CC BY
348
УДК 531.383
А.В. Крысько, Т.Ю. Ярошенко, М.В. Жигалов, С.А. Мицкевич, В.А. Крысько
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВИБРАЦИОННЫХ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ1.
Часть I. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ
В России нелинейная динамика ММГ только начинает развиваться и наиболее полный обзор, посвященный этой проблеме, приведен в автореферате и диссертации Листьева М.А. «Нелинейные задачи динамики вибрационных микромеханических гироскопов», Санкт Петербург - 2007 год. Этот обзор мы сочли необходимым привести почти полностью, чтобы подчеркнуть значимость и актуальность данной проблемы. В конце статьи перечислены вопросы, которые требуют своего решения на основе нелинейной хаотической динамики.
Гироскоп, нелинейная динамика, навигация, управление
A.V. Krysko, T.Yu. Yaroshenko, M.V. Zhigalov, S.A. Mitskevich, V.A. Krysko
NONLINEAR DYNAMIC OF VIBRATION MICROMECHANICAL GYROSCOPE.
Part I. A REVIEW OF RESEARCH
In Russia, the nonlinear dynamics of MMG is just beginning to develop the most comprehensive review on this issue is presented in abstracts and dissertations Listyev MA «Nonlinear dynamics problem of vibrating micromechanical gyroscopes,» St. Petersburg - 2007.
This survey, we found it necessary to bring almost to emphasize the importance and urgency of the problem. The article lists the issues that need to be addressed on the basis of nonlinear chaotic dynamics.
Gyroscope, nonlinear dynamics, navigation, control
Микромеханические гироскопы (ММГ) - перспективные приборы современной микросистем-ной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления. Микромеханические гироскопы характеризуются уникально малыми массой и габаритами, низким потреблением электроэнергии, возможностью функционирования в жестких условиях эксплуатации и на несколько порядков меньшей стоимостью, чем их традиционные аналоги. Область применения ММГ чрезвычайно широка.
Строгие постановки задач исследования динамики и оценки точности ММГ, всесторонний учет обстоятельств механической природы при их решении приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности. Разрывные нелинейности в дифференциальных уравнениях движения объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями. Аналитические нелинейности объясняются нелинейной зависимостью сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов, особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. Вместе с тем известные по публикациям теоретические результаты по исследованию динамики и погрешностей ММГ получены на основании линеаризованных дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов приборов. При экспериментальных исследованиях ММГ обнаруживаются явления, характерные для нелинейных динамических систем: неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы и скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов.
Теоретические исследования, практические разработки и производство микромеханических инер-циальных датчиков параметров движения, к которым относятся ММГ, осуществляют российские научные центры, университеты и предприятия - НИИ проблем механики РАН [1-4], НИИ прикладной механики им. акад. В.И. Кузнецова [5-8], Раменское приборостроительное конструкторское бюро [9], ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» [10-17, 18, 19-24, 25], ЗАО «ГИРООПТИКА» совместно с Санкт-Петербургским государственным политехническим университетом [26-32], НИИ физических измерений [33, 34], Московский энергетический институт (технический университет) [35, 36], Санкт-Петербургский государствен-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-08-00569 18
ный университет аэрокосмического приборостроения [37], Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет [38], Институт проблем точной механики и управления РАН [39-41], Тульский государственный университет [42, 43] и другие. Из зарубежных фирм лидирующее положение по разработкам и производству микромеханических датчиков занимают Draper Laboratory, Analog Devices, BEI Systran Donner, BAE Systems, Murata, Sagem, HSG-IMIT, LITIF [44, 45] и другие.
Создание промышленных образцов ММГ основывается на решении большого круга теоретических, схемотехнических и конструкторско-технологических проблем. К настоящему времени опубликовано большое число работ, посвященных решению указанных проблем. Обзоры современного состояния теории, практических разработок и перспектив развития ММГ приводятся в публикациях [44, 46, 47]. Разработаны принципы функционирования ММГ, предложены конструктивные схемы и конструкции приборов этого типа, разработаны технологические процессы изготовления конструкций ММГ и произведена экспериментальная отработка технологических операций изготовления ММГ на основе современных групповых технологий твердотельной микроэлектроники, адаптированных к изделиям микромеханики, создана электроника систем генерации и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов, съема и преобразования выходной информации приборов.
