Нелинейные явления в динамике микромеханических гироскопов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.91:531.383

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 1

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В ДИНАМИКЕ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ

М. А. Лестев1, А. А. Тихонов2

1. ЗАО «Гирооптика»,

канд. физ.-мат. наук, list_@inbox.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, aatikhonov@rambler.ru

Введение

Вибрационные микромеханические гироскопы (ММГ) относятся к перспективным приборам современной микросистемной техники [1], применение которых позволяет создавать малогабаритные системы навигации и управления подвижными объектами различного назначения. Создание промышленных образцов ММГ основывается на решении большого круга теоретических, схемотехнических и конструкторско-технологичес-ких проблем. К настоящему времени опубликовано большое количество работ, посвященных решению указанных задач. Разработаны принципы функционирования, предложены конструктивные схемы и конструкции ММГ, разработана технология изготовления конструкций на основе технологических операций твердотельной микроэлектроники, создана электроника систем генерации и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов ММГ, съема и преобразования выходной информации приборов, созданы опытные образцы ММГ и проводятся их экспериментальные исследования [2, 3]. Рядом зарубежных фирм осуществляется серийное изготовление ММГ. Современные ММГ относятся к приборам низкого класса точности и поэтому на первый план выступает проблема создания ММГ навигационного класса точности (порядка 1 град/час) для использования на долгофункционирующих объектах. Решение указанной проблемы наряду с мерами конструкторско-технологического и схемотехнического характера предполагает решение проблем теоретического характера, связанных с исследованием динамики и погрешностей ММГ, основанных на строгом учете факторов и возмущений, оказывающих влияние на движение чувствительных элементов ММГ.

Постановка задачи

Строгая постановка задачи приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям движения ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности. Разрывные нелинейности в дифференциальных уравнениях движения объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями. Аналитические нелинейности объясняются нелинейной зависимостью сил упругости подвесов и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов и особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. В данной работе рассматривается влияние указанных нелинейностей на динамику и точность ММГ. При проектировании ММГ топология и параметры элементов конструкции упругого подвеса чувствительного элемента выбираются такими, чтобы обеспечить приближение к линейной зависимости сил упругости подвеса от перемещений чувствительного

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФ РНП 2.1.2.2997.

© М.А.Лестев, А.А.Тихонов, 2009

элемента. Вместе с тем, обеспечить строгую линейную зависимость сил упругости не удается вследствие технологических погрешностей изготовления конструкции прибора. Экспериментальные исследования и конечно-элементный анализ конструкций ММГ показывают, что характеристики сил упругости подвесов могут быть аппроксимированы полиномами третьего порядка. Рассмотрим влияние нелинейной зависимости сил упругости подвеса и электростатических сил на динамику и погрешности прибора.

Микромеханический гироскоп ЬЬ-типа

Дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ с поступательными движениями инерционной массы [2] запишем в виде

тх + ^Хх + сх х — 2 тО,у = Е (х) — ж'х х3, ту + цу у + Су у + 2т0.х = Е(А + п) — Е (А — п) — к'у у3,

3 (!)

р,Л , , epeSU2

где Е1/\±г/) =--—--, то — масса чувствительного элемента, х и у — перемещения

2(Д ± п)

чувствительного элемента в направлениях осей возбуждения и измерения параметров колебаний чувствительного элемента, Q —измеряемая угловая скорость (Q=const), cx и жх — коэффициенты жесткости линейной и нелинейной составляющих сил упругости подвеса, F(x) = Fosignx — сила, создаваемая виброприводом, E(Д ± п) — электростатические силы контура подстройки частот, £o — электрическая проницаемость среды между электродами датчика силы, S и Д — площадь взаимного перекрытия электродов и номинальный зазор между электродами, U — подаваемое на электроды датчика силы электрическое напряжение, цx и цy —коэффициенты демпфирования.

