Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 41-52.

УДК 517.95

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В ШАРЕ

Б.Е. КАНГУЖИН, Б.Д. КОШАНОВ

Аннотация. Исследуются вопросы о нахождении необходимых и достаточных условий разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре.

Ключевые слова: задача Дирихле, задача Неймана, полигармоническое уравнение.

1. ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

полигармонического уравнения Рассмотрим однородное полигармоническое уравнение

в ограниченной области П С Кп с гладкой границей дП, где А — оператор Лапласа по переменным Х\, х2,..., хп, представляющим собой декартовы ортогональные координаты точек (Х1,Х2, ...,хп) евклидова п-мерного пространства Яп, п > 1.

Определение 1.1. Регулярные решения и(х) уравнения (1-1) называются т-гармоническими функциями, так как при т =1 и т = 2 регулярные решения и(х) уравнения (1-1) представляют собой соответственно гармонические и бигармонические функции-

Иногда вместо т-гармонических функций будем говорить "полигармонические функции". В дальнейшем через |х| = \/х1 + х2 + ... + хП обозначим длину х в Кп. Приведем следующий известный результат Е. А1шапэ1 (1899 г.).

Теорема 1.1 (1). Пусть П — произвольная область, звездная относительно начала координат- Полигармоническую функцию и(х) в этой области можно представить в виде

1=0

где ui(x) — некоторые гармонические функции. Представление u(x) в виде (1.2) единственно.

B.E. Kanguzhin, B.D. Koshanov, Necessary and sufficient conditions of resolvability boundary problems for non-uniform pOLYHARMONrcS EQUATIONS IN BALL.

© Клнгужин Б.Е., Кошлнов Б.Д. 2010.

Поступила 8 февраля 2010 г.

Am u(x) = 0, Ат = A(Am-1)

(1.1)

(1.2)

При изучении неоднородного полигармонического уравнения

Ати(х) = f (х) (1.3)

важную роль играет так называемое фундаментальное решение.

Определение 1.2. Фундаментальным решением уравнения (1-3) называется функция £(х) = £2т,п(х), удовлетворяющая во всем Яп полигармоническому уравнению

Ат£2т,п(х) = 6(х), (1.4)

где 6(х) — дельта-функция Дирака-

Известно [2, 3], что фундаментальное решение задается согласно следующей лемме.

Лемма 1.1. Фундаментальное решение уравнения (1-3):

а) в случае нечетных п > 1 и четных п, для которых п > 2т, задается формулой

£2 т,п(х) = 4т,п|х|2т-п, (1.5)

где

И = 1 1

И2 т,п —

(2т — п)2(т — 1)(2(т — 1) — п)2(т — 2)...(2 — п)2 ■ 2 (2п)п’

б) в случае четных п, п < 2т задается формулой

£2т,п(х) = И2т,п |х|2т-п 1п |х|, (1.6)

где

(—1) П — 1

И

2 т,п —

Г(т)Г(т — п + 1)22т-1пп/2

2. Необходимые условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигАрмоничЕского уравнения в шаре

В данном пункте устанавливаются необходимые условия корректности различных краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре.

Пусть т — натуральное число и в п-мерном единичном шаре П = {х : |х| < 1} рассмотрим полигармоническое уравнение

Ати(х) = f (х) х € П, (2.1)

с краевыми условиями

дк1

—кг и

дк2

и

дкт

к и

С1,_кт

= ^1(х), х € 5 = дП,

= ^2(х), х € S, . .

(2.2)

= ^т(х), х € Б,

где 0 < к1 < к2 < ... < кт < 2т — 1.

Определение 2.1. Под регулярным решением задачи (2.1)-(2-2) будем понимать функцию и(х) € С2т+а(П), удовлетворяющую уравнению (2-1) и краевым условиям (2-2)-

Известно [1, 4, 5], что для существования регулярного решения на исходные данные f (ж), ^(ж), ^2(ж),..., <^т(ж) накладываются ограничения двух типов:

1) требуется некоторая их гладкость,

2) некоторые условия типа ортогональности к решениям соответствующего однородного союзного уравнения.