Микромеханические гироскопы серийно выпускаются упомянутыми ранее зарубежными фирмами. Лаборатория им. Ч. Дрейпера (Draper Laboratory) производит исследования и разработки микро-механических инерциальных датчиков параметров движения с начала восьмидесятых годов прошлого столетия [44]. К 1994 году в Лаборатории им. Ч. Дрейпера были созданы ММГ класса точности 300 град/ч.
Фирма BEI Systran Donner серийно выпускает микромеханические датчики угловой скорости QRS 11 класса точности ~ 10 град/ч. Фирма Murata выпускает две модификации пьезоэлектрических вибрационных гироскопов: ЕКУ-05А и ENC-05E. Гироскопический датчик ЕКУ-05А характеризуется нестабильностью масштабного коэффициента ~ 0.5 %. Микромеханический гироскоп университета Yamagata (Япония) имеет погрешность
~ 10 град/ч. Фирма Analog Devices серийно выпускает две модификации ММГ: ADXRS 150 и ADXRS 300 с диапазонами измерений 150 град/ч и 300 град/ч; нестабильность масштабных коэффициентов приборов ~ 0.5, случайная составляющая нулевого сигнала ~ 0.2 град/ч. Фирмой SAGEM разработана конструкция гироскопа Quapason™ со стабильностью дрейфа на уровне 0.06 град/ч. Фирмами Bosch и HSG-IMIT (Германия) разработаны роторные ММГ.
Специфические особенности технологии изготовления ММГ по сравнению с технологиями изготовления микроэлектронных изделий отмечены в статьях [20, 34, 48]. Особенности технологии ММГ обусловлены тем, что конструкции ММГ являются трехмерными структурами, содержащими подвижные элементы. Кроме того, в конструкциях ММГ применяются разнородные конструкционные материалы: монокристаллический кремний, ситаллы, металлы, полимеры.
Вопросы проектирования сервисной электроники ММГ рассматривались в [7, 8]. Электроника ММГ решает две основные задачи: возбуждение и стабилизация параметров колебаний чувствительных элементов и измерение, и преобразование выходной информации. Схемы систем возбуждения и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов ММГ анализировались в [18, 19]. Съем информации в наиболее распространенных конструкциях ММГ, выполненных по кремниевой технологии, осуществляется с помощью емкостных датчиков перемещений, включенных по дифференциальной схеме.
Остановимся на результатах теоретических исследований динамики и погрешностей вибрационных ММГ. Теоретические основы вибрационных гироскопов изложены в [49, 50]. В [51] дан исторический обзор развития вибрационных гироскопов различных типов. Погрешности ММГ исследовались в [52-54, 39-41, 11-17]. В [55, 26] определена принципиальная погрешность, обусловленная нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения гироскопов, присущая гироскопам, реализующим идею маятника Фуко, в том числе микромеханическим гироскопам. Погрешности ММГ, вызванные технологическими факторами и температурными воздействиями, анализировались в [52-54, 3941]. В [39-41] выявлены технологические и температурные факторы, оказывающие влияние на точность ММГ, даны оценки технологических погрешностей приборов этого типа, разработаны математические модели технологического и температурного дрейфов ММГ. Модели включают системы дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ, формулы для составляющих угловой скорости дрейфа. Получены количественные оценки параметров дрейфа. Вопросы снижения температурных погрешностей ММГ анализировались в [52, 39-41]. В [52] рассматривались системы термостати-рования ММГ как наиболее радикального метода снижения температурных погрешностей приборов этого типа. Влияние вибрационных воздействий, вызванных колебаниями основания, на динамику и погрешности
ММГ рассматривалось в [10, 13]. Важность учета электростатических сил в микросистемной технике отмечается в [65].
Как отмечалось ранее, основные теоретические результаты по исследованию динамики и точности ММГ получены на основании линейных дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов приборов. Строгие постановки задач приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности. Нелинейные задачи динамики и оценки точности ММГ рассматривались в [5, 20-24, 35, 36, 55-57].
