CC BY
68
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIV 1993 № 3
УДК 532.529:532.542
629.7.015.3.036:533.697.4
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПАРОКАПЕЛЬНАЯ СТРУЯ В РАЗРЕЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
3. М. Маликов, А. Л. Стасенко
Исследовано нестационарное осесимметричное истечение полидисперс-ной парокапельной смеси в разреженное пространство с учетом неравновесного межфазного обмена массой, импульсом и энергией. Столкновения капель, их газодинамическое дробление и кристаллизация, спонтанная конденсация пара не рассматриваются. В качестве примера численно исследовано течение с затухающими пульсациями расхода массы. Использован экономный по времени счета алгоритм решения уравнений квазистационарного двумерного потока в сопле и его окрестности и нестационарного одномерного течения в дальнем поле струи.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х,у;г,в — координаты цилиндрической и сферической системы;
7 — естественные координаты;
V 3 (и, и) ш '
а (К,0) —вектор скорости газа и его компоненты в цилиндричес-
кой и естественной системах координат;
<р — угол наклона вектора скорости газа к оси потока;
/ — средняя длина свободного пробега молекулы;
а . ,mj = у па^р® — радиус и масса шаровой капли у'-й фракции;
р. = т.—массовая плотность капель у'-й фракции;
N
е=^Р] / р — относительное массовое содержание частиц;
7=1
У]Чыр0])~
= ) — вектор скорости капель у'-й фракции и его компоненты
в цилиндрической и естественной системах координат; £ — удельная теплота испарения;
^(х) — сепаратриса капель (поверхность, ограничивающая область пространства, содержащую капли у'-й фракции); Г — условная граница континуального течения.
* — критическое сечение сопла;
0 — начальные условия (нижний индекс); теплофизические свойства жидко-
сти (верхний индекс); а — срез сопла;
1 — номер фракции капель;
* — условия насыщения.
Нестационарные режимы течения двухфазных смесей реализуются, например, при разгерметизации объемов с жидкостями, работе распиливающих устройств, натекании струй на преграды [1]. Их исследование необходимо для оптимизации процессов в аэрокосмической промышленности, металлургии, сельском хозяйстве, при решении проблем экологии, технологии напыления и других.
Физической причиной возникновения нестационарного, в частности, пульсирующего истечения парокапельной смеси может служить неоднократно повторяющееся наполнение полузамкнутого объема каплями диспергированной летучей жидкости, которая, попав на стенки, испаряется; образовавшийся пар «запирает» подающие форсунки и затем истекает через сопло, что приводит к падению давления в этом полузамкнутом объеме и очередному «включению» форсунок. При наличии ограниченного запаса жидкости перед форсунками этот процесс будет затухающим [2, 3]. Описанная частная ситуация реализуется, например, при работе многочисленных управляющих двигателей высотных летательных аппаратов. Образующиеся при этом парокапельные струи участвуют в создании собственной атмосферы летательного аппарата, что приводит к возникновению проблем, связанных с этой атмосферой [4].
В настоящей работе описаны физическая модель и некоторые результаты численного исследования нестационарного неравновесного парокапельного течения в сопле и струе произвольной степени нерас-четности при заданных в некотором сечении изменении во времени расхода газа и массовом спектре капель.
Выбран случай одноатомного газа, для того чтобы исключить необходимость рассмотрения «замораживания» внутренних степеней свободы молекул — явления, которое представляет собой самостоятельный интерес и к настоящему времени исследовано достаточно глубоко [5, 6].
Присутствие в газе частиц или капель, к тому же претерпевающих фазовые превращения, приводит к необходимости учета характерных времен релаксационных процессов межфазного обмена массой, импульсом и энергией, что, естественно, делает описание смеси более сложным, чем «чистого» газа. Численное исследование нестационарного неодномерного (например, осесимметричного) течения таких смесей даже в ограниченной области пространства требует значительного машинного времени, которое, очевидно, будет возрастать при необходимости исследовать струю на больших удалениях от сопла. Существует, однако, широкая область практически интересных параметров, в которой можно полную задачу свести к двум редуцированным. Так, если характер-
Рис. 1. Схема течения: вверху слева — характерное изменение со временем расхода в начальном сечении х = *0
ное время тр изменения условий в полузамкнутом объеме много больше, чем время прохождения смесью расстояния порядка размеров сопла, то внутри сопла и некоторой его окрестности размером хр ~ тра* течение можно считать квазистационарным и лишь вне этой области нестационарным (рис. 1). Это позволяет внутри первой области (г « хр) рассматривать задачу как стационарную осесимметричную, принимая время как параметр, а вне этой области как одномерную (вдоль линий тока) нестационарную, считая параметром индекс линии тока и используя в качестве начальных условия, выставляемые на некоторой поверхности внутри первой области.
