CC BY
32
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ЗАДАЧА О РАЗМЕЩЕНИИ «№> ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТИ
СФЕРЫ Куразов Т. А.1, Куспаева В. Н.2
1Куразов Туретай Аманжолович - профессор, кафедра физики конденсированного состояния, физико-математический факультет, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова; 2Куспаева Венера Нургалиевна - заведующая отделением, Актюбинский колледж нефти и газа, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация: согласно выписке из «Википедии», к открытым проблемам по математике относится задача о размещении множества точек на поверхности сферы радиуса Я, которую предлагаем решить методом построения описанных около заданной сферы кругов с определенными радиусами [1]. Постановка задачи согласно первоисточнику:
Как разместить «п» точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным? Постановка задачи с физической точки зрения. Как разместить «п» навигационных радиомаяков в стратосфере нашей планеты, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным? Данную задачу решим при помощи обратной задачи.
Ключевые слова: центр и радиус окружностей, центральный угол, синус, тангенс, описанная окружность, навигационные радиомаяки.
Формулировку задачи можно изменить следующим образом. Найти количество непересекающихся кругов заданного радиуса, касающихся поверхности сферы заданного радиуса R.
Круги радиуса г касаются поверхности сферы центральными точками. Задача решается аналогично задаче по размещению окружностей единичного радиуса на поверхности сферы радиуса R, только отличием является то, что центральный угол стороны описанного многоугольника определяется при помощи тангенса этого угла [2., стр. 1931. См. рис. 1.
Р = 2 агсЬд —, (1), где г и Я радиусы описанного круга и самой сферы соответственно.
Рис. 1. Схема расположения центров описанных окружностей
Искомое расстояние между точками касания определяется как длина хорды окружности поперечного сечения:
d = 2R s i n- (2 )
2 4 '
где а центральный угол сектора по сечению плоскостью параллельной экваториальной плоскости, который при постоянной величине стороны вписанного многоугольника меняется в зависимости от расстояния секущей площади от экваториальной плоскости (Рис. 2 и 3). R 1 = г + г со s // ; R2 = г + 2r cos (3 + г cos 2/3 ;
R3 = г + 2r cos/3 + 2r cos 2/3 + r cos 3/3 ; > (4)
R4 = r + 2r cos (3 + —1-2r cos 3/3 + r cos 4(3 ; Ri = r + 2r cos (3 + —1-2r cos(i — 1)/? + r cos(i/3 )
Рис. 2. Схема расположения касающихся поверхности сферы кругов по вертикальному
диаметральному сечению
Первая точка находится на нижнем полюсе заданной сферы.
12тгГ
] ~~р I это отношение определяет количество сторон описанных кругов по
центральному сечению заданной сферы, половина этого значения количество рядов в вертикальном сечении сферы (значения 1).
Так же, как и при решении предыдущей задачи определяется по каждому горизонтальному ряду количество описанных вокруг сферы кругов, общая сумма всех описанных кругов по всем рядам и определит общее количество точек, лежащих на поверхности сферы для которых наименьшее из попарных расстояний между ними было бы максимальным. Углы (3 и аь следовательно как количество всех точек (центров кругов) так и расстояние между ними впрямую зависят от отношения радиусов непересекающихся кругов с одинаковыми радиусами (г) и радиуса сферы.
Рис. 3. Схема касания кругами поверхности сферы по их горизонтальным сечениям
Приведем пример расчета определения количества описанных сфер непересекающихся кругов с одинаковыми радиусами в табличном виде.
Таблица 1. Расчеты количества кругов, касающихся сферы окружностей при соотношениях
их радиусов
Отношения радиусов у7 1/13 V17 1/гз
Центральный угол диаметров ' Р 0,28379411 0,15354378 0,11751164 0,08690179
Число вершин вписанных многоугольник.по плоскости центр. сечения 22 40 53 72
2Л/Р 22,1399 40,9211 53,4686 72,3021
Число рядов 11 20 26 36
Количество точек (центров) кругов 150 536 897 1652
Расчетные расстояния между точками 0,282843Я 0,153393Я 0,117444Я 0,086874Я
Для каждого из соотношения радиусов вычислим количество центров описанных кругов, на поверхности сферы (Число точек).
