г2-

/ 2 2 2 \ (г -ylx )

12

2 2 2 2 ' ПГ2$2x

=(-1)'+1 д 2

^ = 1 Д <,

' „2 (

Ч

(-1) "/2-

1 ( 2 2 2 2 \ ПХ (/1/2^X -Ч1^1Г )

л

signx

у

—.ЕЬ

&121 =

Ч (-1)+1

п

Ч

г4 ^2 (г x; /)+(-1)г+1 ч/Ь би (г x; / )](г- /2 Х" )-12,

иЕ1- = Д^18

1 2

Г-//2 ^

signx, Ж3Е = Дъд

-2 (г2 -/2X2 ^

ЕЬ

2 = Д12 _ .,2 ,2 „2 ____2

1^1 У

П /1 /2^2Х -Ч1^1Г

122

п

[2г2б22 (г, X)- /з2Хбз1 (г, X)](г2 - /22х2 )

-2/2

5. Пример

(4.7)

В качестве заполняющего полуплоскость материала рассмотрим песчаник, поры которого насыщены керосином, со следующими физическими характеристиками [3]:

А = 0,4026-104 МПа, М = 0,2493-102 МПа, Я = 0,672-104 МПа, б = 0,295-104 МПа,

рп= 0,6087.10 2 кг/м2, р22 = 0,2159.10-2 кг/м2, р12 =-0,19.10~5 кг/м2.

Этим величинам соответствуют следующие значения безразмерных параметров:

Д = 0,Э; Д = 0,8757; Д = -10,2287; Д = 0,0088; / =1; / =2,1612; / = 1,96Э; Ч = 0,055099; ч = 0,889802; Ч = 0,651991; Ч =1,485214.

Результаты расчетов по формулам (4.6) напряжения а33, перемещений скелета ч и жидкости и, Ж на поверхности полупространства в зависимости от координаты х представлены на рис. 1-4. Сплошные кривые соответствуют моменту времени г = 0,15, штрихпунк-тирные - г = 0,Э, а пунктирные - г = 0,45. Графики построены только в правой полуплоскости, поскольку первые две функции являются нечетными, а вторые - четными. Отметим, что разрывы второго рода на графиках имеют место в точках |х| = (г^2)//з, а также в точках

|х| = г// (к = 1,2, э), определяющих фронты волн в скелете и жидкости.

Ч =

-50

-100

Ц! 1 1 1 \| н 1 ■ ■ 1 ■ *

\| Г К у Ч 'йи-г-

1 1 1

\ !

и

20

0.1 0.2 Рис.1

0.3 0.4

-20

-40

1 1 1 1 1

и Я л л Л

А

1 1 1 1

0.1 Рис.2

0.2

0.3

0.4

0.1 0.2 Рис. 3

0.1 0.2 Рис. 4

Библиографический список

1. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Механика: Сб. пер. и обзор иностр. литер. 1963. № 6. С. 103134.

2. Наримов Ш.Н. Волновые процессы в насыщенных пористых средах. Ташкент: Мехнат, 1988. 304 с.

3. Горшков А.Г., Салиев А.А., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных возмущений от сферической полости в упруго-пористой среде // ДАН УзССР, 1987. № 7. С. 15-16.

4. Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С, Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010. Вып. № 40. 1 -20.

5. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных поверхностных кинематических возмущений в упруго-пористой полуплоскости // Механика композиционных материалов и конструкций, 2011, Т. 17, № 4. 483 - 492

6. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в слошных средах. М.: Физматлит, 2004. 472 с.

7. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Физматлит, 1995. 352 с.

Сведения о авторах

Нгуен Нгок Хоа, аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета), тел.: (964)7987998, еmail: nguyenhoa.mta@gmail.com.

Тарлаковский Дмитрий Валентинович, профессор Московского авиационного института (национального исследовательского университета),д.ф.-м.н.,тел.:(499)1584306, (903)7660347, е^П: tvd902@mai.ru