В данной работе основной акцент направлен на выяснение ограничении типа 2, т.е. выясняется каким необходимым и достаточным условиям типа 2 должны удовлетворять функции f (ж), ^1(ж), ^2(ж),..., <^т(ж), если их гладкостные свойства стандартны. Итак, пусть f (ж) е Са(П) и <^(ж) е С2т-^+«(Б), в = 1, т. Надо сформулировать критерий разрешимости задачи (2.1)—(2.2) в исходных терминах.

К примеру, при f (ж) е Са(П) и <^(ж) е С 1+а(5) известно, что для существования решения задачи Неймана Дм = ^ д_и |,е£ = ^(ж) необходимо и достаточно выполнение условия

J ^(в)^в = J f (ж)^ж.

5 П

Так как задача (2.1), (2.2) в некотором смысле является обобщением задачи Неймана, то естественно возникает вопрос:

Каким условиям должен удовлетворять набор функций

f (ж), ^1(ж),..., ^ш(ж) е Са(П) х С2т-к1+а(5) х С2т-к2 +“(5)... х С2т-кт +“(Б), чтобы краевая задача (2.1)-(2.2) была разрешима?

На данный вопрос отвечает основной результат этого пункта.

Пусть е2т,га(ж,у) — фундаментальное решение уравнения (2.1). Тогда известно [3], что

г>(ж) = £2т,га * f является решением неоднородного полигармонического уравнения (2.1),

где знак * означает свертку двух функции, то есть е2т,га * f = / £2т,га(ж — (у)^у. Если

П

м(ж) — решение задачи (2.1), (2.2), то разность м(ж) — г>(ж) представляет т-гармоническую функцию в области П. Поэтому согласно теореме 1.1 искомое решение ищем в виде

т-1

м(ж) = £2т,п * f + ^ И2-7 м (ж), (2.3)

7=0

где е2т,га(ж,у) — фундаментальное решение уравнения (2.1), (ж), ] = 0,т — 1, — неко-

торые гармонические функции в области П.

Подставляя правую часть (2.3) в краевые условия (2.2), имеем соотношения

дкй т—1 / 1 \ дм •

^ [2^'(2^' — 1) ...(2^' — + 1)м7 + (^ 1* ^ 2^'(2-? — 1)...(2^' — ^ + 2)^ + ...

+ 1 2^ і +

= <£в(ж) - т—гЄ2т,п * /, X Є Б, 5 =1, 2,...,Ш, (2.4)

дпХ3

связывающие краевые значения гармонических функций (ж), = 0,т — 1, правых ча-

стей <^8(ж), в = 1, т, е2т,га * f и их нормальных производных на сфере Б = {ж : |ж| = 1 }.

Таким образом, определение решения задачи (2.1), (2.2) сводится к нахождению гармонических в шаре П функций (ж), ] = 0,т — 1, по краевым условиям (2.4).

Интегрируя равенства (2.4) по сфере 5 и учитывая следующие равенства

^ 45, = ( <0)> 1‘ Г? (2.5)

дп,8 х \ 0, >0

где — площадь сферы 5, находим, что

т— 1

£ 2^(2^ - 1)..(2І - к* + 1)м(0)

1, 2,..., т.

дкз

^ (ж) - дпкЗ Є2т,га * /

(2.6)

Теперь найдем условия разрешимости системы уравнений (2.6), которая представляет собой линейную неоднородную систему т уравнений с т неизвестными (0), ] = 0,т — 1. Для этого составим матрицу размерности 2т х т по правилу

А

1= Ж 1= 2! 1= 4! 1 = 6!

1 = 01 1 = 2! 1 = 4! 1 = 6!

0 2!/1! 4!/3! 6!/5! ••

0 2!/0! 4!/2! 6!/4! •••

0 0 4!/1! 6!/з! •••

••• (2т - 4)!/(2т - 4)! (2т - 2)!/(2т - 2)!

(2т - 4)!/(2т - 5)! (2т - 2)!/(2т - 3)!

(2т - 4)!/(2т - 6)! (2т - 2)!/(2т - 4)!

(2т - 4)!/(2т - 7)! (2т - 2)!/(2т - 5)!

