НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ ЛИНЗООБРАЗНЫХ МЕМБРАННО-ПНЕВМАТИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Научная статья УДК 624 + 624.04

ГРНТИ: 67 Строительство и архитектура

ВАК: 2.1.1. Строительные конструкции, здания и сооружения; 2.1.9. Строительная механика Б01 10.51608/26867818_2023_4_82

НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ ЛИНЗООБРАЗНЫХ МЕМБРАННО-ПНЕВМАТИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ

КИМ Алексей Юрьевич

доктор технических наук, профессор

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

(Россия, Саратов, e-mail: sberbanksp@yandex.ru)

ПОЛНИКОВ Сергей Валерьевич

аспирант

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.

(Россия, Саратов, e-mail: ezid-007@yandex.ru)

ХАПИЛИН Виктор Евгеньевич

аспирант

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.

(Россия, Саратов, e-mail: khapilin2010@yandex.ru)

Аннотация. В данной статье описывается расчет с учетом нелинейных факторов линзообразных мембранно-пневматических сооружений различного назначения. Такие сооружения появились в нашей стране в конце прошлого века и уже заняли определенную нишу в создании современной инфраструктуры наших городов и поселков. Такие сооружения удобны тем, что могут быть возведены за несколько месяцев и их можно достаточно быстро перепрофилировать в нужный на данный момент объект. Их расчет достаточно сложен и предполагает применение специальных программ, которые позволяют рассчитывать сооружения с учетом нелинейностей и с учетом упругих свойств воздуха в линзообразном покрытии сооружения.

Ключевые слова: расчет линзообразных мембранно-пневматических сооружений; расчет сооружений с учетом нелинейных факторов; учет упругих свойств сжатого воздуха; геометрическая нелинейность линзообразного сооружения; строительная механика

Для цитирования: Ким А.Ю., Полников С.В., Хапилин Е.В. Нелинейный расчет большепролетных линзообразных мембранно-пневматических сооружений универсального назначения // Эксперт: теория и практика. 2023. № 4 (23). С. 82-88. doi 10.51608/26867818_2023_4_82

© Авторы, 2023 SPIN: 5032-7601

SPIN: 9170-2110

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

Original article

NONLINEAR CALCULATION OF LARGE-SPAN LENTICULAR MEMBRANE-PNEUMATIC STRUCTURES OF UNIVERSAL PURPOSE

© The Author(s) 2023 KIM Alexey Yurievich

Doctor of Technical Sciences, Professor

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

(Russia, Saratov, e-mail: sberbanksp@yandex. ru)

POLNIKOV Sergey Valeryevich

PhD Candidate

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (Russia, Saratov, e-mail: ezid-007@yandex.ru)

KHAPILIN Viktor Evgenievich

PhD Candidate

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (Russia, Saratov, e-mail: khapilin2010@yandex.ru)

Annotation. This article describes the calculation taking into account nonlinear factors in lenticular membrane-pneumatic structures for various purposes. Such structures appeared in our country at the end of the last century and have already occupied a certain niche in the creation of modern infrastructure in our cities and towns. Such structures are convenient because they can be erected in a few months, and can be quickly repurposed into the desired object at the moment. Their calculation is quite complicated and involves the use of special programs that allow you to calculate structures considering non-linearities and the elastic properties of air in the lens-like coating of the structure.

Keywords. Calculation of lenticular membrane-pneumatic structures; calculation of structures considering nonlinear factors; consideration of elastic properties of compressed air; geometric nonlinearity of a lenticular structure; construction mechanics

For citation: Kim A.Yu., Polnikov S.V., Khapilin V.E. Nonlinear calculation of large-span lenticular membrane-pneumatic structures of universal purpose // Expert: theory and practice. 2023. № 4 (23). Рр. 82-88. (InRuss.). doi 10.51608/26867818 2023 4 82

Введение

Во второй половине двадцатого века началось исследование линзообразных мембранно-пневматических систем с использованием различных методов, который позволяли рассчитывать пневматическую систему с разделением на несущие и напрягающие пояса, а сжатый воздух рассматривался как способ создания давления на гибкие мембраны. Западные, да и отечественные проектировщики задавали значения избыточного давления в замкнутой полости пневматической линзы примерно от 500 до 1500 Па. Пневматические сооружения средних пролетов, примерно до восемнадцати метров были впервые построены в США и Японии в конце шестидесятых прошлого века. Возведение линзообразных мембранно-пневматических систем началось в США и других странах в семидесятые-восьмидесятые годы двадцатого века, о чем было неоднократно сказано на международных конференциях, посвященных пневматическим системам [6-7].

