НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 33. № 4. C. 51-62. ISSN 2079-6641

УДК 517.956 Научная статья

Нелокальная задача с интегральными условиями для трехмерного гиперболического уравнения высокого порядка

Ш. Ш. Юсубов

Бакинский Государственный Университет, ул. З. Халилова 23, AZ1148, г. Баку, Азербайджан

E-mail: yusubov_shakir@mail.ru

В работе для трехмерного гиперболического уравнения высокого порядка с доминирующей смешанной производной исследуется разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями. Поставленная задача сводится к интегральному уравнению и с помощью априорных оценок доказывается существование единственного решения.

Ключевые слова:гиперболическое уравнение, нелокальная задача, интегральное уравнение.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-51-62

Поступила в редакцию: 04.08.2020 В окончательном варианте: 03.11.2020

Для цитирования. Юсубов Ш. Ш. Нелокальная задача с интегральными условиями для трехмерного гиперболического уравнения высокого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 33. № 4. C. 51-62. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-51-62

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Юсубов Ш.Ш., 2020

Постановка задачи

В области G = [x = (x\,x2,x3) : xi G Gi = (x0, x1), i = 1, 2, 3} рассмотрим уравнение

(lni Я2Я3 u)(x) — -DnJ Dx2 Dn3 u(x) + ^ ¿2 /3 Dx1DX2 DX3 u{x) —

'l + ¿2+/3 <Щ+П2+Г,

0<ik<nk; k—1,2,3

¿1 + i2+¿3 <Я1+Я2+Я3 (1)

— ФЯ1Я2Я3 (x)

с условиями

(l/100U)(X2, X3) — D\ u(x°, X2, X3) — <P/100 (X2, X3), (x2, x3) G G2 x G3, /1 — 0, n1 — 1,

(ln1i20U)(X1, X3) — D^1 DX22 u(X1, X0, X3) — Фя1/20(Х1, X3), (x1, X3) G G1 x G3, /2 — 0, я2 — 1,

(2)

Финансирование. Работа выполнялась без финансовой поддержки

~ 3

(Ininais u)(xi, Х2) = J «i3 (хз)^^! D^2 DX33 u(xi, X2, X3)dX3 = фИ1п213 (xi, X2),

x0

(4)

3

7 -jk

Здесь u(x) = u(xi,x2,x3) — искомая функция, D = d^sA — оператор обобщенного

(х1, х2) € О1 х О2, г3 = 0,п3 — 1.

и(х) = и(х^х2,х3) — искомая ф дифференцирования в смысле С. Л. Соболева, пг, г = 1, 2, 3, — натуральные числа, «г^гз(х), гк = 0,пк, к = 1, 2, 3, — измеримые на О функции, удовлетворяющие условиям: «123(х) € £р(О), гк = 0,пк — 1, к = 1, 2, 3 и существуют функции

а°1г2г3 С^^х3) € ¿р(°2 х О3), А0^г3 (х1,х3) € ¿р(О1 х О3), (х1,х2) € Ьр(О1 х О2),

аи1и2г3 (х3) € М0^ а°1г2И3 (х2) € (О2), а01И2И3 (х1) € М0^ 4 = ° пк — 1 к = 1, 2, 3 такие что, выполнены условия

|аП1г2гз (х)| — «П1 г2г3 С^ ^ К^З (х) 1 — «01п2г3 (хЬ ^

|аг1г2И3 (х)| — «0 г2п3 (х1, х2), |аП1И2г3 (х) 1 — ап1п2г3 (х3),

|anii2n3(x)| < an1 ,'2n3(x2), |aiin2n3(x)| < аг'1И2Из(x1), 4 = 0,nk - 1, k = 1, 2, 3

почти всюду на G; a,3(X3) G L(G3), 9^00 (X2,X3) G Wpn2,n3)(G2 x G3), ^n1»2o(x1,X3) G

Wp0,n3)(G1 x G3), фИ1И2,3(x1,X2) G Lp(G1 x G2), 4 = 0,nk - 1, k = 1, 2, 3, — заданные функции.

Ставится задача: найти решение задачи (1)-(4) в пространстве С. Л. Соболева

Wpn1,n2,n3)(G) = {u G Lp(G)|DX\D2DX3u G Lp(G), ,k = 0^, k = 1, 2, 3} с доминирующей смешанной производной D"1D"2u и нормой

"k

p ,k=0 k=1,2,3

Отметим, что в последнее время значительно возрос интерес к уравнениям вида (1), в связи их появлением при изучении вопросов фильтрации жидкости в трещиноватых средах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений, продольного колебания в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задач и т.д. (см. например, [1]-[4]).

