Непараметричеcкий метод поиска дефектов в линейных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационно-измерительные и управляющие системы

УДК 681.326

А.Н. Жирабок, С.В. Павлов

ЖИРАБОК АЛЕКСЕЙ НИЛОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: zhirabok@mail.ru

ПАВЛОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ - аспирант кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: egoist@vladivostok.com

Непараметричеcкий метод поиска дефектов в линейных системах

Работа посвящена проблеме поиска дефектов в технических системах, описываемых линейными динамическими моделями. Для решения проблемы используется непараметрический метод, особенность которого состоит в том, что параметры рассматриваемой системы могут быть неизвестны.

Ключевые слова: линейные системы, диагностирование, поиск дефектов, непараметрический метод.

Введение

Проблема обнаружения дефектов в технических системах исследовалась на протяжении последних 25 лет; см., например, статьи [6, 7, 8, 16] и книги [2, 3, 10, 11, 15]. За это время были изучены и решены многие проблемы: предложены различные методы генерации невязки и проведено их сравнение; рассмотрены различные типы систем (линейные, билинейные, линейно-аналитические, дескрипторные), а также различные классы нелинейных систем. Было рассмотрено много практических задач; см., например, книги, посвященные промышленным и мехатронным системам [3, 11].

Одним из перспективных методов обнаружения дефектов в технических системах является так называемый непараметрический метод (см., например, работы [1, 4, 5, 12, 13]). Характерная черта этого метода состоит в том, что параметры рассматриваемой системы могут быть неизвестны. Кроме того, особенность метода, рассмотренного в работах [1, 4, 14], заключается в том, что он позволяет только обнаруживать дефекты, но не локализовать их. Целью данной работы является разработка способа локализации дефектов.

Метод, рассмотренный в [1, 4, 13], предполагает, что диагностирование производится с помощью матрицы V, построенной на основе измерений (u(t), y(t)), t = 0,1,..., T, на некотором интервале времени T, где u(t) и y(t) - векторы управления и выхода соответственно. Принятие решения о дефекте основано на вычислении ядра матрицы V и использовании его для генерации невязки.

© Жирабок А.Н., Павлов С.В., 2015

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 2 (23)

Предварительные результаты

Рассмотрим линейную систему управления с дискретным временем

х^ +1) = Fx(X) + Gu(t) + Е Di у, у(г) = Их(г),

-=1

-,1

(1)

где x е X ^ ^, м е С/ ^ , у е Y ^ Rí - векторы состояния, управления и выхода; F, G, И и

т

Д - постоянные матрицы; предполагается, что матрица F невырожденная; у = (уьу2,...,у5) . -вектор, отвечающий за дефекты: в исправной системе у - = 0, если возникает г-й дефект, у - становится неизвестной функцией времени, - = 1,2,...,^ .

Главная идея поиска дефекта, предложенная в настоящей работе, основана на декомпози-

(1) !,(2)

ции, показанной на рисунке. Здесь £, £2, ..., £Р - некоторые подсистемы, у(), у

функции выхода у :

у(1) = * (1)( у)

У

( р)

у(2) = * (2)( у)

у ( р) = ^ ( р)( у)

У

У

,(2)

р < т, р < ^ . Предполагается, что компоненты вектора у = (уь у2,..., у5) раскладываются в семейство р +1 множеств Г = {Го,Г1,Г2,...,Гр} так, что подсистема £1 не содержит параметры из множества Г, подсистема £ 2 - параметры из Г2 и т.д.; параметры из Го содержатся во всех подсистемах.

