CC BY
23
УДК 51-77, 330.4
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВОЛАТИЛЬНОСТИ И ЕЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ
А.В. Добровидов, В.Э. Тевосян
Предложен метод непараметрической оценки стохастической волатильности и его сравнение с другими широко используемыми в эконометрике алгоритмами. Основным преимуществом данного подхода является возможность получения оценки волатильности в случае, когда ее распределение вероятностей полностью неизвестно. Показано, что разработанный метод имеет лучшие характеристики по сравнению с известными параметрическими алгоритмами, построенными на основе модели ОЛЯСИ и фильтра Калмана.
Ключевые слова: стохастическая волатильность, непараметрическая оценка сигналов, фильтр Калмана; ОЛЯСИ, модель Тейлора.
ВВЕДЕНИЕ
Прежде чем перейти к описанию моделей стохастической волатильности, рассмотрим несколько подробнее само понятие. Под словом волатильность могут пониматься различные финансовые явления. В зависимости от контекста и точки зрения волатильность может иметь смысл явления изменчивости цен в виде стандартного отклонения доходностей, параметра финансового риска или ценовой модели либо случайного процесса определенного вида. Появившаяся в 1973 г. модель оценки опционов Блэка — Шоулза — Мертона [1] изменила представление о волатильности. Блэк и Шоулз в своей работе применили непрерывное геометрическое броуновское движение для построения м атематической м одели ц ен. Успех д анной работы привел к широкому распространению стохастических моделей в эконометрике. В данной работе под термином волатильность будем понимать случайный процесс, описывающий изменчивость цен.
Анализ доходности американских инвестиционных фондов показал, что основной характеристикой, отличающей успешные фонды, является умение управлять волатильностью портфелей таким образом, чтобы в периоды высокой изменчивости цен акций снижать долю наиболее волатиль-ных активов в портфеле [2]. Также стоит заметить, что основанные на динамическом измерении во-латильности активные инвестиционные стратегии приносят значимую выгоду [3, 4]. Все эти выводы говорят о том, что знание волатильности имеет принципиальное значение для эффективного кон-
троля портфелем акций, построения инвестиционных стратегий и управления рисками компаний наряду с другими вопросами.
В последнее время начали появляться работы по непараметрической оценке волатильности. Примерами могут служить прогноз волатильности методом локального экспонентного оценивания для модели Яо и Тонга [5], предложенный Зигельман-ном [6], или оценка параметров стохастических моделей Дюффе и др. [7] и Жакье и др. [8] через инфинитезимальные моменты в статье Банди и Рено [9]. В отличие от этих работ настоящая статья опирается на теорию принятия решений Вальда, а именно на наиболее распространенном в статистике критерии минимизации функции риска. Авторами рассматривается модель волатильности в виде ненаблюдаемого стохастического процесса с неизвестными распределением и уравнением состояния, который (при определенных условиях) можно оценивать на основе эмпирического байесовского подхода, развитого применительно к задачам теории непараметрической фильтрации, интерполяции и прогноза частично наблюдаемых марковских процессов [10]. В этой теории стохастические модели состояния полезных сигналов предполагаются неизвестными, а модели наблюдения, описывающие приборы исследователя, предполагаются полностью известными. Если полезный сигнал в чистом виде не наблюдаем, то в общем случае восстановить его распределение невозможно. Следовательно, напрямую воспользоваться оптимальной байесовской процедурой для восстановления полезного сигнала по наблюдениям не удается. Основное преимущество данного подхода
по сравнению с вышеуказанными параметрическими оценками заключается в возможности рассмотрения процесса волатильности любой ч астоты без предположений о модели ненаблюдаемой составляющей.
1. МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Цена актива на финансовом рынке в момент времени I, согласно определению, положительна и
обычно рассматривается в представлении = ¿0 е ,
/
где Щ = ^ г, I = 0, 1, 2, ... Величина г1 называется
I = 1
логарифмическим доходом в момент времени I и определяется как
ri = log
St
} t-1
Простейшее предположение о вероятностном характере величины г1 состоит в том, что ее модель описывается стохастическим уравнением г1 = сте,, где е = (е,) — последовательность независимых одинаково распределенных N(0, 1) случайных величин, а ст — параметр, который в финансовой литературе принято называть волатильностью.