Уравнение (1) относится к числу нестрого гиперболических уравнений для которых плоскости x, = const, , = 1, 2, 3 являются, соответственно, n,, , = 1, 2, 3,-кратными, действительными характеристиками. Это уравнение в некотором смысле можно рассматривать также как псевдопараболическое уравнение высокого порядка

[5].

Уравнение (1) и его частные случаи с достаточно гладкими коэффициентами изучена в [6]-[16] при локальных и нелокальных краевых условиях.

В предлагаемой работе доказано существование единственного решения задачи (1)-(4) с коэффициентами из Lp.

Сведение задачи (1)-(4) к интегральному уравнению

Используя операторно-матричные обозначения задачу (1)-(4) запишем в следующем виде

/и = ф, (5)

где оператор / = (/И1„2И3, /¿^0, ¿1 = 0," - 1, /И1г-2о, ¿2 = 0,"2 - 1, /И1И2г3, ¿з = 0, "з - 1) действует из ^И1,И2,Из)(а) в яР"ь"2,"з)(а), а ф = (фП1„2Пз(хьх2,хз), 9,^00(^2,хз), ¿1 = 0, " - 1, фИ1,20(Х1,хз), ¿2 = 0, П2 - 1, фИ1п2,з (Х1,Х2), ¿3 = 0, "з - 1) € Я^"1 ,"2,"з),

я(п1 ,п2,пз)= ^ х "п1 ^"2,"3)(С2 х Сз) х "п1 и^0*3^ х Сз) х "п1 ^ х 02).

¿1=0 ¿2=0 ,'з=0

Норму в пространстве

Я("ь"2,"3)

определим естественным образом при помощи

равенства

«1-1

||ф 11Я^"1>"2>"з) = II ф"1"2"3 11фг100 ||^(п2,пз)(0 хСз) +

«2-1 "з-1

+ ¿!0 ^"^^'^хОзЛ ¿350 11 ^^^^¿з |Ь,(01х02)-

При наложенных условиях на коэффициенты задачи (1)-(4), оператор / : ^Р"ъ"2,"з)(с) ^ я("1,"2,Из) линеен и ограничен.

Исследование задачи (1)-(4) проводится на основе специального интегрального представления функции и € ^р"ь"2,"з)(С) [13]:

"1-1 (х - х0)¿1 "2-1 (х_ _ х0)¿2 х/ (х _ т )«1-1 ф) = (еь)(*)= £ (Х1 . Х1) Ь;100(Х2,хз)+ £ (Х2 . Х2) (Х1 Т1)„ Ь„1г20(Т1,хз)<*Т1 «1=0 ¿1' ¿2=0 ¿2! { ("1 - 1)!

"З-1 (хз - x0)¿3 Х/7 (Х1 - Т1)"1-1 (Х2 - Т2)"2-\

+ У ("1 — 1)! ("2 -1)! Ь"1 (Т1, ^^

'3=0 x0 x0

1 2

xi x2 x3

, f Г 3 (xi - Ti)ni-i (X2 - T2)n2-1 (X3 - Тз)Из-\ , w . . _

+ JJJ "(n^--(П--!)!--(T1,T2'T3)dT3dT2dT1, (6)

1 2 3

с помощью элемента Ь = (Ь"1"2"3(х),Ь^^,хз), ¿1 = 0,"1 - 1, Ь"^(х1,хз), ¿2 = 0,"2 - 1, Ь"^(х1,х2), ¿з = 0,"з - 1) € Я^"1 ,"2,"з).

Из формулы (6) следует, что любая функция и €

^("Ь"2,"3)^)

имеет следы

^ и(х1, х2, хз), ¿1 = 0, "1 - 1, и(х1, х°°, хз ), ¿2 = 0, "2 - 1, Я£з и(х1, х2, х3), ¿3 =

0,"3 - 1 и операции взятия этих следов непрерывны из ^/("1,"2,"з)(С) в Жр("2,"з)(С1 х

Сз), Жр0,"з)(С1 х Сз), х С2), соответственно. Для этих следов справедливы

также равенства:

„0 \ _ т _ _ / \ • _ 7Г"~ Т" ^\"lтл¿7 1J„ „0

DX11"(Xl,X2,X3) = bi100(X2,X3), ¿1 = 0, П1 - 1, DJ DX2u(Xi,X2,X3) = b„1,20(X1,X3), i'2 = 0, П2 - 1,

DJ1D22DX3u(X1,X2,Xl) = b„1„2'3 (X1,X2), ¿3 = 0,П3 - 1, DqD22D33u(X) = bm„2«3 (X).

