Нелинейный изгиб разрывных сферических предохранительных мембран Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.37

НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ РАЗРЫВНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ПРЕДОХРАНИТЕЛЬНЫХ МЕМБРАН

© М. С. Ганеева1*, М. А. Ильгамов1,2, В. Е. Моисеева1

1 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН Россия, Республика Татарстан, 420111 г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31.

Тел.: +7 (843) 231 91 16.

2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (34 7) 273 6 7 78.

E-mail: ganeeva@kfti.knc.ru

В работе изучается нелинейный изгиб тонких сферических сегментов под действием давления сжимаемой жидкости на вогнутую поверхность сегментов с позиций применения их в качестве разрывных предохранительных мембран при высоком рабочем давлении во взрывоопасном аппарате.

Ключевые слова: разрывные предохранительные мембраны, сферический сегмент, давление жидкости, нелинейный изгиб.

Постановка задачи и метод решения. При

высоком рабочем давлении во взрывоопасном аппарате используются разрывные предохранительные мембраны, которые выполняются в виде сферических сегментов различной подъемистости и находятся под действием давления на вогнутую поверхность сегмента [1]. Рассматривается нелинейный осесимметричный изгиб тонкого сферического сегмента под действием давления сжимаемой жидкости на его вогнутую поверхность. Невесомая сжимаемая жидкость находится в герметически закрытой емкости с жесткими стенками. Давление в емкости создается медленной подачей жидкости.

Оболочка в процессе деформации может взаимодействовать с цилиндрическим штоком радиуса r0 ,

расположенным на высоте d над полюсом неде-формированной мембраны (рис. 1). Характеристики сферического сегмента: R - радиус сферы, h -толщина, Hо - высота полюса по отношению к

основанию, a - радиус основания. Вводятся координатные линии: меридианы s , 0 < s < s

N ’

внеш-

няя нормаль 2 к срединнои поверхности, - к / 2 < 2 < к / 2; г = Я - радиус параллели, 0<в<вы - угол между осью вращения X и нормалью г. Характеристики жидкости: Ы0,¥0, р0 -

масса, объем и давление в ненапряженном состоянии сегмента; т, V , р - масса дополнительно поданной в емкость жидкости, соответствующее изменение объема емкости и установившееся в ней давление. Принято, что давление р в емкости в

процессе всего нагружения изменяется по адиабатическому закону [2]:

р = р0((1 + т/М 0)/(1 + V/Vo)У, (1)

где у - коэффициент адиабаты. Таким образом, в данной задаче параметром нагружения будет служить масса подаваемой в емкость жидкости т .

Рис. 1. Сферический сегмент под действием давления жидкости

Используются соотношения теории оболочек, описывающие осесимметричное, моментное, геометрически и физически нелинейное напряженно-деформированное состояние (НДС) при умеренных поворотах [3] под действием давления на оболочку Р = р - р0. Далее р0 принимается равным атмосферному давлению. Напряжения через деформации представляются по теории малых упругопластических деформаций [4] для сжимаемого материала с диаграммой линейного упрочнения с коэффициентом упрочнения 1, модулем упругости Е , коэффициентом Пуассона V, пределом текучести о5, пределом прочности о в . Для вектора разрешающих функций [5] У = (Г1*1,д*,мп,Р,и,м,?,В)', где В (я) - функция изменения объема из-за прогиба оболочки м(я) :

B(s) = 2ж\wrds, B(0) = 0, B(sN) = V,

(2)

получена нелинейная разрешающая система уравнений: ёУ/= А(я)У + Р(5, У), 0 < я < ^. (3)

Здесь А (5) - матрица коэффициентов размерности 8 х 8, Р (5, У) - вектор геометрически и физически нелинейных членов 8 х 1.

В случае, когда шток отсутствует или не достигнут оболочкой, используются предельные уравнения в полюсе 5 = 0 [3] и граничные условия (ГУ):

д* = 0, и = 0, ? = 0, В = 0 при 5 = 0. (4)

0

* автор, ответственный за переписку

При достижении оболочкой штока на высоте ё вместо (4) вводятся условия:

и = 0, ? = 0, В = 0, м = ё при г = г0. (^)

У основания оболочки 5 рассматриваются условия жесткой заделки:

и = 0, м = 0, ?1 = 0. (6)

К условиям при 5 = добавляется нелинейная зависимость между неизвестными Р и V, приближенно следующая из (1) с учетом (2):

Р + р0(1 + т/М 0УуV/V0 =-р0 + р0(1 + т/М0)у- (7) • [1 + у(у +1) (V/Vo)V2 - у(у+ 1)(у+ 2) (^)3/б].

В работе [5] предложен алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи (3)-(7) на основе пошагового процесса по параметру тг/М0 ,1 = 1, Ь .