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(2т - 4)!/0! 0 0 0

(2т - 2)!/2! (2т - 2)!/1! (2т - 2)!/0!

0

а также введем вектор размерности т

и

( мо(0) мі(0) М2(0)

мт-2 (0)

V мт-1(0) У

и вектор размерности т

( І / ^1(Ж)

(ж) - ~д~к1 ^2т,п * /

І/ ^2(ж) -5 1

дпх

дк2 _ к9 ^2т,п

*/

V

^т(ж) - ^2т,п * /

/

Через А(к1, к2,..., кт) обозначим матрицу размерности т х т, которая совпадает с матрицей А, в которой сохраняются строки с номерами, равными к1, к2,..., кт.

Таким образом, система (2.6) в новых обозначениях примет вид:

А(^1, ^2, ..., кт)и = ^

Отсюда в силу теоремы Кронекера-Капелли вытекает следующая

(2.7)

Теорема 2.1. Пусть f (ж) е Са(П), ^(ж) е С2т-к8 +“(5), в = 1,т. Тогда необходимым условием разрешимости краевой задачи (2.1)-(2.2) в классе С2т+а(П) при произвольном т и любом наборе 0 < 11 < 12 < ... < 1т < 2т — 1 является условие:

rank A(fci, k2,..., km) = rank ^A(fci, k2,..., km), ,

(2.8)

то есть ранг расширенной матрицы системы (2.7) должен совпадать с рангом матрицы А(1Ь 12,..., 1т).

3. Достаточные условия разрешимости краевых задач для бигармонического уравнения в шаре

В теореме 2.1 получены необходимые условия разрешимости краевой задачи (2.1)—(2.2). Оказывается, что они являются также достаточными условиями разрешимости краевой задачи (2.1)—(2.2). Для наглядности подробно рассмотрим случай т = 2.

Случай т = 2, 11 = 1, 12 = 2 (для простоты случай а: п — нечетное или п — четное, но п > 4).

В этом случае матрицы А(1, 2) и (А(1, 2), Г) имеют вид

A(1, 2)

О2

О2

(A(1, 2),F)

О 2 £1

О 2 <p2 _

где ^l(x) = ^l(x) - / d4,n (4 - n) |x - yj2 n(|x| - (xxf)f (y)dy

|y|<1

(^2 (ж) = ^2 (ж) — у ^4,„ (4 — п)

|У|<1

Из условия (2.8) получим, что det

(x, У) \ 2 і і „ _ |2—n

(2 - n) |x - yj—1n(jxj - )2 + |x - yj

f (y)dy^

2 <^l

2 V?2

О, то есть {^l(x) - ^2(x) +

|x|=1

+ J d4,n (4 - n) [(2 - n) jx - yj n(1 - (x,y))2 + jx - yj n(x,y^ f (y)dy}dSx = 0,

|y|<1

где

4,n

(2) 16 пп/2'

Перепишем при т =2, !1 = 1, 12 = 2 условия (2.4) в виде

(3.1)

^ + 2u,(x) + ^ = ^,(x) - S d4,n (4 - n) |x - y|2—"(|x|- iff1 )f (y)dy,

|y|<1

^ + 2u1(x) + 4 ^ + d2ufx1 =

|f|<1

^2<x) - / d4,n (4 - n) (2 - n) jx - yj "(jxj - Sxx»1 )2 + jx - y|2 " f (у)^ x Є 5,

(3.2)

Вычитая второе равенство (3.2) из первого, получим краевое условие Неймана

5^(ж)

дш

{<£l(x) - ^2(x) +

+ у ^4,п (4 — п) [(2 — п) |ж — у П(1 — (ж,у))2 + |ж — У|2 (У^У} = 0,ж е 5, (3.3)

|У|<1

где

^(ж) = м0(ж) — 3м1(ж) — (ж, дга^[м0(ж) + м1(ж)]) = м0(ж) — 3м1(ж) — (ж, У)[м0(ж) + м1(ж)] (3.4)

— гармоническая функция в шаре П.

