CC BY
17
Непересекающиеся окружности на поверхности сферы Куразов Т. А.1, Куспаева В. Н.2
1Куразов Туретай Аманжолович / Kurazov Turetai Amanjolovish - профессор, кафедра физики конденсированного состояния, физико-математический факультет, Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова;
2Куспаева Венера Нургалиевна / Kuspaeva Venera Nurgalievna - заведующая отделением, Актюбинский колледж нефти и газа, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация: одной из нерешенных проблемных задач по математике из «Википедии» является определение максимального количества непересекающихся окружностей единичного радиуса на поверхности сферы с радиусом R [1. от 25.08.2016]. При размещении непересекающихся окружностей на поверхности сферы применим способ размещения окружностей «независимыми гирляндами», когда все окружности данного ряда касаются дуги окружности, образованной сечением поверхности сферы параллельными плоскостями. Аналогичная задача имеется среди нерешенных задач по физике. Определение максимального числа одноименных зарядов на поверхности сферы, радиуса R.
Ключевые слова: экваториальная окружность, главный диаметр, проходящий через центр сферы, нижний и верхний полюса сферы, параллели, гирлянды и кольца [5, с. 85].
При решении задач по электростатике, считая точками одноименные, одинаковые по величине электрические заряды за центр окружностей, а радиус электрического поля, приняв за единичный радиус окружностей, обе задачи сводим к решению одной постановке задачи.
Между окружностями соседних рядов образуются «резервные» зоны, которые при вынужденных смещениях центров малых окружностей в результате их наклона под определенным углом обеспечивают необходимые пространства для приема части сектора «вытесняемых» окружностей. Ввиду того, что мы имеем целое количество окружностей с постоянными диаметрами, то в конце каждой из «гирлянд» будут оставаться «мертвые зоны» - остатки поверхности данной сферы.
«Гирлянды» будут располагаться на боковых поверхностях сегментов сферы, образованных ее сечением параллельными плоскостями, расстояния между которыми изменяются по мере их отдаленности от центра сферы, но при этом расстояния между точками касания малых окружностей определяются диаметрами элементов «гирлянды». Введем понятия в виде определении, чтобы исключить «путаницы» между отдельными объектами, но имеющих одинаковые названия.
Определения:
1. Окружность, образованная на поверхности сферы сечением плоскости, проходящей через центр сферы, называется экваториальной окружностью или просто экватором сферы.
2. Главный диаметр, проходящий через центр сферы перпендикулярно экваториальной плоскости, называется осью вращения сферы, а его концы, находящиеся на поверхности сферы, называются полюсами.
3. Нижний полюс сферы называется «базисным», так как отсчет параллелей начинается именно с этого полюса.
4. Окружности, полученные сечением сферы плоскостями параллельно экваториальной плоскости, называются параллелями.
5. Элементы «гирлянд» - малые окружности с единичными радиусами, расположенные на поверхности сферы, называются «кольцами», диаметры колец равны двум единицам.
Центральный угол по центру сферы постоянен для всех параллелей, определяемых диаметрами колец, и равен ß.
Нижнее опорное кольцо равное окружности с диаметром 2, является опорным, так как все окружности колец первой «гирлянды», имеющих точки касания с плоскостью опорного кольца, опираются именно на это кольцо.
Так как кольца гирлянд имеют единичные радиусы, то стороны выпуклого многоугольника, вписанного в центральную окружность, равны двум единицам, кроме последней, длина которой, а< 2 . Когда длина остаточной стороны очень близка к двум (при Sa < 0, 0 5 ) , то можно принять за целую окружность, так как в междурядьях имеется достаточное пространство для смещения центров колец в ту или другую сторону. «Остаточные» стороны всех рядов в совокупности составляют «мертвые зоны», где отсутствуют внутренние точки единичных колец, и в эти резервные площади поверхности сферы будут смещаться кольца в результате незначительных вынужденных сдвигов.
Расстояния центров каждого кольца от центра сферы постоянны и равны значению
ß 1 d = Reo s - где = 2 аг с s in - ( 1 )
Рис. 1. Схема расположения окружностей с единичными радиусами по вертикальному сечению сферы (описанная окружность условно не показана)
Рис. 2. Схема для определения множества окружностей единичного радиуса
Определим число сторон вписанного многоугольника в центральную окружность
п = ] 2 7// [• (2 )
Если целая часть частного от деления четная, то существует второе «полярное кольцо» в верхнем полюсе. При незначительных недостачах необходимого пространства, то есть при Да < е, за счет допустимых смещений элементов гирлянд (колец) мы сможем «пристроить» дополнительное кольцо.