Целью данной статьи было показать главную особенность таких пневматических систем их высокую нелинейность. Учет геометрической и физической нелинейности таких сооружений авторами данной статьи производился итерационным методом приращений параметров с применением численной процедуры Эйлера-Коши третьего порядка точности. Авторы статьи опубликовали несколько научных работ, в которых была изложена теория о работе в таких сооружениях сжатого воздуха, который находится между гибких мембран покрытия линзообразного сооружения и фактически является частью объекта, своего рода строительной конструкцией в виде условных стоек, с помощью которых передается нагрузка с верхней мембраны на нижнюю. Существенно увеличить пролет пневматической линзы в течение двадцатого века не удавалось, особенно если это были воздухоопорные системы с низким избыточным давлением воздуха, помогало только усиление сооружения стальными канатами. Такие результаты отмечались многими учеными, работающими в

данном направлении. Это явление можно объяснить с точки зрения строительной механики. Попытки увеличить пролет конструкции при низком давлении воздуха под мембранными линзообразного покрытия сооружения не увенчались успехом, так как расчет стал нестабильным. Это происходило независимо от толщины мембран покрытия сооружения, чем больше толщина мембран, то тем больше сметная стоимость и вес сооружения [1-2].

Если давление воздуха слишком мало, то система будет неустойчивой, у нее будет низкая несущая способность, если давление воздуха слишком велико, то система будет слишком жесткой и также неустойчивой. Однако, если давление воздуха находится в определенном диапазоне и соответствующая нагрузка приложена, то система будет устойчивой и можно получить достоверный результат расчета на ЭВМ.

Методология.

Исследования проф. Кима А.Ю., а также и его аспирантов, смогли установить, что в процессе нагружения гибкой пневмолинзы реальными нагрузками существенно изменяется объем накачанной пневматической линзы и, вследствие этого, изменяется величина прогибов и усилий в поясах линзы. Происходит существенное изменение расчетных величин. В некоторых случаях при расчете сугубо нелинейных систем возможности численной процедуры Эйлера-Коши становятся недостаточными. После получения результатов численного исследования, можно сделать вывод, что геометрическую нелинейность таких систем удавалось учесть, за счет незначительного увеличения итераций (10-15 итераций), но часто невозможно было достаточно точно учесть физическую нелинейность сжатого воздуха гибкими поясами покрытия сооружения, обусловленную нелинейно упругими свойствами воздуха, так как для этого требуется увеличить число итераций до двадцати пяти и выше. Чтобы учесть физическую нелинейность, необходимо проводить более сложные расчеты, используя нелинейные уравнения состояния воздуха и учитывая зависимость его свойств от давления и температуры. Такие расчеты требуют значительно больших вычислительных ресурсов и времени, и могут быть сложными для практической реализации, по этому одной из задач поставленных в статье было определение явления последействия или точное определение физической нелинейности воздуха, закаченного между мембранами покрытия сооружения. Для более точного учета всех видов нелинейности, которые присущи данным системам применена совокупность уравнений, как хорошо известных, таких как численная процедура Эйлера-Коши и универсальное уравнение состояния газа, так и разработанная авторами статьи формула учета приращения давления, с помощью которых и рассчитывается геометрическая и физическая нелинейность воздуха в замкнутой полости покрытия сооружения [4-5].

Приведем систему уравнений для расчета сооружений такого рода:

Дх ДУ(с-1)

=1ч, • л;, (хпЧ(1+,уп_1+,

И

где 3 < Ск < 30,

где численная процедура Эйлера-Коши третьего порядка точности шагового метода с увеличенном числом итераций до 30;

ЛР(с+1) = ЛР(с) + БР(с) ., формула для определения

приращения давления внутри пневмолинзы;

Р0У0 _ Г¥_, универсальное уравнение состояния газа.

