CC BY
16
УДК 539 37
НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ЖИДКОСТЬЮ
М.С. ГАНЕЕВА, В.Е. МОИСЕЕВА, З.В. СКВОРЦОВА
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук (ИММ КазНЦ РАН), Казань
Рассматриваются осесимметричный изгиб и устойчивость эллипсоидальной оболочки и круглой пластины под действием давления жидкости. Используются геометрически и физически нелинейные соотношения теории оболочек. Давление жидкости задается адиабатическим законом либо жидкость полагается несжимаемой. При решении задач показано, что процесс деформирования тонкостенного объекта, контактирующего с жидкостью, принципиально зависит от геометрических характеристик объекта, граничных условий и свойств рабочей среды.
Ключевые слова: изгиб, устойчивость, эллипсоидальная оболочка, круглая пластина, жидкость, взаимодействие.
Введение
Тонкостенные оболочки и пластины, изгибающиеся под действием давления жидкости, используются в энергетике в качестве чувствительных элементов различных приборов. Так, для сброса избыточного рабочего давления жидкости в котлах, сосудах, трубопроводных системах, криогенных резервуарах применяются предохранительные мембраны, которые срабатывают путем прохлопывания или разрыва. С другой стороны, в конструкциях, заполненных жидкостью под давлением, потеря устойчивости и большие прогибы тонкостенных элементов самих корпусов недопустимы. Чтобы определить, выполняются ли условия эксплуатации тонкостенных элементов, взаимодействующих с жидкостью, необходимо теоретическое моделирование.
В монографии [1] рассмотрены задачи статической гидроупругости. На основе теоретического исследования вопросов взаимодействия пластин и оболочек со сжимаемой и несжимаемой жидкостью, приведенного в [1], в работе [2] разработана методика численного расчета нелинейного изгиба и устойчивости оболочек вращения под действием давления жидкости. В работах [3-5] представлены результаты изучения деформирования сферических и эллипсоидальных оболочек, нагруженных давлением жидкости. В работах [6-8] дано приложение методики [2] к расчету предохранительных мембран. В данной статье на основе методики [2] численно исследуются нелинейный осесимметричный изгиб и устойчивость эллипсоидальной оболочки и круглой пластины в зависимости от характеристик создающей давление жидкости и граничных условий у основания.
1. Рассматриваются нелинейный осесимметричный изгиб и устойчивость полуэллипсоидальной оболочки под действием давления жидкости с выпуклой
©М.С. Ганеева, В.Е. Моисеева, З.В. Скворцова Проблемы энергетики, 2012, № 11-12
стороны оболочки. Невесомая жидкость находится в герметически закрытой емкости с жесткими стенками (рис. 1). Давление в емкости создается медленной подачей жидкости.
Рис. 1. Оболочка под действием давления жидкости
Характеристики оболочки [9]: a, b - полуоси оболочки; b — полуось в направлении оси вращения x; h - толщина. Вводятся координатные линии: меридиана s, внешняя нормаль z к срединной поверхности; 0 < s < sn ,
-h/2 < z < h/2.
Характеристики жидкости: Mo,Vo,po - масса, объем и давление в ненапряженном состоянии оболочки; m, V, p - масса дополнительно поданной в емкость жидкости, соответствующее изменение объема емкости и установившееся в ней давление. Принимается, что давление p в емкости в процессе всего нагружения изменяется по адиабатическому закону [1]:
p = po [(1 + m/M o)/(1 + V/Vo)]Y, (1)
где у - коэффициент адиабаты. Таким образом, в данной задаче параметром нагружения будет служить масса подаваемой в емкость жидкости m . В случае малых деформаций
sN
V = 2п j wrds, 0
(2)
где - функция прогиба оболочки.
Используются соотношения теории оболочек Кирхгофа-Лява, описывающие осесимметричное, моментное, геометрически и физически нелинейное напряженно-деформированное состояние оболочки вращения при умеренных поворотах [10] под действием равномерного нормального давления
p = p - po ,
(3)
где р определяется по формулам (1) и (2). Далее ро принимается равным атмосферному давлению. Выражения напряжений через деформации представляются по теории малых упругопластических деформаций [11] для сжимаемого материала с диаграммой линейного упрочнения с коэффициентом упрочнения X, модулем упругости Е , коэффициентом Пуассона V, пределом текучести ст $.