Изгиб сферического сегмента с утонением в окрестности полюса. Материал сегментов - нержавеющая сталь 12Х18Н9 с характеристиками:

Е = 2.05 • 105 МПа, о8 = 230 МПа, оВ = 550 МПа. При вычислениях принято: а = 100 мм,

И0 = И0/к0 = 116.67, 5 = 5/к0 И = Н/к0 = 111.9, у = 7; п= 0.3; 1 = 0.9;

=о3/Е = 1.12195 • 10-3; оВ =оВ/Е = 2.68293 10-3. Рассмотрены случаи постоянной толщины сегмента:

h0 = 0.3 мм,

Sn = SN/ho = 359.92,

h=h

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

и переменной с утонением в окрестности полюса

0 < s < 0.25 • sN :

h = 0.27мм + 1.111 10-3 s, h = 0.25мм +1.852-10-3 s, h = 0.20мм + 3.70510'3 s, h = 0.15мм + 5.557 • 10-3s, h = 0.10мм + 7.409 • 10-3 s; на отрезке 0.25 • sN й s й sN h = 0.3 мм.

В таблице для трех этапов деформирования при нарастании подачи жид-кости m в емкость представлены безразмерные параметры нагрузки P , значений прогиба w в полюсе оболочки и интенсивности напряжений о. = (oj\ + o22 -O11O22)0,5 в полюсе s = 0 и у основания s = sN . Обозначено: O+ - интенсивность напряжений на поверхности z = h/2, о- _ интенсивность напряжений на поверхности z = - h/ 2,0 - объем материала оболочки. В табл. и далее в тексте и на рисунках используются безразмерные величины: m = m/M0,

P = Pe , w = Who, On = Оц/ E, O22 =0221E, O. = O,/E = (O2 + 0^2 - O11O22)0,5, z = z/h. Из табл. видно, что жесткая заделка основания сегмента вызывает максимальные напряжения до уровня напряжений max O = 2O , после которого max O

s,z s,z

перемещается в окрестность полюса лишь для оболочек с утонением (I2), (I3). Известно [1], что для разрывных сферических мембран необходимо раскрытие наиболее напряженной центральной их части.

Таблица

Напряженно-деформированное состояние сферического сегмента переменной толщины

Изгиб сегмента с ограничением перемещения в полюсе. Далее представлены результаты вычислений для сферического сегмента постоянной толщины (8) с ограничением перемещения в его полюсе, когда в процессе деформирования оболочка встречается со штоком радиуса г0 = г0/а на высоте I = сі/к0 над полюсом.

На рис. 2-5 представлены результаты вычислений для сегмента с подъемистостью н0 = 60, Н = 59.39. На рис. 2 линия ОВ отражает зависимость параметра нагрузки Р от максимального значения прогиба ^ (в полюсе) для оболочки без штока. На ней значком • показан момент касания штоков I = 0 ^ 4.5, В - момент достижения тах а = а .Из точек касания штоков отходят я,2

зависимости параметра нагрузки Р от максимального значения прогиба ^ . На этих линиях значком

l = 0 max S всегда наблюдается у штока r = Г()

s, z

(штриховая линия l = 0). При наличии штоков

l = 0.5 ^ 4.5 в момент касания (значок •) у основания r = a возникает max s >S?, с нарастанием

i S

нагрузки перемещающийся к штоку (штриховые линии l = 0.5 ^ 4.5). При достижении предела прочности материала

sв max si будет у штока. Из рис. 3 видно, что

s, z

наличию штоков характерно резкое возрастание напряжений в окрестности штоков. На рис. 4 изображены эпюры прогиба w и интенсивности напряжений si по меридиану для значений параметра нагрузки под номерами 1 ^ 5 . При этом для оболочек со штоком (штриховые линии) „ Qvs =s ,

тах о i — о в

— — ^ при р = 4 01 • 10 6. Из рис. 4a видно

□ показан момент достижения max si =GB' Видно, max si =sв 5 '

s z ^z

для оболочки без штока (сплошные линии)

p = 4.0 1 • 10 б

В

что зависимости параметра нагрузки P от максимального значения прогиба w при наличии штоков имеют ограниченную протяженность •-□, мало отходящую от зависимости для оболочки без штока OB.

На рис. 3 даны зависимости максимальной интенсивности напряжений si от параметра нагрузки

P . Сплошная линия соответствует НДС сегмента

без штока, в котором max si всегда наблюдается у

s, z

основания r = a. После встречи со штоками НДС оболочки имеет сложный характер. При штоке

что при отсутствии штока max ^ наблюдается в

на некотором удалении от штока. Но ™ в обоих случаях мало

полюсе, при наличии штоков max w

отличаются между собой при одинаковых нагрузках Р. Поэтому зависимости р (мтах) на рис. 2

также несильно расходятся. Из рис. 4б видно, что при взаимодействии оболочки со штоком возникает значительная концентрация напряжений в малой окрестности области взаимодействия.

Рис. 2. Зависимости параметра нагрузки от параметра максимального прогиба для сегмента с подъемистостью И 0 = 60.