Т _ Т

Алгоритмы методики позволяют рассчитывать на ЭВМ конструкции пространственных сооружений, но в данной статье авторами исследуется плоскостное покрытие. При этом расчетная схема сооружения получена вырезанием поясных полос линзы двумя вертикальными параллельными плоскостями, когда искомыми функциями являются две функции прогибов несущего пояса и две функции прогибов напрягающего пояса. Мембранные пояса системы по концам закреплены в виде неподвижных шарниров, которые могут получить смещения (см. рис. 1-3). Система рассчитывается шаговым методом с применение на шаге метода конечных элементов в форме метода перемещений. Такие сооружения являются экономически эффективными, так как дешевле сооружений из традиционных материалов примерно в два раза, за счет заводского изготовления и отверточной сборки прямо на строительной площадке, срок возведения такого сооружения составляет несколько месяцев, что в определенных условиях имеет большое значение.

□ □ II □ □ П

60 m

Рисунок 1 - Исследуемое сооружение с пролетом 120 метров линзообразным мембранно-пневматическим покрытием

Такие сооружения хорошо держат ветровую и снеговую нагрузку, могут быть возведены как в южных жарких регионах нашей страны, так и в районах Крайнего Севера.

Рисунок 2 Однопролетное линзообразное мембранно-пневматическое покрытие сооружения прямоугольного в плане

Данные сооружения могут быть возведены в сейсмоопасных районах и могут выдержать землетрясение интенсивностью до восьми баллов.

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

Они могут быть достаточно быстро перепрофилированы для другого назначения, например спортивный комплекс может быть при необходимости использовать как госпиталь или общежитие для мобилизованных военнослужащих, что в современных условиях является немаловажным фактором.

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

IAJAJ.

Рисунок 3 Расчетная схема однопролетной линзообразной мембранно-пневматической системы

В данной статье выполнены нелинейные расчеты усиленных повышенным избыточным давлением воздуха линзообразных мембранно-пневматических систем пролетом шестьдесят метров. Численные расчеты с учетом всех нелинейных факторов могли быть произведены только по новой методике и соответствующей программе расчета систем на ЭВМ. Прежние методики расчета пневматических систем позволяли рассчитать системы только малых и средних пролетов, несущая способность которых мала, как мала и физическая нелинейность воздуха линзы. Увеличение избыточного давления воздуха в линзе позволяло получить какие-то результаты, так как определитель уравнений МКЭ отдалялся от нуля. Но при этом резко возрастала физическая нелинейность воздуха и требовалась новая методика, позволяющая учесть ту часть физической нелинейности, которая прежними методиками не могла быть учтена и расчет был неточным.

Далее приводятся результаты расчета однопролетной классической (то есть состоящей из двух мембранных поясов с воздухом между ними) усиленной повышенным избыточным давлением воздуха линзообразной мембранно-пневматической системы пролетом шестьдесят метров на действие температурного воздействия.

Расчет на температурную нагрузку мембранно-пневматической системы, пролетом 60 м

Действует температурная нагрузка TL (ОДИН ШАГ)

Статический расчет мембранно-пневматической конструкции, рисунок. 1.

Расчетная схема рис. 2. Для расчета применена программа (РШК6Х02) и Ои8К6Ь02.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Количество шагов МС= 1 Количество итераций на одном шаге КР= 24 Признак падения и возрастания давления Р = 0 Наличие силы р =0 Наличие воздействия температуры Т = 1 Наличие воздействия кинематической силы С = 0

EI% - индикатор наличия изгиба, 1-есть, 0-нет, EU =1 Протяженность конструкции между точками опоры L = 60

Число узлов системы K = 24

Массив групп стержней, соответствующих столбцам матрицы BAR

SR(1) = 1 SR(2) = 1 SR(3) = 2 SR(4) = 2 SR(5) = 3 Сверхнормативное давление в линзе на момент монтажа EP1(AL) = 3000

Увеличение давления воздуха за счет подкачки EP(AL) = 0

Температура поясов линз по Кельвину на стадии монтажа

TH1 (AL), TH2(AL) = 273, 273

Изменение температурного режима поясов линз на стадии монтажа

ETH1 (AL), ETH2(AL) = 10, -25 Концентрированные силы Q(I), воздействующие на систему

