Непараметрические методы диагностирования в дискретных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.326

А.С. Баранов, С.В. Павлов

БАРАНОВ АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ - магистрант кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: vimes@mail.ru

ПАВЛОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ - аспирант кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: egoist@vladivostok.com

Непараметрические методы диагностирования в дискретных системах

Рассмотрены непараметрические методы диагностирования линейных и нелинейных дискретных динамических систем. Получены расчетные соотношения и правила принятия решений.

Ключевые слова: дискретные системы, дефекты, диагностирование, непараметрические методы.

Введение

Особое место среди методов диагностирования динамических систем занимают так называемые непараметрические методы, которые известны также под названиями «data-based» и «model-free» [5]. Их отличительная особенность состоит в том, что при своей реализации они не предполагают наличия информации о значениях параметров диагностируемой системы. Эти методы были рассмотрены, например, в [1, 3, 5, 7]. Настоящая статья, в которой предлагаются новые подходы к реализации непараметрических методов, является логическим продолжением работы [1]. Рассматривается класс систем, которые в общем виде описываются нелинейным разностным уравнением

x(t + 1) = f (x(t), u(t)), y(t) = h(x(t)) , (1)

где x(t) e X ^ Rn, u(t) e U ^ Rm, y(t) e Y ^ Rl - векторы состояния, управления и выхода; f и h - нелинейные векторные функции. В частном случае, когда функции f и h линейны, соответствующее описание имеет вид

x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t) y(t) = Hx(t)

Вначале рассмотрим простотой линейный случай. Предполагается, что рассматриваемая система наблюдаема; последнее означает, что она может быть представлена в идентификационной канонической форме, когда все обратные связи реализованы с помощью вектора выхода. Рассмотрим обобщение этой формы, реализуемое в виде преобразования координат:

© Баранов А.С., Павлов С.В., 2014 [12] vestnikis.dvfu.ru

(2)

х* (г) = Фх(г) у* (г) = ¥у(г)

для некоторых матриц Ф и ¥, что дает следующую модель:

хц (г +1) = /*(1) у(г) + О*(1)и(г)

(г +1) = х(. _1(Г) + № у(г) + в^)и(г) I = 2,3,..., N у*(Г) = х* N (г)

для некоторых матриц , /*2), ..., /*N), о*1-*, о*2), ..., о*N); х*г- - г -я компонента

вектора состояния преобразованной системы, х*г- = Фгх, Ф. - г -я строка матрицы Ф,

г = 1,2,...,N . Методы определения матриц /:( ) , . . ., /:( ) и о*(1), ..., оN) можно найти, например, в [2, 4].

Произведя в (2) ряд временных сдвигов и подстановок по аналогии с работой [1], получим выражение

¥у(г + N) = х^ (г + N) = (/

- (т(N) О(/)

/ (1) / *

О((1))

( у(г + N _ 1) ^ и(г + N _ 1)

у(г)

и(г)

которое используется при реализации соотношений паритета [5]. Для преобразования его к форме, необходимой для реализации непараметрических методов, запишем полученное выражение для нескольких моментов времени г1 = г + к, г2 = г + к _ 1, гк+1 = г:

У*(к) = (¥у(г + N + к) ... ¥у(г + N)) =

= ( /*( N) о< N)

/ (1)

О«)

(у(г + N + к _ 1) и(г + N + к _ 1)

у(г + к)

и(г + к)

у(г + N _ 1) ^ и(г + N _ 1)

у(г)

и (г)

(3)

= (/*( N)

о(N)

/ (1)

^*(1)) Гк.