Вводится вектор разрешающих функций:
У = (71*1,а\ЩъР,и,V,»1,В)', (4)
* *
где 711, Ql - меридиональное и перерезывающее усилия; Ыц - изгибающий момент; и - касательное перемещение; »1 - поворот,
(9)
1 + у(у +1)(К/Ко)2/2 -у(у + 1)(у + 2)(У/У0)3/б .
B(s) = 2п| м>гсЪ, В(0) = 0, ) = V. (5)
0
Для вектора У записывается разрешающая система уравнений нелинейного осесимметричного изгиба: СУ
-= Л(я)У + Б^У), 0 < s < . (6)
Ся
Здесь Л(я) - матрица коэффициентов размерности 8x8; Б(5,У) - вектор
геометрически и физически нелинейных членов 8x1.
Для полного формирования краевой задачи нужно определить граничные условия в полюсе оболочки s = 0 и у основания s = . При s = 0 используются предельные уравнения в полюсе [10] и граничные условия:
2* = 0, и = 0, Э1 = 0, В = 0 . (7)
У основания оболочки я = могут задаваться условия жесткой заделки:
и = 0, w = 0, ^ = 0 (8)
или другие условия. К условиям при я = добавляется нелинейная зависимость между неизвестными Р и V, приближенно следующая из выражения (1) с учетом
(3), (5):
Р + Р0(1 + т/М0))К/К0 =-Р0 + Р0(1 + т/М0)у • О, О =
При численном решении вместо (9) могут быть реализованы крайние случаи нагружения, когда происходит рост параметра нагрузки:
Рк+1 = Рк +ДР, к = (10)
или заданное изменение объема оболочки в процессе деформации:
V, +1 = V, + ДК, I = й. (11)
В работе [2] предложен алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи (6)-(9) на основе пошагового процесса по ведущему параметру т//М0 ,1 = 1, Ь .
2. При численных расчетах задавались следующие характеристики материала оболочки: Е = 19,62• 104МПа; v = 0,3; А, = 0,9; ст5 = 784,8 МПа; коэффициент адиабаты нагружающей среды: у = 1,4 (воздух), у = 7 (жидкость), р0 = 0,0981 МПа. Ниже использованы сокращения: ГУ - граничные условия; НДС - напряженно-деформированное состояние.
А. Действие на полуэллипсоидальную оболочку давления жидкости Результаты численного решения получены для сплюснутой полуэллипсоидальной оболочки с геометрическими характеристиками а/Ъ = 2, а/к = 100. Задавались ГУ жесткой заделки (8). В табл. 1 представлены безразмерные параметры нагрузки РЕ, максимальных значений прогиба w/к и
интенсивности напряжений стг /Е = ст21 + СТ22 - ст11ст22 /е для некоторых характерных этапов деформирования оболочки при учете взаимодействия с
сжимаемой жидкостью (9). Ведущим параметром пошагового процесса является масса подаваемой жидкости в емкость т/Ы0 . Видно, что НДС оболочки, вплоть до достижения верхней предельной нагрузки, практически не зависит от способа приложения давления к оболочке, т.е. от объема и типа нагружающей среды, задаваемых параметрами Н и у. Оно совпадает с решением для нагружения (11), не учитывающего взаимодействие со средой [5]. Однако после достижения верхней предельной нагрузки малейшее увеличение подачи жидкости приводит к скачкообразному деформированию оболочки с существенным снижением давления и увеличением прогиба и напряжений. Для нагружения воздухом скачок больше, чем для нагружения жидкостью; для большего объема среды скачок больше, чем для меньшего объема, т. е., чем больше сжимаемость нагружающей среды, тем больше скачок.