Для поиска дефекта процедура обнаружения дефекта, рассмотренная в работах [1, 4, 12, 13], применяется к подсистемам £1, £2, ..., £р путем формирования

матриц V(1), V(2), ..., V(р), образованных измерениями (м(0,у(1)(0) , X = 0,1,...,7, (м(0,у{2\х)), X = 0,1,...,Т2, ... (м(7), у(Р)(Х)) , X = 0,1,..., Тр соответственно. Невязки г , Г2, ..., Гр строятся на основе непараметрического метода, и принятие решения происходит на основании матрицы синдромов:

Г1 0 1 ■■■ 1^ 110 ■•• 1

У

(р)

Б =

1 1 ■•• 0,

Рис. Декомпозиция исходной системы

где строки соответствуют невязкам г, Г2, ..., Гр, столбцы - множествам Г0, Г1, Г2, ..., Гр; 0 и 1 соответствуют случаям г- = 0 и г- ^ 0, соответственно. Ясно, что процедура поиска дефекта может быть реализована с точностью до множества Г-, - = 1,2,..., р.

Построение подсистем

Предполагается, что подсистема £ описывается уравнениями, аналогичными (1):

х(-) (X +1) = F(-)х(-) (X) + G(-)м(Х) + Е Д,у, у(-) (X) = И(-)х(-) (X),

(2)

где F(1), G(1), H(1), Dj - некоторые матрицы, а векторы x и x(1) связаны матрицей Ф(1):

х(г) = Ф(1) х (Г)(0, (3)

г = 1,2,..., р. Записывая выражение (3) для момента t +1, а также используя уравнения (1) и (2), можно получить следующие соотношения:

ф(г)F = р(1)ф(г) ^ ф(i')G = G(1), Ф(1)= 0, Н(1)Ф(1) = ¥(1)Н. (4)

Для построения подсистемы Е, в рассмотренной декомпозиции введем матрицу максимального ранга Di, такую, что Б1 = 0. Из условия Ф(1)Бг = 0 тогда следует равенство Ф(1) = МБ1 = 0 для некоторой матрицы М .

Для определения матрицы Ф(1), удовлетворяющей трем первым условиям в (4), построим последовательность матриц р0 := Б1, Р1, Р2,... следующим образом. Матрица Р определяется равенством р1 = Ы0 Р 0, где матрица Ы0 определяется из решения однородного алгебраического

уравнения

N

i P о ^ V P 0F-1 у

VP 1 У

= 0, (5)

представленного в виде N = (No N0). По аналогии Pl+1 = N1, где N определяется из решения

уравнения

N

( Pi Л

, PlF _1 V у

= 0, i = 0,1,..., (6)

представленного в виде N = (Ni N\). Шаг j , на котором процедура заканчивается, определяется условием

ran k(Pj+1) = rank(PJ), из которого следует, что матрица N j невырождена.

Подставляя матрицу P] в уравнение (6) при i = j, получаем

N

Г Pi \

, PlF _1 V у

= NjPj + N'jPjF_1 = 0, (7)

или NjPJF + NjPJ = 0.

Теорема. Матрица Ф(1) = Р = Nj ...N0 В1 удовлетворяет первому условию в (4) для некоторой матрицы р(1), имеет максимальный ранг и ее строки являются линейными комбинациями

строк матрицы В , т.е. Ф(1) = МБ1 для некоторой матрицы М .

Доказательство. Последняя часть утверждения непосредственно следует из определения

матрицы Ф(1). Обозначая р(1) = ^^1 N'j, из (7) получаем первое равенство в (4), что доказывает первую часть утверждения. Для доказательства оставшейся части рассмотрим некоторую матрицу К, строки которой являются линейными комбинациями строк матрицы Б1, т.е. К = QD1, и удовлетворяют равенству КР = Р*'К для некоторых матриц Р*' и Q. Заменим в последнем равенстве

матрицу К на QDi = QP0:

2Р0 1=КбР0

и приведем полученное выражение к следующему виду, отделив известные матрицы от неизвестных:

е - т)

( р 0 ^

, р0 1-1 , 1

= 0.

Поскольку матрица N = (N0 N0) представляет базис решений уравнения (5), из последнего выражения следует, что (0 -1*0 = С^СN0 N0) для некоторой матрицы С0, в частности

0 = С0N0 . Последнее означает, что К = С0N0PU = С0Р1. Аналогично можно показать, что

К = С1Р2,...,К = Сj-1P = СJ■-1Ф^, что и означает максимальность ранга матрицы Ф(1). Теорема доказана.