Особенность полученного выражения состоит в том, что вектор 7((к) представлен в виде произведения двух матриц, первая их которых, в свою очередь, также составлена из матриц, описывающих систему, и может содержать неизвестные параметры, в то время как другая содержит только известные результаты измерений. Если в исходной системе неизвестными являются только элементы матрица О , то сложность решаемой задачи может быть уменьшена, для чего запишем (3) в следующем виде:

У** (к) = У» (к) _ (/(N) /(N _1)

/(1))

( у(г + N + к - 1) у(г + N + к - 2)

у (г + к)

у(г + N-1)^

у(г + N - 2) у(г)

= О

(N)

О<N-1)

О(1))

(и(г + N + к -1) и (г + N + к - 2)

и (г + к)

= (О<N)

О.( N-1)

и(г + N-1)^ и (г + N - 2)

и (г)

о®) V?,

(4)

V

отделив матрицы, содержащие известные элементы, от матриц, элементы которых неизвестны. Ясно, что размеры матрицы V¡U могут быть существенно меньше размеров матрицы V¡ , что потребует меньших вычислительных ресурсов для решения задачи.

Полученные соотношения (3) и (4) используются для реализации непараметрических методов диагностирования. Ниже рассматриваются известные методы генерации невязки для принятия решения о том, возник в системе дефект или нет, а также предлагаются новые. Предполагается, что дефекты в системе проявляются в виде отклонений ее параметров от своих номинальных (но не обязательно известных в процессе диагностирования) значений.

Методы генерации невязки

Метод на основе ядра матрицы. Рассмотрим известный метод генерации невязки, на основе которой принимается решение о наличии или отсутствии в диагностируемой системе

дефектов [1-3]. Он основан на анализе ядра матрицы V¡ или (для конкретности дальше

будем говорить о V¡ ), когда к выбирается минимальным, при котором выполняется условие

гапк(Ук) = гапк(Ук_). В этом случае существует ненулевой вектор у(к), принадлежащий

ядру кег(Рк), для которого Vkv(k) = 0. Последнее согласно (3) влечет равенство

Y*(k)г(к) = 0, которое выполняется независимо от значений коэффициентов матрицы

(3*м) О*м) ... 3О®) , что и оправдывает название рассматриваемого метода. Полученное равенство может быть использовано в качестве соотношения паритета [4], невязка генерируется в виде

При отсутствии дефектов r(k) = 0, при их появлении это равенство нарушается, что влечет появление ненулевого сигнала невязки.

Для реализации метода необходимо определить минимальное k, при котором выполняется условие rank(Vk) = rank(Vk_i), далее найти ядро матрицы Vk и для принадлежащего ему вектора v(k) вычислить значение невязки согласно соотношению (5).

Метод на основе ранга матрицы. Ясно, что операции определения k, при котором rank(Vk) = rank(Vk _i), и вычисления вектора v(k) требуют значительных ресурсов времени и не всегда могут быть реализованы в реальном масштабе времени. Для устранения этого недостатка предлагается следующее. Во-первых, выбирать k заранее так, чтобы число столбцов матрицы Vk было больше числа ее строк (этому, в частности, удовлетворяет условие k > N(m +1) +1); в этом случае заведомо выполняется равенство rank(Vk ) = rank(Vk_1) . Во-вторых, заметим, что при отсутствии дефектов левая часть выражения (3) представляет собой линейную комбинацию строк матрицы Vk при любом k,

r(k) = Y* (k )v(k), v(k) e ker( Vk ).

(5)

т.е. матрицы

имеют одинаковые ранги. Тогда соотношением паритета может

служить выражение

а невязка генерироваться в виде

также не зависящем от параметров системы.

Недостатком рангового подхода является его высокая чувствительность к возможным возмущениям, сопровождающим процесс диагностирования, поскольку при отсутствии дефектов и наличии даже незначительных возмущений ранг матрицы меняется скачком, что с учетом известных методов принятия решений должно квалифицироваться как появление дефекта. Таким образом, рассмотренный метод характеризуется высоким уровнем ложной тревоги, что перечеркивает его достоинство - простоту реализации.

Метод на основе анализа линейной зависимости. Рассмотренный выше подход с анализом линейной зависимости вектора Y*(k) от строк матрицы Vk может быть развит на

случай наличия возмущений следующим образом. Строки матрицы Vk будем рассматривать как базис некоторого линейного пространства L(Vk); если вектор Y*(k) принадлежит этому пространству, то делается заключение об отсутствии дефектов. При наличии возмущений этот вектор может не принадлежать пространству L(Vk) даже при отсутствии дефектов; определенным образом введенная мера близости вектора Y*(k) и пространства L(Vk) может быть использована для сравнения ее с порогом при принятии решений. Отметим, что если вектор Y*(k) не принадлежит пространству L(Vk), то в присутствии возмущений это может быть обнаружено при следующем минимальном значении числа k : k > dim L(Vk ) .

