CC BY
22
УДК 517.95
НЕЛОКАЛЬНАЯ ПО ВРЕМЕНИ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ФАЗОВОГО ПОЛЯ
1 2 Н.Д. Иванова', В.Е. Федоров
Исследована краевая задача с нелокальными по времени условиями для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля. Получены необходимое и достаточное условия существования и единственности классического и обобщенного решений этой задачи.
Ключевые слова: нелокальная задача; краевая задача; система уравнений фазового поля; классическое решение; обобщенное решение.
Введение
В ограниченной области О с Мп с границей дО класса С рассмотрим линеаризованную систему уравнений фазового поля ду дш
— (X, 0 +1— (X, 0 = кАу( X, 0 + й( X, 4 (X, 0 еОх [0,71, (1)
дг дг
АШ X, г) + аш( X, г) + р^, г) + в^, г) = 0, (X, г) еОх [0,7], (2)
в которой для двухфазной среды связываются температура у относительно температуры равновесия между фазами и фазовая функция ш. В предположении нулевого времени релаксации эта система уравнений описывает фазовые переходы первого рода [1, 2]. Здесь 1 - скрытая теплота, к - коэффициент теплопроводности, - функция внешнего теплового источника, константы
а, р и функция я0 определяются соотношением фазового поля, вводимым на основе теории фазовых переходов.
Снабдим задачу нелокальными условиями по времени
т
I у( X, г)11(г)Л = Уо( X), X еО, (3)
о
т
IШX,= ш0(X), Xе О, (4)
о
и граничными условиями при бе М
б—(X, г) + (1 -б)у( X, г) = б—(X, г) + (1 -б)^, г) = 0, (X, г) едОх [0,7]. (5)
дп дп
Нелокальная задача в банаховом пространстве
Рассмотрим сначала нелокальную задачу
т
| и(г)11(г)ёг = щ (6)
0
для вырожденного эволюционного уравнения в банаховом пространстве
Ьи'(г) = Ми(г) + Ж), ге[0,7]. (7)
Здесь Ы и V - банаховы пространства, Ье £(Ы; V) (т.е. линейный и непрерывный оператор из Ы в V), кег Ь Ф {0}, Ме С1(Ы; V) (т.е. линейный, замкнутый, плотно определенный в Ы, действующий в V оператор), я: [0, Т] ® V. Введем обозначения
рЬ(М) ={те С :(тЬ-М)-1 е £(Ы;V)], стЬ(М) = С \рЬ(М),
1 Иванова Наталья Дмитриевна - аспирант, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]
2 Федоров Владимир Евгеньевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]
Иванова Н.Д., Нелокальная по времени краевая задача
Федоров В.Е. для линеаризованной системы уравнений фазового поля
Я/ (М) = (/Ь - M)-1 Ь, Ь/ (М) = Ь(/Ь - М)_1.
Определение 1. Пусть ре N и {0}. Оператор М называется сильно (Ь, р) -радиальным, если
(0 Зае М (а, +~) с рЬ(М); (и) ЗК> 0 "/е (а, +~) "пе N
К
max
(яЬ (М))п( р+1) ,( ьЬ (М))п( р+1) ]<-
" £ (и) М £(У)]
(М- а)
п( Р+1) '
(ш) существует плотный в V линеал V такой, что при любом /е (а, +¥
(М- а)р
М(//Ь-М) (ЬЬ(М))р+1 < ^р+2 "/е V;
(IV) \\ (ЯЬ (М)) р+1(м Ь - М)-1 \\£ (V ;и) <--Кр2 при любом м е (а, +~).
(/- а)
Замечание 1. Если и и V - рефлексивные банаховы пространства, то выполнение условия (ш) следует из выполнения условий (1), (и), (IV).
Положим и0 = кег(яЬ (М)) р+1, V0 = кег( ЬЬ (М)) р+1; и1 - замыкание образа оператора
1т(ЯЬ(М))р+1 в пространстве и, V1 - замыкание образа 1т(ЬЬ (М))р+1 в пространстве V . Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь(М) на ик (ДМк) = ДМ) п ик), к = 0, 1. Теорема 1 [3]. Пусть оператор Мсильно (Ь, р) -радиален. Тогда
(I) и = и0 © и1, V = V0 © V1;
(II) Ьк е £(ик; Vк), Мк е СЩк; Vk), к=0,1;
(III) существуют операторы М-1 е £(и0; V0) и Ь-1 е ¿(V1; и1); (iv) оператор Н = М-1Ь0 нильпотентен степени не больше р;
(V) существует разрешающая уравнение Ьи'(£) = Ми(Р) вырожденная сильно непрерывная полугруппа операторов {и(£)е £(и): ^> 0};
(V!) оператор Ь-1М1 порождает С0 -непрерывную полугруппу операторов {и^) = и (Г) \и1 е £ (и1): Г > 0].