Дальнейшие исследования показали, что вола-тильность сама по себе «волатильна» и ее поведение хорошо описывается случайной функцией времени. Волатильность, как характеристика изменчивости, сама по себе не наблюдается, но может быть представлена случайным процессом (ст) в модели наблюдаемой доходности
rt — Ц + ст te i
(1)
где ц, и CTt — заданные случайные процессы. В настоящей работе рассматриваются две параметрические условно-гауссовские модели волатильности в дискретном времени, определенные в рамках концепции эффективного рынка: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) [11], предложенная Боллерслевом, и созданная Тейлором Stochastic Volatility (SV) [12]. Первая из них наиболее популярна на практике, так как не только описывает саму волатильность, но и предсказывает ее значение на шаг вперед. Однако в этой модели волатильность ст, является заданной функцией от наблюдаемой доходности rt, что несколько ограничивает возможности ее изменения. Особенность второй модели состоит в том, что волатильность ст, в ней представлена в виде отдельного независимого от дохода rt стохастического
процесса [13]. Такое предположение позволяет существенно расширить разнообразие поведения во-латильности и применить для ее описания богатые и хорошо развитые м етоды теории случайных процессов и теории м артингалов [14]. Далее в п. 1.1 и 1.2 эти две модели рассматриваются подробнее.
1.1. Модель йАЯСН
Предположим, что последовательность е = (е) > 1 в модели (1) является единственным источником случайности на рынке, а условное среднее и условная дисперсия равны соответственно
^ = Е(г,|г, - р ..., г1) = °
- Е( ft\rt - р ..., r1) -
ао +
Еа^-i, i = 1
(2)
где а0 > 0, ai > 0, i — 1, ..., p и r1 - , ..., r0 — заданные начальные константы. Условное среднее ц, приравнивается нулю, потому что среднесуточная доходность и внутридневные доходности акций и валют в среднем равны нулю [15].
Такая модель была введена в 1982 г. Робертом Энглем и называется ARCH(p) (AutoRegressive Conditional Heteroskedastic Model — авторегрессионная м од ель условной неоднородности). Она оказалась весьма удачной при объяснении ряда нетривиальных свойств временных финансовых рядов таких, как эффект кластеризации значений величин rt .
Определение 1. Модель ARCH(p) — это последовательность r — (rt) вида rt — ст,е,, где е — (е,) — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин et ~ N(0, 1), a ст2 определяется из рекуррентного уравнения (2). ♦
Успех модели ARCH(p) привел к появлению различных ее обобщений и модификаций. Одной из таких разновидностей является введенная в 1986 г. Тимом Боллерслевом модель GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic Model — обобщенная авторегрессионная модель условной неоднородности). Преимущество модели GARCH (p, q) по сравнению с предыдущей моделью состоит в том, что для подготовки ARCH к реальным данным требуется брать большие значения p, а обобщенная модель позволяет ограничиться небольшими значениями p и q.
Пусть по-прежнему считается, что ц, — 0, но в отличие от выражения (2) ст, описывается уравнением
ст2 — (r2|rt - р ..., r1) —
— а0 + Е
а rt
i = 1
+ ЕР, j = 1
jст, - j,
(3)
p
2
ст
q
2
с а0 > 0, а., р. > 0 и начальными условиями (r1 - ,
..., r0), (ст1_ , ..., ст0), которые могут быть константами либо сгенерированы заранее.
Определение 2. Модель GARCH(p, q) — это последовательность r = (rt), rt = ст ^еt, где е = (et) — последовательность независимых одинаково распределенных N(0, 1) случайных величин, а ст t подчиняется соотношению (3).
1.2. Модель Тейлора
В моделях типа ARCH существует только один источник шума, который задается гауссовской последовательностью независимых случайных величин е = (et)t > 1. При этом дисперсия процесса доходности предполагается в той или иной форме зависимой от прошлых его реализаций. Альтернативный способ моделирования состоит в том, чтобы задать динамику цен простой моделью, например, дифференциальным уравнением, как это сделано в модели Блэка — Шоулза, но волатильность в нем считать не параметром, а отдельным стохастическим процессом. Таким образом, появляются два независимых источника случайности. Модели стохастической волатильности включают в себя еще один источник шума 5 = (St)t > 1, который в простейшем случае также состоит из независимых N(0, 1)-распределенных случайных величин.
Пусть, как и в предыдущих моделях, выполняется первое из условий (2). Тогда
rt = CTtet,
(4)
где et являются N(0, 1)-распределенными случайными величинами. Положим,
CTt = е
2
(5)
отсюда следует, что ст { — положительная случайная величина. Наибольшей популярностью пользуются модели зависимых случайных величин, в которых последовательность (Д^ > 1 представлена в виде авторегрессионной модели
At = a0 + aiAt - 1 + ... + apAt - p + с5я
где с — дисперсия шумовой составляющей. Из выражений (4)—(6) следует, что условное распределение г 1 при фиксированных предыдущих значе-г1 является гауссовским с парамет-
ниях r
t - 1'
рами 0 и ст, :
Определение 3. Модель стохастической вола-тильности — это последовательность г = (г) вида = ст,в,, где е = (е,) — последовательность независимых одинаково распределенных N(0, 1) случайных величин, а ст1 определяется уравнением авторегрессии Др возбуждаемой «белым» N(0, 1) шумом.