Указанная мера близости может быть рассчитана на основе следующего разложения матрицы Vk :

Vk = A - Е - B, (6)

где A и B - невырожденные матрицы, Е = (I 0), где I - единичная матрица. Разложение (6) может быть получено на основе сингулярного разложения матрицы Vk [7]. Пусть Y*(k) е L(Vk), т.е. вектор Y*(k) является линейной комбинацией строк матрицы Vk. Следовательно, для некоторой матрицы-строки C справедливо равенство Y* (k) = CVk, или

Y*(k) = C • A -Е- B . Образуем вектор Y = Y*(k )Bи перепишем предыдущее выражение в виде Y = C • A • Е. Из полученного равенства следует, что вектор Y является линейной комбинацией строк матрицы Е = (I 0), из вида которой нетрудно заключить, что последний

элемент вектора Y = Y*(k)B_1 равен нулю. Обозначив этот элемент через YL, можно предложить в качестве соотношения паритета равенство YL = 0, а правило генерации невязки - в виде r(k) = YL .

Из вида матрицы Е = (I 0) следует, что для произвольного вектора Y* (k) найдется

матрица-строка C' такая, что разность Y = Y*(k)B_1 — C- A -Е представляет собой вектор, все компоненты которого, возможно, кроме последней, равны нулю. При этом если эта компонента равна нулю, то вектор Y*(k) является линейной комбинацией строк матрицы V^ = A -Е- B, т.е.

Y*(k) е L(Vk) . На основании сказанного можно заключить, что величину r(k) = YL можно рассматривать в качестве меры близости вектора Y* (k) и пространства L(Vk ) .

Для принятия решения при наличии возмущений полученная невязка сравнивается с адаптивным порогом, который можно построить по одной из известных методик, однако для этого, как правило, необходимо с достаточной степенью точности знать значения элементов матриц, описывающих систему, что перечеркивает достоинства непараметрического метода. Выход здесь может быть найден путем моделирования процесса диагностирования при заданном уровне возмущений и выборе адаптивного порога по результатам такого моделирования.

Геометрический подход. В качестве рассмотренной выше меры близости предлагается использовать расстояние между вектором Y*(k) и гиперплоскостью L(Vk), рассчитанное следующим образом. Обозначим через ei, в2, ..., eM строки матрицы Vk и через e - вектор Y*(k), где M = k(m +1) . Образуем вектор c = Zi=i aftj, вычислим скалярное

произведение (c, e) и выберем коэффициенты ai, a2, ..., ам так, чтобы (e,c) ^ max при

2 2 ограничении ai +... + ам = 1.

Решение этой задачи, полученное методом множителей Лагранжа, может быть

представлено в следующей форме:

at = (ei,e)/S, i = 1,2,...,M, (7)

AA 2 1/2

где S = (c, e) = (EM1 (ei, e) ) . Известно, что скалярное произведение (c, e) может быть представлено в виде

S = (c, e) =| c || e | cos a,

где a - угол между векторами c и e. Расстояние R между вектором e = y* (k) и гиперплоскостью L(Vk ) может быть записано в виде

R =| e | sin a =| e |лД - cos2 a = <J| e |2 -S2/| c |2 .

Для вычисления величины R необходимо из (7) найти коэффициенты ai, i = 1,2,...,M, построить вектор c = X/I=1 aiei и вычислить величины | e | и | c |. Легко убедиться, что при отсутствии ошибок вектор e = Y* (к) принадлежит гиперплоскости L(Vk ), S =|c || e | и R = 0. Таким образом, в качестве соотношения паритета может быть принято равенство R = 0, правило генерации невязки тогда принимает вид

r(k) = R.