Легко показать, что существуют положительные постоянные С1 и С2 такие, что для любой Ь е Я<ГЬИ2'И3)

Из этих неравенств следует, что оператор Q осуществляет изоморфизм между пространствами я]рИ1,И2,Из) и ]УрПьИ2,Из)(0). Поэтому пространства ]УрПьИ2,Из)(0) и ЯрИ1 ,И2'Из) можно отождествить в смысле изоморфизма.

Выберем элемент Ь = (ЬИ1„2„3(х),Ь^^,хз), ¿1 = 0,"1 - 1, ЬИ1г-2о(хьхз), ¿2 = 0,"2 - 1,

Ьи1и2г3 (хЪ Х2),

¿з = 0,пз - 1) е Я^^^таким образом, чтобы соответствующая функция и(х) получаемая представлением (6) удовлетворяла условиям (2), (3), (4). Для этого подставим выражение (6) в условия (2), (3), (4). Тогда имеем

(lii00Öb)(x2,Хз) = bfjQQ(Х2,Хз) = фг-1оо(х2,Х3), (Х2,Х3) G G2 х G3, ¿1 = 0,и - 1,

(lnii20Öb)(xi,Хз) = Ьп1г'20(Х1,Хз) = ^nii20(Х1,Хз), (Х1,Хз) G Gl х G3, ¿2 = о, И2 - 1,

(7)

(8)

(ln1n2i3 Qb) (Х1, Х2) = аз (Хз)

и3-1 (Хз -Х0)кз-г'з

^ 3k _ i ) ! b«1«2k3(Х1, Х2) +

_кз=г'з ( 3 3)'

"3 (х — Т )из — ¿з —1

+ / ( 3— -)з-1)! ЬП1П2П3 (Х1,^ T3)dТ3

о (пз-г'з-1)

х3

¿3 = 0, пз - 1. Введя обозначения

^Хз = <Pn1n2i3 (Х1,Х2), (Х1,Х2) G G1 х G2,

(9)

p=

/«0(Хз)^Хз

Х0 Хз

Х3

/00(Хз)(Хз - Х^)^Хз

Х'3 (х^ — х0)И3- 1 "3 (ХЧ— Х0)И3-2 Х'3

/«0(Х3)( (из^1)! ^Х3 /а1(хзГ (из—2)! ^Х3 ••• /Оиз-1(Х3)^Х3

/«1 (Хз)^Хз

(из-2)!

11

ф,

Я1Я2гз

Хз

(x1,Х2) = фй1П2гз (ХЪХ2) - "3 ( "аз (Т3)(Т--1-Г)Т"Х

bn1n2n3 (Х1,Х2,Хз)^Хз, ¿з = 0, Из - 1,

(10)

систему (9) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ЬИ1п20(х1,х2), ЬП1„21 (х1,х2),...,Ь„1„2„3-1 (х1,х2), запишем в виде векторного уравнения

(ьи1и20(х1 ,Х2),ьи1и21 (х1 ,Х2), •••,ьи1п2пз- 1 (Х1, Х2)) p =

= (фи1и20 (Х1, Х2), фи1„21 (Х1, Х2), •••, фи1 „2„з-1 (Х1, Х2) ) •

0

0

0

Ясно, что при a¿3 = / a¿3(хз)Ахз = 0, ¿з = 0,"3 - 1, треугольная матрица р обратима.

Обратную к р матрицу обозначим через

P =

Тогда из (11) получим

Р00 Р10

р01 р11

Р0 n3-1 ^ Р1 n3-1

\ Pn3-10 Pn3-11 ... Pn3-1 n3-1 )

bnln1i3 (Xi,X2) = ф^я^ьX2)P0i3 + фптп21 (Xi,X2)Pii3 + ...

«3-1 _

+фптn2n3 — 1 (x1 ,X2)Pn3-1 i3 = l фптп2*3 (x1,X2)Pk3i3, ¿3 = 0, n3 - T.

k3 =0

(12)

Учитывая (7), (8), (10), (12) в (6), представление функции и(х) можем записать в виде

. . 1 (х1 - x0)¿1 Л 1 (х2 - x0)¿2 х1 (х1 - Т1)"1-1

и(х)= £ -ту^ф¿l00(x2,хз)+ £ -ГГ^ / —ГГ.-ф"1 ¿20(*1,хз)Ап +

¿1 !

ii=0

¿2 =0 ¿2! 0 (Щ -

+ Уn3-1 (X3 -xg)* P

+ L L —Tri—^¿3

¿3=0 k3=0

¿3!