Для построения подсистемы Е ( необходимо решить алгебраическое уравнение

я(фО ) = 0. (8)

Если оно имеет решение, запишем его в виде В = (В0 В0) и положим ¥(1) := В0 и Н(1) := —В0, поскольку в этом случае из (8) следует, что выполняется последнее равенство в (4). Отметим, что максимальность ранга матрицы Ф(1) создает наилучшие условия для разрешимости уравнения (8). Определение матрицы О(1) из соотношения О(1) = Ф(1)О завершает построение подсистемы Е1; аналогичным образом строятся остальные подсистемы рассмотренной декомпозиции.

Если Ф(1) = Р = N■ ...N0 В1 = 0 или уравнение (8) не имеет решения, подсистемы, не содержащей элемент у 1, не существует, в этом случае данный элемент включается во множество Г0 .

На основе построенных подсистем известным методом [1, 4, 13] могут быть построены соотношения для решения задачи локализации дефектов.

Иллюстративный пример

Чтобы упростить изложение, будем использовать символы х + их для обозначения величин х(^ +1) и х^) соответственно и используем подобные обозначения для других переменных. Рассмотрим систему управления, заданную следующей моделью:

Х1+ = х2 + Щ + П2 + Х5 + У1 + у 4

х+ = х3 + х5 + У 2 ,

хз = —2х4 + х1 — щ + ^2 — х^ + у з

х+ = Щ2 + х5 +У 4 , х+ = х4 + Щ + х5 + у з ^

= х1 — х4 ,

^2 = х4 .

Система описывается следующими матрицами:

1 =

( 0 1 0 0 1 1 ( 1 11

0 0 1 0 1 0 0

1 0 0 — 2 — 1 , О = — 1 1

0 0 0 0 1 0 1

10 0 0 1 1 у 11 0 у

Н =

10 0 —10' 0 0 0 1 0

В =

(1 0 0 01

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0у

В =

(0 0 0 01

0 10 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0у

В =

(0 0 0 01

0 0 0 0

0 0 10

0 0 0 0

0 0 10 у

В =

(0 0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0у

Рассмотрим первый параметр; нетрудно проверить, что для него В1 =

(0 1 0 0 01

0 0 10 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

у

ТЭ - - (0 0 0 1 01 Т/Г

Выполнив все предписанные теоремой действия, получим Ф = I ^ ^ ^ ^ . Из уравнения (8) определяем ¥(1) = (0 1) , что дает у(1) = у2 = х(1). Описание подсистемы Е1 можно получить,

полагая х(1) :=Ф1 х = (х4 х5)Т , х(1)+ = (х+ х+ )Т , заменяя переменные х+ и х+ правыми частями уравнений из (9) и затем в полученном выражении заменяя компоненты вектора х компонен-

тами вектора х

(1)+ _

(1).

х

(1)

1 = и2 + х2 + У 4

х

(1)+ _ т(1)

2

,(1)

= х^ + + Щ + у 3

Аналогично, принимая В =

(1 0 0 0 01

0 0 10 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

2 1 получаем Ф = Ф =

2_т1_ (0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

т.е.

вторая подсистема совпадает с первой. Так как полученные выше уравнения не содержат параметры у 1 и у2 , то Г1 = (уЪ У2 } .

Действуя по аналогии с параметрами у 3 и у 4, получаем Ф3 =Ф4 =

описание подсистемы Е3 = Е4 :

1 0 0 —1 01

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 у

х

х

(2)+ = х (2) + и +у 1 = х2 + Щ +у1,

(2)+ _ (2)

2

= х

3

+ у 2 •

х

(2)+ _

3

= и 2 + х

(2)

и

Из полученных уравнений ясно, что Г2 = (у 3, у4}, а тогда Г0 = 0 . Из уравнения (8) опре-

деляем ¥(2) = (1 0), что дает у(2) = у1 = х(2). Матрица синдромов в рассматриваемом случае

е (1 1 0 01

принимает вид Л = I ^ ^ ^ ^

(2) (2)

Построенные подсистемы могут быть использованы для получения соотношений, решающих задачу локализации дефектов с точностью до множеств Г = (у ь у2} и Г2 = (у3, у4} .