Таблица 1
Напряженно-деформированное состояние оболочки
Этапы деформивания Величины НДС у=7 Y=1,4
H / b H / b
1,1 1,5 2 1,1 1,5 2
max a j =a s S ,z 1 s 10т / Ы0 7,1oo 7,ooo 7,ooo 13o,o 13o,o 13o,o
106Р / Е 19,48 19,31 19,57 19,35 19,48 19,53
V/к o,596 o,59o o,599 o,592 o,596 o,598
Верхняя предельная нагрузка 10т / Ы0 8,55o 8,4oo 8,336 195,o 193,o 192,5
106Р / Е 32,91 32,97 32,97 32,97 32,91 32,96
V/к 1,o77 1,o85 1,o83 1,o85 1,o76 1,o82
103-сту / Е 4,8o5 4,813 4,812 4,813 4,8o5 4,81o
Область скачка 10т / Ы0 8,6oo 8,4o5 2oo,o 193,5 193,o
106Р / Е 2,647 2,394 2,323 2,545 3,o71
V / к 22,41 31,54 46,36 67,56 89,91
103-сту / Е 8,o23 9,279 11,14 13,92 17,44
На рис. 2 показаны зависимости нагрузки Р/Е, максимальных значений прогиба ^к и интенсивности напряжений от массы подаваемой в емкость жидкости т/Ыо при Н/Ь = 1,1; у = 7. Штриховыми линиями представлены скачки, полученные в решении за один малый шаг по ведущему параметру. На графике интенсивности напряжений наблюдается излом в точке достижения предела текучести. Видно, что рассматриваемые зависимости являются существенно нелинейными.
а) б) в)
Рис. 2. Зависимости нагрузки (а), максимальных значений прогиба (б) и интенсивности напряжений (в) оболочки от массы подаваемой в емкость жидкости
Б. Деформирование полуэллипсоидальной оболочки, закрывающей герметичную емкость с несжимаемой жидкостью
Представляет интерес видоизмененная постановка задачи, в которой взаимодействие оболочки с жидкостью приближенно учитывается в предположении несжимаемости жидкости. Пусть емкость заполнена несжимаемой невесомой жидкостью и дополнительной подачи жидкости в емкость нет. Условия закрепления оболочки допускают малое проскальзывание по горизонтали. Вместо условия сжимаемости (9) ставится условие несжимаемости жидкости, т. е. условие постоянства объема емкости:
V = 0 при 5 = 5^. (12)
Условие (12) - единственное в данной задаче условие, обеспечивающее взаимодействие оболочки с жидкостью. Кроме (12), у основания оболочки 5 = 5^ рассмотрены следующие варианты граничных условий: и = 0, »1 = 0, м>1+1 = м>1 + Дж, Дw > 0
u = 0, u = 0, u = 0, u = 0, u = 0, u = 0, u = 0, u = 0, u = 0,
fy = 0:
= 0: S1 = 0: w = 0, w = 0, M11 = 0 M11 = 0 M11 = 0 M11 = 0
P+1 = Pi + AP, AP > 0; Wj +1 = Wi + Aw, Aw < 0; Pi +1 = Pj +AP, AP < 0; Pi+1 = Pi +AP, AP > 0; Pi+1 = Pi + AP, AP < 0; wí +1 = w¡ + Aw, Aw > 0; Pi+1 = Pi + AP, AP > 0; wi +1 = wi + Aw, Aw < 0; Pi+1 = Pi +AP, AP < 0.
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20) (21) (22)
Нагружение моделируется пошаговым изменением прогиба wi на экваторе или нагрузки Pi, i = 1, J.
Результаты вычислений, полученные при a / b = 2, a/h = 100, показаны на рис. 3. Номера у кривых соответствуют граничным условиям (13) - (22). На рис. 3,а представлена зависимость нагрузки P/E от максимального прогиба w/h,
который достигается в основании оболочки 5 = , за исключением ГУ (17), (18), когда тах5 ^ наблюдается в окрестности основания. Видно существенное влияние на зависимость Р(м>) граничных условий и характера ведущего параметра численного процесса. При ГУ (13), (19) оболочка подвергается давлению со стороны выпуклости, имеющему верхнее предельное значение Рв / Е (точки ¿>13, ¿>19), после перехода через которое параметр нагрузки снижается до нуля, меняет знак и переходит в область давления на вогнутость оболочки. При ГУ (14), (20) зависимости Р(м>)совпадают с кривыми (13), (19) до точек ¿13, ¿19; решение на ниспадающих ветвях при нарастании нагружения в ГУ (14), (20) получить невозможно. Необходимо отметить, что выполнение условия (12) приводит к значительному снижению верхнего предельного значения нагрузки
Рв /Е по сравнению с результатами решения задачи А. В отличие от задачи А, в данной постановке без учета сжимаемости жидкости зависимость Р(м^ гладкая без скачков.