Этот экономичный по времени счета композитный метод позволил исследовать струю, истекающую в вакуум, на большом участке от сопла порядка тысяч калибров. Ниже проведено обоснование приемлемости предложенного алгоритма, но лишь в области двумерного стационарного течения «чистого» газа (без капель или частиц). Авторам неизвестны теоретические или экспериментальные данные других исследователей, которые позволили бы провести сравнение во всей широкой области пространства и времени, рассмотренной в настоящей статье.
Для того чтобы обеспечить расчет параметров струй с произвольным углом разворота потока у кромки сопла, запишем в отличие от [1, 2] уравнения газотермодинамики двумерного двухфазного течения в естественных координатах £ V (см. рис. 1):
<?1п Я” К
91 <?£ х+1 + *+1
N
у=1
Здесь (7 7 = рИУ 7, 1ч = (р + рУ2 )5 7, £ 7 = рК /57 — потоки массы пара, его динальпии и полной энтальпии в элементарной кольцевой трубке
х р у1.т ат] 3А}
. К р к*. _ ■ “ "Ч
тока сечением S7; » =-------------+ —; / • = п. —- = —-р.- — скорость
X-1 Р 2 у 7 <//, а, 1
изме-
нения массы частиц у'-й фракции в единице объема; N — полное число фракций капель.
В предположении отсутствия агломерации и дробления капель имеем (у= 0 или 1 для плоского или осесимметричного случая):
др, др,и, 1 е ( \ т
—- + —— +---------\у',р,и,) = 7/.
Я дх у* ду 11 1
Уравнения динамики и тепломассообмена отдельной частицы у-й фракции записаны в лагранжевой форме:
da, , a, dm, du, „ do, , dT,
ir:=Ai=i^T^-’ ~^j=fxh ~77=fyh ~^rqj'
(i)
где
d д д d
— = —h w /--1- V j —.
- dtj dt 1 dx J dy
Связь между компонентами скорости частиц и силы, действующей на нее, в цилиндрической и естественной системах координат (см. рис. 1) имеет вид
и<7 = ui cos ^ + UJ s*n Ф’ vni = ~uj s*n V + °j cos Ф>
f$j = fxj COS q> + fyj sin q>, frjj = ~fxj Sin (p + fyJ COS <p.
Здесь <р{£, т}) — угол наклона линии тока к оси течения.
Кроме того, имеем следующие геометрические соотношения:
гг др _ drj , д^ dtp
К ---------кривизна линии тока; S'J = yv—-dy\ ------------------— = ,
д£, ду дх ду дх дц
-1
„ д£, dSi sin tp dq>
— —Л , ----------- — и--------+ —.
дх S^dl; yv drj
с>Н
дх ду
дг)
ду
Эта система уравнений приведена к безразмерному виду следующим образом: все линейные размеры, за исключением радиуса частицы, отнесены к радиусу критического сечения сопла г*; плотности — к р»; компоненты и модули скоростей — к скорости звука а, = (зф.Т+)1/2\ давление — кр*а^, температуры — к а* / Я; теплота испарения —ка?; время — к г, = г, / а,.
Масштабирующие значения р*,а^ /Д,а, соответствуют квазиодно-мерному потоку чистого газа (без капель). Радиусы частиц отнесены к характерному размеру ар = 1 мкм.
Теплофизические свойства несущего газа и вещества частиц входят в безразмерные комбинации в правых частях подсистемы уравнений динамики и тепломассообмена частицы (1):
а=
8 р° ар
У =
3 Xf(a./RTfr
2 а2 Р
р°с®а.
Re, =
2 а ра,р, Hf(al / RTf У
Df =
4 р И/
с
а~
3 Pr
R
Рг =
Здесь предположена степенная зависимость вязкости и теплопроводности газа от температуры Л = Я^(Т / 7^)®, где
,иу,Лу,Ту—некоторые фиксированные значения.
Подробное описание физико-математической модели динамики и тепломассообмена отдельной капли с несущим паром приведено, например, в работах [1, 7] в виде выражений для Лу,/у,<7у, пригодных при произвольных значениях чисел Кнудсена Кпу = I / 2ау и в широком диапазоне значений чисел Маха Му = | V-У^/а и Рейнольдса
Яеу = Ле, й]р\у -У^/Тш, характерных для высокоскоростных двухфазных потоков (здесь а — скорость звука в газе).
