CC BY
18
ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИ
УДК 539.37
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕТОНКИХ ОРЕБРЕННЫХ ТРУБ
М.С. ГАНЕЕВА, В.Е. МОИСЕЕВА, З.В. СКВОРЦОВА
Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН
Получены нелинейные соотношения и разработана методика численного расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки вращения средней толщины с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении. В случае тонких оболочек результаты расчетов по разработанной методике совпадают с известным линейным аналитическим решением. Представлены результаты решения задачи об упругопластическом НДС цилиндрической трубы с наружным поперечным оребрением. Показано, что значительное влияние на результаты расчета НДС нетонкой трубы оказывает выбор теории расчета.
Во многих теплообменных аппаратах в энергетике, химической, нефтеперерабатывающей и других отраслях промышленности используются трубы со спиральным поперечным оребрением. Они, по сравнению с гладкими трубами, обеспечивают более высокий коэффициент теплопередачи между газом и жидкостью в теплоутилизаторах, подогревателях, экономайзерах, калориферах, конденсаторах воздушного охлаждения, змеевиках трубчатых печей и др. Кольцевые редкие ребра используются также для повышения трещиностойкости стальных трубопроводов в продольном направлении.
В данной работе с позиций теории оболочек изучается напряженно-деформированное состояние элемента поперечно-оребренной трубы, содержащего один виток спиральной ленты (либо одно кольцевое ребро). Элемент трубы моделируется как цилиндрическая оболочка с присоединенной кольцевой пластиной. Такой подход использовался автором [1] для получения линейного аналитического решения для длинной закрытой подкрепленной кольцевыми пластинами цилиндрической оболочки, находящейся под действием внутреннего давления. В работах [2-4] рассматривались другие оболочечные конструкции с разветвляющимся меридианом. В частности, к этому классу конструкций относятся многосекционные баки для криогенных топлив [3]. В [1-4] использовалась теория тонких оболочек. Однако характерное для многих теплообменников соотношение диаметра и толщины труб требует применения теории оболочек средней толщины. При расчете на прочность труб, работающих при интенсивных термосиловых нагрузках, важен также учет геометрической и физической нелинейности. В настоящей статье рассматривается нелинейное НДС конструкции с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении, составленной из нетонких оболочек вращения. Получены общие соотношения для меридиана произвольной формы, дан пример расчета для цилиндрической трубы с кольцевым ребром.
© М. С. Ганеева, В.Е. Моисеева, З.В. Скворцова Проблемы энергетики, 2005, № 7-8
1. Рассмотрим конструкцию с разветвляющимся меридианом,
представляющую собой основную оболочку с присоединенными к ней по линиям сопряжения ветвями, не замкнутыми на основной оболочке. Под линиями сопряжения понимаются параллели элементов конструкции на поверхности приведения (ПП). Элементы конструкции -непологие нетонкие оболочки вращения, замкнутые в окружном направлении. Пусть конструкция (рис. 1) имеет одну линию сопряжения A на основной оболочке BC и M ветвей (все нижесказанное легко обобщается на произвольное количество линий сопряжения).
Вводятся системы координат: x,r, ф - одинаковая для всех элементов конструкции и локальная для каждого элемента sт, фт = ф, zm, т =0,M +1 -
т т т
меридианы, параллели и внешняя нормаль к ПП. При этом ^ -s — SH ,
0 < фт < 2п, - hm < zm < hm; hm(sm) = ^1” + h2m - толщина оболочек,
0m e [0m,0m] - угол между осью вращения x и нормалью к ПП, -
кривизны ПП.
В соотношениях задачи, полученных на основе теории С.П. Тимошенко для оболочек средней толщины [5-7], учитываются деформация поперечного сдвига,
члены от нетонкости оболочек kimzm по сравнению с единицей, геометрическая
нелинейность по теории среднего изгиба и физическая нелинейность по теории малых упругопластических деформаций для сжимаемого материала без учета разгрузки. Влияние температурного поля учитывается по гипотезе Дюгамеля-Неймана.