2. ФИЛЬТР КАЛМАНА
Одним из ш ироко применяемых в современной эконометрике способов решения задачи оценки волатильности является фильтр Калмана [16, 17]. Рассмотрим его применительно к задаче оценки стохастической волатильности. Данный метод оценивания применим только к линейным гауссовс-ким моделям, поэтому необходимо привести уравнение (4) к линейному виду. Воспользовавшись формулой (5), получим
2 д
ъ = стtеt = в е.
Логарифмируя квадрат этого выражения, получим
1ОБ( г]) = 1ОБ( еА 'е2) = 1О§( в^') + 1О§( е2) = = Д' + 1ОБ( е]).
Обозначим Ь = log( г]), а ^ = log( е]). Тогда уравнение (4) представляется в виде
Ь = Д + I, (7)
Для простоты уравнение (6) будет представлено в виде авторегрессии первого порядка с нулевым математическим ожиданием:
A t = a1A t - 1 + c5 r
(8)
Одно из обязательных условий применения фильтра Калмана состоит в гауссовости шумовых
составляющих, но случайная величина ^ = 1о§( е])
в модели состояния не является гауссовской, по-
(6) этому ее заменяют на гауссовскую ^ со средним
f(rt\rt - 1, ..., r1) = N(0,
2
ст ).
= = —1,27 и дисперсией = =
2
= 4,93 = п /2 [18] (вывод этих значений приведен в Приложении). Тогда система (7), (8) заменяется на систему
b t = A t + & A t = a1A t -1 + с 51.
В итоге фильтр Калмана для модели стохастической волатильности будет описываться системой уравнений:
Д, = ах Д, _ 1 +
+ - 2 ^ +- 2 ^ 1 (Ьп + 1,27 - ах Д, -1), (9)
п2 + 2 с2 + 2а2 у, _ 1
2, 2 . 2 ч = п ( с + а 17 , _ 1)
^, 2 2 2
п + 2 с + 2а^,_ 1
с начальными условиями
2
2с
Д1 = 2 ( . а )+2 2 ь1,
п (1 _ а1) + 2 с
22
= _п с_
2 2 2 ' п (1 _ а1) + 2 с
В д анной системе оценка Д, является рекуррентной, что удобно для вычислений, но замена на га-уссовский шум может приводить к дополнительным ошибкам.
Полученные из системы уравнений (9) значения подставляются в формулу (5) для получения оценки самой волатильности:
( " , 2с2 + 2 сиу, 1 а, = ехр|а1Д,_ 1 + 2 , „ 2 , \ 2_ 1 Х
п + 2с + 2а^, _ 1
(Ьп + 1,27 - а1 Д, _ 1)
3. УРАВНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОИ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА
В 1960—1970-х гг. предпринималось достаточно много усилий для разработки строгих методов обучения и самообучения автоматических систем. Одно из направлений работы было нацелено на решение задач самообучения при статистической обработке сигналов с неизвестными моделями состояния. Оно привело к созданию теории непараметрического оценивания сигналов, одна из первых работ которой опубликована в 1983 г. [19]. В этой теории стохастические модели состояния полезных сигналов (Б,) предполагаются неизвестными, а модели наблюдения, описывающие измерительные приборы, предполагаются полностью известными. Если полезный сигнал в чистом виде не наблюдаем, то в общем случае восстановить его
распределение невозможно. Следовательно, напрямую воспользоваться оптимальной байесовской процедурой для восстановления полезного сигнала по наблюдениям не удается. В параметрических моделях делается предложение о математических моделях ненаблюдаемого сигнала. К примеру, в моделях ОЛЯСИ и стохастической волатильности вводятся уравнения состояния (3) и (6) соответственно. Основное преимущество непараметрического метода оценивания заключается в возможности получения оценки ненаблюдаемого стохастического процесса в случае, когда его распределение полностью неизвестно, т. е. решается задача фильтрации ненаблюдаемого сигнала без введения моделей описания процесса и предположений о его природе.