В настоящей работе исследовалось только сверхзвуковое течение, что позволило при расчете квазистационарного потока применить маршевый метод. Все газодинамические параметры смеси задавались в
плоскости х = 0. На стенке сопла и границе газодинамического течения, рассчитываемой по Прандтлю — Майеру, ставились условия не-протекания.
В области квазистационарного течения расчетное поле разбивалось по г) равномерно на десять ячеек. Тесты показали, что удвоение числа узлов изменяет результаты не более чем на 3%. Благодаря использованию неявной схемы алгоритм устойчив при любом шаге А%, поэтому дополнительное дробление по £ не проводилось. При вычислении кривизны линии тока К применялся метод Ньютона, вследствие чего скорость счета не уступала полученной явными методами (при одинаковой точности).
Для оценки работоспособности использованного численного метода проведены также специальные сравнения с расчетами параметров чистого газа (без капель), полученными методами характеристик и методом В. Я. Иванова и А. Н. Крайко (эти расчеты выполнены В. А. Жоховым и В. Ф. Чеховским, которым авторы приносят благодарность). В первом случае результаты различались не более чем на 1%, во втором до 3%.
Как известно, в сферически-симметричном свободном стационарном течении существует характерный радиус гг, значения которого определяются с различных точек зрения, но совпадают по порядку величины. Численное решение уравнений Навье — Стокса указывает на возникновение ударной волны [8]. С другой стороны, при этом нужно уже переходить к уравнениям Барнетта [9]. С точки зрения элементарной кинетической теории и модельных уравнений Больцмана [6] начиная с этого радиуса молекулы перестают сталкиваться и происходит «замораживание» трансляционных степеней свободы молекул и, следовательно, температуры и числа Маха. Более подробный обзор этих точек зрения, в том числе для двухфазного потока, дан в работе [10]. Во всяком случае, начиная с некоторого расстояния гг от центра сферического источника, описание течения газа на уровне модели сплошной среды Эйлера перестает быть справедливым.
Этот радиус определяется выражением
1,
( .. >1+2(х-1)(1-<ы) ( 0 -\1/2 ^ ^ ^1+±(д-1)(1-<у)
я-*
*+1
2
Кп"1, (2)
где Кп» = /* / г» — число Кнудсена, рассчитанное по условиям на звуковой линии (М* =1) сферического газового источника.
Как показано в работе [10], в случае двухфазного потока увеличение начальной концентрации частиц диспергированной фазы приводит к тому, что граница континуального течения приближается к источнику.
Конечно, в случае осесимметричной струи граница континуального течения зависит от полярного угла (лг = гг(6>)), двойной штрихпунктир
на рис. 1) и с ростом в приближается к кромке сопла, у которой осуществляется разворот потока в вакуум (этот переход к бесстолкнови-тельному режиму в течении Прандтля — Майера и в осесимметричной струе исследован в работах [11, 12]). В принципе вязкие члены, будучи включенными в приведенную выше систему уравнений, могли бы позволить определить пограничный слой на стенке сопла и описать влияние вязкости и теплопроводности в окрестности границы течения с вакуумом. Для этого потребовалось бы, например, ввести расчетную сетку с измельчением шага в этих областях. Однако в настоящей работе основной интерес представляет область двухфазного течения, ограниченная крайней сепаратрисой, которая из-за массовой инертности даже самых мелких частиц соответствует небольшим значениям полярного угла и пересекает границу континуального течения далеко вниз по потоку (точка Х> на рис. 1).
В настоящей работе в процессе счета проводился контроль пригодности используемой газодинамической модели уравнений Эйлера путем сравнения получаемых на ее основе результатов с результатами решения параболизованной системы уравнений Навье — Стокса. Для этого в правые части уравнения импульсов и в уравнение энергии добавлялись слагаемые:
( УуИ— , 0и=— — уУ ( , дТ Л /ЛУ— + А—
1
Вследствие грубости расчетной сетки они дают у границы течения размазанные по ячейке параметры (условие прилипания на стенке сопла не ставилось). Однако в далеких от сопла областях течения они позволили обнаружить формирование вязкого скачка уплотнения, скорость потока падала, давление росло (аналогичное наблюдение сделано в работе [8] для сферически-симметричного континуального потока).
Численные эксперименты, специально проведенные для исследования влияния а){р ~ Т01), показали, в полном согласии с выражением (2), что при © = 1 (для максвелловских молекул) это явление наблюдается на расстояниях, на несколько порядков больших, чем для со = 1 / 2 (для жестких молекул), уже вне области квазистационарнош потока.