Нам известно, что выполнение условия (3.1) необходимо и достаточно для разрешимости задачи (3.3), (3.4). При соблюдении условия (3.1) функция ^(ж) строится в квадратурах

^(ж) = — I N(ж,у){(1(ж) — (2(ж) +

и

|,| = 1

+ ^ 4,П (4 — п) [(2 — п) |ж — уГ(1 — (ж,у))2 + |ж — У|2-П(ж,У)]/' (у)^у}^5, + C, (3.5)

|У|<1

где С — произвольная постоянная.

В силу (3.4), (3.5) имеем

М0(ж) — 3м1(ж) — — "и1М = ^(ж),ж е 5. (3.6)

Складывая первое из равенств (3.2) и (3.6), получим краевое условие Дирихле ^1(ж) = (1 (ж) + ^(ж), ж е 5 для гармонической функции

^1(ж) = м0(ж) - м1(ж), ж Є П.

(3.7)

Построив функцию ^1(ж) по формуле Пуассона, из (3.5) и (3.7) находим, что гармоническая функция м0(ж) должна быть решением линейной смешанной краевой задачи

мо(ж) -

дм0(ж)

^(ж) - 3^1(ж) -

д^1(ж)

(3.8)

Решение м0(ж) этой задачи очевидно существует и его можно также выписать в квадратурах. После того как функции ^(ж),^1(ж),м0(ж) построены, из равенства (3.7) определяем функцию м1(ж), и искомое решение задачи (2.1), (2.2) в рассматриваемом случае находим по формуле

м(ж) = ^ 4,п|ж - у|4-п/(у)<іу + М0(ж) + |ж|2М1(ж).

|у|<1

Таким образом, доказана достаточность (необходимость уже доказана в теореме 2.1) следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть /(ж) Є Са(П), ^1(ж) Є С3+а(£), <^2(ж) Є С2+а(£). Тогда необходимым и достаточным условием разрешимости следующей краевой задачи

Д2м = /(ж), |ж| < 1,

!и = ^1(ж), |ж| = 1, й = ^2(ж), |ж| = 1,

(3.9)

является условие (3.1), т.е.

J {(1(ж) — (2(ж) +

|,| = 1

+ ^ 4,П (4 — п) [(2 — п) |ж — у|-П(1 — (ж, у))2 + |ж — у)] f (у)^у}^5, = 0,

|У|<1

где 4,„ = (2 п .

(2) 16 п 72

Случай т = 2, 11 = 1, 12 = 3 (для простоты случай а: п — нечетное или п — четное, но п > 4) .

Перепишем при т =2, 11 = 1, 12 = 3 условия (2.4) в виде

ддпг + 2м1(ж) + дёЕ) = ^1(ж) - є4,п * У, ж Є Б,

д3«о(ж) + 3 . 2 д«1(ж) + 3 _ 2 д2«1(х) + д3«1(ж) (3 ю)

дпХ дпх дпХ дпХ \ '

= (з(ж) — Щз* f, ж е 5.

В данном случае необходимое условие разрешимости записывается в виде

j {(3(ж) — j (у)^у}^5, = 0. (3.11)

|,|=1 |у|<1

Введем гармоническую функцию в шаре П по формуле

-(ж) = "М0^) +6 М1 + 6 (ж, У)м1 + 6 (ж, У)2м1,

"п,

которая на границе 5 удовлетворяет условию

д д3

-^(ж) = <£з(ж) - Чп * /.

"п, 5п,

Последнее соотношение вытекает из второго равенства системы (3.10). Поскольку (3.11) является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Неймана, то функция -(ж) строится как решение задачи Неймана. Таким образом, -(ж) строится с точностью до постоянного слагаемого.

Запишем новую систему краевых условий

+ 2м1(ж) + ^ = (1(ж) — дПХ£4,п * f, ж е 5,

Х Х Х (312)

д2и0Хх) + 6 и, (ж) +6^ + д2цХх> = „(ж), ж е 5, .