Xi X2

и

x0 x0 X1 X2

1

(Xi - Ti)ni-1 (X2 - T2)n2-1

(ni - 1)! (n2- 1)!

-^n1n2fe3 (ТЪ T2)dT2dT1-

- ^ ^ . X1 X2 X3 (Xi-TD'i-1 (X2-T2)"2-1 | X3

!3) Pk3hl I / ( i(ni--1)! ( 2(n2^1)! ^ ak3 (T3)( 3n3-3)3-1)! dT3

1 2 3

X1 X2 X3

(x 1- Ti)ni-1 (X2-T2)"2-1 (X3- Т3Г3

n3 — 1

(13)

¿3=0 кз=0

х "1"2"з ( 1 , T2,х3)Ах3АТ2АТ1 + / / / 1("1-1)!--("2-1)!--("3-1)!

х1 х2 хз

хЬ"1"2"3 (Т1, Т2, Тз)АТзАТ2АТ1. Таким образом, доказана

Теорема 1. Если «¿з = 0, ¿з = 0, "3 - 1, то любая функция и € ^р"1,"2,"з)(С) удовлетворяющее условиям (2)-(4) представила в виде (13).

Используя полученный результат, решение задачи (1)-(4) будем искать в виде (13), где Ь"1"2"3 € Ьр(С)- неизвестная функция. Потребуем от функции (13) того, что она была решением уравнения (1). Для этого функцию (13) запишем в виде

u(x) = q(x) + u(x),

(14)

где

n1 - 1

(xi-x0)i

¿i!

1 ^¿i 00 (X2, X3 )+ L ¿2 =0

V ^^ X1 (xi-Ti)"i

¿2!

/ (Xi(„^^T)1! 1 ^nü20(ТЪx3)dT1 +

q(x) = l ¿1=0

+ n3r1 n3-1 (xз-x3)i3 _ . X1 X2 (Xi-Ti)"1-i (X2-^^ ю ( ,

+ l l -¿3!-^¿3^ (n — 1)!--(n2 — 1)! ^2*3 (T1, T2)dT2dT1,

¿3=0 k3=0 3 x0 x0 ( 1 ; ( 2 ;

"(х) = - X "£' ^ Pk3i3 Х1" Х1 «Х^ Х

i3=0 кз=0 3 х0 х0 х0 v 1 ; v 2 ;

^ ^ 2 3

х |/«k3(тО^-П- 1 dr3j Ь„1„2П3(Т1,Т2,Хз)^Хз^Т2^Т1+ (16)

+ / Х? / ЬИ1И2И3 (Т1, Т2, T3)dT3dT2dТ1 •

х0 х0 х0 (п1-1)! (п2-1)! (п3-1)! 1 2 3

Тогда учитывая функцию (14) в уравнение (1), для функций и(х) получается уравнение

(1И1п2п3¿ё) (х) = у(х), х е С, (17)

где

у(х) = фП1И2Из(х) - (/П1И2Изд)(х). (18)

Учитывая (16), уравнение (17) запишем в виде

Х

(1П1П2Пз и)(х) = (АЬИ1И2Из )(х) = Ь"1"2"3 (х) + / К1 (т1, х)Ь"1"2"3 (ТЬ х2, Хз)d Т1 +

х0

11 ^2 Х3

+ / К2 ( Т2, х) Ьщ „2пз (х1, Т2, хз ) d Т2 + / К3 ( Т3, х) Ьщ ^3 (х 1, х2, Т3 ) dТз +

х0 х0 д<2 3

Х Х Х1 Х

+ // К12(Т1 , х)ЬП1П2Пз (Т1 , Т2,хзУТ2dТ1 + / /А1з(Т1 , ^х)ЬП1П2"з (т1, х2, ТзУ Tзd Т1 +

х1 х2 х1 хз

Хц Хц Х1 Хц Хц

+ / /К2з(Т2, Тз , х)ЬИ1И2И3 (х1, Т2,тзУТзdт2 + ///Кш(т,х)ЬП1И2Из(т^т = у(х), х е С,

х0 хз х-0 х0 хз

(19)

где

и1-1 (Х1 - Т1)и1-г1-1

К1(тЪ х)= У аг'1И2Пз (х)в (х1 - ^-Т"-1-тгг-,

¿1 =0 (И1 - ¿1 - 1)!