На конструкцию действуют неосесимметричные поверхностные нагрузки P-,m(sm ,фт), if ,m(sm^m), i = 1,3 на лицевых поверхностях
т » т т » ^п _ _
z = -h1 , z = h2 соответственно. В соотношениях теории оболочек средней толщины присутствуют нагрузки, снесенные на ПП,
хн,т = р-,т (1 - kmhm )(1 - kmhm) + р+ ,m(1 + kj^ )(1 + ^hm), ; = 13. (1)
T ~m s m m m \
1емпература элементов конструкции T (s ,ф ,z ) может изменяться в интервале от криогенной до высокой. При начальной температуре 70 = const конструкция находится в недеформированном и ненапряженном состоянии.
Материал оболочек - упругий ортотропный или упругопластический изотропный. Упругие и теплофизические характеристики и диаграмма
деформирования материала зависят от температуры T*m = Tm(sm ,фт ,zm ). Здесь
конструкции с разветвляющимся
фш = - некоторый фиксированный меридиан конструкции, что означает такой
характер изменения температуры по параллели, при котором можно пренебречь
изменением характеристик материала по координате ф.
Пусть действующие на конструкцию нагрузки и температурное поле, а также граничные условия симметричны (антисимметричны) относительно некоторого меридионального сечения и могут быть представлены в виде тригонометрических рядов по окружной координате 0<ф<п (далее в формулах (2) - (4) индекс m для краткости записи опустим):
n n
хн = ^ Х?к(s)coskф, i = 1,3; XH = ^ X(s)sin к ф, к=0 ’ к=1
T - To = Tk(s,z)созкф.
к=0
Для решения двумерной геометрически и физически нелинейной краевой задачи используется метод разложения искомых функций
Y = (t"i>т12,QHMil,Mi2,vi,V2,w, SJ, SJJ) (2)
в тригонометрические ряды по окружной координате [8, 9]:
(Т 11 "Ql ,М11 ,M12 ,V1,w, S J ) = ^ (T11,kT, Q1,kT, M11,k(s), v1,k(s),wk(s), S J,к(*)) cos k ф,
к=0
(3)
(Т12 ,M12, v2,S JJ ) = ^ (Т12,к(s), M12,k (s),v2,k(s),S JJ,k(s)) sin k ф. (4)
к=0
В силу нелинейности задачи L > n, значение L устанавливается численным экспериментом.
Вводится вектор разрешающих функций для амплитуд вектора (2)
rjm (rpH.m rpн,т s\H,m лjH.m лжн.т „,н,т „,н,т ,..m r\H,m r\H,m | /с\
Zk = Уи,кТ 12, k,Q1, к ,M 11, к, M12, k,v1,k , v2,k ,wk , S J, k, S JJ, kf . (5)
Задача сводится к интегрированию ряда систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
dZm
и .».• .». • ... m|„m vH,m rp ml
dsm k X , к + gklS ,Xi,k ,Tk )+ 6)
+ Tf (sm,Ym)+ Фm(sm,Ym), m = 0,M +1, к = 0,L
с граничными условиями
^ktZ/t = a}k при s = s0, j = 0,M ; (7a)
вк +12к +1 = Ьк +1 при * = *м+1; к - 0, Ь , (7Ь)
где Нт - матрица коэффициентов 10x10; gк - вектор 10x1 амплитуд нагрузочных и температурных членов; Г^, Ф^ - векторы 10x1 амплитуд геометрически и
физически нелинейных членов; Л1к, Вм+1 - матрицы 5x10; а^, Ьм+1 - векторы 5x1. При этом коэффициенты разложений, связывающих системы (6) нелинейных
Гт, т ^ТШ\ т ^ТШ\ ,Л\
(8 , У ), Ф (8 ,У ) в ряды вида (3), (4), подсчитываются численно по формулам Бесселя [10].
