Неравенства для суммы трех квадратных трехчленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАСТАВНИК-УЧЕНИК

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (22). 2017

УДК 517.0

НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУММЫ ТРЕХ КВАДРАТНЫХ ТРЕХЧЛЕНОВ

А. Б. Певный, М. Н. Юркина

Для /(х) = ах2 + Ьх + с, а > 0 устанавливается неравенство /(х) + /(у) + /(г) > 3/(1), где числа х, у, г положительны и удовлетворяют условиям х + у + г = 1 или хуг = 1. Ключевые слова: квадратный трехчлен, экстремальная задача, минимум, ограничение, неравенство.

1. Введение

В статье Ф. М. Даннана и С. М. Ситника [1] доказана

ЛЕММА 1. Пусть х, у, г — положительные числа, такие, что хуг = 1. Тогда

х2 + у2 + г2 - 3(х + у + г) + 6 > 0. (1)

Неравенство (1) обращается в равенство при х = у = г = 1.

Введем полином /(х) = х2 — 3х + 2. Тогда (1) перепишется в виде

/(х) + /(у) + /(г) > 3/(1). (2)

Возникает вопрос, для каких квадратных трехчленов /(х) = ах2+Ьх+с, а > 0 выполняется неравенство (2) при ограничениях хуг = 1. Начнем с более легкого ограничения х + у + г = 1.

© Певный А. Б., Юркина М. Н., 2017.

2. Неравенства при ограничении x + y + z = 1

Можно от рассмотрения неравенств перейти к экстремальным задачам. Зафиксируем полином f (x) = ax2 + bx + c с положительным старшим коэффициентом a > 0. Рассмотрим задачу минимизации

f (x) + f (y) + f (z) min (3)

при ограничениях

x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z =1. (4)

ТЕОРЕМА 1. Единственной точкой минимума в задаче (3)-(4) яв-i i i4

ляется точка >3, 3, 3,.

Доказательство. Рассмотрим среднее арифметическое А = | (х + у + г)

и среднее квадратическое Q = ^|(х2 + у2 + г2) чисел х, у, г. Хорошо известно неравенство А < Q, причем равенство достигается только тогда, когда х = у = г. Целевую функцию в (3) можно записать так:

Ь(х, у, г) = а(х2 + у2 + г2) + Ь(х + у + г) + 3с.

В силу ограничения (4) справедливо неравенство

2 I „.2 I ~2 _ ол2 \ о л2 _ о + у + ^ _ 1

х2 + у2 + г2 = 3Q2 > 3А2 = 3,

причем равенство получается только при х = у = г. Отсюда

Ь(х,у,г)>-а + Ь + 3с = Ь(-, -, -V ,у, ) - з 3' 3

В любой точке (х,у,г)= , |, будет выполнено строгое неравенство Q > А и тогда

Ь(х, у, г) > Ь ( -, -, -

V ,у, ) ^ 3

Теорема доказана. □

3. Неравенства при ограничении хуг = 1

Пусть по-прежнему / (х) = ах2 + Ьх + с, а > 0. Положим а = —Ь/(2а) — это точка минимума функции /(х).

ТЕОРЕМА 2. Если а < 3/« 1.89, то справедливо неравенство

/(х) + /(у) + /(г) > 3/(1) (5)

для любых х, у, г > 0, таких, что хуг = 1.

Доказательство. Имеем /(х) = а(х — а)2 + с — аа2. Поэтому достаточно доказать неравенство (5) для полинома /о(х) = (х — а)2. Пусть (х, у, г) — точка минимума функции

£(х, у, г) = /0(х) + /о(у) + Уо(г)

при ограничениях х, у, г > 0, хуг = 1 . Тогда существует множитель Лагранжа А, такой, что

2(х — а) = Ауг = А—,

х

2(у — а) = Ахг = А -, у

2(г — а) = Аху = А~,

отсюда

2(х2 — ах) = 2(у2 — ау) = 2(г2 — аг) = А.

Таким образом, числа х, у, г являются корнями одного квадратного уравнения 2£2 — 2а£ — А = 0. Поэтому два числа из трех равны. Точка минимума необходимо имеет вид (х,х, ^г), (х, ^г, х) или (^г,х,х). Достаточно рассмотреть первый случай. Для нахождения х решаем задачу

<^(х) := (х — а) + (х — а) + ( — — а I —> шт.

х / х>0

12

Решим уравнение

</(х) = 4(х — а) — 4 ( — а ) -1 = 0.

\х2 ) х3

Умножив на х5, придем к уравнению

х6 — ах5 — 1 + ах2 = х6 — 1 — ах2(х3 — 1) = 0.

Один корень х = - а остальные находятся из уравнения

#(х) := х3 + - — ах2 = 0.