Проблемам динамики традиционных гироскопических приборов и теории нелинейных колебаний динамических систем посвящено большое число монографий и статей, обзоры которых приведены в [56-61]. Основополагающие результаты по динамике гироскопических систем с разрывными нелинейностями принадлежат А.Н. Крылову, Е.Л. Николаи, А.Ю. Ишлинскому, Я.Н. Ройтенбергу, Н.В. Бутени-ну, Д.М. Климову, В.Ф. Журавлеву [1, 2, 15-17, 57-60]. Динамика и погрешности гироскопических систем с аналитическими нелинейностями рассматривались в работах Д.С. Пельпора, Я.Л. Лунца, И.В. Новожилова, С.А. Харламова, К. Магнуса и других отечественных и зарубежных ученых. Резонансные явления в динамике колебательных систем изучались В.О. Кононенко, Р.Ф. Ганиевым, К.В. Фроловым [63-65]. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний рассматривались в [5, 38]. Полученные результаты основаны на использовании методов аналитической механики, теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, разработанных А.М. Ляпуновым, А. Пуанкаре, А.А. Андроновым, Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым, Ю.А. Митропольским и другими отечественными и зарубежными учеными [66-68].
Очень важным вопросом является исследование резонансных явлений динамики чувствительных явлений ММГ. Возмущение колебаний чувствительного элемента осуществляется от внешнего генератора гармонических колебаний. Дифференциальные уравнения движения ММГ приводятся к системе двух дифференциальных уравнений второго порядка с кубическими нелинейностями. Это сложные задачи, которые следует решать с позиций хаотической динамики, особенно в случае, когда на испытуемые приборы воздействуют нагрузки с переменной частотой, проходящие через резонансную зону. В этом случае предполагается, что возбуждение колебаний чувствительного элемента осуществляется автогенераторной системой с управлением по обобщенной скорости, содержащей нелинейный элемент «sign». Кроме того, следует учитывать нелинейность сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов. Следует отметить, что при линейной постановке кривые прохождения системы через резонанс в прямом и обратном направлении симметричны. В нелинейной постановке такой эффект не наблюдается. Следует строить карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров. В настоящее время в известной литературе таких исследований нет.
Указанный класс дифференциальных уравнений следует исследовать с помощью качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной хаотической динамики. Следует учесть физическую нелинейность в монокристаллическом кремневом резонаторе объемных акустических волн. Физическая нелинейность может быть рассмотрена для некоторых типов резонаторов: резонатора-балки с двумя защемленными или шарнирно-опертыми концами; криволинейной балки с малой начальной неправильностью. Учет малой начальной неправильности будет существенно влиять на характер колебаний, при этом здесь в обязательном порядке следует учитывать геометрическую нелинейность, т.е. большие углы поворота нормали. Учет такого типа нелинейности приводит к качественно новым результатам для гироскопических систем, изменяя их точность.
До перехода в хаотическое состояние прогибы балок невелики и не превосходят 0,15 толщины. Дальнейшее увеличение внешней динамической нагрузки приводит систему к хаотическим колебаниям и переход происходит по сценарию Рюэля - Таккенса - Ньюхауза, т.е. к двухчастотным колебаниям с последующей серией зависимых частот.
Теоретические результаты по этом у вопросу будут освещены во второй части данной работы «Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов. Часть II. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности».
ЛИТЕРАТУРА
1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1976. 672 с.
2. Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции / А.Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1987. 320 с.
3. Коновалов С.Ф. Вибрационные датчики угловой скорости / С.Ф. Коновалов, А.В. Кулешов, Н.А. Носов, В.П. Подчезерцев и др. // Гироскопия и навигация. 2004. №1 (44). С. 107-118.
4. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. 832 с.
5. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М.Ф. Диментберг. М.: Наука, 1980. 386 с.
6. Доронин В.П. Основные проблемы создания миниатюрного измерительного прибора на базе микромеханических чувствительных элементов / В.П. Доронин, Л.3. Новиков, С.А. Харламов // Гироскопия и навигация. 1996. №4 (15). С. 55.
7. Пешехонов В.Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии / В.Г. Пешехонов // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43. №1-2. С. 48-55.
8. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века / В.Г. Пешехонов // Гироскопия и навигация. 2003. №4 (43). С. 5-18.
