Несравнимые интервалы и приближенное вычисление монотонных булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи матем. наук. 1981. 36. 3432.

7. Katitov М. Complete normality of cartesian products // Fund. Math. 1948. 35. 271-274.

8. Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 4. 8-11.

9. Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 5. 59-61.

10. Басманов В.Н. О функторах, переводящих связные АЖД-бикомиакты в односвязные пространства // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1984. № 6. 40-42.

Поступила в редакцию 20.04.2016

УДК 519.7

НЕСРАВНИМЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МОНОТОННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Чашкин1

Оценивается число несравнимых /г-мерных интервалов в n-мерном булевом кубе. Полученный результат используется для оценки сложности приближенного вычисления произвольной n-местной монотонной булевой функции.

Ключевые слова: монотонная булева функция, сложность приближенного вычисления, несравнимые интервалы.

The number of incomparable ^-dimensional intervals in the Boolean n-cube is estimated. The result is used to estimate the complexity of approximate computation of an arbitrary monotone Boolean function of n variables.

Key words: monotone Boolean function, complexity of approximate computation, incomparable intervals.

1. Множество {0,1}га всех булевых наборов длины п называется булевым кубом размерности п и обозначается символом Вп. Все наборы с к единицами называются к-м слоем Вп. Расстоянием Хемминга между наборами а. и (3 из Вп называется число d(oc,/3) = i \aí ~ Al) равное количеству несовпадающих разрядов а. т ¡3. Булев куб является частично упорядоченным множеством с частичным порядком при котором набор а. не больше набора (3 (о; ^ ¡3), если ^ /3¿ при всех г = 1,2,... ,п. Если а ^ /3и а / /3, то говорят, что набор а. строго меньше набора (3 (о; -< ¡3). Наборы а. и (3 называются сравнимыми, если либо а. ■< (3, либо (3 -< а.. Если ни одно из этих отношений не выполняется, то наборы называются несравнимыми. Последовательность наборов А = (сх.ос2,..., ось) называется цепью, если d(oci, оц+\) = 1 и оц ■< оц+\ для всех i = 1, 2,... , к — 1. Длиной цепи А называется число наборов в этой цепи. Говорят, что цепь связывает наборы аи/Зи проходит через набор 7, если а. и (3 являются соответственно первым и последним наборами цепи, а 7 принадлежит этой цепи. Цепь называется максимальной, если она не является частью цепи большей длины. Множество попарно несравнимых вершин называется антицепью. Антицепь называется максимальной, если она не является подмножеством другой антицепи, состоящей из большего количества наборов. Классическая комбинаторная теорема Дилуорса обнаруживает связь между цепями и антицепями в частично упорядоченном множестве. Эта теорема утверждает, что минимальное число цепей, которыми можно покрыть частично упорядоченное множество, равно мощности максимальной антицепи этого множества. Другая, не менее известная теорема — теорема Шпернера — утверждает, что максимальная антицепь в n-мерном булевом кубе состоит из (^^j) наборов. Поэтому в силу этих двух

теорем n-мерный булев куб можно покрыть непересекающимися цепями.

Покажем, что справедливо обобщение теоремы Шпернера, в котором антицепи состоят из fc-мерных интервалов.

1 Чашкин Александр Викторович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chashkinQinbox.ru.

Пусть а. < ¡3, й(а., (3) = к и г = (¿1, ¿2, • • •, Ь), где 1 ^ Ч < ■ ■ ■ < Ч ^ п и а^ ф . Множество 1(а,(3) = {7 | сх ■< 7 ^ /3} наборов п-мерного булева куба называется интервалом размерности к или /г-мерным интервалом, проходящим в /г-мерном направлении г. Будем говорить, что цепь А проходит через интервал 1(а,(3), а интервал 1(а,(3) лежит на цепи А, если а,(3 € А.