Так как исходная задача сведена к одномерной, рассмотрим меридиональное сечение конструкции, на котором точку пересечения линии меридиана основной оболочки с линией сопряжения с ветвями будем называть узлом сопряжения. В узле сопряжения необходимо выполнить условия совместности перемещений и поворотов
0 т 0 т 0 т п0 пт п0 пт ■:—г-т—т г л т /а\
иг, к - иг,к, их,к - их,к, у2,к - у2, к, «I,к - «I ,к, «11к - ®П,к, т = 1,м +1, к = 0,Ь (8)
и условия равновесия узла
* м „ м ,, „ м
7,м +1 V"1 грт грМ +1 V"1 грт грН,М +1 V"1 грН,т
г,к =^ Тг,к, Тх,к =^ Тх,к, т12 ,к - ^ т12 ,к , (9)
т—0 т—0 т—0
мМ+к1 -^м^ , мм,+1 - £ мт,к , к - 07Ь,
т - 0 т - 0
где Ттк,Тгтк,итк,итк - амплитуды проекций усилий и перемещений на оси х, г.
Нелинейная краевая задача (6) - (9) решается для ряда значений ведущего параметра РК
(нагрузки или температуры) методом последовательных приближений, в качестве которого используется либо метод общей итерации
{ \ { \ I Л
к, N тттш т \ гжт, р , т\ т л^н, т ^т \ . -г^т\ т ЛТ т, р—1 1 .
------— - Нк\? )2кт’Кр + gk ч* ’ХНк м’тк,м) + Г к ) +
а>1 ! \
т т т, р — 1
+ Ф к^ ’УМ )’ (10)
р > 1, N > 1, т - 0,м + 1, к - 0,Ь ,
либо метод линеаризации [8]. Линеаризованная краевая задача (7) - (10) интегрируется методом дополнительных функций в сочетании с методом
ортогональной прогонки (МОП) [8]. На основе полученных значений ,
к - 0,Ь с помощью рядов (3), (4) подсчитывается промежуточное значение полного решения Ги его следующее приближение:
укт,р - гкт,р—1 + т(?т,р — гкт,р—1), 0 < т < 1; гкг,° - гк—,; (11)
т - коэффициент релаксации, обеспечивающий сходимость итерационного
Ср), Фт от ,¥т
г* ~ т-т/ т ж тт, р\ ^т, т ^гт, рч
процесса. Затем подсчитываются нелинейные члены 1 (8 ,*^ ), Ф (8 ,У^ ) и
их амплитуды Гт (8т ) Фт (8т ,\^тр) по формулам Бесселя [10] и
выполняется следующая (р + 1) -ая итерация.
Опишем алгоритм решения линеаризованной краевой задачи (7)—(10) для вектора разрешающих функций Як’’?. Для этого, в отличие от (5), несколько
изменим обозначения для компонент векторов :
т т, р I+ т .т .т .т .т т т т т т ^
Я к,Х = (*1 ,к , * 2 ,к ’ * 3 ,к ’ * 4 ,к’15,к’Е1 ,к’Ег ,к,Ез ,к , К4,к , К5 ,к ),
т = 0,М + 1, к = 0,Ь (12)
и представим их, согласно методу дополнительных функций, в виде
5 5
, т V"* пт +т . ,т п т X"1 «т „т , „т
* г,к = с у,к* Ц, к + * 16 ,к г,к = с у, к К у, к + К16 ,к ’
1= 1 ’ У-1
г = 1,5, т = 0,М +1, к = 0,Ь. (13)
Здесь - компоненты векторов фундаментальных систем решений;
*'т,,к,Кт,к - компоненты векторов частных решений систем (10); с”* - константы,
которые на краю я = «М+1 основной оболочки определяются из граничных условий (7Ь), в остальных точках интегрирования - с помощью матриц ортогонализации, в узле сопряжения - из условий (8), (9). Тогда алгоритм решения линеаризованной краевой задачи (7) - (10) можно кратко представить следующим образом.
1. Выполняем прямой ход МОП по части основной оболочки т = 0 и по
ветвям т = 1,М , включая узел сопряжения, и получаем т = 0, М,
г = 15, у = 1,6!
2. Из условий (8) получаем выражения с”* через с®*, у = 1,5, т = 1,М в
узле.
3. Для оболочки с номером т = М +1 задаем компоненты векторов фундаментальной системы и частного решения для неизвестных ^М"1,г = 1,5 в узле:
*Мк1 = 1 при г = У, У = 1,5; = 0 при г * у, у = 1,6 . (14)
4. Из условий (9) получаем выражения с^+1 через с®* , у = 1,5 в узле.
