Нестационарные нагрузки тонкого профиля, движущегося в идеальной несжимаемой жидкости с переменной основной скоростью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 5

УДК 533.6

, НЕСТАЦИОНАРНЫЕ НАГРУЗКИ ТОНКОГО ПРОФИ ЛЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ В ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ОСНОВНОЙ СКОРОСТЬЮ

В. Э. Баскин

В рамках линейной теории рассмотрено интегро-дифференци-альное уравнение обтекания тонкого профиля несжимаемой жидкостью при переменной скорости его основного движения. Показано, что для заданной зависимости нормальных скоростей от проходимого профилем пути интенсивность его присоединенных вихрей инвариантна относительно закона изменения пути по времени. Это позволяет дать правило, распространяющее на этот случай известные в нестационарной теории профиля решения. В результате получены замкнутые выражения для нестационарных нагрузок при переменной скорости основного движения профиля.

1. В большинстве работ по линейной теории нестационарного движения тонкого профиля в идеальной несжимаемой жидкости считается, что профиль движется с постоянной основной скоростью, на которую налагаются дополнительные малые перемещения [1, 2]. Применительно к несущим винтам рассмотрено обтекание профиля при гармонически меняющейся основной скорости, но полученные решения [3, 5] неудобны для приложений. Ниже рассмотрен общий случай, когда скорость основного движения профиля является произвольной дифференцируемой функцией времени. Оказалось, что при этом также можно получить замкнутые выражения нестационарных аэродинамических нагрузок, близкие но форме к выражениям, соответствующим движению профиля с постоянной основной скоростью [1].

2. Пользуясь обычными допущениями линейной теории нестационарного обтекания тонких тел, рассмотрим профиль, скорость основного движения которого не является постоянной, а может изменяться в зависимости от времени, оставаясь, однако, существенно больше возмущенной профилем скорости течения жидкости.

Пусть Ойхгуе—неподвижная система координат, относительно которой невозмущенный воздух покоится. Профиль изображается отрезком АВ длины Ь = 2с, который движется вдоль оси

ОТ + ОО к — оо с переменной скоростью ®(£)>0. С профилем связана подвижная система координат Оху с началом в центре профиля. Начало отсчета времени выбрано так, что системы О0х ух и Оху совпадают в момент ^ —0. При 1ф 0 имеем х = хё +

*

+ $(*), где «(£) = Г п' (Ч) а~ — путь, пройденный профилем с момента / = 0 (рис. 1).

,У

Л в

-с л с о0

ят ; 3-

Рис. 1

Пусть "/][л$(/)]— погонная интенсивность слоя расположенных на профиле присоединенных вихрей (положительное направление— против часовой стрелки). Циркуляция тг](л:, 5)йл: присоединенных вихрей, расположенных на элементе профиля длины йх, за бесконечно малый отрезок времени сИ возрастает на величину \(х, 5) йхйз, где й5 = ’ш^)йЬ. При этом с указанного элемента сходят свободные вихри с циркуляцией — ц' (х, з)йхйв, которые далее остаются неподвижными относительно системы координат О0хеуе. Таким образом, за время <И в месте расположения профиля образуется бесконечно тонкий слой новых вихрей погонной интенсивности — тг)^(х, 5)й?5, которые добавляются к уже имеющимся в этом месте свободным вихрям.

Определим интенсивность свободных вихрей в неподвижной точке с координатой хё в зависимости от времени. До момента времени , определяемого условием + — С, профиль,

двигаясь со стороны больших х , еще не подошел к точке Хг и ■свободных вихрей в этой точке нет. После момента 1в, определяемого условием ха.+5(^в) = с, точка хё будет находиться в следе, и появление новых вихрей в этой точке прекратится. К моменту удовлетворяющему условию погонная интенсивность

слоя свободных вихрей в точке х5 будет равна

* (0

г1 = — / + 51>*1.

~с~хе

а к моменту ty>tв равна

°~хе

~С~*Ц

Переходя в этих формулах к новой переменной интегрирования \ + и выражая хг через координату х = хг-\-8 подвижной системы, так что \ = х — получим

в1(*. *) = — /4(6, « + Е —*)<Й, ' (!)