2 4 10° Р

Рис. 3. Зависимости максимальной интенсивности напряжений от параметра нагрузки для сегмента с подъемистостью Н0 = 60 .

а б

Рис. 4. Эпюры по меридиану прогибов (а) и интенсивности напряжений (б) для сегмента с подъемистостью И0 = 60 .

s, z

На рис. 5 показано влияние поступления массы жидкости т на НДС сегмента. Из рис. 5а, 5в видно, что зависимости р (т) и ^тах(ш) при взаимодействии мембраны со штоками имеют линии ограниченной протяженности •-□, которые ложатся на линию р (т)

и мало отходят от линии ^ (т ) для оболочки без штока. На рис. 5б показано существенное влияние наличия штоков на зависимости ^ (т).

На рис. 6-9 представлены характеристики НДС для непологого сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67, Н = 111.9. Качественно картина деформирования согласуется со случаем более пологого сегмента с параметром Н0 = 60. Однако, с

увеличением параметра Н0 требуется снижение

высоты штока I над полюсом недеформированной мембраны.

а б в

Рис.5. Зависимости параметров нагрузки (а), интенсивности напряжений (б), прогиба (в)

от параметра массы поступления жидкости в емкость для сегмента с подъемистостью Но = 60-

10

0.2 4 /=(0=1 1. 1.0 ' 5 7

І і-' 1.0 2.0

ГОЛ #0 =116.67, г0 =0.01;

г0.2 Г % /=0н-2.7. шахст, = ав 1

Ю3.^

1 2 3 ™

Рис. 6. Зависимости параметра нагрузки от параметра максимального прогиба

для сегмента с подъемистостью Н0 =116.67 •

г—і — ов * •• ■ ♦ ». * > /2^2.7

ч-ь ^ /у .2/^1 >*0.4 1.5

'/о 2 Я0 = 116.67, •/ Г0 = 0.01, //= о г = -°5 ^ 1 1 —1

0 3 6 Ю Ь-Р

Рис. 7. Зависимости максимальной интенсивности напряжений от параметра нагрузки для сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67.

Я0 = 116.67,1

'/=2.7 г0 =0.01 1

і Vа Ч 5х

,"'4=1.5 4/ —^

/ 3/ -

✓ ^/=0.4 2/

' '^/=0 /

120

1. Р =4.45*10“

2. Р_=5.02*10'

3. -Р =5.78*10”

4. Р =6.33*10'

5. Р =6.84*10"

6. Р =7.10*10

240

Рис. 8. Эпюры прогибов по меридиану для сегмента с подъемистостью Н0 =116.67

г - 1 П3 —

10 6-Р

Я0 -116.67, 1 ^іГ2-7

II 0 Ь 1

1 0Л 0.2. 1 мн /і,

• /=0-5-2.7, / □ тах = ав мГ >.4

ИХ 4=0.2

— Н0 = 116.67, , Г°=0-01’ 0 4^ "=-0.5 V ::І^7 ?-:3^і.5 •у 2

Чао'^ Г/4! .5 Г1 ).4

* /*0.2 1

0.2 0.4 т

а

2-

Я0 = 116.67, Р0 = 0.01; 1.5І Г2.7

• /=0-5-О тах о, 2.7, = оя 0.< ц р .5

0.2*1 /=(Н ^1 (Г1 ).4 1

0

0

0.2 0.4

в

0.2 0.4 т

б

Рис. 9. Зависимости параметров нагрузки (а), интенсивности напряжений (б), прогиба (в) от параметра массы поступления жидкости в емкость для сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67

Таким образом, в рассмотренных задачах для сферических сегментов без штока установлено, что для сегментов постоянной толщины и при утонении в окрестности полюса до 33% толщины наибольшие напряжения наблюдаются у основания сегментов. Утонение же в полюсе на 50% и более приводит к наибольшим напряжениям в центральной части сегментов, и такие сегменты могут быть использованы в качестве разрывных предохранительных мембран.

Показано, что при деформировании сферических сегментов под действием давления сжимаемой жидкости на вогнутую поверхность с ограничением перемещения в полюсе в момент касания штоков наибольшие напряжения наблюдаются у основания и с нарастанием нагрузки перемещаются к штоку. При достижении предела прочности материала зона максимальных напряжений находится у штока.

С увеличением подъемистости сегмента требуется снижение высоты штока над полюсом недеформи-рованной мембраны.

Работа выполнена по программе Президиума РАН №22П.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ольховский Н. Е. Предохранительные мембраны. М.: Химия, 1976. 149 с.

2. Ильгамов М. А Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ КазНЦ РАН, 1994. 208 с.

3. Ганеева М. С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука, 1992. 161 с.

4. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. 376 с.

5. Ганеева М. С., Ильгамов М. А., Моисеева В. Е. Устойчивость сферического сегмента, нагруженного давлением сжимаемой жидкости // Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сборник. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2009. Вып. 71. С. 71-76.

Поступила в редакцию 01.11.2010 г.