1 (Х2 - Т2) и2 ¿2 1

К2(Т2, х) = У ami2„3 (х)в (Х2 - Т2) -:-т^—,

¿2=0 (и2 - ¿2 - 1)!

из-1

Кз(тз, х) = У an1„2i3 (х) х

¿3=0

х

в (Хз - Тз) Cn3-i3-1)! - ¿h k3t0 (I3—¿з)! Pk3l3 J «k3 (S3) {пз^кз-1)! ds3

1 "г-1 (Х1 - T1)«1-i1-1 (Х2 - Т2)и2 ¿2 1

k12(t1 , Х)= У У ai1i2„3 (Х)в(Х1 - Т1)в (Х2 - Т2)^--j-^-V-Г—пТ

¿1=0 i2=0 (и1 - ¿1 - 1) ! (и2 - ¿2 - 1) !

"1-1 Из-1

у у -

i1=0 i3=0

К13(Т1, Тз, х)= У У ^ (х) [в (Х1 - Т1)в (хз - Тз)^--^ (ХИ-3-УГ!

"3- И3Г1 (хз-х3)'з-'з _ в( )(х1-Т1)И1-г'1-1 Х1 „ ( )(s3-T3)"3-k3-1 d

= L0 (/3_i3)! ркз/зв(Х1 - Т1) 1„1 ^¿1 -1)! J акз(s3) (из^кз-1)! dS3

K23(T(, T3,x) = V Y (x) ie(X2 - T()0(X3 - Тз)^-2^^ (X3-У*-*-1

¿2=0 ¿3=0

(n2-¿2-1)! (n3-¿3-1)!

^ n^r1 (хз—х0)'з-3 P (x T )(X2-T2)n2-¿2-1 X1 a (s )(S3-T3)"3-k3-1

L L (/з—3)! ^¿3 0 (x2 - T2) (n2-¿(-1)! J аз ^ ^n-—3—)ГdS3

¿з^з k3=0 T3

n1-1 n2-1 n3-1 1 1 2 2

Ki23(T,x) = l l l ^¿3 (x) 0(Xi - Ti)0(X2 - T()0(X3 - T3)(Xr ^^Хп! ' X

(xi -Ti )в1-;1-1 (X2-T2)n2-¿2-1 (ni—V

ni -¿1 -1

¿1=0 ¿2=0 ¿3=0

(x3 — Т3)в3—3-1 «з-1 1 (X3 —x3) ^3 — ¿3 , , , ,(x1-т1)и1 -i1-1 (x2 — T2)n2-¿2-1

X H-Ffal)- - , kE ( (l3-3)3)! Pk3l30 (x1 - T1)0 (x2 - T2) 1 ini-1)1--i1- И-—W" X

В^з k3=0

X 7 «кз (S3)(S3n3T^IK33:l3 — 1 dS3

e (x - s) =

1, X > s,

0, X < S.

Этим доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для того, чтобы оператор / = (/"1"2"3, /¿100, г^ = 0, "1 - 1, /"1г20, ¿2 =

0, "2 - 1, /"1"2¿3, ¿з = 0, "3 - 1) задачи (1)-(4) осуществлял гомеоморфизм между

пространствами ^р"ь"2,"з)(С) и яР"ь"2,"з), необходимо и достаточно, чтобы интегральное уравнение (19) имело единственное решение Ь"1"2"3 € £р(С) для любою у € £р(С).

Эта теорема, в частности, показывает, что если оператор А интегрального уравнения (19) имеет ограниченный обратный А-1, определенный на Ьр(С), то задача (1)-(4) для любого ф = (ф"1"2"3(х), Ф¿1оо(x2,хз), ¿1 = 0,"1 - 1, фл^хьхз), ¿2 = 0,"2 - 1, ф"1"2¿3(х1,х2), ¿з = 0,"3 - 1) € яР"1,"2,"з) имеет единственное решение и € ^Р"1,"2,"3)(с) и для некоторого постоянного М > 0 имеет место неравенство

||и|^гр(в1'в2'в3)(е) — М |ф |я^и1'"2'и3) .

Существование и единственность решения задачи (1)-(4)

Для доказательства существования единственного решения задачи (1)-(4) сначала исследуем разрешимость уравнения (19). Запишем это уравнение в виде

(АЬ"1"2"3 )(х) = (I+А1 + А2)Ь"1"2"3 (х) = у (х), (20)

где I — единичный оператор и

х1

(х1 - Т1)"

1 xi ...

n1-1 Г (Xl — T^l-^-1

(Ai n1 n2n3 )(x) = L (x) / V / i ЬП1П2Пз ( Tb x2, x3)d T1 +

¿т=0 ^ (ni 1)!