Как сказано выше, внутри области г <гр~ хр (при г «гр) задача рассматривалась как квазистационарная для каждой точки /0 (/) (см. рис. 1). Получаемые при этом значения газодинамических переменных на любой поверхности в указанной области, зависящие от / как от параметра, мо1уг использоваться далее для решения нестационарной задачи. В настоящей работе при этом было опущено уравнение для г/— компоненты импульсов, так что трубки тока газа становились полностью независимыми, и величина г\ выступала теперь в роли параметра. Расчет проводился в интервале 100 < £ < 2600 (£ з г) конечно-разностным методом Лакса. Для оценки точности предложенного композитного мето-
да были предприняты предварительные численные методические исследования, при которых дробились шаги по времени и пространству /И и Ах, а также смещалась граница между областями дву- и одномерного потоков (материалы этих исследований не приведены). В результате выбраны значения Аг = 8,2 и А£= 50. Погрешность расчета при этом порядка 2% по времени и 0,1% по координате. Время решения в указанной области аргументов 0 < £<. 2600, 0 < * ^ 4000 составляло порядка 40 мин на ЭВМ УАХ.
Ниже приведены результаты численного исследования для значений
безразмерных параметровх. = 5 / 3, со = 1, р = 40, у = 9 • 10-2, Яе* = 2,63 • 105; Df = 0,239; К / с0 = 5,08 ■ 10~2, X = 9,9. Давление насыщенных паров
р,(Т) = 9,45 ■ 10-5 ехр(20,295 - 8,596 / Т).
Форма сопла ус(х) показана на рис. 2. В начальном сечении * = 0, лежащем за критическим сечением, газодинамические параметры несущей среды полагались равными р = 0,6; р = 0,9; и = 1,2; V = 0. Полидис-персная смесь представлена тремя фракциями. При задании начальных условий (при х = 0) для капель каждой фракции использованы результаты предварительных расчетов трансзвукового течения. Из таблицы видно, в частности, что осевые компоненты скорости частиц и}-
а] “У "5 Т1 у) Р]
5 0,6 -0,08 0,89 0,75 6,9-10-3
10 0,45 -0,08 0,89 0,72 3,9 10-2
15 0,37 -0,08 0,89 0,71 4,1-Ю-3
убывают с увеличением их размера, а радиальная компонента и*, на сепаратрисе отрицательна (в этом начальном сечении имеется тенденция кумулирования частиц к оси). Значение этой радиальной компоненты считалось линейно убывающим до нуля на оси.
На рис. 2 приведен пример расчета пространственного распределения параметров двухфазной смеси в области квазистационарного потока (х < хр). Показаны (см. рис. 2, а) предельные линии тока Прандтля — Майера ут (штриховая), сепаратрисы частиц различных фракций у*-, осевые распределения скоростей газа и и капель му, их температур Г,Ту, радиусов частиц ву, отнесенных к начальному значению для соответствующей фракции. Видно, что наиболее интенсивное испарение капель происходит как в окрестности критического сечения (х 4, 5), так и в окрестности оси (30 ^ х 4, 40), куда приходит веер разрежений от кромки сопла. Это интенсивное испарение «теплого» пара с поверхнос-
ф а г5 я и х
Рис. 2. Форма сопла ус и распределения вдоль оси параметров полидисперсной смеси в области квазистаци-онарного течения
Рис. 3. Поперечные распределения параметров полидисперсной смеси в области квазистационарного течения
ти капель приводит к локальному возрастанию температуры пара и в дальнейшем к ее поддержанию. Этот факт подтверждается и поперечными распределениями параметров. Так, из рис. 3, на котором приведены распределения параметров смеси по у, видно, что температура пара падает с удалением от оси; в том же направлении массовая плотность частиц становится все меньше (поперечные распределения Г;-
Рис. 4. Изменение со временем параметров смеси в фиксированной точке на оси в области нестационарного течения
обрываются на сепаратрисах, за каждой из которых уже нет частиц соответствующей фракции). Далее, хорошо виден сжатый слой, характеризуемый резким повышением температуры и давления, который на рис. 2 изображен двойной сплошной линией, проведенной через точки наибольшего значения давления. (Повторный небольшой всплеск газодинамических параметров связан, по-ввдимому, с особенностями использованного вычислительного алгоритма и характерен для методов порядка аппроксимации выше первого.)
На рис. 4 приведена эволюция параметров смеси в области нестационарного потока для случая изменения во времени давления и плотности в начальном сечении, описываемого выражением
т,т,ш,тр
Ро Ро
+ 6
Температура пара Г0 считалась неизменной, температура частиц — равной ей. Начальные массовые плотности капель всех фракций изменялись пропорционально плотности пара, так что отношения £у-0 = Руо / Ро оставались постоянными.