которая построена с помощью первого соотношения из (3.10) и только что построенного решения задачи Неймана. Исключая из (3.12) величину м1 (ж),ж е 5 и обозначая через

„1(ж) = 3м0(ж) — 3м1(ж) — (ж, V) [м0 + м1]при ж е П, видим, что „1(ж) — гармоническая в шаре П функция, удовлетворяющая условию Неймана

1 = 3(1 (ж) — 3-—£4,п * f — -(ж), ж е 5. (3.13)

"п, "п,

Для разрешимости указанной задачи Неймана необходимо и достаточно выполнение условия

[ д

I (3(1 (ж) - 3дп£4,™ * / - ^(ж))^ = 0. (3.14)

N=1

Предположим, соотношение (3.14) выполняется, тогда гармоническая функция ^1(ж) находится с точностью до постоянного слагаемого.

Запишем новую систему краевых условий

дйй + 2«,(ж) + ^ = (1(ж) - дПх^4,„ * /, ж 6 й, (3 15)

3ио(ж) - - 3^1 (ж) - = ^1(ж), ж 6 Б,

которая построена с помощью первого соотношения (3.10) и только что построенного решения задачи Неймана. Из (3.15) сразу же вытекает равенство

д

3м0 - и1 = (1(ж) - -— е4га * / + ^1(ж),ж 6 Б, (3.16)

дпх ’

обозначаем через ^2(ж) = 3м0(ж) - и1(ж) при ж 6 П. Введенная функция ^2(ж) является гармонической и удовлетворяет данным Дирихле (3.16). Отсюда следует, что ^2(ж) однозначно находится как решение задачи Дирихле. Теперь сравним

и2(ж) = 3м0(ж) - и1(ж),

(ж, V) ^2 = 3 (ж, V) м0 - (ж, V) и1

и ^1 (ж) = 3м0(ж) - 3м1(ж) - (ж, V) [м0 + и1] в шаре П. Отсюда можно исключить функцию м0 (ж) и ее нормальную производную. В результате имеем соотношение

1 4

^1(ж) - ^2(ж) +—(ж, V) ^2 = -2м1(ж)-(ж, V) и1 при ж 6 П.

33

Следовательно, для нахождения гармонической в шаре П функции и1 (ж) достаточно решить смешанную задачу

4 дм^ 1 д^2

2мЦж) + --— = ^(ж) - ^(ж) - — ,ж 6 Б.

3 дпх 3 дпх

Известно, что указанная задача имеет единственное решение. Если м1(ж) при ж 6 П известны, то по ^2(ж) можно однозначно определить м0(ж) при ж 6 П. Таким образом, разрешимость краевой задачи при т = 2, к1 = 1, к2 = 3 доказана при выполнений условий (3.11) и (3.14). Причем решение находится неоднозначно, так как при решении двух задач Неймана возникали произвольные постоянные слагаемые.

Покажем, что на самом деле условие (3.14) всегда выполняется. Действительно, из второго соотношения (3.12) вытекает, что

м1 (ж)^Бх = J ^(ж)^Бх,

а из первого соотношения (3.12) следует, что

2У М1 (ж)^Бж = У ((1 (ж) - д~е4,п * /)^$е.

5 5

Из этих двух равенств следует, что соотношение (3.14) всегда выполняется. Отсюда следует, что необходимое условие (3.11) является также и достаточным для решимости указанной задачи при т = 2, к1 = 1, к2 = 3.

Таким образом, полностью доказана следующая

Теорема 3.2. Пусть /(ж) 6 Са(П), (1(ж) 6 С3+а(£), (3(ж) 6 С1+а(£). Тогда необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи

Д2м = /(ж), |ж| < 1,

u = d(x), |x| = І, (3.17)

З

дПз u = (з(x), |x| = І

является условие

[ d3

((з(х) - * f )dSx = 0.

|x|=i

4. Достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре

Сформулируем основной результат данной статьи.

Теорема 4.1. Пусть f (x) G C“(Q), (ks(x) G C2m-fcs+“(S), s = 1,m. Тогда необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи (2.1)-(2.2) в классе C2т+а(П) при произвольном m и любом наборе 0 < k1 < k2 < ... < km < 2m — 1 является условие (2.8), т.е.

rank A(k1, k2,..., km) = rank ^A(fc1, k2,..., km), .