Индуцируемая всеми находящимися на профиле и в следе вихрями- нормальная скорость ^ (х1, 5) в точке х1 определится выражением

С С со

- -Ь1 х + тг 1 1**■ (3)

—с —с с

Подставляя выражения (1) и (2) в равенство (3),у приходим к интегро-дифференциальному уравнению

'оЦХи = (*■

?)(■*■ а)

— X

со

1

*1-

— с —с

(4)

(5)

•определяющему интенсивность т)(х, 5) присоединенных вихрей при заданной нормальной скорости v'^i(xl, х) и переменной скорости движения профиля.

Поскольку конкретный вид функции 5 = х(^) не влияет на уравнение (4), его решение т] (х, я) зависит лишь от функции г/2 (х, я), но не от того, с какой скоростью проходился профилем тот или иной участок пути. Но тогда нет необходимости решать это уравнение при заданном у*(х, я) для каждого конкретного закона изменения скорости т^). Действительно, выберем некоторую константу да0>0, имеющую размерность скорости, и сделаем замену переменных, положив

уЦх, 5) = (х, х), 7}(х, в) == %(*, х), 1

{X, Э) = е(х, х), г2(х, 8)=е*(х, х), )

где х = х/щ;0.

В результате такой замены равенства (1) — (3) примут вид е(*. Х) = --^ х--^-)^,

•—С

—с

*,(*, = + \^Тйх +

— С —с

1 2тс J X] — х »

с

т. е. тождественно совпадут с известными соотношениями Бирн-баума [1] для профиля, движущегося с постоянной скоростью т0.

Равенства (5) устанавливают правило пересчета от решения

(6)

т]1 (х, т) уравнений Бирнбаума при заданной ч)у и постоянной скорости ОСНОВНОГО движения к решению У](х, 5) уравнения (4) при переменной скорости основного движения.

Воспользуемся хорошо известным [1] решением задачи об определении функции ^(х, 1), удовлетворяющей уравнениям (6)

3. Для гармонически меняющейся по времени нормальной скорости

ъу(х, е) — 'Оу(х)ем, (7)

где функция vv(x) представлена в виде ряда

оо

уу(х) — А0 + 2'^Апс.о?,пЪ, х = соэ 6, (8)

п = Т

уравнения (6) имеют решение

7)1 (х, () = 7] (х) еы, (9)

где

г1(х) = 2[(А0 + А1)С(к)-А1}- 1-С08'

А^]

«=1 *• -*

эти 6, (Ю)

причем & = <пс/®0 и С(&) —функция Теодорсена [1].

Заменяя в выражениях (7)—(10) переменную \ выражением 5/и/0, получим, что для гармонически меняющейся в зависимости от относительного пути 5 = 5,/с нормальной скорости гиъ:

(х, з) = + 2^ Ап соэ«0^ е1кз, (11)

где к и Ап(п — 0, 1, 2 . . ^ — произвольные постоянные, интенсивность присоединенных вихрей

71 (х, а) = |[(Л0 +А,) С (к) - Л,] 2 -1 -;псо98 6 +

СО ^

+ 42 [л«- ъг'(Ап+1 - Ля_!)]81пл0\е**.

(12)

На основании указанного выше правила пересчета формула (12)

пригодна и в случае переменной скорости основного движения

ь

профиля, когда 5 = Г w(t)dt.

о

4. Используя суперпозицию решений (12), получим решение, соответствующее ступенчатому изменению скорости Vй (х, 5) по переменной 5. Как известно, единичная ступенчатая функция

, , ч (1 при 0,

представляется [1] наложением гармоник в виде

оо

,(«)=х- аз»

—ОО

Разделив равенства (11) и (12) на 2шк и интегрируя их по параметру & от —со до оо, получим, учтя (13), что при нормальной ■скорости V*, меняющейся в зависимости от 5 по ступенчатому закону

р*(х, 1)=[а0 4-.22 Апс.0$п 1(5), (14)

интенсивность присоединенных вихрей

71 (*, 5) = 2 [(А! + А0) К (5) - А, 1 (5)1 1~;°в8-9- +

Лл1(5)-4Г(АП,.1-Л„_,)2(5)

sin ft 6. (15)

П=1

В процессе указанного интегрирования были использованы соотношения

оо

dk

М3) — 2ni

— СО

оо

ehk dk.