1 x2 .

«Y-1 2 (X2 — T2)n2 —¿2 —1

+ L fln1 ¿2n3 (x) J (n2 -i2 — 1)! bnTn2n3(xi, T2,Хз)dT2+

x0

1 Хз .

, , Г (хз - Тз)Из-'з-\

+ У a„1 „2i3(хм "7—_ . _ 1)! b„1 "2"з(Х1,Х2,Тз)dТз+ i3=0 { („3 i3 1)!

х0 Хз

Х1 Х2

V ^ f 2 (Х1 - Т1)И1-г1-1 (Х2 - Т2)И2-г2-\ , \ , ,

+ ¿У .У ai1 ¿2„3 (х)/ / (И1 - ¿1 - 1)! (И2 - ¿2 - 1)! Ь„1„2„3 ( Т1, Т2,Хз +

Х1 х2

V 3 ^ Х 1 (Х1 - Т1)И1-г'1-1 (хз - Тз)Из-'з-\

+ .У0 .У0а.1И2.3(х) /I (и- _ ¿1 - 1)! (из-¿3 - 1)! ЬИ1И2И3(Т1,Х2,Тз)^Т1 +

i1 = 0 i з = 0 Х 0 Х0

1з

„2-1 „3-1 Х2Хз (х _Т \K2-i2-1 (х _Т )„3-i3-1

+ У У аИ1 ¿2¿3 (х)1 Г 2иД-1)! ( 3п3^)3-1)! ЬИ1И2И3 (x1, ^ Т2 +

i2=0 i3=0 х0х0 v 2 2 '' у 3 3 ''

и1-1 „2-1 и3-1 Х1 Х2Хз , _ )И1 - л- 1 , _ -i2- 1 , _ )из-i3-1

+ У У У ai1i2i3 (Х) Х Х2 Х3 (Х 1гГ)1- 1 1 - ^„Д-!2- ^„Д- 1 3- ЬИ1И2И3 ( Т1, Т2, Т3)*Т^ТЬ

¿1 =0 ¿2=0 ¿3=0 х0х0 х0

1 2 3 (21)

из-1 "3-1 "3-1 (хз - х0)/з-¿3 г

(МЬщщщ )(х) = - У У У —Г.-тут- р^з/з I [aИlИ2¿3 (x)ЬЯlЯ2Яз (х1, х2, Тз)

¿3=0 /з=гз кз=0 (/з ¿з)! ^

х3

1 х1 1 х2 .

"1- , (х1 - Т1)Я1-г1-\ "2-1 Г (х2 - Т2)"2-¿2-1

+ ¿У0^(х)/ ("1 -¿1 - 1)! Ь«1«2«3(ТЬх2,Тз)^1 + УaИl¿2¿3(х)/ ("2-¿2- 1)!

¿1 х0 ¿2 х0

12

«1-1 «2-1 Х1 Х2 , Т -¿т -1 (х Т N«,-¿,-1

хЬИ1„2Из (х1, Т2, Тз)dТ2 + I У ^г^г^гз (х) / /

¿1 =0 ¿2=0 х0 х0 х1 х1 х2 (22) 3 ( _ _Та ) "3 - ¿3 -1

хЬИ1„2„3(Т1,Т2,Тз)dТ2dТ1] / а3(^з)( (Из_:-3-1)! dsзdТз.

Оператор Аг, действующий в пространстве линеен, ограничен и является

трехмерным вольтерровым интегральным оператором. Поэтому, оператор (I + А1) имеет ограниченный обратный оператор В = (I+А1)-1, действующий в пространстве (С). Тогда разрешимость уравнения (20) сводится к исследованию разрешимости уравнения

+ = ВУ. (23)

Оценим норму ||А2|| оператора А2 : ^ Очевидно, что

"3-1 "3-1 "3-1 (х1 _ х0)1з-¿3

1(А2ЬИ1„2Из)(х)|< у у у (3(/ _3;)! к/зI ¿3=0 /3=¿3 £3=0 (/3 ¿3)!

х1 х1 / И1-1 ^ (х1 - ^^-¿г-г

х I [|aИlИ2¿3 (х)|ЬЯ1Я2Я3 (х1, ^ Т3)| + У ¿3 (х)| / / _ ^ г)!