Таблица 2. Расчеты при соотношениях радиусов ( г/д = "'"/у Р = 0,283 7941 1)
№№ рядов Ик <*к « пк ]пк[ примечания
1 1,96 г 1,058942 5,933 5
2 3,7632 г 0,532387 11,80 11
3 5,2653 г 0,378279 16,610 16
4 6,3470 г 0,313219 20,060 20
5 6,9195 г 0,287119 21,884 21
6 6,9391 г 0,286303 21,946 21
7 6,4037 г 0,310425 20,241 20
8 5,3209 г 0,374279 16,787 16
9 3,8447 г 0,520827 12,064 12
10 2,0581 г 1,0035945 6,261 6
11 0,104 г 1
Всего с учетом точки нижнего полюса 150 точек.
Таблица 3. Расчеты при соотношениях радиусов С / ц = "Дз ,Р = 0,153 54378 . . .)
№№ рядов /г ак! /2 « пк примечания
1 1,988235 0,501477 6,265 6
2 3,929689 0,253724 12,382 12
3 5,778679 0,172540 18,208 18
4 7,491700 0,133088 23,605 23
5 9,028446 0,110435 28,447 28
6 10,35276 0,096308 32,620 32
7 11,43348 0,087205 36,025 36
8 12,24577 0,081420 38,585 38
9 12,76874 0,078086 40,232 40
10 12,99187 0,076745 40,935 40
11 12,90932 0,077724 40,420 40
12 12,52311 0,079617 39,459 39
13 11,84214 0,084196 37,313 37
14 10,88254 0,091620 34,290 34
15 9,666878 0,103141 30,459 30
16 8,223764 0,121241 25,912 25
17 6,587152 0,151364 20,755 20
18 5,725028 0,174157 18,039 18
19 3,820590 0,260969 12,038 12
20 1,848133 0,539493 5,823 5
21 1 1
С учетом точки в нижнем полюсе 536 точек, расстояния между центрами описанных кругов 0,153393 Я = 1,99 6069 г.
№№ рядов /г ак ]«*[ примечания
1 1,993103 1,04919 5,988 5
2 3,958716 0,524328 11,983 11
3 5,869725 0,341181 18,416 18
4 7,699773 0,260032 24,163 24
5 9,423617 0,212264 29,601 29
6 11,017480 0,181465 34,625 34
7 12,459378 0,160417 39,168 39
8 13,729422 0,145550 43,169 43
9 14,810095 0,134912 46,572 46
10 15,686491 0,127364 49,333 49
11 16,346521 0,122215 51,411 51
12 16,781082 0,119046 52,779 52
13 16,984181 0,117622 53,418 53
14 16,953014 0,117838 53,321 53
15 16,688013 0,119711 52,486 52
16 16,192832 0,123376 50,927 50
17 15,474302 0,129113 48,664 48
18 14,542334 0,137400 45,729 45
19 13,409780 0,149026 42,162 42
20 12,092265 0,165298 38,011 38
21 10,607961 0,188491 33,334 33
22 8,977339 0,222859 28,194 28
23 7,222892 0,277307 22,658 22
24 5,368819 0,374055 16,787 16
25 3,440693 0,588741 10,672 10
26 1,525110 1,427198 4,402 4
С учетом точки в нижнем полюсе всего 897 точек.
№№ рядов Пк/ /г ак ]«*[ примечания
1 1,996226 1,048283 5,994 6
2 3,977386 0,507804 12,373 12
3 5,928529 0,388648 16,667 16
4 7,784927 0,255720 24,571 24
5 9,682195 0,206736 30,392 30
6 11,456389 0,174632 35,980 36
7 13,144120 0,152161 41,293 41
8 14,732650 0,135728 46,292 46
9 16,209990 0,123342 50,941 50
10 17,564991 0,113816 55,205 55
11 18,787425 0,106404 59,050 59
12 19,868068 0,100602 62,456 62
13 20,798763 0,096097 65,384 65
14 21,572486 0,092653 67,814 67
15 22,183398 0,090111 69,727 69
16 22,626889 0,088329 71,134 71
17 22,899610 0,087282 71,987 71
18 23,058580 0,086681 72,486 72
19 23,043969 0,086735 72,441 72
20 22,797257 0,087634 71,698 71
21 22,379382 0,089312 70,351 70
22 21,793497 0,091716 68,507 68
23 21,044025 0,094984 66,150 66
24 20,136622 0,099269 63,295 63
25 19,078136 0,104780 59,966 59
26 17,876556 0,111830 56,185 56
27 16,540950 0,120871 51,983 51
28 15,081398 0,132585 47,390 47
29 13,508917 0,148045 42,411 42
30 11,835372 0,169025 37,173 37
31 10,073396 0,198681 31,624 31
32 8,236287 0,243197 25,286 25
33 6,337908 0,316582 19,847 19
34 4,392587 0,458896 13,692 13
35 2,415007 0,852996 7,366 7
36 0,420090 Не определена 1
X» 1651
С учетом точки в нижнем полюсе имеем 1652 точек, центров описанных непересекающихся кругов радиусами г = ^/23;
при диаметре описанных кругов d = 0,086874Я (максимальное значение из минимальных расстояний между рядом стоящими точками).