Обозначим проектор вдоль и0 на и1 через Р и проектор вдоль V0 на V1 через 0. Определим характеристическую функцию нелокальной задачи (6)
т
С( г) = { ег,)Л, (8)
0
которая, как известно [4], является целой.
Следуя работе [5], в случае сильно (Ь, р)-радиального оператора М обобщенным решением
уравнения (7) будем называть функцию
{ р
и(0 = и(г)у + {и(з)Ь10/(г- 5)^5- £ НкМ-1 ((/- 0) /)(к)(0
0 к=0
при 0/е С([0,Т]; V), (I- 0) /е Ср([0,Т]; V) для любого ке и.
Функция ие Сх([0, Т]; и) п С([0, Т]; Д М)) называется классическим решением уравнения (7), если для нее выполняется равенство (7). Классическим (обобщенным) решением задачи (6), (7) называется классическое (обобщенное) решение уравнения (7), если для него выполняется условие (6).
Теорема 2 [5]. Пусть выполняются следующие условия:
(1) оператор Мсильно (Ь, р) -радиален и непрерывно обратим;
Математика
(и) ле С\0,Т], 77(0) ф0;
(ш) ни один нуль характеристической функции с не принадлежит Ь-спектру аЬ (М) оператора М;
(IV) /^Ге С([0,Т]; ДМ)), (I- () Г е СР([0,Т]; V);
т р
(V) (I- Р)щ = -{£ ЯкМ-1((1 - () 0{к)(7)&.
0 к=0
Тогда
(1) для Ри0 е Щ(М1) существует единственное обобщенное решение и е С([0, Т]; Ы) задачи (6), (7), при этом
Не([0,Т];Ы) £ С[IIМРи0|IV +
где константа С не зависит от и0 и Г;
С([0,Т];Щ(М)) +11(1 () Г1'СР([0,Т];V) ),
(и) если Ри0 е Ы \ Щ(М1), то не существует обобщенного решения задачи (6), (7); (ш) при Ь-10Ге С([0,Т];Щ((Ь-1М1)2)), (I- () Ге СР+1([0,Т];V), Ле С2[0,Т], обобщенное решение задачи (6), (7) является классическим тогда и только тогда, когда Ри0 е Щ((Ь-1М1)2).
Редукция исходной задачи к общему случаю
Вернемся к задаче (1)-(5). Положим Ы = V = (Ь2(0))2,
Ь =
(11 Л
V 00 у
е £(Ы),
(0'
М =
(кА 0
и(г) =
г > 0,
р а + А Г =
е С1(Ы),
( й >
§0
Я2(О) = Iуе Я2(О):(&у +1 у(х) = 0, хе ЭО|, Щ(М) = Я(О))2,
Я4 (О) = | уе Я4 (О): в^Аку{х) + (1 - в)Аку(х) = 0, хе ЭО, к = 0,11.
Рассмотрим оператор Ау=Ау, ЩА) = Я^(О) с /^(Д). Обозначим через |фк : ке М] орто-нормированные в смысле скалярного произведения (•,в Ь2(О) собственные функции оператора А, занумерованные по невозрастанию собственных значений |Лк : ке М] с учетом их кратности.
Теорема 3. Пусть -а + р1 й а(А), к> 0. Тогда М-сильно (Ь,0) -радиальный оператор. Доказательство. Используя разложение по базису |фк : ке М] в пространстве /^(О) и обо-_ кЛк (а + Лк)
значение о к =-———, получим операторы
а-р1 +Лк
т/-М=
т - т
(т/- М)-1 =
■р -а-Ау
(у (-а-Лк) {'Фк) Фк у -М1{ ■,9к) Фк й(-а+Р1 -Лк )(т-0к) у1(-а+р1 -Лк )(т-0к)
Л
у
р{Фк) Фк
у-
(т-кЛк)(-,Фк) Фк
1 (-а + р1 -Лк )(м-8к) к=1 (-а+р1 -Лк )(т-0к)
е £(V; Ы),
Иванова Н.Д., Федоров В.Е.