Количество колец в гирляндах по каждому ряду зависит от радиуса окружностей, которым принадлежат центры колец гирлянд каждого ряда, которые в свою очередь зависят от удаления от экваториальной плоскости. Кольца первого ряда опираются на опорное кольцо нижнего полюса (Рис. № 2).
Кольца гирлянды первого ряда касаются нижнего опорного кольца.
ОВ1 =ОВ = л/Д2 - 1
(3)
= = 1 + СОБ р (4) Центральные углы, опирающиеся на диаметры колец гирлянды первого ряда:
аЛ = 2 агс бш —
(5)
А число колец, расположенных по первому ряду, определяется как целая часть частного от деления:
пл =
2тг
(6)
Отдаленность центров колец гирлянды второго ряда от оси вращения сферы:
02Я2 = Д2 = 1 + 2СО5£ (7) Число колец гирлянды второго ряда:
tí2 = I—I ;где a2 =2 arc sin— (8)
J CC-¿ L í?2
Аналогичным образом определяются радиусы окружностей, определяющих месторасположения центров колец третьего и четвертого рядов [4, с. 127].
R3 = 1 + 2 cos/? + 2 cos 2/? + cos3/?; 1 (9) R4 = 1 + 2 со s // + 2 со s 2 // + 2 со s 3// + со s 4/?J и так далее
В результате кругового обхода процесс будет продолжаться до получения значения Rк < 1 . При значении R = 1 существует замыкающее кольцо на верхнем полюсе сферы.
Соответственно числа колец в третьем и четвертом рядах:
= I—I ; где a-. = 2 arc sin —
i
h(io)
t4 = | 2f || ; где a4 = 2 ar c s in-fi
Процесс «обхвата» сферы кольцами единичных радиусов завершается по получению числового значения:
nfc = I—I <1 ; где afc = 2 arcs in— ( 1 1)
Ja/cL Rk
Приведем конкретный пример:
Определить максимальное число окружностей единичного радиуса, расположенных на поверхности сферы, радиус которой R = 7 ед.
Центральные углы всех колец:
i
// = 2 arc sin- = 0,2 85 7142 86 радиан,
Число сторон вписанного в центральную окружность сферы:
N « 1-—-I « ] 2 1 ,9 9 1 1 .. [ = 21
Целая часть составляет 21 единицу, но ввиду того, что между кольцами и рядами имеются «мертвые зоны» то с учетом возможно допустимых смещений центров колец можем поместить
22 кольца, одно из них будет «опорным». Расстояния от центра заданной сферы до центров колец D = V 7 2 - 1 = 6,92 8 единиц.
Радиус гирлянды, центров колец в плоскости сечения сферы перпендикулярно оси вращения
R! « 1 + со s 0,2 85 7142 86 « 1,9 59 . . . Центральные углы колец первого ряда:
i
=2 arcsin^j-^ « 1,02 092 9. . радиан Число колец по первому ряду: t = I ——— I « ] 6, 1 5 4.. [ = 6 колец.
x J 1,020929 L
Вычислим радиусы колец гирлянд по каждому последующему ряду в их плоскостях сечении, походящих через центры соответствующих колец перпендикулярно оси вращения сферы и затем, используя формулы в
табличном виде определим значения a¿ и t ¿ (см. таблицу № 1 )
№ Рядов Радиусы гирлянд я* Центральные углы колец ак 127Г1 \ак\ Число пк колец Примечания
1 1,959...... 1,020929. 6,154..... 6
2 3,76....... 0,53191489. 11,81. 11
3 5,4586468.... 0,36437213. 17,244. 17
4 6,94416... 0,2870138. 21,891. 21
5 7,50587296. 0,265676. 23,65. 23
6 7,50462136. 0,265719575. 23,65. 23
7 6,945477. 0,28697148. 21,89. 21
8 5,8737747. 0,33887225. 18,54. 18
9 4,3764068. 0,4531099. 13,867. 13
10 2,574778. 0,75845545. 8,284. 8
11 Яц ~ 0,61 < 1 1
Общее число колец с единичными радиусами, расположенных на поверхности сферы радиусом R = 7 и не пересекающихся между собой, равно: N = 1 + 6 + 11 + 17 + 21 + 23 + 23 + 21 + 18 + + 13 + 8 + 1 = 163 (колец).
Таблица № 2 расчета количества непересекающихся окружностей с единичными радиусами, расположенных на поверхности с целочисленными радиусами от 2 до 13 единиц длины, включительно.