Пусть (X, Б,), > 1 — частично наблюдаемый двух-компонентный процесс, где (X, е К) ,> 1 и (Б1 е Д) > 1 — наблюдаемые и ненаблюдаемые компоненты, статистически связанные условной плотностью распределения /(х, 5,) = /(х, |Б, = 5,). Задать условную плотность, значит задать два объекта: распределение шумов пмодель наблюдения, т. е. уравнение связи наблюдения Х1 с полезным сигналом Б 1 и шумом п,, Х1 = ф(Б,, п ,)• В зависимости от формы модели наблюдения и распределения шумов получаются различные классы задач фильтрации. Рассмотрим класс задач, в которых статистическое уравнение связи и распределение шумов подобраны так, что условная плотность /(х, 5,) принадлежит экспонентному семейству:
Дх>,) = С (5№х)ехр{Т(х)0(5)} (10)
при фиксированном полезном сигнале = 5,. Здесь
Т, Qи £ — заданные борелевские функции, а С (5,) — нормирующий сомножитель. Параметрическое семейство (10) содержит, прежде всего, гауссовскую плотность распределения, единственную, для которой известны оптимальные среднеквадратичес-кие оценки в явном виде. Кроме того, туда входят
^-распределение, бета-распределение, часть системы распределений Пирсона и др. Если случайная величина имеет вероятностный смысл, то такую параметризацию семейства называют естественной • Семейство распределений (10) допускает и более простую, так называемую каноническую параметризацию, когда в качестве параметра берется 0, = Q(S), линейно входящее в выражение под эк-спонентой. В этом случае
Дх,|е,) = С(0 ^(х)ехр{Т(х)0,}
(11)
X
и нормирующий сомножитель определяется выражением
С"1(6') = | 8(х)ехр{Т(х)8)йх.. (12)
я
При этом множество значений 8 , для которых существует экспонентная плотность /(х118'), ограничивается множеством тех 8 , для которых интеграл (12) конечен.
Основная идея построения алгоритма оценивания в этом случае состоит в том, чтобы вместо процесса Б( оценить процесс (8^ = 0(Б')) 1 > р порождающий более простую каноническую параметризацию в семействе распределений (11), а затем получить оценку Б' в виде 0 х( 8/) с помощью обратной функции 0 существование которой
обязательно предполагается. Оценка Б = 0 *(8') также будет оптимальной, но с функцией потерь
(0(8) - 0(8'))2.
Проблема оценивания процесса 81 будет решена в рамках предположения, что ненаблюдаемая последовательность (Б)1> 1 является марковской. Отсюда следует, что двухкомпонентный процесс > х = (Б, X)' > х также является марковским.
При полностью известной статистической информации для оценки 8 используется оптимальная байесовская оценка в виде условного среднего
8' = | 8^(8'|х1)й8
(13)
где © ' — множество значений процесса 8, а wt — апостериорная плотность, удовлетворяющая рекуррентному уравнению
^К) = ^ К *), t > 2, (14)
/(Х'|хх )
В случае полной статистической информации для получения оптимальной апостериорной оценки интегралы в уравнениях (14) и (15) заменяются на суммы. Таким образом получается фильтр Куш-нера — Стратоновича [20, 21].
Теперь проинтегрируем по 8 обе части уравнения (14) и перенесем влево сомножитель, который зависит только от наблюдений:
/(х|х1- Х) = | /(х|8 ¿м^-1 ^8.. (16)
©
Продифференцируем полученное выражение по х■
/х' (х|х1- х) = | /4 (х'|81 )08'. (17)
Как упоминалось ранее, мы предполагаем, что условная плотность распределения /(х1|8') принадлежит экспонентному семейству. Тогда
/(х|х1 1)] = д! 1 Сф^Цх^^ф^!-1 )й8( =
8 (х)
■V / х,
= | Т' (х)8 С(8)ехр(Т(х)8)к (Ф1х\- 1)й8 ,, (18)
где штрих означает дифференцирование по х.
Умножим левую и правую части уравнения (18) на £(х)//(х|х1-1):
а( 1п/(х|х1-1)] -
дх,
8 (х)
Т' (х )
= * - ' 1 I 8'С(8')8(х)ехр(Т(х)8^ф^ 1)й8е /(х\хг ) ©'
Воспользовавшись определением байесовской оценки, получим уравнение оптимальной фильтрации относительно оценки 0 {:
■ч - 1
где ^'(8'|х1 Х) = | р (8'|8'- 1И - 1(8' - ^Г
прогнозная апостериорная плотность, а — р \ -1) переходная плотность вероятности марковской последовательности (8')' > 1.
Используя байесовскую формулу, найдем начальное условие для уравнения (14):
^1(81|х1) = /х | 8 1 )Р (8 1 )
I /(хх|81) ~р (81)
(15)
Т1 (хл 8' = ш/( х| х1- 1 )
дх'
8 (х1)
(19)
Это уравнение не зависит в явном виде от априорной и переходной плотностей распределения ненаблюдаемой последовательности Б, а значит, с его помощью можно получить оптимальную оценку 0' по значениям наблюдаемой компоненты Х1 без явного задания переходной плотности.
