CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2007, том 50, №1________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, М.С.Саидусайнов НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
Среди экстремальных задач теории функций важное место занимают неравенства между нормами последовательных производных или неравенства типа Колмогорова в различных банаховых пространствах вещественных функций (см. [1,2] и приведенную там литературу).
В данной работе получены неравенства типа Колмогорова для последовательных производных аналитических в единичном круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана В , 1 < ¿7 < оо
Аналитическая в единичном круге функция
/^) = ^скгк,2 = реи,0<р<\
(1)
к=0
принадлежит пространству в„. если
\1/д
< 00 .
(2)
где - неотрицательная измеримая весовая функция, СІа - элемент площади и инте-
грал понимается в смысле Лебега [3]. Переходя к полярным координатам, норму (2) запишем в виде
г = 2 \ру(р)Мчч(р^/)с1р
\ і/Ц
< оо
где
А і 2л-
МАр,Л =
л А7[
- ]\Пре‘)\л
\1 /?
(3)
Пусть г - целое положительное число. Положим
Я'(г) = д'Лре<Уд1\ 0<<<2*.
В дальнейшем все рассуждения проводим только для аналитических функций, принадлежащих пространству В2 . Очевидно, что при любом у = 1,2,3,..., из (1) имеем:
в
Я >7
в
о
= с,Р1^, о<Р<1
к=1
и из (3) и равенства Парсеваля следует, что
МЦр,/Г)^-\с,\-Рл
к=1
В [4] доказано, что для произвольной аналитической в единичном круге функция f при любом V = 1,2,3,..., Г имеет место неулучшаемое неравенство
м2(ауГ>) ■мг(р,/у"
(4)
Базируясь на неравенство (4), мы сформулируем следующее утверждение.
Теорема 1. Если аналитическая в единичном круге функция /(¿) и ее производные
V = 1,2,3,-,г принадлежат пространству В2у, то справедливо неравенство типа Колмогорова
(г-у)\
<
(г)
I\-vlr
у! г
1 < V < г,
(5)
которое точно в том смысле, что существует функция /0(^) е /^2 /, обращающая (5) в равенство.
Доказательство. Используя неравенство (4) и определение нормы в В2 получаем:
и
\ 1/2
N1/2
2\рг(р)М1(р,}'Г’)<1р
V 0 ,
\pr(p)м2(p,f^"f"-vl'^ м2(р,гГ'с1р
О ,
12ру(р)м1(рЛ':’)^1г) {2рг(р)м\(р,])Хг ар
л
(6)
1/2
чо
Полагая в правой части неравенства (6) р' — Г /(г — V), р — Г / V и применяя неравенство Гельдера для интегралов с учетом определения нормы в В2 , будем иметь:
<
-(1 -у/г) 2
V 0
( 1
чу/2 г
2 |рКрЖ22(аЛ(г))^ • 2 \ру(р)М22(р,/)ёр
\ 0
___ II ^*(г) || ^ || /*|| VIг
к-' £? тр В~! 3
1 < V < г
и таким образом неравенство (5) доказано.
Непосредственным вычислением убеждаемся, что функция /0 (?) = е В2 г обра
щает неравенство (5) в равенство, чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Отметим, что для весовой функции
II | г1 1 І I ¿Мр-УчТ1 А /
7 г = г • 1- г , 0< р <q <со, q>l, l<q <со
в пространстве
В(рл,у) =
№■
\В(РЛ,Г)
/я
< +со
изучавшемся М.И. Гварадзе [5], неравенство вида (5) доказано в работе С.Б.Вакарчука [4]. Далее, совокупность алгебраических комплексных полиномов степени п обозначим
рп = |Рп(г) ■Рп(г) = е с|.
Величину
Еп (/\г = 1ПГ ||/ - Рп-1 \вч 7 ■ Рп-1 О) е Рп-1 (7)
назовем наилучшим приближением функции /(¿) €Е Нс/ множеством полиномов .
