Нестационарное пространственное истечение газонасыщенной жидкости из осесимметричных сосудов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529.5

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОНАСЫЩЕННОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СОСУДОВ

© В. А. Бузина1,2

1Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, Проспект Октября, 71.

Тел./факс: +7 (347) 235 52 55. 2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 229 96 16.

E-mail: buzina_lera@mail.ru

Выполнено численное исследование нестационарных процессов истечения газонасыщенных жидкостей из труб и сужающихся сосудов. Проведено обоснование достоверности численного метода сравнением численного и аналитического решения тестовой задачи. Проанализировано влияние геометрии сосуда на формирование пространственной структуры потока. Получены оценки сверхзвуковых и дозвуковых режимов истечения с помощью чисел Маха.

Ключевые слова: разгерметизация, газожидкостная среда, нестационарное истечение, двумерная двухфазная модель.

Введение

Исследование процесса истечения газонасыщенных смесей из труб и конических сосудов находит широкое применение в современной энергетике, нефтегазовой промышленности, ракетной технике и других технологических процессах. Струи газонасыщенных жидкостей, возникающие в результате мгновенной разгерметизации сосудов высокого давления, приводят к серьезным авариям на теплоэнергетических и химических установках. Возрастающие требования к обеспечению безопасности промышленных объектов определяют актуальность и необходимость теоретического исследования и численного моделирования нестационарных процессов пространственного аварийного истечения газонасыщенных жидкостей из сосудов высокого давления.

В работах [1, 2] проведено экспериментальное исследование динамики струи вскипающей воды, обнаружена связь между формой струи и механизмом зародышеобразования. В [3] определены различные стадии формирования струи в зависимости от ее начального перегрева, построена расчетная схема квазистационарного установившегося истечения вскипающей жидкости из коротких каналов диаметром 8-60 мм. В [4] предложена нестационарная осесимметрич-ная модель истечения чистого газа из каналов с различной формой поперечного сечения.

В работе [5] решалась одномерная задача внезапного истечения пароводяной смеси, находящейся под высоким давлением и температурой. В исследованиях [6] моделировалось истечение воды с малым содержанием газа в осесимметричной двумерной изотермической постановке. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [5, 6], в которой процесс пространственного нестационарного истечения газожидкостной смеси моделируется на основе двумерной двухфазной модели газожидкостной смеси в односкоростном, однодавленческом и двухтемпературном приближениях.

Постановка задачи

В закрытом сосуде находится смесь воды и газа под давлением р0 = 7 МПа и Т0 = 293 К. Формирование истечения происходит за счет внезапного открытия заслонки на правом конце сосуда х = Ь (см. рис. 1).

Рис. 1. Схема расчетной области в начальный момент времени.

Для рассматриваемой задачи дифференциальные уравнения для газожидкостной смеси в цилиндрических координатах в предположении равенства скоростей и давления фаз представлены в следующем виде [7].

Уравнения движения и неразрывности смеси:

др „ др _ V дх ду у п\ рх + = 0, ру + = 0, — = — + —+ —. (1)

дх ду V дх у у

Для каждой лагранжевой ячейки расчетной области выполняется закон сохранения массы каждой фазы и всей смеси [8]:

Ря = I * Р, Р1 =^^ р,

ag Ро

ai Ро

Р = -

PoPg Pi

(2)

Ря 0ая 0р1 +Р10а10Ря Используется уравнение состояния воды в форме Ми - Грюнайзена в виде суммы холодной

р1 р)р) и тепловой р1Т'(р1, Т) составляющих давления [9]:

^ = p(Р) + p(T}(PZ,T), = e(p](pl) + ef),

. j-ß

p,( p »(p, ) = aI^^l] exp v p(0

i .

b 1 -

- K (J)

А0

p(T)(pi,T) = r(pЦPT, e(P)(Pl) = Ш dpi

Po pi

(T)

= cT/ T.