х0 ¿г=0 х0 3 1

2

n2 — 1 2 (X1 — T^nY —¿2-1

X|bnin(n3 ( Ti, X2, Тз )|d Ti + L ^¿(¿3 (x)| / —T-:-7VT~ |Ьщп2Из (xi, T2, T3)|d T2

¿,=0 l (n2 - ¿2 - 1)!

¿2=0

Xi X(

«T—1 ^ f 2 (xi - Ti)ni ¿1 1 (xl - T2)n2 ¿2 1

+ L L 1 ai 1 ¿2 ¿3(x)|

¿1=0 ¿2=0 "л "0

(ni - ¿1 - 1)! (n2 - ¿2 - 1)!

1

r (x3 - T3)n3-k3-1

х |Ь"1"2"з(Т1, Т2, Тз)|АТ2А|аз(5з)| (" - ^ - 1)! А^зАТз. (24)

з з з

В силу неравенств Гельдера и Минковского для любого Ь"1"2"3 € £р(С), из (24) имеем

||А2Ь"1"2"3 |ьр(0) — С ||Ь"1"2"3 |Ьр(0) ,

(25)

где

С "3-1 "3-1 "3-Ч .. |Ркз/з I (х3 - x3)"з+/з-kз-¿з-р С = £ £ £ № Уь(0зГ

¿■3=0 Ä k^ü 11 к3 ( j (яз - кз - T)! (1з - ¿з)! ((из - кз - 1)q + 1)1/q

ni-1 (X1 - x0)n1 —¿1— P

,0 и + у ||_0 || _(X1 x1)___

^ HLp(G3) + ¿^ ll^3 IlLp^Gs) (ni - ¿1 - i)!((ni - ¿1 - i)q + i)1/?

¿1 =0

n2-1 (X1 _ x0)n2 ¿2 P ni-1 n2-1

I у ||_0 II _(x2 x2)____, у у ||_0 II

+ L Н^Ы3 HLp(G(XG3)(n2 - ¿2 - 1)!((я( - ¿2 - 1)q + i)1/?! + ¿^ ¿^ llLP(G)

¿2=0

х (х1 - хо)"1-1-р__(х1 - х2)"2-,2 - р

("1 - ¿1 - 1)!(("1 - ¿1 - 1)? + 1)1/« ("2 - ¿2 - 1)!(("2 - ¿2 - 1)д + 1)1/<? ' . ( )

Следовательно, ||А21| — С. Тогда для оператора ВА2 имеем

||ВА2Ь"1"2"31| — С ||В|| ||Ь"1"2"31|.

Поэтому, если

С1 = ||В|| С < 1,

то уравнение (23) для любого у € £р(С) имеет единственное решение Ь"1"2"3 € Ьр(С).

Очевидно, что при с1 < 1 решение Ь"1"2"3 € £р(С) уравнение (23) удовлетворяет также условию

||Ь"1"2"з¡Ьр(0) — 1— ||в| кр(с). (27)

1 с 1

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. Если «¿з = 0, ¿з = 0, "3 - 1 и с1 < 1, то уравнение (20) для любой функции у € £р(С) имеет единственное решение Ьщ^щ € ¿р(0) и для этого решения справедлива оценка (27).

На основе доказанных Теорем 2, 3 получаем, что имеет место Теорема 4. Если «¿з = 0, ¿з = 0,"3 - 1 и с1 < 1, то задача (1)-(4) для любого ф = (ф"1"2"з (х), Ф¿100(Х2,хз), ¿1 = 0, "1 - 1, ф^о^ьхз), ¿2 = 0, "2 - 1, фЪ^з (х1,х2), ¿3 =

0,"3 - 1) е Яр"1^2^ имеет единственное решение и е Жр"1 ,И2,Из)(с) и для этого решения справедлива оценка

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литература/References

[1] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. школа, М., 1995, 301 с. [Nakhushev A.M., Equations of Mathematical Biology, Vish. shk., Moscow, 1995 (in Russian), 301 pp.]

[2] Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П., Теория волн, Наука, М., 1979. [Vinogradova M. B., Rudenko O. V., Sukhorukov A. P., Theory of waves, Nauka, Moscow, 1979 (in Russian)].

[3] Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач, Наука, М., 1981. [Vasilyev F. P., Methods to solution of the extremal problems, Nauka, Moscow, 1981 (in Russian)].

[4] Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г., Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Новосибирск, 1969. [Laverentyev M. M., Romanov V. G., Vasilyev V. G., Multidimensional inverse problems for the differential equations, Novosibirsk, 1969 (in Russian)].

[5] Showalter R. E., Ting T. W., "Pseudoparabolic partial differential equations", J.Math. Anal., I. (1970), 1-26.