Согласно данным из таблицы № 3 находим средние отношения площадей описанных кругов к площади поверхности сферы.
тг£
в = * 0,25 * 100%; (5 )
47ГЙ2 '
7г и Д 2 сокращаются и мы получим средние показатели:
150(0,282843)2 _ ^ 1 6 , ;
536(0,153393) _ 7882 .
1 6 ' '
897(0Д17444)2 = 0,7 7 3 3;
16
1652(0,086874)2 _ ууд2 ■
16 ' '
в = °^ + 0.7882 + 0,7733 + 0,7792 ^ 1() = %
4
В тех случаях, когда задаются количество точек на поверхности сферы, для определения требуемых значении между соседними точками применим обратную формулу:
а * 4Д & ; где ( 6 )
Л] N
а -- требуемое значение расстоянии между соседними точками;
Я -- Радиус заданной сферы;
N -- Заданное количество точек на поверхности сферы;
бср ^ — средний коэффициент плотности расположения точек на поверхности сферы.
Затем, используя формулы (5 ) и (6) , в табличной форме вычисляем количество фактических точек при расчетном расстоянии между точками, при неравенстве фактического числа точек с заданными значениями введем корректировку расстояния между точками в ту или иную сторону.
Пример: Как разместить N = 125 точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний было максимальным?
<2расч * 4Д * о,3 1449 3 Д ;
расч. у] 125
0 31 4493
Р * 2аг с ^ 144 ^ * 0,31193869;
2л 2л
Т 0,31193869
= ]20Д42[ = 20;
Таблица 6. Определение расстояния между точками при известном количестве заданных
точек
№№ рядов к ак ]«*[ примечания
1 1,951740 1,075869 5,840 5
2 3,715100 0,545066 11,527 11
3 5,119881 0,393161 15,981 15
4 6,030495 0,333187 18,858 18
5 6,359050 0,316444 19,856 19
6 6,173758 0,325386 19,310 19
7 5,302300 0,379467 16,558 16
8 3,928712 0,514736 12,207 12
9 2,185573 0,950467 6,611 6
10 0,241128 1
С учетом точки на нижнем полюсе всего 123 точки. В принципе можно при сдвиге центров кругов в «мертвые зоны» поместить остальные две плановые точки или же незначительная корректировка расстоянии между точками с округлением в меньшую сторону даст нам необходимое решение. У нас расчетное расстояние а = 0,314493Я;
За решение задачи окончательно принимаем а = 0,3144 *Я.
Список литературы 1. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972 г. С. 284.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
12 3
Рахимов Н. Н. , Тагирова З. Г. , Джумаев М. М.
1Рахимов Насриддин Номозович /Rahmov Nasriddin Nomozovich - преподаватель;
2Тагирова Зухра Гулямовна / Tagirova Zuxra Gulyamovna - преподаватель; 3Джумаев Максуд Мияссарович /Djumayev MaqsudMiyassarovich - преподаватель,
Академический лицей № 2 Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье указаны с помощью теоремы косинуса методы решения некоторых алгебраических задач. В каждом этюде приведены геометрические приемы решения задач. Они, как правило, не обладают для учащихся признаком привычности, но, как показывает опыт, легко ими воспринимаются. Благодаря интеграции «негеометрического» условия задачи и ее геометрического решения математические знания предстают перед учащимися как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики. По существу, действует двусторонний процесс: обучение математике и обучение математикой. Некоторые задачи, дорогие коллеги, могут показаться вам сложными для выбора их в качестве упражнений на уроке, тогда можно рассмотреть их на факультативных занятиях.
Ключевые слова: теорема, треугольник, функция, уравнение, неравенство, система уравнений.
Известно, из теоремы косинусов верна следующая формула a2 = b2 + c2 — 2bccosa , где a, b и c -стороны треугольнике. Об этой теореме все ученики хорошо знают по школьному курсу геометрии.
Мы на этой статье покажем: с помощью теоремы косинусов можно не только решить геометрические задачи, но и можно решить алгебраические задачи.
Решить задачи в этом методе учеников ещё более интересовало на уроке математики.
1-задача. Найдите наибольшие значения функции
f (х) = V х2 + 9 — 4 х2 — хл/3 +1
Решение. Посмотрим треугольник ABC (1 рис.),
Рис. 1. Над рисунками найдем отрезок DB 12