Параметры ММГ выбираются так, чтобы парциальные частоты nx и ny колебаний чувствительного элемента по осям x и y отличались незначительно. Разложим функции E(Д ± п) в степенные ряды, введем безразмерное время т = nxt, малый параметр ^ = 2hx/nx, 2hx = ^x/m, расстройку частот n^/n2x = 1 — ^Ç (nX = cx/m, ny = 1/m(cy — 4во/Д3), eo = 1/2eoeSU2) и перепишем уравнения (1) в виде

d2 x (dx (dx\ dy 3

—r + x = ¡j,\ -— + /0sign — + Çx + ж---ЖхХ

dT2 \ dT \dT dT

d2 y f hy dy dx 3

(2)

где 2h — — ж - — ж - Я'х ж - 1 (ж/ _ ^Л __

y ™ ' hx^ x 2hxmnx' y 2hxmnx \ y Д5 / 2hxm

m

Решение уравнений (2) будем находить, используя метод медленно изменяющихся коэффициентов [4], в виде

х = а вш(т + ф), у = Ь вш(т + в),

где а(т), ф(т), Ь(т), в(т) удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением по т за период 2п:

da _ M

dT 2

db _ M

dT 2

—а + ж\Ъ cos(e — ф) +

hy

--г^-Ъ — Ж2асов(в — ф)

hx

4fo

dф dT

xibsin(é> — ф) + —жха3

de ^

~dr = 2

—Çb — Ж2авт(в — ф) + —ЖуЬ3

п

Приравнивая правые части уравнений (3) нулю и исключая из полученных уравнений тригонометрические функции, получим уравнения резонансных кривых. Исследование устойчивости стационарных движений чувствительного элемента ММГ проводится на основе критерия Гурвица.

Рис. 1.

Рис. 2.

На рис. 1 и рис. 2 представлены резонансные кривые, соответственно, а(£) и ) для случая я'у > и для параметров ММГ, близких к реальным [3]. Устойчивые ветви резонансных кривых изображены темными ромбами, неустойчивые — светлыми

окружностями. Эти кривые являются замкнутыми при больших значениях Z• Показанный на графиках интервал изменения параметра Z, характеризующего расстройку частот, соответствует практически важным значениям, согласующимся с условием близости частот колебаний чувствительного элемента ММГ по оси возбуждения колебаний и по оси измерения параметров колебаний. Видно, что при нелинейной зависимости сил упругости от перемещений чувствительного элемента и U = 0, при одном и том же значении расстройки частот могут существовать два устойчивых режима стационарных движений чувствительного элемента ММГ с различными амплитудами. Имеющийся на графиках интервал изменения параметра Z, в котором существуют только неустойчивые ветви кривых a(Z) и b(Z), соответствует такому режиму, при котором колебания чувствительного элемента ММГ не возбуждаются. Важно отметить, что нелинейная зависимость сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительного элемента ММГ приводит к зависимости коэффициента преобразования прибора от измеряемой угловой скорости и необходимости алгоритмической компенсации погрешности коэффициента преобразования. Влияние нелинейных факторов на динамику и точность ММГ рассматривалось в работах [5-7]. Обнаружены неустойчивые ветви резонансных кривых, скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов, явления затягивания по частоте.

Микромеханический гироскоп RR-типа

Дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента роторного ММГ отличаются от уравнений (1) дополнительными нелинейными слагаемыми и записываются в виде

Ca + paá. + caa — C0Q/3 = L0 sinut + (C — A)(a/2 + 2a//) — Kaa3,

(4)

в /? + рв /з + c'ep — c0üa = (c — A)a2 в — кв в3,

где C0 = B + C — A, c'a = ca — (B — A)Q2, c'e = ce — (C — A)Q2; a и / — углы поворота ротора относительно осей возбуждения и измерения параметров колебаний, A, B, C — моменты инерции ротора относительно связанной с ним системы осей координат, Lo sin ut — момент, создаваемый системой вибропривода, а остальные обозначения аналогичны использованным ранее.

Введем обозначения n2a = c'a/C, пв = cв/В, 2ha = ра/C, 2hв = Рв/В, примем за малый параметр р = 2ha/u и перейдем в уравнениях (5) к безразмерному времени т = ut. Учитывая, что при проектировании ММГ частоты na и пв выбираются близкими,

пПв / "

уравнения (4) в виде

положим п2а/ш2 = 1—^Zi, пв/ш2 = 1—^2, где Zi и Z2 —расстройки частот. Перепишем

d2 a f da n,d в d2a 2 da d(3

„ + a = p /0 sinr-----xiQ— + Cía + pi~r-^(3 + 2pi — —f3 - xact

dr2 V dr dr dr2 dr dr

2

d2 в l he de da f da\ rt

\Jj I \ I VQI yJj I yJj I \ ijj I

(5)

_ C + B-A _ С + В - A L0 _{C-A)lü _{C-A)LÜ

ГД6 Xí ~ 2Ch„ ' ~ 2Bh„ ' ° ~ 2СКш' Pí ~ 2Ch„ ' p2 ~ 2Bh„ '