Таблица 2. Расчет количества окружностей на поверхности сферы
Радиус сферы К (единиц длины) Число сторон вписанного многоугольника Центральные углы колец (Ю радиан Число рядов гирлянд Кол- во колец на повер-хно-сти сферы Площадь поверхн. Сферы (единицы площади) Площади всех кругов (ед. площади) к
2 6 0,962..... 2 14 50,26548246 43,982.. 0,874994
3 9 0,6549.. 4 27 113,0973355 84,823.. 0,75
4 12 0,4949. 5 49 201,0619298 153,938. 0,7656
5 15 0,39738 7 79 314,1592654 248,186. 0,79
6 18 0,33181 8 108 452,3893421 339,292. 0,75
7 22 0,28571 10 163 615,7521601 512,080. 0,8316
8 25 0,24936 12 199 804,2477193 625,177. 0,7773
9 28 0,22177 13 246 1017,876020 772,832. 0,76417
10 31 0,19967 15 296 1256,637061 914,329 0, 7276
11 34 0,18157 16 376 1520,530844 1181,239.. 0,77686
12 37 0,16647 18 448 1809,557368 1407,434.. 0,777778
13 40 0,15369 19 526 2123,716634 1652,48.. 0,778108
Средний коэффициент площади поверхности сферы, единичного радиуса окружностями кср « 0,783 66. . .
Для сфер с достаточно большим радиусом Я > Л, где N достаточно большое число, мы определяем площадь поверхности сферы заданного радиуса, полученную площадь, умножив на усредненный коэффициент, разделим на площадь круга с единичным радиусом.
N «-^-= 4Д2 * 0,7803 ; (1 2 )
Например:
Для Я = 8 Ы8 « 4*64*0 ,7803 « ] 199,66 [= 1 9 9 ;
Для Я = 11 Л 0 « 4 *121 *0,7803 « ] 3 77,66 [ = 377;
Для R = 13 Л з « 4* 169*0,7803 « ] 52 7,48 [ =527;
При табличных подсчетах соответствующие числа составили:
199; 376; и 526 .
Вывод: При больших значениях радиуса сферы количество непересекающихся окружностей единичного радиуса на поверхности сферы определяем по формуле (12 )
4Д2/сСфеРы ~ 4Д2 * 0,7803258333 ......
Проверим нашу гипотезу для варианта: R = 19;
4
по прогнозируемым результатам число окружностей единичного радиуса на поверхности сферы с радиусом R = 19 должно равняться N = 1128 ± 1 ;
По вышеуказанным формулам: (5 ) — (1 2 ) центральный угол диаметров колец по экваториальной плоскости.
Р = 2 агсБт^ « 0,1 052 1462 04. . . радиан; Число сторон вписанного многоугольника:
п = 1-—-[« ] 59,71 78 [ = 59;
10,10521462041
Дальнейшие вычисления произведем в табличной форме:
Таблица. 3. Расчет количества окружностей при R= 19
д* як = щ ]пк[ № рядов
1,99447 0,964903 6,512 6 1
3,966881 0,498982 12,592 12 2
5,8954187 0,337640 18,609 18 3
7,758754 0,328884 19,105 19 4
9,536278 0,209343 30,014 30 5
11,20833 0,178203 35,259 35 6
12,75642 0,156624 40,116 40 7
14,163425 0,141092 44,593 44 8
15,41378 0,129664 48,457 48 9
16,493667 0,121185 51,185 51 10
17,391 0,114940 54,665 54 11
18,09625 0,110464 56,880 56 12
18,601229 0,107468 58,466 58 13
18,90048 0,105768 59,405 59 14
18,990688 0,105266 59,689 59 15
18,87086 0,105934 59,312 59 16
18,542329 0,107809 58,281 58 17
18,004189 0,111030 56,590 56 18
17,22687 0,115764 54,276 54 19
16,343 0,122000 51,502 51 20
15,23838 0,131154 47,907 47 21
13,965031 0,143100 43,908 43 22
12,537135 0,159357 30,428 30 23
10,97048 0,183056 34,324 34 24
9,28239 0,215947 20,096 20 25
7,491543 0,266180 23,605 23 26
5,61774 0,354161 17,741 17 27
3.67906 0,537137 11,698 11 28
1,69929587 1,117840 5,621 5 29
На нижнем полюсе расположено базисное кольцо, а по верхнему полюсу дополнительное кольцо не вмещается.
N = 1 +£п = 1 1 2 8; Прогнозируемое число также равно этому числу. Вывод:
Непересекающиеся окружности единичного радиуса занимают 78% площади поверхности сферы радиуса R > Л при достаточно большом его значении.
Литература
1. Википедия. Нерешенные математические задачи тысячелетия.
2. Куразов Т. А., Куспаева В. Н. Построение правильных многоугольников // Научный журнал, 2016. № 10 (11). С. 4-6.
3. Справочник по элементарной математике, М., 1978.
4. Кенжебаев К. К. Сборник задач по математическому анализу. Актобе, 2014. 388 с.
5. Куразов Т. А. Сборник задач по общей физике. Алматы, 2012.