Единственной неизвестной характеристикой в уравнении оптимальной фильтрации, полученном для класса моделей (11), является условная плот-
(-1
ность/(х, | х\ 1) наблюдения хп при фиксированных
предыдущих наблюдениях х\~1 = (х1, х2, ..., х1 _ 1). Поскольку (X,) — наблюдаемый процесс, то по его реализации эту характеристику можно восстановить непараметрическими ядерными методами. При этом знания функциональной формы условной плотности /(х, | х'{1) не требуется. Для применения техники ядерного оценивания необходимо лишь задать два параметра: коэффициент размытости и параметр регуляризации. В д анной работе для этих целей применяется метод сглаженной кросс-валидации [22] и регуляризация Тихонова [23] соответственно. Имея в распоряжении методы оценивания коэффициентов размытости и параметров регуляризации вместе с непараметрическими алгоритмами фильтрации, мы получаем рабочий инструмент для решения задач выделения неизвестных полезных сигналов на фоне помех, который зависит только от наблюдаемой выборки. Именно поэтому непараметрические методы выделения сигналов можно назвать автоматическими или самообучающимися.
При неизвестном уравнении состояния условная плотность наблюдений /(х, | х\~1) не м ожет быть
вычислена точно. Однако ее можно приближенно вычислить при помощи непараметрической ядерной процедуры с заданной степенью точности по
зависимым наблюдениям х1 . Согласно этой процедуре мы должны заменить неизвестную плотность /(х, | х'{1) на «урезанную» плотность /(х, | х\ _1), где
т — степень зависимости наблюдаемого процесса (X,). По существу, т представляет собой порядок связности марковского процесса, аппроксимирующего немарковский процесс (X,) (БоЪгоу1ёоу, е! а1.,
2012). По определению /(х^х[ _1) = /х, _ т)//(х, _1). Тогда
(in(/(xjX - т1));и =
" /(Х-т)
(20)
Знаменатель последней формулы представляет собой (т + 1)-мерную плотность.
Непараметрическая ядерная оценка для такой плотности имеет вид:
1
(t - т - 1 )к%
f ( 4 - т ) =
t - т - 1 т + 1
_ £ п Xt-j+ 1 " Х--
1 j = 1
К
(21)
Непараметрическая оценка числителя (21) записывается как
t - т - 1
Xt-т ) =
£ K
(xt xt
( t - т - 1 )h\+3 i = 1
т + 1
П kî xt - j + 1 4 - j -i + 1 j = 2
1t
h11
(22)
где f и K означает частную производную по переменной xt.
Таким образом, для непараметрической оценки логарифмической производной плотности получаем выражение:
(ln(У (xt\x\-X = £ХМ .
" Л xt - т)
Такая оценка называется оценкой подстановки (plug-in estimate). Для вычисления отношения(20) остается только выбрать коэффициенты размытости ht для плотности (21) и h1t — для ее частной производной (22) [24].
4. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Для линейного варианта модели Тейлора (7), (8) условная плотность распределения bt при фиксированном At будет иметь вид (вывод приводится в Приложении):
MA) =
exp ( b t/2)
ДП exp (At/2)eXP ^ 2exP(A
exp ( bt )
(23)
Формула (23) важна для построения непараметрической оценки волатильности, так как одним из условий является принадлежность условного распределения к экспонентному семейству.
Нетрудно проверить, что плотность (23) относится к экспонентному семейству (11), где
w = expb/2 ; (bt) = 2 ^^^ = 1 g(bt);
л/2я
2 72П 2
C(At) =
1
exp (At/2):
T(b) = - ^ ; T^ (b^ = - ^ ;
9(At) =
1
exp (At)
x
Уравнение оптимальной фильтрации (19) принимает вид:
8(Д')х Т1 (Ь) = " I 1П
д (Л/(Ьт)
5 Ь1 ( ( 8(Ь) = /( Ь'- т) -/( Ь' - т ) 8( Ь') .
' - хЛ _
(24)
Подставим в уравнение (24) полученные выше выражения:
ехр (Ь') _ 1 _ /(Ь'-т)
2ехр (Д') 2 /( ь' - т) В итоге непараметрическая оценка
2/( Ь - т)
Д = 1ов| ехр (Ь')/| 1 - ' ' ' " /(Ь\ т)
а оценка волатильности принимает вид:
СТ = ехР (|) = №( 1 -
(25)
Покажем, что знаменатель под корнем принимает только положительные значения, т. е.
1 - > 0. /( Ь' т)
Для этого умножим обе части неравенства на /(Ь' т):
/(Ь' т) - 2/'(Ь'-т) > 0. Затем поделим на /(Ь' - т):
Щтг - Щ~Т = /(Ь'|Ь'-1) - 2/'(Ь\Ь 1) > 0.
/(Ьт1) /(Ь'-1)
С учетом выражений (16) и (17) последнее неравенство можно представить в виде:
Iр(Ь'|Д>^Ь1-1 Щ - 21р'(Ь\Д)м (Д\ Ь1-1 =
= I (р(Ь'Д) - 2Р'(Ь\\Д;)^((Д}Ь'1- ^ > 0,
гдер'(Ь\Д) производная по Ь. Поскольку М'(-) > 0,
Р(Ь'\Д') - 2р(Ь'|Д') > 0.