Заключение

Работа посвящена проблеме поиска дефектов в технических системах, описываемых линейными моделями. Для решения этой проблемы используется непараметрический метод, особенность которого состоит в том, что параметры рассматриваемой системы могут быть неизвестны. Предложенное решение основано на специальной декомпозиции исходной системы и применении непараметрического метода к каждой подсистеме этой декомпозиции.

Публикация поддержана Дальневосточным федеральным университетом (грант 13-09-0113-m_a) и Минобрнауки РФ (государственное задание № 1141).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bittencourt А., Saarinen K., Sander-Tavallaey S. A Data-driven method for monitoring systems that operate repetitively - applications to wear monitoring in an industrial robot joint. Proc. 8th IFAC Symp. Safeprocess' 2012, p. 198-203.

2. Blanke M., Kinnaert M., Lunze J., Staroswiecki M. Diagnosis and Fault-Tolerant Control. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2006.

3. Caccavale F., Villiani L. (eds). Fault Diagnosis and Tolerance for Mechatronic Systems, Recent Advances. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2002.

4. Ding S., Wang Y., Yin S., Zhang P., Yang Y., Ding E. Date-driven design of fault-tolerant control systems. Proc. 8th IFAC Symp. Safeprocess'2012, p. 1323-1328.

5. Filaretov F., Zhirabok A., Tkachev D. Non-parametric method for fault diagnosis in electrical circuits. Proc. of 23d Int. DAAAM Symposium. 2012, p. 5-8.

6. Frank P. Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy: A survey and some new results. Automatica. 1990(26):459-474.

7. Gertler J. Residual generation in model-based fault diagnosis. Control Theory and Advanced Technology. 1993(9):259-285.

8. Lou X., Willsky A., Verghese G. Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems. Automatica. 1996(22):333-344.

9. Patton R. Robust model-based fault diagnosis: the state of the art. Proc. IFAC Symp. Safeprocess 1994, Finland, Espoo, 1994, p. 1-24.

10. Patton R., Frank P., Clark R. Issues of fault diagnosis for dynamic systems. London, Springer Verlag, 2000.

11. Russell E., Chiang L., Chiang L. Fault Detection and Diagnosis in Industrial Systems. , Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2001.

12. Shumsky A. Data driven method for fault detection and isolation in nonlinear uncertain systems. CD. Proc. IFAC Conf. on Control Applications in Marine Systems, 2007.

13. Shumsky A. Functional diagnosis of nonlinear time-delay dynamic systems. Automation and Remote Control. 2009(70): 172-184.

14. Shumsky A., Zhirabok A. Nonlinear diagnostic filter design: algebraic and geometric points of view. Int. Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2006(16): 115-127.

15. Simani S., Fantuzzi C., Patton R. Model-based Fault Diagnosis in Dynamic Systems Using Identification. Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2002.

16. Witczak M., Korbicz J., Jrozefowicz R. Design of unknown input observers for non-linear stochastic systems and their application to robust fault diagnosi. Control and Cybernetics. 2013(42): 1-30.

THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE

Information measuring and control systems

Zhirabok A., Pavlov S.

ALEXEI N. ZHIRABOK, Ph.D. Professor of Department of Automation and Control, School of Engineering, Far Eastern Federal University. Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e-mail: zhirabok@mail.ru

SERGEI V. PAVLOV, Postgraduate Student, Department of Automation and Control, School of Engineering, Far Eastern Federal University. Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e-mail: egoist@vladivostok.com

The non-parametric method of fault isolation in linear systems

The paper deals with the issue of fault isolation in technical systems described by linear dynamic models. To isolate faults, the non-parametric method is used, the special feature of which is that the parameters of the system being investigated may be unknown.

Key words: linear systems, diagnostics, fault isolation, non-parametric method.

Note: Reference - see the Russian text in the article.