5. Из условий (8) при т = М +1 определяем кМ"1 г = 1,5, у = 1,6, которые
вместе с (14) составляют полную фундаментальную систему и частное решение в узле для оболочки с номером т = М +1, что позволяет продолжить прямой ход
МОП по оболочке т = М +1 до края я = «Н^1.
© Проблемы энергетики, 2005, № 7-8
Начиная с п.3 возможен другой способ перехода через узел.
3 ' . Для оболочки с номером т = М +1 задаем компоненты векторов
фундаментальной системы и частного решения для неизвестных gM(+1, г = 1,5 в
узле
gMk1 = 1 при г = у, у = 1,5; gMj+1 = 0 при г Ф у, у = 1,6 . (15)
4' . Из условий (8) получаем выражения сМ+ через с0,к, у = 1,5 в узле.
5' . Из условий (9) определяем 1Мк+х, г = 1,5, у = 1,6, которые вместе с (15)
составляют полную фундаментальную систему и частное решение в узле для оболочки с номером т = М +1, что позволяет продолжить прямой ход МОП по
оболочке т = М +1 до края я = «М+*.
Из граничных условий (7Ь) получаем константы сМ^1 у = 1,5 и выполняем
обратный ход МОП до узла сопряжения. Имея в узле значения сМ+,у = 1,5 и используя соотношения п.4 или п.4' и п.2, получаем значения стк,т = 0,М, у = 1,5 и выполняем обратный ход по всем М ветвям и оболочке с
номером т = 0. В результате получаем вектор разрешающих функций Ят’м ,
I
о
-я.
т = 0,М +1 на р-ой итерации. Процесс повторяется для всех амплитуд к = 0,Ь.
Далее процесс последовательных приближений (10), (11) продолжается до достижения заданной точности.
2. Известно линейное аналитическое решение по теории тонких оболочек [1] для длинной закрытой подкрепленной
кольцевыми пластинами цилиндрической оболочки, находящейся под действием внутреннего давления Р. Результаты расчетов по разработанной методике совпадают с решением [1]. Далее изучается НДС нетонкой оболочки, состоящей из цилиндра СВ и кольцевой пластины ЛБ под действием внутреннего давления Р (рис. 2). При расчетах принято: Лс=0,1 м, СЛ=ЛВ=ЛБ=0,1 м,
кр = 0,005 м , - уА < г < (1 - у)А, для цилиндра
ус = 1, для пластины у р = 0,5 .
к
г
\ ^2В ^
Рис. 2. Цилиндрическая оболочка с кольцевым ребром
Задавались характеристики материала: модуль упругости ^=1,961-1011 н/м2, коэффициент Пуассона v=0,3, предел текучести о8=2,550 108 н/м2, коэффициент упрочнения 1=0,9. Введены граничные условия:
QH = у1 = V2 = = ап = 0 при С1 и В1,
г» = Q1^ = м 11 = V2 = ап = 0 при Б. (16)
В табл. 1 приведены результаты расчета линейного НДС оболочки при © Проблемы энергетики, 2005, № 7-8
P = P/E = 5 • 10 5 для усилий Tjj = T^j(2Ehp ), интенсивности напряжений о; = оi / E , прогиба w = wl(2hp ), полученные по теории оболочек средней толщины
(ТС) и теории тонких оболочек (ТТ) для значений толщины цилиндра hc =
0,005; 0,01; 0,02 (м). Здесь же указаны номера вариантов рассмотренных задач. При этом, хотя в уравнения задачи (6) не введены нормальные напряжения СТ33, при подсчете о; желательно учесть их влияние:
1 2 2 2 2 10,5
011 + о 22 + о 33 — °11° 22 — °11° 33 — о 22° 33 + 3о1з] . (17)
В расчетах по формуле (17) значения о33 устанавливались с некоторой погрешностью после определения НДС оболочки.