Доказательство условий достаточности теоремы 4.1 приведем по следующей схеме. Вначале запишем краевые условия (2.2) в матрично-векторной форме

д -* д km-1 d^m

AoU + AlдПХU + - + Ak-idnF7 U + snF U = F"- x G S (4-1)

где U = (uo(0),ui(0), ...,Um-i(0))T,

} dk1 д д km

Fo = ((fci— дпк7e2m,ra *f, ^— e2m,ra *f, ...,^km — £2m,ra *f)T,

A0, A1,..., — числовые матрицы размерности m x m, причем A0 = A(k1, k2,..., km).

Допустим, что ранг матрицы A0 равен t, где t < m. По определению ранга матрицы это означает, что существует невырожденная матрица B такая, что последние (m — t) строк матрицы BA0 линейно независимы между собой. Умножим обе части равенства (4.1) на матрицу B, тогда имеем

—* д —* д km-1 —* дкт —* —*

BAo и + BA1 — U +... + BAfcm-i 5nfcm-i U + BAkmдПкти = BFo, x G S, (4.2)

отсюда вытекает, что

д km _# _#

[0,Em-t]BA0 U + ... + [0,Em-t]BAfcm Qnkm U = [0, Em-^]B-U0, x Є S, (4.3)

где Ет— — единичная матрица размерности (т — £). Здесь учтено, что [0,Ет-4]ВА0 — нулевая матрица. Обозначим через

^(х) = [0, Ет-*]ВА1 и + [0, Ет—]ВА2(х, V) и + ... + [0, Ет—]ВАкт ((ж, V)) т [/, х Е П, тогда ^(х) является решением следующей задачи Неймана

Дж^(х) = 0,

д

= [0, £т—]В—о, х е 5.

Необходимым и достаточным условием разрешимости этой задачи является условие

[0, Ет—]В [ —0 °

дп

которое в точности совпадает с условием (2.8). Гармоническая функция ^(х) находится с точностью до постоянного слагаемого с помощью ядра Неймана. Считая, что функция ^(х) при х Е П известной и вычисляя ее значение на границе при х Е 5, имеем

дкт 1 _#

[0,Ет—]ВА1^ + ... + [0, Ет-*]ВАйт дП^т—1 ^ = ^(х) х Е 5 (4.4)

Добавляя полученные краевые значения (4.4) к оставшимся уравнениям системы (4.2), получим

[E, 0]BAo + ... + [E, 0]BAfcm-^,dkm-r^ = [Et, 0]BFo, x E S

[0,Em-t]BA1^ + ... + [0,Em-t= w(x), x E S

(4.5)

Заметим, что в системе (4.5) отсутствуют нормальные производные порядка кт так как [Е4, 0]ВАкт — нулевая матрица.

Таким образом, нам удалось понизить порядок нормальной производной, входящей в краевые условия. Продолжая указанный процесс, можно исключить все нормальные производные из краевых условий. Заметим, что для всех последующих краевых задач необходимые и достаточные условия их разрешимости всегда выполняются. То есть дополнительных условий разрешимости не возникает. Теорема 4.1 полностью доказана.

В качестве примера рассмотрим задачу типа Неймана с краевыми условиями [6]:

Дти(х) = f(х), |х| < 1, (4.6)

дг

дП

-и

= (j(x), x E S, i = 1, 2,...,m, (4.7)

то есть данной задаче соответствует матрица A(1, 2, ...,m).

В этом случае rank A(1, 2,..., m) = m — 1, тогда в силу условий (2.8) справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.2. Для разрешимости задачи (4-6), (4-7) необходимо, чтобы ранг соответствующей расширенной матрицы был равен m — 1, т.е. чтобы имело место равенство

x

ёе1(А(1, 2, ...т), р)

аіі

а21

ак1

а12

а22

ак2

а13

а23

ак3

ат1 ат2 ат3

/[(1 (х) - дП^£2т,п * /]

/ [(2 (х) - дП2Є2т,п * /]

/ [( (х) - дП^кЄ2т,п * /] ^

5 х

0, (4.8)

где

0, ? = 1,..., [4±1 ] - 1,

2.?(2,? - 1)..(2; - к +1), ? = [к+1],...,т - 1.