Здесь (а) — известная в теории нестационарного движения профиля функция Вагнера, для которой имеются таблицы [1], а через о (а) обозначена дельта-функция Дирака.

Пусть теперь нормальная скорость ъ*(х, в) на профиле представлена в виде /

оо

^(х, в) = Л0(5) + 2 ^Ап^соьп 6, (16)

п=1

где коэффициенты Л (5)(п — 0, 1, 2, . . .) непрерывно изменяются в зависимости от 5, имеют кусочно непрерывную производную и обращаются в нуль при 5-<0.

Применяя интеграл Дюамеля к решению (15), получим для интенсивности присоединенных вихрей, соответствующей нормальным скоростям (16), следующее выражение:

7J (X, 5) -= 2 - 1 ° |/ [А; (0) + Яо (о)] kx (5 - с) do - A, (s)J +

+ 4 2 \ап («)— -^{А'п+1 (s)—An-j (s)]|sin п 0, (17)

п—X

где Л„ = dAn|ds.

Эта формула дает точное решение интегро-дифференциального уравнения (4) в общем случае переменной скорости основного движения и представленных в виде (16) нормальных скоростей.

Используя формулу (17), найдем индуцированные присоединенными вихрями скорости. Вычитая их из -у3, получим скорость г»св, обусловленную свободными вихрями

Слагаемое (18) определяется вихревым следом, а слагаемое (19) — присоединенными массами. Через £_i (s) = 1 — kx (s) обозначено дополнение функции Вагнера до единицы. Весьма примечательно, что скорость Avs не зависит от положения точки на профиле, т. е. соответствует общему скосу потока на угол Да = = Дvs/w(t). Введение такого угла в квазистационарные формулы ,/ для подъемной силы и момента полностью учитывает нестационарное влияние вихревого следа.

5. Согласно теореме Н. Е. Жуковского „в малом" [4] величина — pw (t) vj (х, s), где р-—плотность воздуха, представляет собой погонную нормальную нагрузку профиля. Поэтому в приближении линейной теории суммарные подъемная сила У и момент М относительно середины профиля при переменной скорости w(t) его основного движения будут

Положительные моменты соответствуют вращению против часовой стрелки на схеме рис. 1. Подставляя в (20) выражение (12) для интенсивности присоединенных вихрей при гармоническом изменении по 5 нормальной скорости согласно (11), получим для суммарной подъемной силы и момента следующие формулы:

При ступенчатом законе (14) изменения нормальной скорости аналогично получим

M — pw (t) {(А о + Аг) kx (s) - (А, + А а) 1 (s) + 4 (Л з—Л,) 8 (s)).

i>CB = Avs -f- Avm,

где

(18)

о

(19)

С

Y — — pw (t) ^ ifj {х, s) dx,

—С

С

(20)

М =— pw(t)^ri(x, s)dx.

— С

(21)

{<■

У = _ r.bpw (і) (Ао + Aj) kx (s)-------------------2~ (Л2 ■— Ао)8

Наконец, для меняющейся по закону (16) нормальной скорости подъемная сила и момент профиля будут

У = — яйри; (о|/[Л0 (о) + А (с7)] — а) йс — ~ [Л2(«) —Ао (з)]|,

М — ръи (0-^р-|/Ио(о) + А\ (з)]й, (5 — а) йя — Л] (5) А2 (я) +

+ -4- Из (5) -А[ (5)] .

(23)

Если в начальный момент коэффициенты Л„(5) не равны нулю, то изменение сил и моментов можно получить суперпозицией решений (23) и (22) при значениях Л„ в (22), взятых равными А„(0). Выделяя в (23) квазистационарные составляющие Vе и Мс, составляющие АУЛ и ДМ5, связанные с влиянием вихревого следа, и составляющие ДУт, ДМШ, характеризующие влияние присоединенных масс, представим подъемную силу и момент профиля в виде

(24)

где

У = У' + ДГ* + ДК»,

М — Мс + д М* + Д/Ит,

ус = _ (О [Ло(«) + Л! (5)],

5’ . ...

= [Ло(о) + Ал(а)]й_і(5—о)йа,

о

ДУ- = ир-^А (Л2- Л0),

№ = №(ЪЬ~[АМ-Аг(к)\,

ДМ'5 — АУв~~- ,

/

Входящие в приведенные выше формулы коэффициенты Лл($). определяются граничными условиями на профиле.