Положительным корнем уравнения $'(х) := 3х2 — 2ах = 0 является точка х* = 2а — это точка минимума функции $(х). Если

, . 8а3 4а3. 4а3

о(х*) =--+ ---= ---

УУ 27 9 27

больше нуля, то $(х) корней не имеет. Это будет при

4а3 3

< - или а < = =: а*. (6)

27 ^4

При выполнении условия (6) функция <^(х) имеет единственную точку минимума х = т. е. <^(х) > при х = а тогда

(х — а)2 + (у — а)2 + (г — а)2 > 3(- — а)2 (7)

при всех х, у, г > 0, хуг = - Предельным переходом при а —> а* получим, что неравенство (7) выполняется при а = а*. Теорема доказана. □

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В частности, неравенство (5) выполняется при а < 0, т. е. при Ь > 0. В этом случае неравенство (5) следует из неравенств Q > А > С, где С = 3хуг — среднее геометрическое чисел х, у, г. Теорема 2 дает более широкую область а < 3/^4 = а* выполнения неравенства (5).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. При а > а* неравенство (5) может нарушаться. Приведем простейший пример: / (х) = (х — 4)2, х = у = 1, г = 4. Тогда

/(х) + f (у) + f (г) = + 49 + 0 < 3f (-) = 27.

Можно доказать более общее утверждение о нарушении неравенства (5).

ТЕОРЕМА 3. Пусть /(х) = (х — а)2. Если а > 2, то найдутся х, у, г > 0, хуг = - такие, что

/(х) + /(у) + /(г) < 3/(!).

Доказательство. Достаточно найти значения ж, для которых функция <(ж) = / (ж)+/(ж)+/(1/ж2) удовлетворяет неравенству <(ж) < <(1). При доказательстве теоремы 2 получено равенство ж5<'(ж) = (ж3 — 1)$(ж), где $(ж) = ж3 — аж2 + 1. Имеем $(0) = 1, $(1) = 2 — а < 0. Поэтому уравнение $(ж) = 0 имеет два корня жх и ж2, 0 < ж < 1 < ж2. Производная <'(ж) меняет знак в точках ж1, 1, ж2. А именно < < 0 на (0, жх), > 0 на (жх, 1), < < 0 на (0, ж2), < > 0 на (ж2, то).

Отсюда жх и ж2 — точки минимума <(ж), а ж =1 — точка максимума. Получаем <(ж) < <(1) при ж € [жх,ж2], ж =1. Теорема доказана. □

На рис. 1 видно, что график функции <(ж) заходит ниже горизонтальной прямой у = <(1). Значит, неравенство (5) нарушается.

Рис. 1. График функции <(ж) при а = 1.95

Гипотеза. Неравенство (5) нарушается для всех а из промежуточной области а* < а < 2.

4. Неравенства при ограничении жу = 1

Пусть по-прежнему /(ж) = аж2 + Ьж + с, а > 0. Найдем, когда выполняется неравенство

/(ж) + /(у) > 2/(1) (8)

при всех ж, у > 0, таких, что жу = 1 . Рассмотрим функцию

( 2 Ь Ь2 N Ь2 / (ж) = ж2 + 2— ж + — + с — —. к ' V 2а 4а2/ 4а2

Положив a := —b/2a, имеем /0(x) = a(x — a)2 + c — • Если для /0(x) = (x — a)2 выполнено неравенство /0(x) + /0(y) > 2/0(1), то будет выполняться неравенство (8).

Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Если a < 2, то справедливо неравенство /(x) + /(y) > 2/(1) для любых x, y > 0, таких, что xy =1.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Список литературы

1. Dannan F.M., Sitnik S.M. The Damascus inequality // Probl. Anal. Issues Anal. Vol 5 (23). No. 2. 2016. Pp. 3-19.

Summary

Pevnyi A. B., Yurkina M. N. Inequalities for the sum of three quadratic trinomials

For / (x) = ax2 + bx + c, a > 0 the autors prove inequality /(x) + /(y) + +/(z) > 3/(1), where numbers x, y, z are positive and satisfy the conditions x + y + z =1 or xyz = 1.

Keywords: quadratic trinomial, optimization problem, minimum, inequality

References

1. Dannan F.M., Sitnik S.M. The Damascus inequality, Probl. Anal. Issues Anal, vol. 5 (23), №2, 2016, pp. 3-19.

СГУ им. Питирима Сорокина Поступила 12.12.2016

Для цитирования: Певный А. Б., Юркина М. Н. Неравенства для суммы трех квадратных трехчленов // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1 (22). C. 79-84.

For citation: Pevnyi A. B., Yurkina M. N. Inequalities for the sum of three quadratic trinomials, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №1 (22), pp. 79-84.