Q( 0 ) = 0 (H) Q( 4 ) = 0 (H)

Q( 20 ) = 0 (H)Q( 22 ) = 0 (H)

Нагрузка на пояса от собственного веса,

действующая на единицу длины

Q1, Q2 = 320, 240 (H)

Температурные воздействия TSH(S)ra систему TSH(1) = 25 TSH(2) = -30 TSH(3) = 0 Число узлов, имеющих искомое перемещение, KH = 22

Количество панелей, составляющих элемент с изгибом NP = 12

Параметры панели в изогнутом элементе LP = 5 (m)

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА СИСТЕМЫ НА ШАГЕ N =1

СЧЕТ НА ШАГЕ N = 1 CI = 1 Величина объема полости линзы в процессе эксплуатации V2= 229.63648483 Изменение объема внутри полости линзы AV = -4.233838386363D-02

Давление внутри линзы P(AL %) = 105508.4 Температура внутри линзы измеряемая в Кельвинах T(AL %) = 271.75 град.

Изменение давления в линзе в результате деформации PQAL %) =462.631

СЧЕТ НА ШАГЕ N = 1 CI = 3 Величина объема полости линзы в процессе эксплуатации V2 = 233.9915049812695 Изменение объема внутри полости линзы AV = -.158858976609

Давление внутри линзы P(AL %) = 104541.5 Температура внутри линзы измеряемая в Кельвинах T(AL %) = 271.75 град.

Изменение давления в линзе в результате деформации PQAL %) = 355.5182

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ и( 1 )= 6.23756483233770-04 и( 2 )= 9.0049833675277660-04 и< 3 )= 8.9608414623743970-04 и( 4 >= 7.2976994448389150-04 и< 5 )= 4.0346155994420550-04 1»( 6 >=-1.159013141789680-16 и( 7 >=-4.0346155994445180-04 и( 8 >=-7.2976994448417330-04 и( 9 >=-8.9608414623776050-04 и( 10 >=-9.0049833675305760-04 1»( 11 >=-6.2375648323393960-04 и( 12 >= 6.8743321619286340-04 11( 13 >= 2.3074604707716120-04 и( 14 >=-9.0625417789455550-04 и( 15 >=-2.3748712755557660-04 1»( 16 >=-8.4819092239192050-05 и( 17 >= 9.971337183376360-17 и( 18 >= 8.481909223940163 0-05 и( 19 >= 2.3748712755581890-04 и( 20 >= 9.0625417789485360-04 и( 21 >=-2.3074604707693980-04 и( 22 >=-6.8743321619273740-04 и( 23 >= О и( 24 >= О

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ У( 1 )= 5.73535734385 52030-03

2 )= 1.0415943660907910-02

3 )= 1.39839777165 85970-02 У( 4 )= 1.6983833604267150-02

5 )= 1.8696505289779780-02 У( 6 )= .09960630824093462 У( 7 )= 1.8696505289780640-02 У( 8 )= 1.6983833604268730-02

9 )= 1.39839777165 87960-02

10 >= 1.0415943660909560-02 У( 11 >= 5.7353573438561120-03 У( 12 >=-2.3926265873938570-03 У( 13 >= 2.2564132789854470-03 У( 14 >= 1.3974165134795050-02

15 >= 8.7253634549988530-03

16 >= .0104137744160529 У( 17 >= .0190505248425937

У( 18 >= 1.0413774416053560-02 У( 19 >= 8.7253634550001760-03

20 >= 1.3974165134797030-02 У( 21 >= 2.2564132789867630-03

22 >=-2.3926265873931770-03

23 >= О У( 24 >= О

СЧЕТ НА ШАГЕ N = 1 С1 = 24 Результаты в конце шага N=1

Величина объема полости линзы в процессе эксплуатации У2= 233.8378868551774 Изменение объема внутри полости линзы лу = -.3432381448225499

Температура в линзе измеряемая в Кельвинах 271.75 Приращение давления в линзе Р^АЪ%) =403.7062 Избыточное давление в линзе РЬ(АЬ %) = 2596.294

Обсуждение.