Пусть 1(а,(3) и /(<5,7) — интервалы размерности к. Будем говорить, что интервал 1(а,(3) не больше интервала 1(5,7) (пишем 1(а,(3) ^ 1(5,7)), если а. ■< 5 и найдется цепь, проходящая через эти интервалы. Интервалы 1(а,(3) и 1(5,7) называются сравнимыми, если 1(а,(3) ^ 1(5,7) или ^ 1(а>Р)- Интервалы 1(а,(3) и 1(5, ■у) называются несравнимыми, если 1(а,(3) ^ 1(5,7) и Множество попарно сравнимых /г-мерных интервалов назовем /г-мерной цепью, а множество попарно несравнимых /г-мерных интервалов — /г-мерной антицепью булева куба.

Лемма 1. В п-мерном булевом кубе при 0 ^ к ^ п любая к-мерная антицепь содержит не более

( п — к к-мерных интервалов.

Доказательство. Пусть N — /г-мерная антицепь, — ее подмножество, состоящее из всех тех интервалов 1(сх, ¡3), в которых набор ос лежит в в-м слое. Если 1(сх, ¡3) € Л^, то через этот интервал проходит ровно 8\к\(п—к—8)\ максимальных цепей. Так как в п-мерном булевом кубе существует ровно п\ различных максимальных цепей и каждая максимальная цепь не может проходить через два несравнимых интервала размерности к, то

ЕП ,,,/ , з\к\(п — к — 8)\п\(п — к)\\М3\

8\к\(п - к - = £ —^-Ш^Ш—

Следовательно, ^ (Х){[(п^к)/2\)- Лемма доказана.

Легко видеть, что в п-мерном булевом кубе существует ровно

п \ (п- [(п- к)/2\\

[(п-к)/2\)\ к ) (1)

несравнимых /г-мерных интервалов, минимальные наборы которых лежат в [(п — к)/2_|-м слое куба. Так как

п\ ( п — к\ п\ (п — к)\

к) \[(п-к)/2\) (п — к)\к\ [(п - к)/2\\\(п - к)/2]\

п\

к\[(п-к)/2\\[(п-к)/2]\

_гй_(п- [(п-к)/2])!

|_(п-А;)/2_|!(п- [(п-к)/2\)\ к\\(п-к)/2]! п \ (п-[(п-к)/2\)\

[(п - к)/2\) к\(п - [(п - к)/2\ - к)\ п \ {п-[(п-к)/2\\

[(п-к)/2\)\ к

то очевидно, что неравенство леммы 1 неулучшаемо, поскольку в силу (1) в п-мерном булевом кубе для любого 0 ^ к ^ п найдется /г-мерная антицепь из

п\ / п — к к){[(п-к)/2\

несравнимых /г-мерных интервалов.

2. Напомним, что n-местная булева функция / : Вп —> В1 называется монотонной, если

f(ai,...,an) < f(ßi,...,ßn)

для любых наборов et = (ai,..., ап) и ß = (Д,..., /5га), таких, что et ■< ß.

Схемой S в базисе В = {&, V, -■} над множеством независимых булевых переменных X = {х\,...,хп} называется последовательность si,...,s¿, в которой ее г-й элемент является равенством yi = /¿(21,22), где fi € В, Z\,Z2 € X |J{yi,..., ¡Jí-i}- Величины называются внутренними переменными схемы S, а число равенств L — сложностью схемы. Легко видеть, что каждая внутренняя переменная является булевой функцией от переменных из X. Будем говорить, что схема S вычисляет функцию f(x\,... ,хп), если / = Вычисляющая функцию / схема S называется минимальной схемой этой функции, если ее сложность не больше сложности любой другой вычисляющей / схемы. Сложностью L(f) функции / называется сложность ее минимальной схемы. Из работы А. Б. Угольникова [1] следует, что при п —> оо для сложности каждой n-местной монотонной булевой функции / справедливо асимптотическое неравенство

суП

Ш) < —¡=ñ- (2)

Нижняя оценка

суп

пу 7ГП/2

справедливая для почти каждой n-местной монотонной булевой функции /, легко получается применением стандартного мощностного метода.