''
остается доказать, что
Для этого воспользуемся формулой (23) и получим:
ехр(Ь/2) ( ехр ( Ь -) ■ехр -
ДЛехр(Д'/2) ( 2ехР(Д _ ехр ( Ь'/2 ) -ехр (- ехР( Ь') ^ +
ДЛехр(Д'/2) ( 2ехр(Д + ехр ( 3 Ь / / 2) ( ехр ( Ь-)
Т2Лехр(3Д'/2) ( 2ехр
= ехр (3Ь-/2) ехр (-2^1 > 0.
Т2Лехр(3Д'/2) ( 2ехр(Д'У
Ввиду положительности всех входящих в это выражение функций неравенство справедливо при любых значения Ь' и Д'.
Для непараметрического варианта точного уравнения (25) следует заменить /(Ь' - т) и /'(Ь' - т) на их непараметрические оценки / (Ь' - т) и
/' Ь'-т) согласно формулам (21) и (22). При такой замене знаменатель под корнем в формуле (25) может оказаться неположительным. Чтобы избежать этого на него налагается дополнительное условие отделимости от неположительных значений, которое формулируется следующим образом: (и)+ = ((и
при и > 0) V (е+ при и < 0)), где е+ — некоторое малое положительное число. Тогда формула для непараметрической оценки волатильности представляется в виде:
ст = I ехр ( Ь' )/(1 - 2/'( Ь'-т )
/( Ь\-т)
(26)
5. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
С целью численной реализации разработанного алгоритма оценивания в соответствии с моделью Тейлора (8) были сгенерированы ' = 1500 значений истинной волатильности, на основании которых впоследствии были получены данные для доходов (4). Первые 1000 значений использовались для обучения моделей, на оставшихся 500 проводилось тестирование результатов. Для проверки качества
оценки волатильности ст 1 для каждого метода было проведено 100 повторных испытаний, по которым вычислялся корень квадратный от среднеквадра-тической ошибки (КСКО) отклонения от истинной волатильности ст,.:
1500
I (ст, - ст,г
КСКО( СТ ) = и = 1 000
По этому критерию ниже строится таблица сравнения различных методов оценивания.
5.1. Непараметрическая оценка
Непараметрическая оценка волатильности (26) (светлая линия) в сравнении с истинной волатиль-ностью (темная линия) представлена на рис. 1.
Заметим, что непараметрическая оценка уловила все участки кластеризации ( инерции) волатильности, которые характерны для экономических кризисов и которые сигнализируют о сильных длительных колебаниях доходности в эти периоды. Для 100 различных тестов среднее значение КСКО составило 2,8471. При численной реализации алгоритма число s + выбиралось равным 0,005.
5.2. Фильтр Кушнера — Стратоновича
На рис. 2 представлена оценка фильтром Кушнера — Стратоновича (13), (14) (светлая линия) и истинная сгенерированная волатильность (темная линия). В д анном случае КСКО = 2,4674, что лучше непараметрической оценки. Такой результат был очевиден, поскольку оценка фильтром Кушнера — Стратоновича при использовании полной статистической информации является оптимальной.
5.3. Фильтр Калмана
Результат оценки фильтром Калмана представлен на рис. 3 (светлая л иния). Как и в предыдущих двух случаях удалось уловить все участки кластеризации, однако КСКО = 3,1614 почти в два с половиной раза больше, чем у непараметрического
Рис. 1. Непараметрическая оценка волатильности
35
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Время наблюдения
Оценка волатильнсти фильтром Стратоновича -Сгенерированная волатильность
Рис. 2. Оценка волатильности фильтром Кушнера — Стратоновича
Рис. 3. Оценка волатильности фильтром Калмана
35
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Время наблюдения Сгенерированная волатильность -Оценка бАКСН
Рис. 4. Оценка волатильности с помощью САКСЫ
Рис. 5. Непараметрическая оценка волатильности индекса 8 & Р500
аналога. Предположительно это связано с двумя причинам:
— для возможности применения фильтра Кал-мана в работе была сделана замена истинного распределения на нормальное распределение с теми же первыми двумя моментами;
— оценивалась не волатильность напрямую, а ее логарифм.