5. Необходимые и достаточные условия разрешимости задач для

НЕОДНОРОДНОГО БиГАРМониЧЕСКого УРАВНЕНиЯ В ШАРЕ С однородными

краевыми условиями Рассмотрим неоднородное бигармоническое уравнение

Ьм = Д2м(х) = f (х) (5.1)

в шаре Пг = {х : ||х|| < г } С Дга, (для простоты случая а: п — нечетное, а также при четных п, если п > 4).

В работах [7-9] для уравнения (5.1) было построено решение следующей краевой задачи К-01, те. задачи Дирихле

дг

дп

-и

0, і = 0,1.

жЄдПг

Единственное решение м(х) имеет интегральное представление

и(х) = (х) = / С4,„(х,у)f (у)б(у,

(5.2)

(5.3)

где С4га(х,у) — функция Грина задачи Дирихле (5.1)—(5.2) может быть записана в виде:

^4,п(х,у) =

1

1

(4 - п)4 ■ (2 - п) ш

1 1 о / . у

г

|х - у|4-П -

У 2 4—п у 4— п

X 5-г |у|2 г

+

+------------------------------------------г2 1 -

2 ■ 4 ■ (2 - п)

1

у2 X - —2 Г

|у|2

2—га

2— п

Для бигармонического уравнения (5.1) рассмотрим следующую задачу К-12: Ьм = Д2м(х) = f (х), х Е Пг = {х : ||х|| < г } С Дга, дг

дп

и

0, і = 1, 2.

(5.4)

(5.5)

(5.6)

жЄдПг

Аналогично теореме 3.1 для данной задачи имеет место следующая

2

2

Теорема 5.1. Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи К-12, т.е. задачи (5.5)-(5.6) является условие:

|x|=r |y|<r

fD \ I |— n/ (x, y) ^ 2 ol \2-nj (x,y)^

(2 - n) |x - y| (r----------) - 2|x - y| (r-----------)

f (y)rfyd5, = °.

(5.7)

Теперь рассмотрим для бигармонического уравнения (5.1) следующую задачу К-13:

Lu = A2u(x) = f (x), x є = {x : |x| < r } С Rn, (5.8)

д»

u

0, i = 1, 3.

(5.9)

xGdQr

Аналогично теореме 3.2 имеет место следующая

Теорема 5.2. Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи К-13, т.е. задачи (5.8)-(5.9) является условие

ul(0)= / I “—ЙП"|x - У|2—"(r

|x|=r |y|<r

(x,y)

)f (y)dydSx

I I { n|x - y|-n-2(r - )3 + 3|x - y|-n(r -

|x|=r |y|<r

(x,y)

r

0.

(5.10)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. E. Almansi, Sull’integrazione dell’equazione differenziale A2n = 0 // Annali di Mat. 1899. V. 3, № 2. P. 1-51.

2. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

4. M. Nicolesco Les fonctions polyharmoniques. Paris: Hermann ed. 1936. 54 p.

5. Соболев С.Л. Математический сборник // 1937. Т. 2, № 3. С. 467-500.

6. Бицадзе А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 5. C. 825-831.

7. Кальменов Т.Ш., Кошанов Б.Д., Искакова У.А. Структура спектра краевых задач для дифференциальных уравнений. Алматы: Препринт. 2005. 54 с.

8. Кальменов Т.Ш., Кошанов Б.Д., Немченко М.Ю. Представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений в шаре // Доклады РАН. 2008. Т. 421. № 3. С. 305-307.

9. Кангужин Б.Е., Кошанов Б.Д. Представление и свойства функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений // Математический журнал. Т. 8, № 1(27). С. 50-58.

Балтабек Есматович Кангужин,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби, ул. Пушкина, 125,

050010, г. Алматы, Казахстан E-mail: kanbalta@mail.ru

Бакытбек Данебекович Кошанов,

Институт математики, информатики и механики МОН РК, ул. Пушкина, 125,

050010, г. Алматы, Казахстан E-mail: koshanov@list.ru

Г

x