Таблица 1
_________________________Результаты решения линейной задачи___________________________
hc , м 0,005 0,01 0,02
теория ТС ТТ ТС ТТ ТС ТТ TT
ва риант 1 2 3 4 5 6 7
цилиндр CA 105 T11 12,95 13,90 12,57 14,53 11,69 15,69 12,83
105 T22, с 49,75 52,37 48,14 53,36 45,43 55,51 45,41
104 0, C2 9,311 9,540 4,901 5,146 2,619 2,843 2,326
104 0, A2 11,01 11,69 4,562 4,950 2,440 2,704 2,212
103 w, C1 8,941 9,642 4,414 5,146 2,072 2,794 2,286
103 w , A1 3,620 3,946 2,854 3,357 1,728 2,357 1,928
пластина A^D 105 T11, A1 -8,774 -9,564 -6,595 -7,757 -3,624 -4,942 -4,044
10 T22-' A1 15,02 16,38 11,61 13,66 6,767 9,229 7,551
104 , A1 4,169 4,545 3,194 3,756 1,827 2,492 2,039
Из табл. 1 видно, что для нетонкого цилиндра (Яс/кс = 5, варианты 5, 6) влияние принятой теории расчетов составляет в усилиях и прогибах до 30%, в напряжениях - до 10%. То же самое для пластины Л1Б достигает в усилиях и напряжениях 35%. С уменьшением толщины цилиндрической части конструкции (варианты 1-4) различия уменьшаются.
В выражениях поверхностных нагрузок (1), снесенных на ПП, присутствуют члены от нетонкости оболочек к[И. В частности, в 5-м варианте
X<5> = Р(1 - 1гсМии ). По теории тонких оболочек в 6 варианте X<6> = Р. В табл. 1 (вариант 7) приведены результаты вычислений по теории тонких оболочек, но при нагрузке X <5>. Результаты вариантов 5 и 7 различаются по всем характеристикам НДС не более, чем на 10%. Таким образом, в рассматриваемой задаче основной вклад в уточнение результатов расчетов для нетонкой оболочки, по теории оболочек средней толщины, обеспечивается выражением нагрузок (1), которое нетрудно ввести в уравнения теории тонких оболочек.
В табл. 2 приведены данные о влиянии учета значений нормального
напряжения о 33 в выражении о;. Здесь сравниваются значения о ; по формуле (17) и
о I =(°11 + о 22 — о11о 22 + 3о13 )0 . (18)
Таблица 2
Влияние учета напряжения о 33 в выражении интенсивности напряжений
1© 0 1 вариант 1 вариант 3 вариант 5
формула точка (17) (18) (17) (18) (17) (18)
С2 9,311 8,946 4,901 4,531 2,619 2,244
С 8,898 8,719 4,486 4,304 2,208 2,021
С1 8,504 8,504 4,099 4,099 1,841 1,841
А2 11,01 10,54 4,562 4,063 2,440 1,985
А 5,440 4,499 3,718 2,965 2,211 1,711
А1 7,112 7,509 3,620 3,137 2,042 1,554
10 Р/Е
20
10
V
р
0 2 4 ю кфЛ,,)
Рис. 3. Зависимость нагрузка - прогиб в нелинейной задаче (вариант 3)
Из табл. 2 видно, что в линейной задаче наибольшая разница в значениях ст[, в зависимости от способа вычисления, наблюдается в узле сопряжения на ПП (точка А): от 6% (вариант 1, Яс/Ъс = 20) до 24 % (вариант 5, Яс/Ис = 5). Та же разница в
более напряженной точке С2 составляет от 4% до 14%.
Для случая цилиндрической части конструкции с параметрами Яс = 0,1 м, кс = 0,01 м, Яс/Ьс = 10 (варианты 3, 4) проведены расчеты НДС с учетом геометрической и физической
нелинейностей.
На рис. 3, 4 приведены результаты вычислений для оболочки варианта 3: зависимости прогиба (рис. 3) и
интенсивности напряжений (рис. 4) от параметра нагрузки Р.
Отмечен уровень предела
текучести материала о5. Расчеты
показали, что интенсивности
напряжений о| в точке сопряжения А1 цилиндра с кольцевой пластиной совпадают (не терпят разрыва).