5.4. йДВОИ
Наконец, рассмотрим оценку волатильности, описанную в п. 2.1 моделью ОЛЯСИ. Численная реализация выполнена с помощью стандартных функций garchset (настраивает м од ель по переданным на вход значениям р) д и garchfit (делает оценку волатильности согласно настроенной модели и переданному на вход вектору значений дохода) пакета прикладных программ Ма^аЬ. На рис. 4 представлен результат оценки волатильности моделью ОЛЯСИ (светлая линия) в сравнении с истинной волатильностью (темная линия). Значение КСКО составило 4,0727, а значит ОЛЯСИ, как и фильтр Калмана, уступает непараметрическому методу. Численный алгоритм выбирал значения р, д и при которых КСКО был минимальным.
5.5. Применение непараметрической оценки на реальных данных
Для того, чтобы быть уверенными, что предложенные методы непараметрического оценивания действительно работают, проверим их на реальных данных. Рассмотрим значение ежедневного индекса Б&Р 500 за период с 01.01.2005 г. до 31.12.2010 г. В 2008 г. начался мировой экономический кризис, во время которого наблюдались сильные колебания на рынке акций. На рис. 5 видно, что, на участке с 900 по 1100 день, который соответствует глобальной рецессии 2009 года, непараметрическая оценка имеет участок кластеризации, а значит, поставленная цель достигнута и для реальных данных.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ниже представлена таблица сравнения трех различных методов с КСКО для фильтра Кушнера — Стратоновича (К — С):
= КСКО , - КС КО к—С КСКОк_С ,
где I = 1, 2, 3 — это непараметрическая оценка, фильтр Калмана и ОЛЯСИ соответственно. Таким образом, наилучшая оценка волатильности была получена непараметрическим методом. И это естественно, так как только в данном подходе можно работать даже при неизвестном распределении во-латильности, т. е. нет необходимости строить относительно неточные модели для ее описания. В параметрических моделях для построения оценки
вводятся уравнения состояния полезного сигнала. В случае с фильтром Калмана также приходится заменять негауссовские шумы гауссовскими с соответствующими параметрами. В то же время непараметрический метод показывает хорошие результаты при неизвестном распределении этого сигнала. Кроме того, данный результат м ожжно объяснить тем, что в случае непараметрического метода оценка может строиться и в нелинейном варианте.
Сравнение различных методов оценки волатильности с фильтром Кушнера—Стратоновича
Метод оценки Непараметрическая оценка Фильтр Калмана ОЛЯСИ
Результат Квз( 0,15 0,28 0,65
Хотя и был получен удовлетворительный результат, в настоящей работе рассматривалась только диффузионная составляющая доходности и не учитывались разрывная компонента и память эффектов предыдущих периодов. В дальнейшем будет сделана попытка проанализировать и эти аспекты, основываясь на развиваемых в данной работе подходах теории непараметрического оценивания сигналов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
П.1. Распределение X, = 1од(е,)
В уравнении (7) случайная величина = е'), где 8' ~ N(0, 1). Введем случайную величину ^ = е' , которая
имеет х2-распределение с одной степенью свободы. Для получения распределения ' = воспользуем-
ся формулой преобразования плотностей распределения р(5)-5, = (Ку^, где ф(<у — плотность х2-распределе-ния. Эта плотность записывается в виде:
и>- 1 ( 5 ^ ( ехр (5^
ф(^(д) = ехр (- 2/ехр (- — 1
Поскольку дифференциал
= = ехр(д,
ехр(5/2) ( ехр ( 5 то р(5') = -ехр I - —2—
л/2п 2
Из уравнения (7) следует, что Ь1 - Д1 = 5Г Так как в
данном случае ' = 1, то условная (при фиксирован-аЬ(
ном Д') плотность наблюдений Ь'
р(Ь\Д) = ехр^^^ ехр( ехр<Ь^ -
,У2л _ ехр (Ь,/2)
4Тпехр(Д'/2) ехр( 2ехр'
ехр(Ь')
П.2. Параметры полученного распределения
Математическое ожидание и дисперсию для удобно вычислить через производящую функцию моментов М^(,) = Е [ехр(,^)], для которой справедлива формула:
к dKMJ t)
Е[ Kt ] = -^
df
t = о
Производящая функция для = имеет вид:
М() = Е[ехр(, 1оё(С)>] = Е[£].
2
В свою очередь, производящая функция для х со степенью свободы т
М(,) = (1 _ 2,)_т/2,
а момент порядка t
E[Zt] = 2t Г ( m/2 + t) LSJ Г( m/2) '
Тогда
dMt( t)
E(^ = -dt
t = о
= dE(Z t) dt
/ 2t Г ( 1/2 + t)' ^2 Г ( 1/ 2)
t = о
dt
t = 0
t = 0
= f 2W Г ( !/ 2 + t) + 2 Г ( 1/ 2 + t) у ( 1/2 + t) V 5 Г(1/2) Г(1/2)
= log2 + у(1/2) ~ -1,2704, где у(1/2) — дигамма-функция.
