CC BY
50
УДК 539.37
НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ РАЗРЫВНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ПРЕДОХРАНИТЕЛЬНЫХ МЕМБРАН
© М. С. Ганеева1*, М. А. Ильгамов1,2, В. Е. Моисеева1
1 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН Россия, Республика Татарстан, 420111 г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31.
Тел.: +7 (843) 231 91 16.
2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел./факс: +7 (34 7) 273 6 7 78.
E-mail: [email protected]
В работе изучается нелинейный изгиб тонких сферических сегментов под действием давления сжимаемой жидкости на вогнутую поверхность сегментов с позиций применения их в качестве разрывных предохранительных мембран при высоком рабочем давлении во взрывоопасном аппарате.
Ключевые слова: разрывные предохранительные мембраны, сферический сегмент, давление жидкости, нелинейный изгиб.
Постановка задачи и метод решения. При
высоком рабочем давлении во взрывоопасном аппарате используются разрывные предохранительные мембраны, которые выполняются в виде сферических сегментов различной подъемистости и находятся под действием давления на вогнутую поверхность сегмента [1]. Рассматривается нелинейный осесимметричный изгиб тонкого сферического сегмента под действием давления сжимаемой жидкости на его вогнутую поверхность. Невесомая сжимаемая жидкость находится в герметически закрытой емкости с жесткими стенками. Давление в емкости создается медленной подачей жидкости.
Оболочка в процессе деформации может взаимодействовать с цилиндрическим штоком радиуса r0 ,
расположенным на высоте d над полюсом неде-формированной мембраны (рис. 1). Характеристики сферического сегмента: R - радиус сферы, h -толщина, Hо - высота полюса по отношению к
основанию, a - радиус основания. Вводятся координатные линии: меридианы s , 0 < s < s
N ’
внеш-
няя нормаль 2 к срединнои поверхности, - к / 2 < 2 < к / 2; г = Я - радиус параллели, 0<в<вы - угол между осью вращения X и нормалью г. Характеристики жидкости: Ы0,¥0, р0 -
масса, объем и давление в ненапряженном состоянии сегмента; т, V , р - масса дополнительно поданной в емкость жидкости, соответствующее изменение объема емкости и установившееся в ней давление. Принято, что давление р в емкости в
процессе всего нагружения изменяется по адиабатическому закону [2]:
р = р0((1 + т/М 0)/(1 + V/Vo)У, (1)
где у - коэффициент адиабаты. Таким образом, в данной задаче параметром нагружения будет служить масса подаваемой в емкость жидкости т .
Рис. 1. Сферический сегмент под действием давления жидкости
Используются соотношения теории оболочек, описывающие осесимметричное, моментное, геометрически и физически нелинейное напряженно-деформированное состояние (НДС) при умеренных поворотах [3] под действием давления на оболочку Р = р - р0. Далее р0 принимается равным атмосферному давлению. Напряжения через деформации представляются по теории малых упругопластических деформаций [4] для сжимаемого материала с диаграммой линейного упрочнения с коэффициентом упрочнения 1, модулем упругости Е , коэффициентом Пуассона V, пределом текучести о5, пределом прочности о в . Для вектора разрешающих функций [5] У = (Г1*1,д*,мп,Р,и,м,?,В)', где В (я) - функция изменения объема из-за прогиба оболочки м(я) :
B(s) = 2ж\wrds, B(0) = 0, B(sN) = V,
(2)
получена нелинейная разрешающая система уравнений: ёУ/= А(я)У + Р(5, У), 0 < я < ^. (3)
Здесь А (5) - матрица коэффициентов размерности 8 х 8, Р (5, У) - вектор геометрически и физически нелинейных членов 8 х 1.
В случае, когда шток отсутствует или не достигнут оболочкой, используются предельные уравнения в полюсе 5 = 0 [3] и граничные условия (ГУ):
д* = 0, и = 0, ? = 0, В = 0 при 5 = 0. (4)
0
* автор, ответственный за переписку
При достижении оболочкой штока на высоте ё вместо (4) вводятся условия:
и = 0, ? = 0, В = 0, м = ё при г = г0. (^)
У основания оболочки 5 рассматриваются условия жесткой заделки:
и = 0, м = 0, ?1 = 0. (6)
К условиям при 5 = добавляется нелинейная зависимость между неизвестными Р и V, приближенно следующая из (1) с учетом (2):
Р + р0(1 + т/М 0УуV/V0 =-р0 + р0(1 + т/М0)у- (7) • [1 + у(у +1) (V/Vo)V2 - у(у+ 1)(у+ 2) (^)3/б].
В работе [5] предложен алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи (3)-(7) на основе пошагового процесса по параметру тг/М0 ,1 = 1, Ь .
