Непрерывность выпуклых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 5(25)

УДК 515.12

А.В. Полухина, Т.Е. Хмылёва НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ1,2

Рассматривается множество V(K) всех выпуклых вещественнозначных

функций, определенных на выпуклых компактах K с Ки , и находятся условия, при которых все функции f eV(K) являются разреженно непрерывными. Показано, что существуют функции f eV (K), не являющиеся боре-левскими, а также для любого ординала а<ю1 существуют функции f eV (K), принадлежащие в точности а-му классу Бэра.

Ключевые слова: выпуклая функция, разреженно непрерывная функция, крайние точки, борелевские множества, ординалы, компакт.

В статье А.В. Архангельского и Б.М. Бокало [1] введен класс разреженно непрерывных функций, более узкий, чем класс функций первого класса Бэра, но более широкий, чем класс непрерывных функций.

Определение 1. Пусть X,Y - топологические пространства. Отображение f: X ^ Y называется разреженно непрерывным (scattered continuous) или функцией SC , если для любого подмножества A с X, A Ф0 функция f|^ имеет

точку непрерывности.

Характеристика разреженно непрерывных функций приведена в [2].

Теорема 1. Пусть X - полное метрическое пространство и функция f: X ^ Ж.. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) f: X ^ К - разреженно непрерывная функция;

(2) пространство X имеет счетное замкнутое покрытие {Fi };e^, такое, что функция f |f непрерывна для любого i e N .

Используя данную характеристику, доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть K - выпуклый компакт и SC(K) - пространство всех вещественнозначных разреженно непрерывных функций, заданных на компакте K . Следующие условия эквивалентны:

(1) V (K) с SC (K);

(2) множество крайних точек компакта K не более чем счетно. Доказательство. Необходимость. Предположим, что |extr K| > К0 . Тогда существует континуальное совершенное подмножество K0 с extr K . Пусть множество A с K0 - счетное и всюду плотное. Рассмотрим на подмножестве K0 функ-

1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями».

2 Работа выполнена частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.

цию f: K ^ Ж., такую, что f (х) = {1, если ХеА’ Ясно, что функция /\к0 не

(0, если x í A.

имеет точек непрерывности и, значит, функция f : K ^ Ж. не является разреженно непрерывной функцией. Тем не менее, функция f является выпуклой. Действительно, для любых 0 <а<1 и для любых точек x,y е K точка ax + (1-a)y í K0 í extrK и, значит, f (ocx+(1-a)y) = 0. Следовательно, справедливо неравенство f (ax+(1-a)y) < of (x) + (1 - a) f (y). Таким образом, множество

V (K )tf SC (K).

Достаточность. По теореме Крейна - Мильмана компакт K = co (extrK) = = co {,...,kn,...}. Поскольку компакт K с Жп, то по теореме Минковского компакт K = co (extr K) = co {kj,..., kn,...} . Следовательно, любая точка x е K выража-

p

ется в виде x = X1 x1 +... + Xpxp, где 0 <Xi <1, 2Хг- =1. Для произвольного ко-

i=1

нечного подмножества стс{к1,..., kn,...} с K пусть K (ст) = coa = co {k^,..., kn }. Ясно, что У K (ст) = K. Для p > 2 определим

сте extr K

U(ст) = {x е coct;x = Xlk^ +... + Хpkn ,0 < Xi < 1, 2 Xi = 1 У U(ст) IU{,...,kn,...} = K.

:extr K )

ад

Каждое U (ст) = U Um (ст) где

m=1

Um (ct) = {x = kn, + ... + ^Pknp ’ < ^i < 1 - ’ 2 ^i =

( 1 F p m m i=1

- замкнутые подмножества компакта K для любого m е N и стс {k1,...,kn,...}. Пусть функция f еV(K). Покажем, что функция f и ,ст, непрерывна на

m( '

множестве Um (ст). Для этого достаточно показать, что f |и(Ст) непрерывна на

U (ст) для любого CTc{k1,...,kn,...}.

Пусть x е U (ст), т.е.

ад

x = hknl +... + xpknp, 0 <хг <1, i ^..^P, 2^- =1.

i=1

Рассмотрим конечномерное подпространство

L = sp - knp ,..., knp-1 - knp } .

