CC BY
67
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
УДК621.372
НЕЛІНІЙНИЙ ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ СЛІДКУЮЧОГО ФАЗОВОГО ДЕТЕКТОРА
БОНДАРЄВ А.П._____________________________
Описуються основні особливості статистичної динаміки ФАПЧ під час синхронізації з ЧМ сигналом на фоні шуму, отримані дослідженням нелінійної математичної моделі. Наводяться приклади оптимізації параметрів ФАПЧ за критеріями мінімальної фазової похибки, максимальної завадостійкості та смуги утримання, а також порівняння з лінійним методом.
1. Вступ
Слідкуючі фазові детектори (СФД) на основі фазового автоматичного підстроювання частоти (ФАПЧ) широко застосовують в приймачах частотно-модульова-них (ЧМ) сигналів як широкомовного, так і спеціального призначення від шістдесятих років ХХ сторіччя до наших днів. Такі СФД детально досліджені в лінійному наближенні [1] (тобто для малих індексів модуляції і рівнів шумів). Нелінійні методи аналізу розроблені тільки для окремого врахування детермінованого [2] або випадкового [3] впливу. Сучасні вимоги щодо зв’язку з рухомими об’єктами та зменшення потужності радіосигналів потребують розвитку нелінійних методів аналізу і проектування СФД із одночасним і однотипним урахуванням різноманітних впливів, про що свідчить активізація робіт з нелінійного аналізу ФАПЧ [4-6].
Метою цього дослідження є опис нелінійного методу аналізу ФАПЧ та його застосування для вибору параметрів СФД, призначених для роботи в умовах інтенсивних шумових завад. Задачі: побудова математичної моделі СФД у вигляді системи диференціальних рівнянь, числове розв’язування цієї системи та вибір значень параметрів, котрі максимально розширюють область існування стійких розв’ язків системи.
2. Математична модель та статистична динаміка
За методикою роботи [7] математичну модель ФАПЧ можна подати у вигляді диференціальних рівнянь:
dmx 1 Dx/2 • „.ч
---— =— (my - meDx 2 sin Ф);
dx p y
dm.
- = y-my -(1 -m)eD— 2sinФ; dx y
dDx 2
D—/2.
dx p
= — (кц - mDxe x cosФ) +
m
pP 2
dD
y _ on on „Dx/2cos_______m) •
- = -2Dy - 2(1 - m)KneDx 2 cosФ + dx y
dM1 _ Dy
dx p
rmK11
-кп-
(1)
- + (1 - m)Dx]eDx/2cos Ф +
Ф = ф + |Д sin .
m(1 - m);
pP ’
В (1) позначено: mx,my,Dx,Dy - середні значення і дисперсії фазової і частотної похибок відповідно; кц - кумулянт 2-го порядку, який характеризує кореляцію фази і частоти; х - нормований до постійної часу фільтру нижніх частот (ФНЧ) час; Р - відношення смуги пропускання ФНЧ до смуги утримання Буд ; m - коефіцієнт включення ФНЧ; ф - повна миттєва різниця фаз ЧМ сигналу і керованого генератора (КГ); Ф - різниця фаз несучого коливання і КГ; ц - індекс ЧМ; ум- нормована частота модуляції; у - нормована початкова розладка частот сигналу і КГ; р -відношення сигнал/шум у смузі пропускання ФНЧ.
Рівняння (1) є моделлю ФАПЧ з пропорційно-інтегру-ючим ФНЧ в петлі зворотного зв’язку при дії ЧМ сигналу і шуму без урахування частотних і фазових нестабільностей сигналу і КГ. Розв’язок цих рівнянь описує еволюцію перших п’яти кумулянтів двовимірного марківського процесу, компонентами якого є фазова і частотна похибки синхронізації. Зручною формою подання часових залежностей кумулянтів є поведінка характерного перетину густини розподілу, тобто перетину на рівні 1/e2 [7], на фазовому портреті автономної ФАПЧ. Характерний перетин має форму еліпсу, координати центра якого дорівнюють середнім значенням похибок синхронізації, горизонтальний і вертикальний розміри показують стандартні відхилення фазової і частотної похибок відповідно, а кут нахилу характеризує кореляцію похибок.
Після перехідного процесу (рис. 1) можливе встановлення стійких періодичнихрозв’язків системи диференціальних рівнянь (1).