Сложностью вычисления n-местной булевой функции / с точностью 1-е называется minL(h), где минимум берется по всем таким функциям h, что f(x) ® h{x) ^ е2п. Из результатов

работы О. Б. Лупанова [2] легко следует, что при п —> оо для почти всех n-местных булевых функций сложность их вычисления с точностью 1 — о(1) асимптотически совпадает со сложностью их точного вычисления и асимптотически равна 2п/п — сложности самой сложной n-местной булевой функции, т.е. для почти всех булевых функций невозможно за счет редких неправильно вычисленных значений сколько-нибудь заметно уменьшить сложность вычислений. Далее покажем, что для монотонных функций ситуация иная — поступившись точностью, можно существенно уменьшить сложность вычислений.

Будем говорить, что монотонные булевы функции fm и /м вычисляют n-местную монотонную булеву функцию / с точностью 1-е, если fm{x) ^ f(x) ^ /м(ж) для любого х € Вп и fm{x) ф /м(ж) не более чем на е2п наборах длины п. Сложностью вычисления n-местной монотонной булевой функции / с точностью 1-е назовем minL(/m, /м), где минимум берется по всем парам монотонных функций fm, /м, вычисляющих / с точностью 1-е.

Теорема. При п —> оо и п~1/2 <С е < 1 любая монотонная п-местная булева функция может быть вычислена с точностью 1 — ей сложностью, асимптотически не превосходящей

9п г-

_2~£vn

■sJiin/2

п

Доказательство теоремы существенным образом опирается на доказываемую ниже оценку количества непостоянных интервалов произвольной монотонной функции, которая в свою очередь является простым следствием установленной выше оценки мощности /г-мерной антицепи и теоремы Дилуорса.

Пусть / — п-местная монотонная булева функция. Интервал 1(а,(3) назовем непостоянным, если /(ск) = 0 и /(/3) = 1. Из теоремы Дилуорса и леммы 1 следует, что множество /г-мерных интервалов п-мерного булева куба можно разбить на (ц^'~к)/2\) непересекающихся /г-мерных цепей. Отсюда в свою очередь немедленно следует, что множество непостоянных /г-мерных интервалов произвольной монотонной булевой функции можно разбить не более чем на () непересекающихся к-мерных цепей, каждая из которых очевидно состоит не более чем из к интервалов. Поэтому число непостоянных к- мерных интервалов произвольной п- местной монотонной булевой функции не превосходит величины

(п\( п-к \к)\\_{п-к)/2\.

Теперь, учитывая, что в п-мерном булевом кубе существует ровно различных /г-мерных направлений, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Лемма 2. Для любой п-местной монотонной булевой функции найдется к-мерное направление г; в котором проходит не более

/ п — к \[(п-к)/21

непостоянных интервалов размерности к.

Доказательство теоремы. Пусть г = (¿1, ¿2, • • •, ч), где 1 ^ Ч < ■ ■ ■ < Ч ^ п, и а = (а\а2---ак), где оц € {0,1}. Символом /"(ж) обозначим п-местную функцию с к фиктивными переменными, получающуюся из п-местной булевой функции / подстановкой констант <х/ вместо ее ¿у-х аргументов, а символом ж" — булев набор длины п, у которого г^-е разряды равны величинам <Х/, т.е. для любого ж длины п справедливо равенство /"(ж) = /(ж").

Лемма 3. Для любой п-местной монотонной булевой функции / найдется такой набор г длины к, что /°(ж) ф //(ж) не более нем для к • различных наборов ж длины п.

Доказательство. Если /"(7) ф /¿'(т) Для некоторого 7, то аналогичное неравенство /°(ж) ф //(ж) справедливо для всех наборов ж длины п из интервала /(ж?,ж|). Таким образом, для направления г, в котором у функции / проходит не более к () непостоянных интервалов

размерности к, найдется не более чем к • ^)/2_|) различных наборов ж длины п, таких, что

/°(ж) ф //(ж). Лемма доказана.

Из леммы 3 и формулы Стирлинга легко следует

Лемма 4. Лрм п —> оо м к = о(п) для, любой п-местной монотонной булевой функции / найдется такой набор г длины к, что /?(ж) ф /*(ж) не более чем для

к ■ 0п

■(1+0(1))

л/ттп/2

различных наборов ж длины, п.