Из рис. 3 видно, что в
рассмотренной задаче особенно велико влияние нелинейностей на
Рис. 4. Интенсивность напряжений в перемещения.
зависимости от нагрузки в нелинейной задаче (вариант 3)
Некоторые результаты решения нелинейной задачи для вариантов 3 (теория оболочек средней толщины), 4 (теория тонких оболочек) приведены в табл. 3. Из сравнения вариантов 3 и 4 видно, что с нарастанием нагрузки, а значит и
нелинейности, влияние выбора теории на величины НДС нарастает, но
неодинаково: на прогибы - от 16% до 44%, на наибольшую интенсивность напряжений - от 5% до 10%. Разница в значениях ст; при использовании формул (17) или (18) не зависит от нелинейности процесса и не превышает 13%.
Таблица 3
Результаты ^ решения нелинейной задачи_________________________
105 P 5 13 19
вариант 3 4 3 4 3 4
формула (17) (18) (17) (17) (18) (17) (17) (18) (17)
1 О 4,413 5,145 11,47 13,38 37,60 53,95
С) 1© Tt 0 1 4,901 4,531 5,146 12,74 11,78 13,38 17,54 16,10 18,95
1© Tt 0 1 4,562 4,063 4,950 11,86 10,56 12,87 17,02 15,17 19,32
104 Oi , A1 3,620 3,137 4,269 9,418 8,154 11,11 13,58 13,18 14,21
Таким образом, представлен расчет упругопластического НДС нетонкой цилиндрической трубы с наружным поперечным оребрением. Показано, что различия в результатах, полученных по теории нетонких и тонких оболочек, нарастают с увеличением толщины трубы и увеличением нагрузки. Это подтверждает важность использования адекватной модели нетонких оболочек. Однако, если в распоряжении инженера-расчетчика есть программа, в которой реализована только теория тонких оболочек, в рассматриваемой задаче можно, тем не менее, получить приемлемые результаты с использованием уточненного выражения приведенных нагрузок.
Summary
The nonlinear relations and the numerical computation technique of the stress-strained state (SSS) of the non-thin shell of revolution with a branching meridian under nonaxisymmetric thermo-force loading have been obtained. The computation results obtained by using the developed technique coincide with the known linear analytical solution in the case of thin shells. The computation results of the elastic-plastic SSS of the cylindrical pipe with an external transversal ribbing are presented. It has been shown, that choice of the computation theory has important influence on results of computation of the non-thin pipe SSS.
Литература
1. Корягин В.С. Прочность труб с наружным поперечным оребрением //
Теплоэнергетика. - 1973. - №1. - С. 19-21.
2. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных
конструкций на ЭВМ: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. - 212 с.
3. Ганеева М.С., Косолапова Л.А., Моисеева В.Е. Нелинейное
деформирование оболочечной конструкции с разветвляющимся меридианом под действием неосесимметричного термосилового нагружения // Известия вузов. Авиационная техника. - 2001. - №1. - С. 3-7.
4. Гнитько В.И., Мерзляков В.А. Расчет неосесимметричного
термоупругопластического состояния разветвленных оболочек вращения полуаналитическим методом конечных элементов // Прикладная механика. - 2002. - №8. - С. 105-115.
5. Ганеева М.С. Термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек / КФТИ КФАН СССР. - Казань, 1985. - 126 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.06.85, №4459-85.
6. Ганеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. - М.: Наука, 1992. - 161 с.
7. Ганеева М.С., Косолапова Л.А. Статика нетонких составных оболочек вращения из термочувствительного материала // Труды XV Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 1. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1990. - С. 25-30.
8. Ганеева М.С., Косолапова Л.А., Моисеева В.Е. Расчет на прочность гибких упругопластических оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды межд. конф. - Казань: УНИПРЕСС, 1998. - С. 35-42.
9. Мерзляков В.А., Шевченко Ю.Н. Упругопластическое деформирование оболочек вращения при неосесимметричном нагружении (Обзор) // Прикладная механика. - 1999. - №5. - С. 3-39.
10. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: Справочное руководство/Пер. с. англ. - М.: Госфизматлит, 1961. - 524 с.
Поступила 18.04.2005