РИ, 2006, № 1
27
Таблиця 1
Рис.1. Процес схоплення синхронізму
Існування стійких періодичних рухів, проілюстроване на рис. 2, свідчить про можливість синхронізму в ФАПЧ, а розміри еліпса та розмах орбіти дозволяють оцінити відповідно статистичну і динамічну похибки синхронізації. Торкання еліпсом вхідної сепаратриси через збільшення розміру або розмаху орбіти призводить до втрати стійкості розв’язку і означає зрив синхронізму.
Рис.2. Усталений періодичний рух характерного перетину
3. Оптимізація параметрів при дії шуму
За точного збігання частот сигналу і КГ (у = 0) та відсутності ЧМ (|д = 0 ) умова існування стаціонарного розв’язку системи (1) набуває вигляду [6]
рР
4zln(z) •
Р + mz Р + m2z
де z = exp(-Dx/2), величина 1/(рР) має фізичний сенс відношення шум/сигнал по потужності в смузі утримання ФАПЧ і для заданого Р досягає максимуму при виборі
m опт
(2)
Оптимальні значення коефіцієнта m для декількох значень Р наведено в табл. 1.
р 0,5 0,1 10“2 10“4
m^x (нелінійне) 0,425 0,297 0,1232 0,0138
mопт (лінійне) 0,356 0,232 0,0905 0,0099
В лінійному наближенні статистичну похибку СФД прийнято оцінювати [1] шумовою смугою F||| :
Fi = і Р + m2 (3)
FyA 4 р+m ’ ()
яка досягає мінімуму при виборі
mопт = Vp2 + Р _Р . (4)
Вираз (2) перетворюється на вираз (4) при z = 1, тобто при Dx = 0 , що типово для лінійних методів, придатних для малих рівнів збурень. Оптимальні в лінійному наближенні значення m також наведені в табл.1 і є меншими від отриманих нелінійним методом на величину від 20 до 40%. Причиною розбіжності є різні критерії оптимізації - максимальна завадостійкість в нелінійному методі та мінімальна фазова похибка в лінійному.
Порівняння фактичних значень середньоквадратично-го відхилення фазової похибки, розрахованих при Р = 0,1 для різних відношень шум/сигнал і наведених в табл.2, показало, що лінійна оптимізація дає кращі результати при малих рівнях шуму, а нелінійна - при великих. Виграш лінійної оптимізації не перевищує 0,2°, а виграш нелінійної -3°.
Таблиця 2
1/(рР) 0,5 1,0 2,0 2,36
Стф (m=0,232) 20,3° 30,4° 50,9° 67,5°
Стф (m=0,297) 20,5° 30,6° 50,8° 64,5°
Такий самий порядок розбіжностей спостерігається і при інших значеннях Р . Отже, незважаючи на суттєву розбіжність синтезованих параметрів, переваги нелінійної оптимізації СФД немодульованого сигналу на фоні шуму можна рекомендувати для використання тільки у вимірювальних системах, в яких виграш точності на декілька градусів є важливим, і тільки в режимах з малим рівнем сигналів.
4. Детектування ЧМ сигналу на фоні шуму
Повна фазова похибка СФД при детектуванні ЧМ сигналу на фоні шуму в лінійному наближенні визначається виразом
АФ (Р, F, У М, P,m)
Fl +|J Р2 + РР
PPFyA p2 + p(P + m) +P
,(5)
де p = iym , шумова смуга F| задана рівнянням (3). Перший доданок в (5) є статистичною похибкою (стандартним відхиленням фазової похибки), а другий - динамічною похибкою, вираженою через лінеаризо-ваний коефіцієнт передачі “фаза вхідного сигналу -фаза КГ”. Лінійна модель вважає, що перша похибка
28
РИ, 2006, № 1
залежить тільки від шуму, а друга -тільки від індексу модуляції, хоча з рис.2 видно, що похибки є взаємозалежними.
Функція (5) має вироджений мінімум Аф = р при Р = 0 і m = 0, непридатний до використання, оскільки означає розрив петлі керування. Невироджені мінімуми можна знайти для апріорно заданих значень
(р, р, у м). Пари параметрів (Р, m), які мінімізують вираз (5), наведено в табл. 3 у подвійній рамці. Використання цих результатів ускладнює їх значний розкид: при зміні апріорно заданого рівня шуму оптимальне значення топт змінюється в 1,5..2 рази, а значення Р - на порядок. Крім того, складно передбачити зміни рівня шуму в реальних умовах приймання радіосигналу, а нечутливий до зриву синхронізму лінійний метод видає начебто “оптимальні” параметри навіть для таких рівнів шуму, коли синхронізація неможлива.