6. Полагая, что окружающий профиль воздух возмущен внешними вертикальными порывами со скоростями в месте расположения профиля ЪуН(х, з), запишем условие непротекания в виде

V3 {X, х) = — Vyи (х,1) + -^ + т (*) , (25>

где ^(х, £) — ординаты серединной линии профиля.

Для плоской пластинки, наклоненной к оси — Ох под углом ос,, условие (25) будет

Vя(х, 1) = — чф(х, ^ + ^—{х-І)-^- — <т(і)я, (26)'

V 1 і 1

где /г (і) — ордината у (х, і) пластинки при значении х — 1 (рис. 2).

В этом случае коэффициенты Лл(х), входящие в выражения для нагрузок

yMs)=-VT(s)-

dt с da

2 dt ’

A,(i) = - VC(S), n = 2,3...,

(27)

причем через VT обозначены коэффициенты разложения скорости в ряд по 0

СО __

V7 (X, S) = \70вн+ 2 £ VT cos п 6. (28)

л=1

Если в (27), (28) не учитывать члены с n^z-2, то формуле (24) для AYS можно придать особо простой вид

t

ДУ» (t) = ir&p® (0 j 1/1/4 (X) k- X [s (t) - S (x)] rf-c,

0

где V3/4 — производная по временной от нормальной скорости Vs1 в точке профиля, находящейся на расстоянии 3/4 хорды от передней кромки.

, У Л—

L — X

Рис. 2

7. Заметим, что аналогичное рассмотренному выше правило пересчета может быть получено и в случае нестационарно движущегося крыла конечного размаха. При нормальной возмущенной скорости, заданной в каждой точке крыла в виде функции от проходимого крылом пути, интенсивность присоединенных вихрей не зависит от закона изменения пути по времени. Поэтому, найдя такую интенсивность при постоянной скорости основного движения крыла, можем, пользуясь формулой Н. Е. Жуковского, определять по ней нагрузки и при переменной скорости основного движения.

8- В качестве примера рассмотрим профиль, который движется под постоянным углом а к оси — Охг с переменной скоростью ча({) = где ф==^х(^). Здесь да0, тюх и <7 — постоянные,

а 5 — проходимый профилем к моменту времени £ относительный путь. Величина q связана с проходным за период изменения скорости да путем Ь равенством ц = ^Ь\1. Согласно граничному условию (26) нормальная скорость будет

— — 'Ы)0 а — 1т (т1 е'^а).

Для гармонической составляющей этой скорости по формуле (21) находим подъемную силу

щ

Yi = — nbpw (t) Im i A

[Cfo)

giqs

где А0 = — щ а. Добавив к ней стационарную часть У2 = лйрда (£) а, соответствующую нормальной скорости — а, получим полную подъемную силу профиля

Y = nbpw(t)w0ai |l + |У sin ф -j- (G + j cos

(29)

Здесь через ^ = Р(^) и (/ = С(?) обозначены действительная и мнимая части функции Теодорсена С (к) = Р (&)-\-Ю (к)[ 1], а «/*='

— 101/'воо — относительная амплитуда переменной части скорости.

На рис. 3 представлены зависимости от ']>, подсчитанного по формуле (29), отношения Су коэффициента подъемной силы профиля Су к его стационарному значению 2тас

Су —У/рте»2 (^) тсйя.

Принятые в расчете значения # = 0,1 и 0,2 и та/, = 0,5 и 0,7 по своему порядку соответствуют условиям обтекания комлевых сечений лопастей несущих винтов вертолетов при горизонтальном полете. Влияние нестационарности наиболее сильно проявляется в области, лежащей вблизи точки ф =270°, где скорость 1ю(1) имеет минимальное значение, и выражается в заметном увеличении коэффициента подъемной силы по сравнению со стационарным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке. М., Изд. АН СССР, 1947.

2. Бисплингхофф Р. А., Э ш л и X., ХалфмэнР. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.

3. Проскуряков А. П. Влияние нестационарности потока на аэродинамику лопасти автожира. Труды ЦАГИ, вып. 460, 1949.

4. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., „Наука”, 1971.

5. Isaacs R. Airfoil theory for flows of variable velosity. JAS, vol. 12, N 1, 1945.

Рукопись поступила 10/lV 1980 г.