Ясно, что dim L < p -1 и точка

Тогда

VCTcextr K

28

А.В. Полухина, Т.Е. Хмылёва

х - кпр = Х (кп - кпр) + ■" + Х р-1 (кпр-1 _ кпр ) + Хр '0 є Ь ’

причем X Ф 0 ■

Определим линейный оператор Т : Жр-1 ^ Ь по формуле

Т (/і,..., /р-1 )= ^ (^ - ^ ) + ■■■ + V! (кПр-1 - \ ) ■

Оператор Т является непрерывной линейной сюръекцией пространства Ж.р-1 на пространство Ь ■ Применяя принцип открытости отображения, получаем, что Т

- открытое отображение^ Следовательно, Т отображает открытое множество

{((■■■Ар-1): 0 <Хг < 1, і = !,■■■,р-і/^ Хг < 1 на открытое множество и (ст) - кп ■

Функция / (х + кп ) определена на открытом выпуклом множестве и (ст) - кп с Ь и является выпуклой на множестве и (ст) - кп ■ Так как выпуклые функции непрерывны во всех внутренних точках множества, на котором они определены [3, а 67], функция / (х + кп ) непрерывна на множестве и (ст)- кп ■ Отсюда следует, что функция / (х) непрерывна на множестве и (ст) и, значит, для любого т є N функция / и ,ст, непрерывна на множестве ит (ст) ■

т( ’

Итак, компакт К представлен в виде счетного объединения замкнутых множеств

ад ад

К = ииит (ст)ии{кг } ,

ст т=1 і=1

|к} непрерывные Учитывая теорему 1, получаем, что

и функции /

ит(ст)

и /

V (К) с БС (К). Теорема доказана. ■

Теорема 3. Пусть К с Ж” - выпуклый компакт, множество крайних точек которого несчетно. Тогда для любого ординала а <ю1 существует выпуклая функция / е V(К), принадлежащая в точности а-му классу Бэра.

Доказательство. Известно [4, с. 15], что множество крайних точек метризуе-мого компакта К есть множество типа 05 и, следовательно, является борелев-

ским множеством. Любое несчетное борелевское множество топологически содержит канторово множество, которое, в свою очередь, топологически содержит множество иррациональных чисел J [5, с. 295]. Далее, для любого ординала а < ю1 существует измеримая по Борелю функция g : J ^ (0,1), принадлежащая классу а, но не принадлежащая классам р при р<а [5, с. 382]. Тогда функция /: К ^ Ж,

io, k g J,

U(k), k £ J,

также является функцией в точности а-го класса и, следовательно, функцией а-го (или а + 1-го, если а конечно) класса Бэра [5, с. 403]. Нетрудно проверить, что функция f выпукла. Теорема доказана. ■

Теорема 4. Пусть K с Mn - выпуклый компакт, множество крайних точек которого несчетно. Тогда существует выпуклая функция f £ V(K), неизмеримая по Борелю.

Доказательство. Рассмотрим канторово множество С с extr K , определенное в доказательстве предыдущей теоремы. Известно, что в канторовом множестве С существует подмножество A , неизмеримое по Борелю [5, с. 355]. Тогда функция f = Xa неизмерима по Борелю и выпукла. Теорема доказана. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Arkhangelskii A., Bokalo B. Tangency of topologies and tangential properties of topological spaces // Topology. 1992. V. 54. P. 160-185.

2. Taras Banakh and Bogdan Bokalo. On scatteredly continuous maps between topological spaces // Topology and its Applications 157, 2010.

3. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 416 с.

4. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке: пер. с англ. М.: Мир, 1968. 112 с.

5. Куратовский К. Топология. Том 1. М.: Мир, 1966. 594 с.

Статья поступила 25.07.2013 г.

Polukhina A.V., Khmyleva T.E. CONTINUITY OF CONVEX FUNCTIONS. In this paper, we consider the set V(K) of all convex real-valued functions defined on convex compacts Kc Kn and find conditions under which all functions f£ V(K) are scattered continuous. It is shown that there exist functionsf£ V(K) that are not Borel, and, for any ordinal а<к>1, there are functionsf£ V(K) that exactly belong to the а th Baire class.

Keywords: convex function, scattered continuous functions, extreme points, Borel sets, ordinals, compact.

POLUKHINA Anastasiya Valer’evna (Tomsk State University) [email protected]

Khmyleva Tatiana Evgenievna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]