Нелокальная по времени краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля
Rm (M) =
I
j-g-Äk)(-jk)(pk I {-а-Як)l(-jk)(pk ^ t=i(~a+ßl-Äk )(m-dk) hi-a+ßl-Лк )(m-dk)
ß{(k) Pk ¥ ßl( (к) Pk
I
"I"
k= (-a+ßi-лк )(m-sk) k=i(-a+ßi-ik )(m-sk)
{1{(к) pk I -KÄkl{ ■() pk л 1 m-d I(-a+ßl-ik)(m-dk)
e L(U),
m M) =
0
0
e L(V),
rl (M)(mL - M)-1 =
I
к=1
I
к=1
(-a-Äk)(-,pk)pk ^ (-a-Äk)(-kÄk)l((к(k
-1
(-a+ßl-Äk )(m-sk )2 k=1 (-a+ßl-Äk )2(m-dk )2
ß{^Pk) Pk
I
ß(-KÄk )l( pk
(-a+ßl-Äk)(m-Sk)2 k=i(-a+ßl-Äk)2(m-Sk)
В условиях теоремы a = max Sk < +°
keN
min|-a + ßl-Äk| > 0, max
AeN1 1 keN
-a-Äy
max
km
-a + ßl-Äk (-a-Äk )(-*Äk )l
< ¥, max
keN
-kÄkl
-a+ßl-Äk
< о, max ß
-a+ßl -Äk
ke N
(-a + ßl-Лк )2
Следовательно, существует K > 0 , такое, что для всех u> a,
< ¥, max
keN
<
-kÄkl
(-a+ßl-Äk )2
< оо
max
{iR (M )|Il (U ),ll llm (M )||L (V)}
K
RL (M )(mL - M) ||l (V;U)
K
\2 '
u- a (u- a)2
Таким образом, с учетом гильбертовости пространств U и V, в рассматриваемой задаче оператор Mсильно (L, p) -радиален (см. замечание 1). •
Полугруппа системы может быть найдена по формуле [3] U(t) = s- lim ((n/1t(M)) . Имеем
((n/ i)RL t(M)=
I
(n/t)n(-a-Äk)(•,pk)pk 0 (n/t)n(-a-Äk)l(•,pk)pk
I
k=1 (-a + ßl-Äk) ( n-Sk Jk= (-a + ßl-Äk) [n-Sk ^
I (n /1)n ß((k) pk II (n / t)n ßl( •( pk k=1 (-a + ßl-Äk)'n-SkY k=1 (-a + ßl-Äk)[t-Sk^
Поэтому
'I (( I OßÄi < p pk
U (t) =
л
k=1 -a+ßl -Äk
I eSktß
V k= -a + ßl-Äk
;,Pk> Pk I
k=1 -a + ßl-Äk
eSktßl к =1 -a + ßl -Äk
Pk) Pk
Следуя работе [5], обобщенным решением задачи (1)-(5) будем называть вектор-функцию
U (t)
' ~ eSkt(-a-Äk), \ ^ eSkt(-a-Äk)l, ,
I-, n, к {VP)Pk +1-, m k (z,Pk>Pk
\
=1 -a + ßl-Äk
k=1 -a + ßl -Äk
0 eSkt ß о eSkt ßl
1-, m i (y,Pk>Pk +1-, n, , (z,Pk>Pk
vk
=1 -a+ßl-Äk
k=1 -a+ßl-Äk
2
Математика
при произвольных у, zе L2(Ц). Классическое решение ищется в классе пар функций, каждая из которых лежит в С^[0, Т];Ь2(Ц)) п С([0, Т];И|(Ц)). Обобщенное решение является классическим, если у,zе Н$(О), классическое обобщенным является всегда [4, 5]. Проекторы Р и ( имеют вид
(-а-Як)Ук £ (-а-Лк)1(-^к)ук ^
P = s -ИшЦ (M)) =
k=1
-a+ßl -Xk k=i ßjjk) jk
У
v k=1 -a+ßl-Xk
У
-a+ßl-Xk ßl{-,jk) jk
f
Q = s- lim Ц(M))2 =
' У
k=1 -a+ßl-Xk J -kXkl{ -jk) jk ^
\
k=1 -a+ßl-Xk 0 0
Тогда
U1 = imP = ]( У
U0 = ker P={(v, w)e (L2(W))2 : v = -lw}, (-a-Xk)(v + lw,jk) jk v + lw,jk) j
4k=1
-a+ßl-Xk
У
1 -a+ßl-Xk
: (v, w)e (4(W))2
V0 = kerQ = \(v, w)e (4(W))2 : v= У
[ k=l -a+ßl-Xk Сформулируем теорему о разрешимости задачи (1)-(5). Теорема 4. Пусть выполняются следующие условия:
(i) 0, -a, -a + ßlеа(A), k> 0;
(ii) he C1[0,T], h(0) * 0;
_ У^М^) jk 1 vi = MQ = L2(W) x{0}.