Для ГУ (15), (16), (18), (21), (22) зависимости имеют монотонный характер. На рис. 3,6 приведены максимальные значения интенсивности напряжений
СТ / Е = (р21 + - СТцСТ22 ) 0,5 /Е.
2 0 2 4 М>1% 15 10 5 0 -5 1 ()'7У£
а) 6)
Рис. 3. Зависимости нагрузки от максимального прогиба (а) и максимальной интенсивности напряжений от нагрузки (6) оболочки, контактирующей с несжимаемой жидкостью
В. Нелинейный изгиб круглой пластины под действием давления сжимаемой и несжимаемой жидкости
Используются соотношения раздела 1. Для пластины длина полуоси Ь = 0. На краю пластины г = а ставятся ГУ жесткой заделки (8) или шарнирного закрепления:
и = 0, w = 0, М11 = 0 (23)
с учетом нелинейной зависимости (9). Результаты вычислений получены при И/а = 1, а/Ъ = 200. На рис. 4 показаны характеристики НДС в зависимости от
массы жидкости т /Мд, поступающей в емкость. Видно существенное влияние ГУ на интенсивность напряжений Сту (рис. 4,в; 4,е).
г) д) е)
Рис. 4. Зависимости нагрузки (а, г), максимальных значений прогиба (б, д) и интенсивности напряжений (в, е) пластины от массы подаваемого в емкость воздуха (а-в) и жидкости (г-е)
Вычисления показали, что в данной задаче результаты при у = 1,4 и у = 7 совпадают, т.е. влияние сжимаемости жидкости (9) на НДС при одинаковой нагрузке не проявляется. Основные характеристики НДС приведены в табл. 2.
Таблица 2
Напряженно-деформированное состояние пластины
1 2 3 4 5 6 7 8 9
107 Р/Е 0,006 0,022 0,126 0,748 3,048 6,348 22,05 38,75
ГУ (8) м/н 0,162 0,522 1,499 3,050 5,003 6,439 9,921 12,07
1о3стг/Е 0,016 0,057 0,247 0,914 2,443 4,007 5,901 7,821
ГУ (23) 'к 0,469 0,913 1,773 3,235 5,160 6,585 9,971 12,04
1о3стг/Е 0,031 0,056 0,138 0,363 0,828 1,293 2,805 4,001
На начальном этапе нагружения уровень прогибов и интенсивности напряжений при ГУ шарнирного закрепления (23) выше по сравнению со случаем ГУ жесткой заделки (8). С ростом нагружения величины прогибов постепенно сближаются, а значения интенсивности напряжений резко расходятся: для случая жесткой заделки они становятся существенно выше, чем для шарнирного закрепления. Велика разница условий достижения предела текучести материала © Проблемы энергетики, 2012, № 11-12
тах5 г а^ = а^ : для ГУ (8) этому этапу соответствует столбец 7, предел текучести
достигается у края; для ГУ (23) - столбец 9, предел текучести достигается в центре.
Для круглой пластины также получены численные результаты при взаимодействии ее с несжимаемой жидкостью (12). Рассмотрены следующие варианты ГУ на краю пластины:
и = 0, w = 0, р+1 = р + ДР; (24)
и = 0, М11 = 0, р+1 = р + ДР; (25)
и = 0, ^ = 0, р +1 = Р + ДР; (26)
Гп = 0, w = 0, Р{+1 = р + ДР. (27)
Результаты вычислений для случаев нагружения пластины сжимаемой жидкостью и её контакта с несжимаемой жидкостью показаны на рис. 5. Числа у линий соответствуют номеру ГУ. Из рис. 5,а видно, что при условии несжимаемости жидкости (12) существенно снижается значение максимального прогиба: линии 24-27 по сравнению с линией 8. Следует отметить также малое изменение прогиба с ростом параметра нагрузки для ГУ (24)-(26). Сильно сказываются ГУ на значениях максимальной интенсивности напряжений а^ (Р) (рис. 5,6). При этом зависимости а^ (Р) совпадают для ГУ (8), (26) и (23), (25) соответственно.