Изгиб сферического сегмента с утонением в окрестности полюса. Материал сегментов - нержавеющая сталь 12Х18Н9 с характеристиками:
Е = 2.05 • 105 МПа, о8 = 230 МПа, оВ = 550 МПа. При вычислениях принято: а = 100 мм,
И0 = И0/к0 = 116.67, 5 = 5/к0 И = Н/к0 = 111.9, у = 7; п= 0.3; 1 = 0.9;
=о3/Е = 1.12195 • 10-3; оВ =оВ/Е = 2.68293 10-3. Рассмотрены случаи постоянной толщины сегмента:
h0 = 0.3 мм,
Sn = SN/ho = 359.92,
h=h
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
и переменной с утонением в окрестности полюса
0 < s < 0.25 • sN :
h = 0.27мм + 1.111 10-3 s, h = 0.25мм +1.852-10-3 s, h = 0.20мм + 3.70510'3 s, h = 0.15мм + 5.557 • 10-3s, h = 0.10мм + 7.409 • 10-3 s; на отрезке 0.25 • sN й s й sN h = 0.3 мм.
В таблице для трех этапов деформирования при нарастании подачи жид-кости m в емкость представлены безразмерные параметры нагрузки P , значений прогиба w в полюсе оболочки и интенсивности напряжений о. = (oj\ + o22 -O11O22)0,5 в полюсе s = 0 и у основания s = sN . Обозначено: O+ - интенсивность напряжений на поверхности z = h/2, о- _ интенсивность напряжений на поверхности z = - h/ 2,0 - объем материала оболочки. В табл. и далее в тексте и на рисунках используются безразмерные величины: m = m/M0,
P = Pe , w = Who, On = Оц/ E, O22 =0221E, O. = O,/E = (O2 + 0^2 - O11O22)0,5, z = z/h. Из табл. видно, что жесткая заделка основания сегмента вызывает максимальные напряжения до уровня напряжений max O = 2O , после которого max O
s,z s,z
перемещается в окрестность полюса лишь для оболочек с утонением (I2), (I3). Известно [1], что для разрывных сферических мембран необходимо раскрытие наиболее напряженной центральной их части.
Таблица
Напряженно-деформированное состояние сферического сегмента переменной толщины
Изгиб сегмента с ограничением перемещения в полюсе. Далее представлены результаты вычислений для сферического сегмента постоянной толщины (8) с ограничением перемещения в его полюсе, когда в процессе деформирования оболочка встречается со штоком радиуса г0 = г0/а на высоте I = сі/к0 над полюсом.
На рис. 2-5 представлены результаты вычислений для сегмента с подъемистостью н0 = 60, Н = 59.39. На рис. 2 линия ОВ отражает зависимость параметра нагрузки Р от максимального значения прогиба ^ (в полюсе) для оболочки без штока. На ней значком • показан момент касания штоков I = 0 ^ 4.5, В - момент достижения тах а = а .Из точек касания штоков отходят я,2
зависимости параметра нагрузки Р от максимального значения прогиба ^ . На этих линиях значком
l = 0 max S всегда наблюдается у штока r = Г()
s, z
(штриховая линия l = 0). При наличии штоков
l = 0.5 ^ 4.5 в момент касания (значок •) у основания r = a возникает max s >S?, с нарастанием
i S
нагрузки перемещающийся к штоку (штриховые линии l = 0.5 ^ 4.5). При достижении предела прочности материала
sв max si будет у штока. Из рис. 3 видно, что
s, z
наличию штоков характерно резкое возрастание напряжений в окрестности штоков. На рис. 4 изображены эпюры прогиба w и интенсивности напряжений si по меридиану для значений параметра нагрузки под номерами 1 ^ 5 . При этом для оболочек со штоком (штриховые линии) „ Qvs =s ,
тах о i — о в
— — ^ при р = 4 01 • 10 6. Из рис. 4a видно
□ показан момент достижения max si =GB' Видно, max si =sв 5 '
s z ^z
для оболочки без штока (сплошные линии)
p = 4.0 1 • 10 б
В
что зависимости параметра нагрузки P от максимального значения прогиба w при наличии штоков имеют ограниченную протяженность •-□, мало отходящую от зависимости для оболочки без штока OB.
На рис. 3 даны зависимости максимальной интенсивности напряжений si от параметра нагрузки
P . Сплошная линия соответствует НДС сегмента
без штока, в котором max si всегда наблюдается у
s, z
основания r = a. После встречи со штоками НДС оболочки имеет сложный характер. При штоке
что при отсутствии штока max ^ наблюдается в
на некотором удалении от штока. Но ™ в обоих случаях мало
полюсе, при наличии штоков max w
отличаются между собой при одинаковых нагрузках Р. Поэтому зависимости р (мтах) на рис. 2
также несильно расходятся. Из рис. 4б видно, что при взаимодействии оболочки со штоком возникает значительная концентрация напряжений в малой окрестности области взаимодействия.
Рис. 2. Зависимости параметра нагрузки от параметра максимального прогиба для сегмента с подъемистостью И 0 = 60.