(iii) С
klk (a+Xk)
* 0, k e N;
a-ßl+Xk j
(iv) gi e C([0,T]; H2e (W)), g0 e C([0,T]; H2e (W));
T ^kV^^i),jk) jk
(v) sAv0 =-|У"
h(t)dt, ßv0 (л) + (a + A) w (x) = -Jg0 (x, t)h(t)dt.
0 к=1 -а + Ь1 -1к
Тогда
(1) для у0 +1ш0 е Н#(0) существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(5), при этом
1М1с([0,Г];12(Й)) +1 Н1с([0,Г];12(П)) £ С(|1 М0 + 1и"Ь||Н2(Ц) +111с([0,Т];Н2(Ц)) +11^0 |1с([0,Т];Н2(Ц)) ), где С не зависит от м0, ш0, g1, g0;
(и) если м0 + 1ш0 е Ь2 (О) \ Н# (О), то не существует ни одного обобщенного решения задачи
(1)-(5);
(ш) при g1 е С([0, Т]; Н^Ц)), g0 е С([0, Г]; Н4(Ц)), Г]е С2[0, Г] обобщенное решение задачи (1)-(5) является классическим тогда и только тогда, когда м0 + е Н4(Ц).
Доказательство. Согласно теореме 3, оператор М сильно (Ь,0) -радиален, при этом 8к -точки его /,-спектра. Поэтому из условия 0, -а£о( А) следует, что 8к Ф 0, ке К, и оператор М непрерывно обратим.
Учитывая полученные формулы для проекторов и условия данной теоремы на функции g1, g0, м0, ш0, нетрудно заметить, что и остальные условия теоремы 2 выполняются. •
Иванова Н.Д., Федоров В.Е.
Нелокальная по времени краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля
Литература
1. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, № 3. -С.461-471.
2. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.
3. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /
B.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, № 3. - С. 173-200.
4. Тихонов, И.В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве / И.В. Тихонов // Интегральные преобразования и специальные функции. - 2004. - Т. 4, № 1. - С. 49-69.
5. Федоров, В.Е. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений / В.Е. Федоров, Н.Д. Иванова, Ю.Ю. Федорова // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55, № 4. -
C.882-897.
Поступила в редакцию 6 апреля 2015 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 3, pp. 10-15
TIME NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LINEARIZED PHASE FIELD EQUATIONS SYSTEM
N.D. Ivanova\ V.E. Fedorov2
A boundary value problem with nonlocal time conditions is analyzed for a linearized quasi-steady system of phase field equations. Necessary and sufficient conditions are obtained for the existence and uniqueness of classical and generalized solutions.
Keywords: nonlocal problem; boundary value problem; system of phase field equations; classical solution; generalized solution.
References
1. Plotnikov P.I., Starovoytov V.N. Zadacha Stefana s poverkhnostnym natyazheniem kak predel modeli fazovogo polya (Stefan Problem with Surface Tension as the Limit of the Phase-field Model). Differential Equations. 1993. Vol. 29, no. 3. pp. 395-404. (in Russ.).
2. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. Phase-field Equations and Gradient Flows of Marginal Functions. Siberian Mathematical Journal. 2001. Vol. 42, no. 3. pp. 551-567. DOI: 10.1023/A: 1010431411758
3. Fedorov V.E. Degenerate strongly continuous semigroups of operators. St. Petersburg Mathematical Journal. 2001. Vol. 12, no. 3. pp. 471-489.
4. Tikhonov I.V. Nelokalnaya zadacha s "periodicheskim" integralnym usloviem dlya differentsial-nogo uravneniya v banakhovom prostranstve (Nonlocal problem with a "periodical" integral condition for a differential equation in Banach space). Integralnye preobrazovaniya i spetsialnye funktsii. 2004. Vol. 4, no. 1. pp. 49-69. (in Russ.).
5. Fedorov V.E., Ivanova N.D., Fedorova Yu.Yu. On a time nonlocal problem for inhomogeneous evolution equations. Siberian Mathematical Journal. 2014. Vol. 55, no. 4. pp. 721-733. DOI: 10.1134/S0037446614040144.
Received 6 April 2015
1 Ivanova Natalia Dmitrievna is Post-graduate Student, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]
2 Fedorov Vladimir Evgenievich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University.
E-mail: [email protected]