а)
Рис. 5. Зависимости нагрузки от максимального прогиба (а) и максимальной интенсивности напряжений от нагрузки (6) пластины. Линии 8, 23 - нагружение сжимаемой жидкостью, линии 24-27 - контакт с несжимаемой жидкостью
Выводы
В рассмотренной задаче для полуэллипсоидальной оболочки после достижения верхней предельной нагрузки происходит скачкообразное деформирование. Чем больше сжимаемость нагружающей среды, тем сильнее выражен скачок. При взаимодействии оболочки с несжимаемой жидкостью значение верхней предельной нагрузки снижается; процесс деформирования гладкий, без скачков.
В задаче для пластины влияние сжимаемости нагружающей среды на НДС не проявляется. В случае контакта с несжимаемой жидкостью существенно снижается значение максимального прогиба.
Значительное влияние на НДС оболочки и пластины, и прежде всего на интенсивность напряжений, оказывают граничные условия.
Работа выполнена при поддержке программы Президиума РАН «Фундаментальные проблемы механики и смежных наук в изучении многомасштабных процессов в природе и технике».
Summary
Axisymmetric bending and stability of ellipsoidal shell and circular plate under the liquid pressure are investigated. Geometrical and material nonlinear theory of shells is used. The liquid pressure is determined by the adiabatic law or the liquid is assumed incompressible. The results have shown that the nonlinear deformation of the examined thin-walled construction elements significantly depends on the geometrical characteristics of the object, boundary conditions at the base and on the characteristics of the working medium.
Key words: bending, stability, ellipsoidal shell, circular plate, liquid, interaction.
Литература
1. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. Казань: Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, 1994. 208 с.
2. Ганеева М.С., Ильгамов М.А., Моисеева В.Е. Устойчивость сферического сегмента, нагруженного давлением сжимаемой жидкости // Проблемы прочности и пластичности. 2009. Вып. 71. С. 71-76.
3. Ганеева М.С., Моисеева В.Е. Нелинейный изгиб и устойчивость сферического сегмента, нагруженного давлением сжимаемой жидкости // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй межд. конф. 8-11 декабря 2009, Казань. - Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2009. С.107-110.
4. Ганеева М.С., Моисеева В.Е., Скворцова З.В. Нелинейное деформирование сферической оболочки под действием давления несжимаемой жидкости // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй межд. конф. 8-11 декабря 2009, Казань. - Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2009. С.110-113.
5. Ганеева М.С., Моисеева В.Е., Скворцова З.В. Нелинейный изгиб и устойчивость эллипсоидальной оболочки, взаимодействующей с жидкостью // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4. № 3. С. 32-40.
6. Ганеева М.С., Ильгамов М.А., Моисеева В.Е. Нелинейный изгиб и устойчивость сферических предохранительных мембран // Известия Уфимского научного центра РАН. 2011. № 2. С. 5-10.
7. Ганеева М.С., Ильгамов М.А., Моисеева В.Е. Нелинейный изгиб разрывных сферических предохранительных мембран // Вестник Башкирского университета. 2011. Т. 16. № 1. С. 11 - 15.
8. Ганеева М.С., Ильгамов М.А., Моисеева В.Е. Нелинейный изгиб плоских предохранительных мембран // Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН. Казань: Фолиант, 2011. Т. 1. С. 162-175.
9. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.
10. Ганеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука, 1992. 161 с.
11. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. 376 с.
Поступила в редакцию 25 мая 2012 г.
Ганеева Музайна Саитгареевна - д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук (ИММ КазНЦ РАН). Тел.: 8 (843) 23191-16; 8 (843) 272-65-96. E-mail: ganeeva@kfti.knc.ru.
Моисеева Валерия Евгеньевна - канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук (ИММ КазНЦ РАН). Тел.: 8 (843) 231-91-16; 8 (843) 274-11-27. E-mail: ganeeva@kfti.knc.ru.
Скворцова Зара Владимировна - канд. физ.-мат. наук, ученый секретарь Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук (ИММ КазНЦ РАН). Тел.: 8 (843) 29251-62; 8 (906) 3298229; 8 (843) 272-65-96. E-mail: zara-skvortsova@yandex.ru.
