CC BY
68
УДК 621.314.572
Н.П. Митяшин, Ю.Б. Томашевский, М.В. Радионова
НЕПРЕРЫВНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА НА ОСНОВЕ ИНВЕРТОРА НАПРЯЖЕНИЯ
Описывается методика построения динамической модели преобразователя частоты на основе инвертора напряжения. Построенные модели предназначены
для аналитического синтеза системы стабилизации напряжения на выходе звена постоянного тока преобразователя.
Преобразователи частоты, система стабилизации выходного напряжения, автономные инверторы напряжения, матричный логарифм, электроснабжение цеховой двигательной нагрузки на повышенной частоте
N.P. Mityashin, Yu.B. Tomashevskiy, M.V. Radionova
CONTINUOUS DYNAMIC MODEL OF THE CONVERTING COMPLEX BASED ON THE VOLTAGE INVERTER
A technique for the construction of a dynamic model of the frequency converter based on the voltage inverter is described. The constructed models are to be applied for analytical synthesis of stabilization system of a converter output voltage.
Converters of frequency, stabilization system of voltage output, independent inverters of voltage, matrix logarithm, electrical supply of a shop group of electric motors on the high frequency
Постановка задачи. В настоящее время на предприятиях подшипниковой промышленности для электропитания асинхронных двигателей внутришлифовальных станков на повышенных частотах используется схема, в которой между сетью промышленной частоты 50 Гц и каждым двигателем включается индивидуальный преобразователь частоты. При этом преобразователи выполняются с явным звеном постоянного тока, т.е. по схеме «управляемый выпрямитель (УВ) - автономный инвертор». В качестве инвертора используется трехфазный автономный инвертор напряжения (АИН), выбор которого определяется его жесткой внешней характеристикой.
Такие преобразователи должны удовлетворять повышенным требованиям по качеству электроэнергии и надежности функционирования. Таким образом, ключевой проблемой является стабилизация напряжения на выходе звена постоянного тока УВ.
В этой связи при проектировании системы стабилизации напряжения на выходе звена постоянного тока необходимо иметь адекватную модель его нагрузки, т.е. АИН, нагруженного, в свою очередь, на группу асинхронных двигателей (АД). Полная модель такой системы представляется необычайно громоздкой. Поэтому целесообразно рассмотреть альтернативные модели более низкой размерности.
Прежде всего, следует ограничиться представлением АД статическими RL цепями. Динамику двигателей в этом случае приходится учитывать в модели системы путем введения скачкообразного изменения параметров этих цепей.
Методы решения. При моделировании инверторов можно воспользоваться методикой, разработанной в [1, 2]. Однако приходится учитывать, что получаемые этим методом модели являются дискретными с периодом квантования, пропорциональным частоте инвертирования. Поскольку остальные элементы системы являются либо непрерывными (АД, фильтры) или дискретными с другой частотой квантования (УВ, импульсные преобразователи постоянного тока), прямое использование этих аналитических моделей при анализе и синтезе системы стабилизации напряжения преобразовательного комплекса оказывается затруднительным. В связи с этим целесообразно преобразовать эти дискретные модели АИН в непрерывные. Для этого можно предложить следующую схему построения модели системы комплекса.
1. Для каждого инвертора и его нагрузки строится дискретная модель по упомянутой выше методике.
2. По предлагаемой ниже методике построенные дискретные модели преобразуются к непрерывной форме, которую будем называть «огибающей» моделью.
3. Полученные огибающие модели инверторов стыкуются с непрерывной моделью фильтра звена постоянного тока.
4. Объединенная модель по одной из известных методик включается в модель системы стабилизации напряжения на выходе звена постоянного тока преобразователя.
В настоящей статье подробно рассматриваются пункты 2 и 3, поскольку пункт 1 описан в [1, 2].
При преобразовании дискретной динамической модели к огибающей непрерывной нам понадобятся матрица A и вектор Ь системы дифференциальных уравнений инвертора на интервале симметрии [3]
2 = А2 + Ь и (1)
и дискретная модель инвертора
2п+1 = В2п + йип. (2)
Две последние системы уравнений согласно [1-3] связаны следующим образом: 2п есть
начальное значение расчетного вектора 2 первой системы на п-м интервале симметрии, причем оно связано с конечным значением вектора 2 на предыдущем интервале соотношением
Хп* = К 2(т)п-1. (3)
Матрица К имеет индивидуальный вид для каждой схемы инвертора, а матрицы и векторы А, В,Ь, й связаны формулами
Б = КеАт; й = К(еАт- Е)а-Ь . (4)
Здесь еА есть матричная экспонента.
Введем непрерывную вектор-функцию у(0, для которой
у(пт) = уп = 2п . (5)
Дифференциальное уравнение для огибающего вектора ищем в виде
у = Бу + /и, (6)
решение которого
у«) = е5‘у0 + е - Е) Я-1/и (7)
в точках пт должен совпадать с вектором 2п. Поэтому
2п+1 = е5т2п + (е3т- Е) Б-1]ип. (8)
Сравнивая эту формулу с формулой (2), получим
В = еБт, (9)
(еБт - Е) Б-/ = К(еАт - Е) А-1Ь . (9а)
Отсюда находим параметры непрерывной модели:
Б = ^1п(В), (10)
т
/ = Б (еБт- Е)-1 (еБт- К) А-1Ь . (11)
Наибольшие вычислительные трудности представляет расчет матричного логарифма, для которого приходится находить собственные значения матрицы В и последующего применения формулы Лагранжа - Сильвестра:
п л \ п (-В -К >Е)
1п(В) = £ 1п(К() П \r~ti. (12)
г=1 у=1,( 1*1) (Л; -К ] )
Здесь (г = 1,...,п) - собственные значения матрицы В.