Совместная физическая нелинейность работы воздуха, закаченного между гибких мембран покрытия сооружения и геометрическая составляет примерно 12 %, мы ее рассчитываем следующим образом берем значения приращения избыточного давления на последней итерации 403, 71 Па за 100%, а значение приращения давления на третьей итерации 355,52 Па за -х %, и из данной пропорции находим величину нелинейности. Далее по аналогичной формуле определяем геометрическую нелинейность в нашей задачи определили примерно

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

4%. По расчету получается, что требуется толщина мембран верхней напрягающей 3 мм и нижней несущей 4 мм. В предыдущей статье данных авторов получены результаты при двух шагах и множества итераций, поэтому сравнения результатов с результатами, полученными при одном шаге и двадцати четырех итерациях показали, что разность между результатами составляет менее 5 %, поэтому можно сделать вывод, что в данном случае достаточно применение одного шага и 20-25 итераций, если определяется физическая нелинейность работы сжатого воздуха и гибких мембран покрытия сооружения. Хотя при решение некоторых задач при исследовании мембранно-пневматических систем применение многошаговых методов обязательно [3; 9].

Если брать для сравнения аналогичный расчет мембранно-пневматического сооружения с усилением мембран покрытия сооружения стойками у других аспирантов научного руководителя Амояна М.Ф. и Нургазиева Р.Б., то получается, что значения величин геометрической и физической нелинейности работы воздуха, закаченного между гибких мембран покрытия сооружения, усиленного стойками примерно в два раза меньше чем у сооружений без усиления. Следовательно, опять подтверждается правило нелинейной строительной механики, что чем выше жесткость системы, тем меньше пролет, и тем меньше величины нелинейностей данного сооружения. За счет применения стоек стоимость всего сооружения меньше примерно на 8-10%, что при стоимости сооружения в 400 млн. руб. составит примерно около 40 млн., при стоимости стоек примерно 1 млн. рублей, так как значительно уменьшается толщина мембран сооружения и происходит экономия электроэнергии при подкачке воздуха в линзообразное покрытие мембранно-пневматического сооружения.

Выводы исследования. В результатах данной работы нельзя не заметить тот факт, что при наличии стоек наблюдается эффект значительного усиления жесткости и несущей способности сооружений подобного рода при больших пролетах. Количество и расстояние между стойками сооружения при проектировании можно изменять тем самым повышая ее устойчивость. Усиление несущей способности мембранно-пневматических систем возможно также за счет повышения избыточного давления воздуха в полостях пневмолинзы. Отметим, что пневмолинзы проектируются герметичными и могут быть поделены на несколько секций, т. е. работающими независимо друг от друга. С использованием новой методики статического расчета было проведено численное исследование линзообразных мембранно-пневматических систем, без усиления стойками и с усилением за счет применения трех стоек. Была показана достаточность проведения расчетов линзообразных покрытий при одном шаге нагружения и большом числе итераций,

учитывающих последействие избыточного давления воздуха. Более того, результаты показали, что использование стоек существенно уменьшает последействие от избыточного давления воздуха, т. е. физическую нелинейность сжатого воздуха и гибких мембран покрытия, что является еще одним плюсом новых линзообразных мембранно-пневматических систем. По результатам проведенного исследования сооружений, усиленных тремя стойками установлено, что физическая нелинейность работы воздуха, закаченного между гибких мембран покрытия сооружения составляет примерно 12 %, а геометрическая нелинейность примерно 4%. В нашем случае определена физическая нелинейность работы сжатого воздуха и гибких мембран линзообразного покрытия сооружения, она составляет примерно 8 %. За счет применения повышенного числа итераций, иногда число их доходило до 30, удалось учесть и ту часть физической нелинейности работы сжатого воздуха и мембран сооружения, которую невозможно рассчитать, используя традиционные три итерации численной процедуры формулы Эйлера-Коши. По результатам проведенного исследования были составлены графики, которые показаны на рисунках 4 -6 [8].