Проведений нелінійний параметричний синтез полягав у знаходженні пар (Р, т), які забезпечують існування стійких періодичних рухів системи (1) при якомога більших рівнях шуму. Оскільки аналітичне вираження умов існування стійких періодичних рухів неможливе, пошук проведено чисельним методом координатного підйому. Результати нелінійного синтезу наведені в останньому стовпці табл.3 і відрізняються від результатів лінійної оптимізації при будь-яких рівнях шуму.
Для порівняння властивостей СФД при різних рекомендованих значеннях параметрів (Р, т) була визначена область існування стійких періодичних рухів системи (1). Така область, названа в [7] шумовою смугою утримання (ШСУ), представлена на рис.3 у площині (р, у) і показує здатність СФД зберігати синхронний режим при зміні початкової розладки у частот сигналу і КГ (через неточність настройки, зміну несучої частоти при зв’язку з рухомими об’єктами тощо) і різних рівнях шуму.
Рис. 3. Шумова смуга утримання ФСД при лінійній (1, 2) та нелінійній (3) оптимізації
Крива 1 на рис.3 відповідає лінійно-оптимізованим параметрам для малих шумів, крива 2 - для великих, крива 3 - нелінійно-оптимізованим. Порівняння показує, що нелінійний синтез програє малошумовому лінійному біля 20% припустимої розладки при малих шумах, але виграє 25% по завадостійкості. Виграш нелінійного синтезу порівняно з сильношумовим лінійним по завадостійкості лише 5%, але по граничній розладці сягає 25..50%. Крім того, з рис.3 видно, що максимально припустимий рівень шуму в смузі утримання становить 1/(рР) = 2,8 - цю величину, апріорно необхідну для лінійної оптимізації, можна визначити лише нелінійним методом. Для частот та індексів модуляції, відмінних від прийнятих на рис.3 ( р = 10; у м = 0,02), числові значення по осях змінюються, але наведені порівняльні характеристики зберігаються.
Нелінійний аналіз дозволяє досліджувати властивості СФД при довільних відхиленнях значень параметрів від оптимальних. На рис.4 наведені криві зміни шумової смуги утримання при зміні смуги ФНЧ від 0,1 до
2 смуг утримання незбуреної ФАПЧ. При достатньо широкій смузі ФНЧ (великі значення р) СФД працює в режимі детектування, а ШСУ поступово звужується
3 ростом Р через вплив шуму. При звуженні смуги ФНЧ нижче оптимального значення ШСУ також звужується через вихід спектру ЧМ сигналу за межі смуги пропускання системи. При подальшому зменшенні р і індексах модуляції р > 3,3 спостерігається зрив синхронізму (ШСУ дорівнює нулеві), а при р < 3,3 СФД переходить з режиму детектування в режим слідкування за несучою частотою і ШСУ знову дещо розширюється через зменшення впливу шумів. Це є однією з причин, через які широкомовні ЧМ радіостанції не використовують індекс модуляції вище 3,3, хоча його збільшення підвищує співвідношення сигнал-шум на виході СФД.
Рис. 4. Залежності ШСУ ФСД від смуги ФНЧ
Здатність СФД відслідковувати зміни несучої частоти сигналу використовують в системах зв’язку і локації динамічних об’ єктів. Вибір параметрів, які максимізу-ють частотний діапазон слідкування, проведено не в нормованих параметрах, які показують частку використаного діапазону незбуреної системи, а в фізичних параметрах. Нехай задані смуга ФНЧ (100 Гц), коефіцієнт включення (m =0,1), частота модуляції (100 Гц)
Таблиця 3
р m опт 1/(рР) =0,1 2 4 Max 1/(рР)
ч = і; 0,369 0,063 0,038 0
£ II О 0,387 0,218 0,193 0
р = 3,3; 0,793 0,139 0,087 0,13
£ II О 0,489 0,276 0,246 0,35
р =5; 1,002 0,167 0,112 0,25
£ II о 0,524 0,299 0,262 0,30
Р = 10; 0,101 0,024 0,016 0,013
(N CD o' II 0,242 0,134 0,115 0,230
РИ, 2006, № 1
29
і енергетичний потенціал сигналу, тобто смуга частот, в якій потужності сигналу і шуму однакові. На рис.5 і 6 наведені залежності частотного діапазону слідкування від смуги утримання FyA незбуреної ФАПЧ при значеннях енергетичного потенціалу 2 і 1 кГц відповідно.