к

я/з = —. Решение уравнений (5) будем находить как и ранее, ис-

2Chau 2Ch¡3 u

пользуя метод медленно изменяющихся коэффициентов, в виде

а = а вт(т + ф), в = Ь вт(т + в), где неизвестные а, Ь, ф, в удовлетворяют следующей системе уравнений

¿а ¿т

3

—а — 1о эш ф — Х1ПЬсов(в — ф) + -/эхаб2 зт2(6> — ф)

¿ф ¿т

—(да - /0 совф - я^Ьвт^в - ф) + ^—(2 - соз2(6> - V*)) + ^^

Л ¿т ¿в р ЬТт= 2

2

Ь ±

— —^■6 + Х2^1асов(в — ф)--Р2оЬ2 зт2(6> — ф)

На

4 1

V

-С2Ь - х2^а8т(6» - ф) + - соэ 2(0 - ф)) + ЗХ/3&

4

4

Если в уравнениях (4) не учитываются нелинейные слагаемые (р1 =0, р2 =0), из уравнений (6) найдем следующие значения а* и Ь*, соответствующие стационарному движению ротора ММГ (с учетом 7 = Ьф/На):

а* = 1о

1 +

С1+72

+ С1 +

С1+72

Ь*

К2 аП

(7)

72

В этом случае амплитуда Ь* колебаний ротора относительно оси измерения параметров колебаний с достаточной степенью точности пропорциональна измеряемой угловой скорости. При П = 0, Ь* =0. Для оценки погрешностей ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях (4), положим в уравнениях (6) П = 0, приравняем правые части полученных уравнений нулю и получим уравнения резонансных кривых:

72 +

1

3

2Р2а -(2 + -хрЬ'

1

Те

2 4

Р2а ,

о2 + 37^Ь2) 2+ (\р,аЧ2 - О2 - —Ъ2(^~р2а2 - С2 + -жрЪ2) + "

Р2 ) \2 Р2 2 4 4

(8)

а2120.

Исследование устойчивости стационарных движений ротора ММГ, определяемых выражениями (8), проводится на основе критерия Гурвица. Анализ уравнений (8) обнаруживает возможность возбуждения устойчивых стационарных колебаний ротора ММГ относительно оси измерения колебаний на подвижном основании, обусловленных нелинейными слагаемыми в уравнениях (4). Колебания ротора преобразуются системой съема информации в выходной сигнал, представляющий собой ошибку прибора. Для параметров ММГ, близких к реальным [2], в случае развития указанного режима возбуждения колебаний ошибка прибора может составлять 0.15 град/с. Аналогичные результаты для ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента получены в работе [8].

Таким образом, исследование динамики чувствительных элементов ММГ, основанное на строгих дифференциальных уравнениях движения, обнаруживает явления характерные для нелинейных динамических систем. Полученные результаты могут найти применение при проектировании приборов этого типа.

2

2

2

2

Литература

1. Климов Д. М., Васильев А. А., Лучинин В. В., Мальцев П. П. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке // Микросистемная техника. 1999. №1. С. 3-6.

2. Пешехонов В. Г., Несенюк Л. П., Кучерков С. Г., Евстифеев М. И. и др. Результаты разработки микромеханического гироскопа // XII С.-Петерб. международная конф. по интегрир. навигац. системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2005. С. 268-274.

3. Попова И. В., Лестев А. М., Семенов А. А., Пятышев Е. Н. и др. Микромеханические датчики и системы, практические результаты и перспективы развития // XII С.-Петерб. международная конф. по интегрир. навигац. системам, СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2005. С. 262-267; Гироскопия и навигация, 2006. №1 (52). С. 29-34.

4. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 с.

5. Лестев М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение, 2004. № 2. С. 36-42.

6. Лестев А. М., Тихонов А. А., Лестев М. А. Нелинейные явления в динамике вибрационных микромеханических гироскопов // Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007». СПб., 2007. С. 45.

7. Лестев М. А. Влияние нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических гироскопов // XIV С.-Петерб. Международная конф. по интегрир. навигац. системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2007. С. 22-23.

8. Меркурьев И. В. Подалков В. В., Губаренко С. И. Влияние нелинейности карданова подвеса на динамику и точность микромеханического гироскопа //XI С.-Петерб. Международная конф. по интегрир. навигац. системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. С. 150152.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.