Как и в предыдущем случае, для принятия решений необходимо использовать адаптивный порог.

Заключение

Итак, в работе рассмотрена возможность применения непараметрических методов диагностирования линейных и нелинейных дискретных динамических систем. Получены расчетные соотношения, предложены правила принятия решений и проведен их сравнительный анализ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жирабок А.Н., Ткачев Д.О., Шумский А.Е. Диагностирование технических систем на основе непараметрических методов // Всерос. конф. МЭС-2011. Геленджик, 2011. С. 73-75.

2. Мироновский ЛА. Функциональное диагностированиг динамических систем. М.: МГУ, 1998. 256 с.

3. Шумский А.Е., Жирабок АН. Методы и алгоритмы диагностирования и отказоустойчивого управления динамическими системами. Владивосток ДВГТУ, 2009. 196 с.

4. Шумский А.Е. Функциональное диагностирование нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. С. 172-184.

5. Ding S., Wang Y., Yin S., Zhang P., Yang Y., Ding E. Date-driven design of fault-tolerant control systems, Proc. 8th IFAC Symposium Safeprocess'2012. 2012, р. 1323-1328.

6. Low X., Willsky A., Verghese G., Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems, Automatica. 1996;(22):333-344.

7. Shumsky A., Data-driven method for fault detection and isolation in nonlinear uncertain systems, 7th IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems, 2007. 2007, vol. 1, part. 1.

COMPUTER SCIENCE, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL

Baranov A.S., Pavlov S.V.

ANDREI S. BARANOV, Master Student, e-mail: vimes@mail.ru; SERGEI V. PAVLOV,

Post-Graduate Student, e-mail: egoist@vladivostok.com; Department of Automation and

Control, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Russia.

The non-parametric methods of diagnosis in discrete systems

The article deals with the non-parametric diagnostic procedure in linear and non-linear discrete dynamical systems. It presents the design ratios and the rules for making decisions.

Key words: discrete dynamical systems, faults, diagnosis, non-parametric procedures.

REFERENCES

1. Zhirabok A.N., Tkachev D.O., Shumsky A.E., Diagnosing technical systems based on non-parametric methods, All-Russia. conf. MES-2011, Gelendzhik, 2011. S. 73-75. (in Russ.). [Zhirabok A.N., Tkachev D.O., Shumskij A.E. Diagnostirovanie tehnicheskih sistem na osnove neparametricheskih metodov // Vseros. konf. MJeS-2011, Gelendzhik, 2011. S. 73-75].

2. Mironovsky L.A., Functional diagnosis of dynamic systems. M.: Moscow State University, 1998, 256 p. (in Russ.). [Mironovskij L.A. Funkcional'noe diagnostirovanie dinamicheskih sistem. M.: MGU, 1998. 256 s.].

3. Shumsky A.E., Zhirabok A.N., Methods and algorithms for diagnosis and fault-tolerant control of dynamic systems. Vladivostok, FESTU, 2009, 196 p. (in Russ.). [Shumskij A.E., Zhirabok A.N. Metody i algoritmy diagnostirovanija i otkazoustojchivogo upravlenija dinamicheskimi sistemami. Vladivostok: DVGTU, 2009. 196 s.].

4. Shumsky A.E., Functional diagnosis of nonlinear delay systems, Automation and Remote Control. 2009;3:172-184. (in Russ.). [Shumskij A.E. Funkcional'noe diagnostirovanie nelinejnyh sistem s zapazdyvaniem // Avtomatika i telemehanika. 2009. N° 3. S. 172-184].

5. Ding S., Wang Y., Yin S., Zhang P., Yang Y., Ding E. Date-driven design of fault-tolerant control systems, Proc. 8th IFAC Symposium Safeprocess'2012. 2012, p. 1323-1328.

6. Low X., Willsky A., Verghese G., Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems, Automatica. 1996;(22):333-344.

7. Shumsky A., Data-driven method for fault detection and isolation in nonlinear uncertain systems, 7th IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems. 2007, vol. 1, part. 1.