Для газовой фазы применяется уравнение состояния идеального газа: 8 88

В стадии разгрузки состояние каждой фазы описывается условием адиабатичности в соответствии с тождеством Гиббса при = 0: &в = -р&У [10]:

Pi = PiР)(Pi) + Г(р)piCvTi0 exp J

pg 0

Pg = Pg 0

VPi 0 \7

Kpi)

Pi

dPi

Tl = T 0 exP

гЫ

Pi

v pg 7

Л

dp

Tg = Tg 0

Pg

V

Pg 0

(5)

В области ударного сжатия используется соотношение Рэнкина-Гюгонио [8].

Здесь и далее используются следующие обозначения: х, у - пространственные координаты; х -ось симметрии; X, у - проекции скорости на соответствующие оси; V - относительный объем смеси; р, р/, р8 - средняя плотность смеси и плотности жидкой и газовой фаз; а/; а8 - объемное содержание фаз; Ть Т8 - температуры жидкости и газа; Г - коэффициент Грюнайзена; у - показатель адиабаты; Я - универсальная газовая постоянная; А, К, Ь, р -константы уравнения состояния. Нижний нулевой индекс относится к начальному состоянию. Условие равенства давлений фаз: р8 = р\ = р.

Метод решения

Численное решение задачи выполнялось методом сквозного счета Уилкинса [7].

Запишем конечно-разностные соотношения для уравнений (1). Расчетная область делится на четырехугольники сеткой, движущиеся вместе со средой (рис. 2а).

У

У

IV

4 ЛИ

—j'—

к+1

*

ттт

TV

к-1

ik

J-1 Т .7+1

I---^---л

X Т

Рис. 2. а- Схема расчетной области; Ь - Схема сеточной области в граничных ячейках.

Масса газожидкостной смеси для каждого четырехугольника в начальный момент времени вычисляется по формуле:

M 1 = i IА] [У0 + Уз0 + у0к + (у? + У? + У0)Ab 1 ; (6)

3 ^ V

где Аа, АЬ - площади треугольников а и Ь:

(А)" = { [хП (уп - у4)+хП (у4 - уП)+хП (уП - Уз) (Аь )п = 2 У (у4 - уП)+х4 (у1 - у2)+хП (у2 - у4")

А =( Аа )П +(Аь )П, где Ап - площадь треугольника в момент времени гп, п - шаг разбиения по времени.

Относительный объем определяется по уравнению сохранения массы:

V" = 1 (P

3 I M

уП + у" + у4k + (уП + уП + у4)A" ,.(7)

Уравнения движения центрируются в точке к и находятся на половинном шаге по времени

Хп+1/2 = Хп +At /2:

"Р1п (уп - уш)+ Р2п (уш - у:пу ) + _+ Рзп(у:пУ - у!1)+ Р4п(уп - у!!)

р1 (хП - хШ )+ р2 (хШ - х1У ) +

+рп (ху - хп)+ рп (хп - хп)

.п_ .».л-12

АГ

& j k

& j, k

2^

.и+12 _ .n-12

у п т=УУ п;

А('

k о

2^п

1 4

f"; k = 1 S

P0 A

Далее определяются координаты сетки на следующем шаге по времени:

хп + = х1к + х'пТ Atn+12, у^- = у» к + уп^А?+12. (8)

В уравнениях (6)-(8) скорость рассчитывалась для узлов сетки; плотность, масса, объем и давление - для центров ячеек.

В момент формирования сетки, узлам присваиваются начальные распределения скоростей, а центрам ячеек - начальная плотность, температура и газосодержание и вычисляется общая масса каждой ячейки и масса каждой фазы - неизменные в процессе решения:

Лп

m = P01

V1 =

P0

P

На левой границе задается условие жесткой стенки, на правой - свободного вытекания. Для у = 0 - условие симметрии; для боковой границы -условие скольжения, т.е. проекция скорости по нормали к боковой границе \п = 0 .

Для боковых граничных ячеек, покидающих сосуд, когда хь > хЬ0 принимается условие свободной поверхности.

Обоснование достоверности численного метода расчета

Было проведено сравнение численного решения с автомодельным решением задачи о сильном взрыве в газе цилиндрической конфигурации, полученным Л. И. Седовым [11].