Для комплексных К величина 1п (К)находится по формуле
Ьп(К) = 1п(г) + г'(ф + 2пк), (13)
где г - модуль, а ф - аргумент комплексного числа X.
В соответствии с импульсной теоремой Шеннона в данном случае требуется рассматривать значение логарифма с минимальной мнимой частью, то есть вызывающего минимальную частоту соответствующей составляющей огибающего переходного процесса. Для этого в последней формуле следует положить к = 0.
Система дифференциальных уравнений трехфазной мостовой схемы АИН при низком значении коэффициента мощности нагрузки на одной шестой части периода выходной частоты сохраняет неизменный вид:
di1 2u R
dt ЗІ - L
di2 _ u R .
(14)
— и
йг 3Ь Ь
Здесь і1, і2 — токи первой и второй фаз нагрузки (ток третьей фазы выражается через них: і3 = —г'і—г2), и — постоянное напряжение на входе инвертора, Я и Ь — параметры активно-индуктивной нагрузки.
В векторной форме эта система примет вид (1), где
X =
Л =
' R 0 " 2 '
L ; b = ъь
0 R 1
L _ _ 3L _
15)
Для рассматриваемого инвертора
' 1 1"
-1 0_
Поскольку матрица А диагональная, ее матричная экспонента также диагональная:
K
еЛт =
0
0
R
—т L
(17)
(18)
Для применения формулы (10) заметим, что в данном случае
В = КеАт. (19)
Поскольку матричная экспонента в данном случае эквивалентна скалярному множителю, достаточно найти собственные значения матрицы К.
В результате главные значения комплексного логарифма собственных чисел матрицы В равны
Ln
R , п .
= т± —і .
L З
(20)
Применяя теперь формулу Лагранжа - Сильвестра, находим искомый матричный логарифм
(3(А-X2Е ( » - ^
LnD = 2 Re
2пі
R п .
--т— І
L З
21)
После подстановки этой формулы в (10), (11) и упрощений получим
П R 2п
S=
Зл/Эт L Зл/Зт
2п п R
(22)
Зл/Зг Зл/Зг L f = S (D - E )-1 (d - K) Л-1Ь .
(2З)
Формулы (б), (22) и (2З) составляют непрерывную динамическую модель АИН при управлении по каналу постоянного тока. Используя эту модель, можно получить непрерывную модель той части преобразователя, которая следует непосредственно после регулируемого звена постоянного тока, т.е. после управляемого выпрямителя или импульсного преобразователя постоянного тока (ИППТ). В достаточно общем случае эта часть содержит Г-образный LC-фильтр, нагруженный на АИН.
В векторном виде результирующая модель имеет вид
X =SX +nV, (24)
где V - напряжение на выходе УВ или ИППТ, а векторы X и П имеют вид
X = column [Ud i0 i i2 ]; (25)
П = column [1/ Ld 0 0 0]. (26)
Здесь Ud - напряжение на емкости фильтра, i0 - ток индуктивности фильтра, i1, і2 - токи пер-
вой и второй фаз нагрузки инвертора, Ld - индуктивность фильтра.
2
R
L
е
е
Матрица S имеет блочную структуру
АФ г
F S
в которой каждый блок имеет размерность 2x2, причем
Аф =
ф
і "
0 і C _R_ N г " і C 0 0I 0 N F /і _f2 00 1 I
(27)
(28)
Здесь С - емкость фильтра, Яа - активное сопротивление реактора фильтра, Я, Ь - параметры нагрузки, т Т - шестая часть периода выходной частоты,/ь/2 - координаты вектора / .
Выводы
Уравнение (24) с учетом (25)-(28) представляет непрерывную динамическую модель преобразователя частоты. Такая модель в дальнейшем может найти применение при аналитическом синтезе системы стабилизации напряжения на выходе звена постоянного тока преобразователя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дискретные динамические модели структурно симметричных инверторов / Э.К. Нугаев, Н.П. Митяшин, Е.Е. Миргородская, А. А. Щербаков // Управление сложными системами: сб. науч. ст. Саратов: СГТУ, 2009. С.3-9.
2. Миргородская Е.Е. Исследование дискретной модели автономного инвертора тока / Е.Е. Миргородская, Н.П. Митяшин // Анализ, синтез и управление в сложных системах: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2010. С.20-23.
3. Использование структурной симметрии вентильного преобразователя при его моделировании / Е.Е. Миргородская, Н.П. Митяшин, Э.К. Нугаев, А.А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-22: сб. тр. XXII Междунар. науч. конф.: в 10 т. Псков: ПГПИ, 2009. Т. 8. С. 234-236.
Митяшин Никита Петрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Томашевский Юрий Болеславович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Радионова Мария Валентиновна -
аспирант кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Nikita P. Mityashin -
Dr. Sc., Professor
Department of System Engineering
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Yuriy B. Tomashevskiy -
Dr. Sc., Professor
Head: Department of System Engineering Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Mariya V. Radionova -
Postgraduate
Department of System Engineering
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 14.10.11, принята к опубликованию 15.11.11