2 4 10° Р
Рис. 3. Зависимости максимальной интенсивности напряжений от параметра нагрузки для сегмента с подъемистостью Н0 = 60 .
а б
Рис. 4. Эпюры по меридиану прогибов (а) и интенсивности напряжений (б) для сегмента с подъемистостью И0 = 60 .
s, z
На рис. 5 показано влияние поступления массы жидкости т на НДС сегмента. Из рис. 5а, 5в видно, что зависимости р (т) и ^тах(ш) при взаимодействии мембраны со штоками имеют линии ограниченной протяженности •-□, которые ложатся на линию р (т)
и мало отходят от линии ^ (т ) для оболочки без штока. На рис. 5б показано существенное влияние наличия штоков на зависимости ^ (т).
На рис. 6-9 представлены характеристики НДС для непологого сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67, Н = 111.9. Качественно картина деформирования согласуется со случаем более пологого сегмента с параметром Н0 = 60. Однако, с
увеличением параметра Н0 требуется снижение
высоты штока I над полюсом недеформированной мембраны.
а б в
Рис.5. Зависимости параметров нагрузки (а), интенсивности напряжений (б), прогиба (в)
от параметра массы поступления жидкости в емкость для сегмента с подъемистостью Но = 60-
10
0.2 4 /=(0=1 1. 1.0 ' 5 7
І і-' 1.0 2.0
ГОЛ #0 =116.67, г0 =0.01;
г0.2 Г % /=0н-2.7. шахст, = ав 1
Ю3.^
1 2 3 ™
Рис. 6. Зависимости параметра нагрузки от параметра максимального прогиба
для сегмента с подъемистостью Н0 =116.67 •
г—і — ов * •• ■ ♦ ». * > /2^2.7
ч-ь ^ /у .2/^1 >*0.4 1.5
'/о 2 Я0 = 116.67, •/ Г0 = 0.01, //= о г = -°5 ^ 1 1 —1
0 3 6 Ю Ь-Р
Рис. 7. Зависимости максимальной интенсивности напряжений от параметра нагрузки для сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67.
Я0 = 116.67,1
'/=2.7 г0 =0.01 1
і Vа Ч 5х
,"'4=1.5 4/ —^
/ 3/ -
✓ ^/=0.4 2/
' '^/=0 /
120
1. Р =4.45*10“
2. Р_=5.02*10'
3. -Р =5.78*10”
4. Р =6.33*10'
5. Р =6.84*10"
6. Р =7.10*10
240
Рис. 8. Эпюры прогибов по меридиану для сегмента с подъемистостью Н0 =116.67
г - 1 П3 —
10 6-Р
Я0 -116.67, 1 ^іГ2-7
II 0 Ь 1
1 0Л 0.2. 1 мн /і,
• /=0-5-2.7, / □ тах = ав мГ >.4
ИХ 4=0.2
— Н0 = 116.67, , Г°=0-01’ 0 4^ "=-0.5 V ::І^7 ?-:3^і.5 •у 2
Чао'^ Г/4! .5 Г1 ).4
* /*0.2 1
0.2 0.4 т
а
2-
Я0 = 116.67, Р0 = 0.01; 1.5І Г2.7
• /=0-5-О тах о, 2.7, = оя 0.< ц р .5
0.2*1 /=(Н ^1 (Г1 ).4 1
0
0
0.2 0.4
в
0.2 0.4 т
б
Рис. 9. Зависимости параметров нагрузки (а), интенсивности напряжений (б), прогиба (в) от параметра массы поступления жидкости в емкость для сегмента с подъемистостью Н0 = 116.67
Таким образом, в рассмотренных задачах для сферических сегментов без штока установлено, что для сегментов постоянной толщины и при утонении в окрестности полюса до 33% толщины наибольшие напряжения наблюдаются у основания сегментов. Утонение же в полюсе на 50% и более приводит к наибольшим напряжениям в центральной части сегментов, и такие сегменты могут быть использованы в качестве разрывных предохранительных мембран.
Показано, что при деформировании сферических сегментов под действием давления сжимаемой жидкости на вогнутую поверхность с ограничением перемещения в полюсе в момент касания штоков наибольшие напряжения наблюдаются у основания и с нарастанием нагрузки перемещаются к штоку. При достижении предела прочности материала зона максимальных напряжений находится у штока.
С увеличением подъемистости сегмента требуется снижение высоты штока над полюсом недеформи-рованной мембраны.
Работа выполнена по программе Президиума РАН №22П.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ольховский Н. Е. Предохранительные мембраны. М.: Химия, 1976. 149 с.
2. Ильгамов М. А Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ КазНЦ РАН, 1994. 208 с.
3. Ганеева М. С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука, 1992. 161 с.
4. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. 376 с.
5. Ганеева М. С., Ильгамов М. А., Моисеева В. Е. Устойчивость сферического сегмента, нагруженного давлением сжимаемой жидкости // Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сборник. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2009. Вып. 71. С. 71-76.
Поступила в редакцию 01.11.2010 г.