В момент времени t = 0 в покоящемся газе на оси симметрии у0 = 0 происходит взрыв, мгновенно выделяется конечная энергия Е1.

Закон движения у2 цилиндрической волны и скорость с определяются через начальную энергию взрыва Е1 и плотность р1:

ß

V

i=1

' E

У2 =

Pl

у/й c = —

' E

Pl

J_

У2

(9)

Аналитическое решение задачи о сильном взрыве имеет вид [11]:

У2

= y+

1)V ]-

0.5

y+1

y-1

(2 Y -1)

2y

(10)

= [(y+1)(1 -y )р,

= [(y+ 1)v ]-

У 2

0.5

^ № -1) Y-1

0.5

= [(r+1)(1 -TV )]2(2-Y)

Y+1

P2

Y+1

Y-1

(2]V -1)

Y-1

1Y

(1 - 2V )

Y-4 2(2-/)

(11)

Y+1

Y-1

(1 - 2V )

2 Y-2

[(y+ 1)(1 -YV )]Y(4-Y),

(12)

JL = V Y+1)

P2

Y+1

Y-1

(1 - 2V )

Y Y-2

* [(y+ 1)(1 -Y )](4-Y),

= (y+1)vy, t = -p p

P P2

У 2 T2 P2 P

(13)

(14)

Интервал изменения безразмерной переменной V определен неравенством: _L < V < 1

2y Y+1

Численное моделирование решения задачи Седова проводилось при следующих начальных условиях: газ - азот с начальной плотностью pi = 0.0125 кг/м3, £1 = 10 Дж/м, у = 1.4. При численном решении на границе y°= 2 мм задавался закон движения поршня v(t, y°) в соответствии с аналитическим решением (9)-(11).

На рис. 3 штриховой линией представлены расчетные профили аналитического решения [11] для плотности p, температуры Т, давления p и скорости v. На этом же рисунке сплошной линией показаны численные результаты, удовлетворительно согласующиеся с точным решением.

Анализ численных расчетов

Численное решение задачи истечения газонасыщенной смеси из сосудов разной геометрии представлено на графиках 4, 5. Начальное газосодержание ag0 = 0.05, длина канала L = 0.3 м. Расчеты проводились в предположении истечения газонасыщенной смеси в вакуум.

На рис. 4 показано распределение объемного газосодержания в момент времени t = 3 мс для различных радиусов трубы. Уменьшение радиуса канала от 7.5 см до 0.5 см приводит к более интенсивному радиальному разлету смеси. Влияние степени сужения выходного отверстия сосуда показа-

но на рис. 5 в виде распределения объемного газосодержания для В = 0 ^ 0.15. Сужение сосуда приводит к уменьшению интенсивности разлета смеси, однако скорость истекающего потока возрастает с увеличением степени сужения сопла. Уменьшение выходного отверстия замедляет проникновение волны разгрузки вглубь сосуда и влияет на эволюцию форм струи: растут скорость истечения и газосодержание смеси.

0.06

0.04

0.02

104К 2 -

1.5 ■

I -

0.5 ■ 0 -

а

---- 0.16 0.18 1 0.20

' 1 2.1 1 1 1 2.2 ! 2.3 1 2.4 л', мм

———— Ь

■-1 0.16 --" — 0.18 0.20

2.1

Г

2.3

Г

2.4.1

, M Па. 0.4

0.3

0.2

0.1

'Ч| ---

-- --Ч

0.16 0.18 0.20

2.1

2.2

2.3

2.4Л. мм

, 10' м/с 5 4 3 2 1 0

—-—----1 il

-----■----,

0.16 0.18 0.20

2.1

2.2

2.3

2.4 .(V мм

Рис. 3 Распределения плотности р. температуры Т. давления р и скорости V в моменты времени, указанные в мкс. Сплошные линии - расчет по предложенной модели; штриховые линии - аналитическое решение Седова [11].