2
Для подсчета дисперсии сначала выведем Е( ):
, 2Ч d Mt(t)
E() = -P
dt
t = о
= [ log2 ( 2t log2 +
+ 2tГ ( 1/ 2 + t) у( 1/2 + t) >) + ^(1/2 + t) f 2^g2r ( 1/2 + t) + Г(1/2) J TV ' '( Г(1/2)
+ 2tГ ( 1/2 + t) у (1/2 + t) ^ + 2tГ ( 1/2 + t) у (1/2 + t)
Г( 1/2) J Г( 1/2) TV/ ;
t = о
= log2(log2 + у(1/2)) + y(1/2)(log2 + у(1/2)) + у (1/2) =
= (log2 + у (1/2))2 + у (1/2).
В итоге
Щ) = E(f) - (E(Qf = у(1/2) = п2/2 « 4,9348.
ЛИТЕРАТУРА
1. Merton E. Theory of rational optiopricing // Bell Journal of Economics and Management Science. — 1973. — Vol. 4. — P. 141—183.
2. Busse J. Volatility timing in mutual funds: Evidence from daily returns // Review of Financial Studies. — 1999. — Vol. 12, N 5. — P. 1009—1041.
3. Fleming J., Kirby C., Ostdiek B. The economic value of volatility timing // Journal of Finance. — 2001. — Vol. 56, N 1. — P. 329—352.
4. Fleming J., Kirby C., Ostdiek B. The economic value of volatility timing using «realized» volatility // Journal of Finance. — 2003. — Vol. 67, N 3. — P. 473—509.
5. Yao Q., Tong H. Quantifying the influence of initial values on nonlinear prediction // Journal of the Royal Statistical Society. — 1994. — Ser. B 56. — P. 701—725.
6. Ziegelmann F. Nonparametric Estimation of Volatility Functions: The Local Exponential Estimator // Econometric Theory. — 2002. — Vol. 18. — P. 985—91.
7. Duffie D, Pan J., Singleton K. Transform analysis and asset pricing for affine ne jump-diffusions // Econometrica. — 2000. — Vol. 68, N 6. — P. 1343—1376.
8. Jacquier E., Polson N., Rossi P. Bayesian analysis of stochastic volatility models. Journal of Business and Economic Statistics. — 1994. — Vol. 12. — P. 371—389.
9. Bandi F., Reno R. Nonparametric Stochastic Volatility. — 2016. — Working paper. — URL: https://papers.ss-rn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1158438 (дата обращения: 4.07.2017).
10. Dobrovidov A.V., Koshkin G.M., Vasiliev V.A. Non-parametric models and statistical inference from dependent observations. — USA, Kendrick Press, 2012.
11. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroske-dasticy. — Journal of Econometrics. — 1986. — Vol. 31. — P. 307—327.
12. Taylor S. Modelling Financial Times Series. — N.-Y.: Wiley, 1986.
13. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998.
14. Ширяев А.Н. Вероятность: 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1989.
15. Mills T.C. The Econometric Modelling of Financial Time Series: 2nd ed. — Cambridge (UK): Cambridge University Press, 1999.
16. Harvey A.C. Forecasting structural Time Series Models and the Kalman Filter. — Cambridge (UK): Cambridge University Press, 1989.
17. Kalman R. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. — 1960. — Vol. 82. — P. 34—45.
18. Theoret E., Eacicot F. Forecasting stochastic Volatility using the Kalman filter: an application to Canadian Interest Rates and Price-Earnings Ratio. — Munich Personal EePEc Archive, 2010. — URL: https://mpra.ub.uni-muenchen.de/35911/1/ MPRA_paper_35911.pdf (дата обращения: 4.07.2017).
19. Добровидов А.В. Непараметрические методы нелинейной фильтрации стационарных случайных последовательностей // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 6. — C. 85—98.
20. Kushner H.J. On the dynamical equations of conditional probability density functions with applications to optimal stochastic control theory // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1964. — Vol. 8, N 2. — P. 332—344.
21. Stratonovich E.L. Conditional Markovian processes and their application to the optimal control theory. — M.: Moscow University Press, 1966.
22. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Доклады академии наук СССР. — 1965. — Т. 163, № 3. — С. 591—594.
23. Hall P., Marron J.S., Park B.U. Smoothed Cross-Validation // Probability theory and related fields. — 1992. — Vol. 90. — P. 1—20.
24. Добровидов А.В., Рудько И.М. Выбор ширины окна ядерной функции в непараметрической оценке производной плотности методом сглаженной кросс-валидации // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 2. — С. 45—57.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.В. Клочковым.
Добровидов Александр Викторович — д-р физ. мат. наук,
зав. лабораторией, Н dobrovidov@gmail.com,
Тевосян Вачик Эдвардович — математик, аспирант,
Н vachik.tevosian@gmail.com,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва.