Рис. 5. Вибір смуги утримання при малих шумах
Рис. 6. Вибір смуги утримання при великих шумах
За відсутності ЧМ (р = 0) малі смуги утримання використовуються практично повністю (до 500 Гц на рис. 5 і до 100 Гц на рис. 6). Але при значному
розширенні FyA (більше 12 і 3 кГц відповідно) діапазон слідкування спадає до нуля через вплив шуму. Рекомендованими значеннями коефіцієнта підсилення петлі ФАПЧ є в першому випадку FyA =8 кГц (досягнутий діапазон 1,7..2,2 кГц залежно від значення р), а в другому - FyA =1,8 кГц (діапазон 30..550 Гц).
Для порівняння на рис 5 і 6 крім точок максимуму діапазону слідкування відмічені точки мінімальної фазової похибки. При виборі параметрів за цими двома критеріями якість синхронізації різна, і її можна порівняти за вказаними значеннями повної фазової похибки (обчислена для у = 0). При малих шумах критерій максимального діапазону програє 10°.. 15°
по якості, але виграє в 2..3 рази по діапазону. При великих шумах відповідний програш становить 1 °.. 5 °, а виграш -1,5..2 рази. Отже, при використанні ФАПЧ як оптимального фільтру слід обирати параметри за критерієм мінімальної фазової похибки, а при використанні як слідкуючого пристрою синхронізації, для якого втрата синхронізму критичніша, ніж миттєві похибки частоти, - за критерієм максимального діапазону.
5. Висновки
Описаний метод аналізу статистичної динаміки нелінійного ФАПЧ, наукова новизна якого полягає у можливості одночасно і однотипно враховувати вплив різноманітних збурень на процес синхронізації. При проектуванні СФД, призначених для приймання ЧМ сигналу на фоні шуму, метод і його програмна реалізація дозволяють використовувати відомий критерій мінімуму фазової похибки, а крім того, вперше запро -поновані для такого використання критерії максимальної граничної інтенсивності завад та максимального діапазону слідкування. При використанні цих критеріїв виграш за окремими показникам становить від декількох відсотків до декількох р азів порівняно з лінійним параметричним синтезом. Подальший розвиток методу полягатиме в ур ахуванні впливу частотних і фазових нестабільностей сигналу і керованого генератора на вибір оптимальних параметрів СФД.
Література: І.Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 448 с. 2. Белюстина Л.Н., Кивелева К.Г., Фрайман Л.А. Качественно-численный метод в исследовании трехмерных нелинейных СФС // Системы фазовой синхронизации / Под ред. Шахгильдян В.В., Белюстина Л.Н. М.: Радио и связь, 1982. С.21-44. 3. Тихонов В.И., МироновМ.А. Марковские процессы. М.: Сов.радио, 1977. 488 с. 4. Стеклов В.К., Скляренко С.Н., Костик Б.Я. Системи фазового автопід-строювання з диференційними зв’язками. Київ: Техніка, 2003. 328 с. 5. Стеклов В.К., Мирошников В.В. Аналіз нелинейных систем фазовой автоподстройки // Радиотехника. 2004. №138. С. 105-110.6. Бондарєв А.П. Енергетичні умови зриву синхронізації // Моделювання та інформаційні технології. Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ. 2002. Вип.19. С. 171-178. 7. Бондарєв А.П. Теоретичні засади аналізу завадостійкості пристроїв синхронізації // Вісник НУ “Львівська політехніка”. Радіоелектроніка та телекомунікації. 2004. №508. С. 3-18.
Надійшла до редколегії 11.02.2006
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Смеркло Л.М.
Бондарєв Андрій Петрович, канд. техн. наук, доц, каф. „Теоретична радіотехніка та радіовимірювання” ІТРЕ НУ „Львівська політехніка”. Наукові інтереси: випадкові процеси, пристрої синхронізації. Адреса: Україна, 79013, Львів, вул. С.Бандери, 12, тел. 258-2156, 237-1565, e-mail: bondap@ukr.net.
30
РИ, 2006, № 1