Результаты расчетов приведены для ц = 1,44 • Ю3; г2 = 1,33 • 103; 8 = ОД (соответствующая зависимость /0(/) показана штриховой кривой на рис. 4, а). На всем исследованном отрезке времени число Рейнольдса, построенное по характерному размеру сопла, оставалось достаточно большим, несмотря на падение плотности (ее уменьшению до нуля препятствует слагаемое 8 в выражении для /0 (/)), что обеспечивало справедливость пренебрежения пограничным слоем.
Видно, что через некоторую фиксированную точку пространства (в нашем примере £ = 350, 7=0 у оси струи) проходят сгустки капель, причем наибольшее значение массовой плотности Р] достигается приблизительно в те моменты времени, когда скорости частиц иу минимальны. Однако изменение р,- со временем заметно резче, чем ыу, поскольку уменьшаются и радиусы сепаратрисы (рис. 5, а): в те моменты
времени, когда плотность р ускоряющего газа наименьшая, капли меньше разбрасываются в стороны (из-за ослабления силы взаимодействия газ — частица /) и летят ближе к оси.
Это верно в особенности для тяжелых фракций; из рис. 4 видно, что колебания р15 наложены на растущее по времени среднее за период значение, что связано с падением огибающей в зависимости плотности газа от времени /?(/); в дальнейшем, конечно, всплески р±5 также уменьшаются из-за уменьшения массы капель, выбрасываемых в начальном сечении (эти более поздние стадии эволюции смеси во времени не показаны).
Рис. 5. Пространственно-временная эволюция парокапельной смеси в области нестационарного течения:
а — пульсация радиуса сепаратрисы частиц различных фракций в фиксированном поперечном сечении струи; б — сравнение пульсаций осевой компонента скорости частиц различных фракций в двух сечениях струи
Приведено также относительное массовое содержание частиц
оси оно возрастает за счет большего расширения пара (и убывает только в окрестности сильного испарения, см. рис. 2), а в далеких областях нестационарного потока даже превосходит единицу (см. рис. 4, а).
С удалением от сопла колебания параметров смеси становятся все менее выраженными (см. рис. 5, б—сплошные и штриховые кривые, соответствующие двум значениям пространственной координаты).
Разработанный алгоритм позволяет численно исследовать широкий класс задач нестационарной парокапельной сверхзвуковой струи произвольной нерасчетности и с произвольным начальным массовым спектром испаряющихся капель.
1. Гилинский М. М., Стасенко A. J1. Сверхзвуковые газодисперсные струи//М.: Машиностроение. — 1990.
2. Благосклонов В. И., Карпов А. А., Стасенко А. Л., Флаксман Я. Ш. Исследование неоднофазных полидисперсных течений газа с испаряющимися частицами//Труды ЦАГИ. — 1982. Вып. 2129.
3. Карпова Т. А., Стасенко А. Л. Релаксационные колебания давления в полузамкнутом объеме и полости с конечным запасом испаряющейся жидкости//Прикладные задачи теорий переноса/Минск: АН БССР, Ин-т тепло- и массопереноса. — 1984.
4.Климук П. И., Забелина И. А., Гоголев В. А. Визуальные наблюдения и загрязнение оптики в космосе//Л.: Машиностроение. — 1983.
5. Re b го v А. К. Free jet as an object of non-equilibrium processes investi-gation//Rarefied gas dynamics/Ed. by O.M. Belotserkovskii, M. N. Kogan, S. S. Kutateladze, A. K. Rebrov.—N. Y. — Lnd.: Plenum Press. — 1985, v. 2.
6. Коган М. H. Динамика разреженного газа//М.: Наука. — 1967.
7. Максимов 3. М., Стасенко А. Л. Механика и оптика вращающихся частиц и капель в газовых потоках//ПМТФ. — 1989, № 5.
8. Гу сев В. Н. О влиянии вязкости в струйных течениях//Ученые записки ЦАГИ. — 1970. Т. 1, № 6.
9. Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа//М.: Машиностроение. — 1968.
10. Стасенко А. Л. Замораживание трансляционных степеней свободы молекул в неоднофазных потоках. Молекулярная газодинамика//М.: Наука. — 1982.
11.Стасенко А. Л. Анизотропия течения Прандтля — Майера//Ин-женерно-физический ж. — 1972. Т. 22, №2.
12.Жохов В. А., Стасенко А. Л. Переход сплошной среды в разреженную в осесимметричной струе, истекающей в вакуум//Труды ЦАГИ. — 1973. Вып. 1453.
N
начальное значение невелико (г0 = 0,05), вдоль
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 12/IX 1991 г.