Заметим, что /°(ж) ^ /(ж) ^ //(ж). Поэтому функции /¿'(ж) и /¿'(ж) являются хорошими кандидатами для приближенного вычисления /(ж). Воспользуемся этими функциями для доказательства теоремы.

Пусть п"1/2 <С е < 1. Положим к = \е^/Ъп/2\. Тогда начиная с некоторого п справедливо неравенство к ^ + 1. Пусть г — набор длины к, существующий в силу леммы 4. Из этой леммы следует, что значения функций /¿'(ж) и /¿"(ж) не совпадают не более чем на

-У3»72_2" у

л/тгп/2,

наборах ж длины п. Так как функции /¿'(ж) и /?■(ж) имеют по п — к существенных переменных, то в силу (2) сложность их совместного вычисления асимптотически не превосходит

2-2

,п—к

(п — к)\ф-к(п — к)/2 плфтт/2

Таким образом, функции /¿'(ж) и /¿'(ж) приближенно вычисляют функцию /(ж) с требуемыми точностью и сложностью. Теорема доказана.

Заметим, что из неравенства (3) и основного результата работы Л. А. Шоломова [3] легко следует, что при е « п-1/2 сложность приближенного вычисления почти каждой п-местной монотонной булевой функции не может быть асимптотически меньше —?

Пу/жп/2

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-00598.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Угольников А.Б. О реализации монотонных функций схемами из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 31. М.: Наука, 1976. 167-185.

2. Лупанов О.Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем — принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965. 31-110.

3. Шоломов Л.А. О реализации недоопределенных булевых функций схемами из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 21. М.: Наука, 1969. 215-226.

Поступила в редакцию 12.10.2016

УДК 517.977

ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕИНО-КВАДРАТИЧНОИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕРМИНАЛЬНЫМ ЧЛЕНОМ

А. 3. Асеков1

В рассматриваемой задаче оптимального регулирования минимизируется сумма линейно-квадратичного интегрального функционала и терминального члена произвольного вида. Доказывается, что в этом случае управление также можно построить в явной аналитической форме.

Ключевые слова: линейно-квадратичный регулятор.

An optimal control problem is considered and the sum of a linear-quadratic integral functional and the terminal term of arbitrary form is minimized. It is proved that the control can be also constructed in explicit analytic form in this case.

Key words: linear-quadratic regulator.

Задача отпимального регулирования с линейно-квадратичным интегральным функционалом и линейно-квадратичным терминальным членом хорошо изучена (см., например, [1]), оптимальное управление строится в явном виде через решения матричных уравнений типа Риккати. В настоящей работе рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального регулирования с терминальным членом в функционале произвольного (необязательно задаваемого линейно-квадратичной функцией) вида и доказывается, что в этом случае управление также можно выразить через решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или в аналитической форме.

Рассмотрим задачу оптимального регулирования

J = М[ [ ((iVi(i)e, С) + 2£N(t)u + (N0(t)u, и) + 2h^ + 2h2u)dt + Ф(£(Т))] -»• min, (1) Jo

где Ni(t) (г = 0,1), N(t) — заданные, неотрицательно определенные симметричные матрицы размера п х п, hi — некоторые заданные векторы, и = (щ,...,ип) — искомое управление, (u,v) = Y17=iuivi' и = (и\,...,ип), v = (v\,...,vn), Ф(у\,...,уп) — произвольная гладкая функция переменных у 1,... ,уп. В классической постановке Ф является линейно-квадратичной формой.

Процесс £ = (¿¡1,... удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению = (a(t)^ + u)dt + aduj с начальным условием {(0) = {о = (С?, • • •, £п)> гДе ш = (wi, • • •, шп) — винеровский процесс с независимыми компонентами, a(t) — матрица размерности п х п, а = {(Tij) — матрица размерности п х п с постоянными элементами.

Мы предполагаем, что коэффициенты матриц Ni(t) (г = 0,1), N(t), a(t) гладко зависят от t.

Далее мы будем использовать результаты работ [2, 3], в которых строится решение задач Коши для эволюционных уравнений с эллиптической частью специального вида. Приведем нужные нам результаты.

1 Асеков Азнаур Заурович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: az.asekovQrambler.ru.