Легко доказать, что среди произвольных полиномов Рп \ (-^) е Рп \ наименьшее значение равенству (7) в пространстве В2 г доставляет частная сумма Тейлора
п-1
к=0
разложение
/ ( *)
в круге
z
< 1 . При этом
(8)
к=п
Теорема 2. Если аналитическая в единичном круге функция /(7) и ее производные
ц (г), V-1,2,3,...,г принадлежат пространствуВ2 , то справедливо следующее неравенство типа Колмогорова
"2,7
(9)
О
и
точное в том смысле, что существует функция, е В2 у которая обращает (9) в равен-
ство.
Доказательство. Из соотношения (8) сразу следует, что полиномом наилучшего приближения для производной /{аУ) (- ) В2 }/ является
п-1
к=1
причем
ЕЖХ, = 2£к» I с»Г ■ ¡р“У(р)</р
к=п о
Воспользуясь равенством (10), запишем
Е;,(/Г\г = 2^ е{г-~] с,Г • =
(10)
к=п о
ч(1-у/г) ^
= Е 2^2г|^Г-• 2|с,|2- \р2к+1у(р)йр
к=п V о /40
Применяя к правой части (11) неравенство Гельдера для сумм, получаем
V/Г
(11)
<
ч(1-у/г)
СО ^
2Е1 сХ ■ \р2к+1у(р)ар
\ у! г
к=п
— Т72( /(г)Л2(Ьг/г) Т7 ( -Р\2у1г
п а )в2 г )в2 г ->
откуда и следует неравенство (9).
Докажем, что для функции /0(г) = гп <аВ2у неравенство (9) обращается в равенство. В
самом деле, для - гп благодаря равенствам
1
Е1Ш,г, =2\р2мг(р)Ыр,
о
1
ЕМ: Г"’)»,, = 2”1>г~’' ■ 1рмНр)с1р,
о
1
ЕМ'Х,=2”1г1р'мг(р)ар-
получаем тождество
і
Е;(Л7%, = ' \pln"y(p)dp--
о
( 1 Л
(1 -vir) / | \v!r
2 п1'-\р1"'у(р)ёр \2\р1'"у(р)йр
V 0 ) V 0 у
— Т7 ( Лг)^\-у!г) 77 ( Г\2г/г
-,ЛЛ./0,а /В2 г /В2 ?
Этим теорема 2 полностью доказана.
Теорема 3. Для произвольной функции /{г)^В2у у которой производная/а(г) (г) е В2,,, имеет место точное неравенство
£■„(/)»,, (12) и знак равенства в (12) реализуется функцией /0{г) = гп е К2 у.
Доказательство. Из равенства (7) для всех к>п имеем:
,к.
E;Af),,r = 2£ I Ct|2 • Jp2‘*V(p)dp£2£ 1ct|2 • |p"*V(rtdp =
k=n о k=n ^ 0
CO 1 1
• x kir\ Ct |2 • jp2,*v(^)rfp=47-£.</i''>)«!.
откуда и следует неравенство (12). Точность неравенства (12) для функции f0(z) = zn е52; проверяется простым вычислением, чем и завершаем доказательство теоремы 3.
Институт математики АН Республики Таджикистан, Поступило 04.01.2007 г.
Хорогский государственный университет им. М.Н.Назаршоева
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука, 1976, 320 с.
2. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. - Киев: Наукова думка, 1982, 252 с.
3. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т. 412, № 4, с. 1-4.
4. Вакарчук С.Б. - В сб. “Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии”. - Киев, 1988, с. 4-7.
5. Гварадзе М.И. - Сообщ. АН ГрузССР. - 1975, т 77, № 2, с. 273-276
М.Ш.Шабозов, М.С.Саидусайнов НОБАРОБАРИ^ОИ ТИПИ КОЛМОГОРОВ БАРОИ ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Дар мак;ола барои функсиях,ои дар давраи вох,идй аналитикй, ки ба фазой Бергман бо функсияи вазнии мусбат шомиланд, нобаробарих,ои типи Колмогоров исбот шудаанд.
M.Sh.Shabozov, M.S.Saidusainov KOLMOGOROFF’S TYPE AN INEQUALITIES FOR THE WEIGHTED BERGMAN SPACE
In this article are proved Kolmogoroffs type an inequalities for the analytical function in the unit disk which belong to Bergman's space with positive weight function.