Режимы истечения исследовались с помощью чисел Маха. Дозвуковой режим на внутреннем участке трубы обозначен цифрой 1, а сверхзвуковой режим на прилегающем к открытому участке трубы - цифрой 2. На рис. 4 и 5 введенные обозначения соответствуют следующим значениям чисел Маха М и скоростям истечения:

4а: М1 = 0.44, ^ах: = 41.60 м/с, М2 = 2.44, итюа = 86.83 м/с.

4Ь: М1 = 0.45, = 41.88 м/с, М2 = 3.22, ^2 = 110.76 м/с.

4с: М1 = 0.54, = 42.58 м/с, М2 = 8.30, ^2 = 168.8 м/с.

5Ь: М1 = 0.40, ^тах1 = 50.10 м/с, М2 = 2.15, ^2 = 92.6 м/с.

5с: М1 = 0.36, ^тах1 = 48.03 м/с, М2 = 3.42, ^2 = 113 м/с.

*

0 0.2 0.4

Рис. 4. Мгновенные распределения объемного газосодержания в момент времени 3 мс в зависимости от радиуса канала: а) г = 7.5 см; Ь) г = 3.75 см; с) г = 0.5 см;

0.6 0.8 1

Рис. 5. Мгновенные распределения объемного газосодержания в момент времени 3 мс в зависимости от tg Б: а) tg Б = 0; Ь) tg Б = 0.075; с) tg Б = 0.15;

Заключение

На основе двумерной осесимметричной модели двухфазной газожидкостной смеси в односкоро-стном, однодавленческом и двухтемпературном приближениях исследован процесс нестационарного истечения газонасыщенной жидкости в результате мгновенной разгерметизации сосудов высокого давления. Получено численное решение рассматриваемой задачи на начальной стадии процесса истечения. Проанализировано влияние толщины канала и степени сужения выходного отверстия на форму и структуру потока. Области сверхзвуковых и дозвуковых режимов истечения исследованы с помощью чисел Маха. Проведено сравнение численных результатов с аналитическим автомодельным решением Л. И. Седова задачи о сильном взрыве с цилиндрической симметрией. В дальнейших исследованиях планируется проведение двумерного моделирования взрывного вскипания перегретой жидкости с учетом парообразования.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Болотновой Р. Х. за ценные советы и помощь в постановке и решении задачи. Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (11-01 -97004_р_поволжье и 11-01-00171-а) и Программы фонда фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН (ОЭ-13).

ЛИТЕРАТУРА

1. Решетников А. В., Мажейко Н. А. Струи вскипающих жидкостей // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т.41. №3. С. 125-132.

2. Решетников А. В., Мажейко Н. А., Беглецов В. Н., Скоков В. Н., Коверда В. П. Динамика пульсаций при взрывном вскипании струй перегретой жидкости // Письма в ЖТФ. 2007. Т.33. Вып. 17. С. 31-37.

3. Прибатурин Н. А., Безруков Ю. А., Быков М. А., Краснов С. Н., Оншин В. М., Лежнин С. И., Сорокин А. Л. Исследование струи при истечении вскипающей воды при разрыве трубопровода // Материалы 4-й Российской национальной конференции по теплообмену. 2006. Т. 5. №6. С. 284-287.

4. Голуб В. В. Импульсные струйные сверхзвуковые течения: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2004.

5. Болотнова Р. Х., Бузина В. А., Галимзянов М. Н., Шагапов В. Ш. Гидродинамические особенности процессов истечения вскипающей жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19. №6. С. 719-730.

6. Болотнова Р. Х., Бузина В. А. Исследование двумерных нестационарных процессов истечения газонасыщенной жидкости из осесимметричных сосудов // Труды Института Механики. 2012. Т. 9. №1. С. 47-53.

7. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. 384 с.

8. Агишева У. О., Болотнова Р. Х., Бузина В. А., Галимзя-нов М. Н. Параметрический анализ режимов ударно-волнового воздействия на газожидкостные среды // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2013. №2. С. 15-28.

9. Нигматулин Р. И., Болотнова Р. Х. Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара. Упрощенная форма // Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. №2. С. 310-313.

10. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

11. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.

Поступила в редакцию 28.05.2013 г.