[6] Di Vincenzo R., Villani A., "Sopra un problema ai limiti per un'eguazione lineare del terzo ordine di tipo iperbolico. Esistenza, unicita a rappresentazione della soluzione", Le Matematiche, 1977, №V, 211-238.

[7] Солдатов А. П., Шхануков М.Х., "Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка", ДАН. СССР, 297:3 (1987), 547-552. [Soldatov A. P., Shkhanukov M. Kh., "Boundary value problems with A. A. Samarskii's general nonlocal condition for higher-order pseudoparabolic equations", Soviet Math. Dokl., 36:3 (1988), 507-511 (in Russian)].

[8] Жегалов В.Н., "О трехмерной функции Римана", Сиб. матем. журн., 38:5 (1997), 1074-1079. [Zhegalov V. I., "On the three -dimensional riemann function", Siberian Math. J., 38:5 (1997), 929-934 (in Russian)].

[9] Пулькина Л. С., "О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения", Дифференциальные уравнения, 36:2 (2000), 279280. [Pul'kuna L.S., "On the solvability in L2 of a nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation", Differ. Equ., 36:2 (2000), 316-318 (in Russian)].

[10] Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с. [Nakhushev A. M., Problems with shifts for partial differential equations, Nauka, Moscow, 2006 (in Russian), 287 pp.]

[11] Джохадзе О. М., "О трехмерной обобщенной задаче Гурса для уравнения третьего порядка и связанные с ней общие двумерные интегральные уравнения Вольтерры первого рода", Дифференц. уравнения, 42:3 (2006), 385-394. [Dzhokhadze O.M., "On the three-dimensional generalized Goursat problem for a third-order equation, and related general two-dimensional Volterra integral equations of the first kind", Differ. Equ., 42:3 (2006), 412-421 (in Russian)].

[12] Уткина Е. А., "Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки", Дифференц. уравнения, 46:4 (2010), 535-539. [Utkina E.A., "A problem with shifts for the three-dimensional Bianchi equation", Differ. Equ., 46:4 (2010), 538-542 (in Russian)].

[13] Юсубов Ш. Ш., "О разрешимости некоторых нелокальных граничных задач для уравнения с доминирующей смешанной производной", Вестник Бакинского Университета. Серия физ.-мат. науки, 2012, №2, 37-43. [Yusubov Sh.Sh., "On the solvability of some non-local boundary problems for the equations with dominating mixed derivatives", News of Baku University. Series of Physico-Mathematical Sciences, 2012, №2, 37-43 (in Russian)].

[14] Макаова Р. Х., "Первая краевая задача для неоднородного уравнения Алера", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат.науки, 2016, №4-1(16), 45-49. [Makaova R. Kh., "The first boundary value problem for the non-homogeneous Hallaire equation", Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2016, №4-1(16), 45-49 (in Russian)].

[15] Зикиров О. С., Холиков Д. К., "Об одной задаче для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка", Математические заметки СВФУ, 23:2 (2016), 19-30. [Zikirov O. S., Kholikov D. K., "On some problem for a loaded pseudoparabolic equation of the third order", Mathematical notes of NEFU, 23:2 (2016), 19-30 (in Russian)].

[16] Хубиев К.У., "О математической модели уравнения Аллера", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016, №4-1(16), 56-65. [Khubiev K. U., "On mathematical models of the Aller equation", Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2016 pages 56-65, №4-1(16) (in Russian)].

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 33. no. 4. P. 51-62. TSSN 2079-6641

MSC 35L35, 35S15, 35L25 Research Article

Non-local problem with integral conditions for the three-dimensional high order hyperbolic equations

Sh. Sh. Yusubov

Baku State University, AZ1148, Z. Khalilov str. 23, Baku, Azerbaijan E-mail: yusubov_shakir@mail.ru

Tn the work the solvability of the non-local problem with integral conditions is investigated for the three-dimensional high order hyperbolic equation with dominated mixed derivative. The problem is reduced to the integral equation and existence of the solution is proved by the help of aprior estimations.

Key words: fractional derivative, Bessel operator, Wright function, Bessel function. DOT: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-51-62

Original article submitted: 04.08.2020 Revision submitted: 03.11.2020

For citation. Yusubov Sh.Sh. Non-local problem with integral conditions for the three-dimensional high order hyperbolic equations. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020,33: 4,51-62. DOT: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-51-62

Competing interests. The author declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Yusubov Sh.Sh., 2020

Funding. The work was carried out without financial support.