м

прогибы 004

верхнего

пояса м

•■■111Ц1

■ Зависимость 1955

Р, Па

Рисунок 4 - Зависимость прогибов верхнего пояса от приращения давления в линзе покрытия

На рисунке 4 изображен график прогибов верхнего пояса покрытия сооружения, по которому видно, что если заданное по расчету давление в линзе покрытия сооружения составляет 104000 Па и на пояса линзы действует еще приращение давление от 100 до 200 Па, то прогиб верхнего пояса будет меньше на несколько сантиметров.

ц 8000

0 0.005-ШойкМ23-Штоек 0 04 0 0516 Е,

I--м

Рисунок 5- Геометрическая нелинейность одношаговый метод

На рисунке 5 показано определенное численным исследованием значение геометрической

нелинейности в покрытии линзы пневматического сооружения. По графику видно, что если увеличить жесткость линзы, за счет применения стоек, то геометрическая нелинейность будет меньше в полтора-два раза.

Р, Rao

Без стоек Со стоиками

■ Сосгойкдмн ИБезстоек

С, ЧИСЛО

итерации

Рисунок 6 - График прогибов мембран в зависимости от усиления стойками мембранн или без них

Соответственно изучая график, изображенный на рисунке 6 можно сделать вывод, что за счет применения стоек выросла несущая способность линзы покрытия сооружения и соответственно в линзе, усиленной стойками прогибы поясов будут примерно в полтора раза меньше, чем в линзе без усиления стойками.

В заключении статьи можно сделать вывод, что мембранно-пневматические системы сугубо нелинейные объекты, расчет которых без специальных методик, по которым можно рассчитывать все виды нелинейности невозможен.

Библиографический список

1. Ким, А. Ю. Статический расчет несущей способности двухпоясной мембранно-стержневой системы с учетом воздухоопорного эффекта с применением численной процедуры Эйлера-Коши / А. Ю. Ким, М. Ф. Амоян, В. Е. Хапилин // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. - 2021. - Т. 48, №№ 4. - С. 159170. - Б01 10.21822/2073-6185-2021-48-4-159170. - EDN РКОИРИ.

2. Ким, А. Ю. Численное исследование влияния отдельных стоек в линзах на работу нелинейных

линзообразных мебранно-пневматических

систем шаговым методом / А. Ю. Ким, М. Ф. Амоян, Е. Х. Хапилин // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. - 2022. - Т. 49, № 1. - С. 122132. - DOI 10.21822/2073-6185-2022-49-1-122132. - EDN WUAKZZ.

3. Нургазиев, Р. Б. Статический расчет пространственных мембранно -стержневых систем с учетом геометрической и конструктивной нелинейности : специальность 05.23.17 "Строительная механика" : автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Нургазиев Руслан Балтабайевич. - Волгоград, 2004. - 18 с. - EDN NIBLKL.

4. Применение шаговых методов для расчета большепролетных пневматических сооружений / А. Ю. Ким, С. В. Полников, А. С. Бердышев, Д. А. Борзенко // Научная дискуссия: вопросы технических наук. - 2015. - № 11(29). - С. 51-55. - EDN UZENKR.

5. Ким, А. Ю. Расчет воздухоопорных мембранно-пневматических сооружений с учетом геометрической нелинейности / А. Ю. Ким, С. П. Харитонов // Научное обозрение. - 2014. - № 123. - С. 744-746. - EDN TRNVMH.

6. Ermolov, V.V., Bird, W.W., Bubner, W. (1983). Pneumatic Building Structures. Moscow: Stroyizdat.- 439 p.

7. Voznsenskiy, S.B., Ermolov, V.V. (1975). Design of Pneumatic Structures in the USSR and Abroad. Moscow: TzINIS Gosstroya USSR.-348 с.

8. Geiger, David (1975). Low-profile air structures in the USA. Building Research and Practice, MarchApril, p. 80-87.

9. Krivoshapko, S.N., Galishnikova, V.V. (2015). Architectural-and-Building Structures: Text Book, Moscow: Izd-vo "URAIT".- 476 p.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации.

Статья поступила в редакцию 09.09.2023; одобрена после рецензирования 27.10.2023; принята к публикации 27.10.2023.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication.

The article was submitted 09.09.2023; approved after reviewing 27.10.2023; accepted for publication 27.10.2023.