9. Брозгуль Л.И. Вибрационные гироскопы / Л.И. Брозгуль // История механики гироскопических систем / Л.И. Брозгуль, Е.Л. Смирнов. М.: Наука, 1975. С. 43-60.
10. Евстифеев М.И. Погрешности микромеханического гироскопа на вибрирующем основании / М.И. Евстифеев // Гироскопия и навигация. 2002. №2 (37). С. 19-25.
11. Евстифеев М.И. Оценка порога чувствительности микромеханических гироскопов / М.И. Евстифеев // Гироскопия и навигация. 2003. №1 (40). С. 27-33.
12. Евстифеев М.И. Проблемы расчета и проектирования микромеханических гироскопов / М.И. Евстифеев // Гироскопия и навигация. 2004. №1 (44). С. 27-39.
13. Евстифеев М.И. Требования к точности изготовления упругого подвеса микромеханическо-го гироскопа / М.И. Евстифеев, А. А. Унтилов // Гироскопия и навигация. 2003. №3 (43). С. 24-31.
14. Егармин Н.Е. Введение в теорию вибрационных гироскопов / Н.Е. Егармин, В. Е. Юрин. М.: БИНОМ, 1993. 111 с.
15. Журавлев В.Ф. О глобальных эволюциях состояния обобщенного маятника Фуко /
B.Ф. Журавлев // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №6. С. 5-11.
16. Журавлев В.Ф. Волновой твердотельный гироскоп / В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов. М.: Наука, 1985. 125 с.
17. Журавлев В.Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов. М.: Наука, 1998. 328 с.
18. Кучерков С.Г. Определение необходимой степени вакуумирования рабочей полости осциллятора микромеханического гироскопа / С.Г. Кучерков // Гироскопия и навигация. 2002. № 1(35). С. 52-
56.
19. Кучерков С.Г. Использование интегрирующих свойств вибрационного микромеханического гироскопа с резонансной настройкой при построении датчика угловой скорости компенсационного типа / С.Г. Кучерков // Гироскопия и навигация. 2002. №2 (36). С. 12-18.
20. Лестев А.М. Современное состояние теории и практических разработок микромеханических гироскопов / А.М. Лестев, И.В. Попова // Гироскопия и навигация. 1998. №3 (22). С. 81-94.
21. Разработка и исследование микромеханического гироскопа / А.М. Лестев, И.В. Попова, Е.Н. Пятышев, М.С. Лурье, А.А. Семенов, М.И. Евстифеев // Гироскопия и навигация. 1999. №2 (10). С. 3-10.
22. Особенности микромеханических гироскопов / А.М. Лестев, И.В. Попова, М.И. Евстифеев, Е.Н. Пятышев, М.С. Лурье, А.А. Семенов // Микросистемная техника. 2000. №45. С. 16-18.
23. Лестев А.М. Нелинейные проблемы динамики микромеханических гироскопов /
А.М. Лестев, М.А. Лестев // Сб. докладов юбилейной научно технической конференции ГУАП. СПб., 2006. С. 46-49.
24. Лестев М.А. К динамике микромеханического гироскопа / М.А. Лестев // VI научная сессия аспирантов и соискателей ГУАП: сб. докл. Т.1. Технические науки. СПб.: ГУАП, 2003. С. 50-54.
25. Харламов С.А. О движениях микромеханического вибрационного гироскопа / С.А. Харламов // IX Междунар. конф. по интегрир. навигац. системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2002. С. 210-212.
26. Карелин А.П. Влияние электростатических сил на динамику и погрешности ЬЬ-микромеханических гироскопов / А.П. Карелин, М.А. Лестев // Гироскопия и навигация. №1 (48). 2005.
C. 92.
27. Климов Д.М. Механика и новые технологии / Д.М. Климов // Вестник РАН. 1999. Т. 69. №12. С. 1069-1080.
28. Климов Д.М. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке / Д.М. Климов,
A.А. Васильев, В.В. Лучинин, П.П. Мальцев // Микросистемная техника. 1999. №1. С. 3-6.
29. Ковалев А.С. Исследование схем возбуждения первичных колебаний ротора микромехани-ческого гироскопа в режиме автогенерации / А.С. Ковалев, Ю.В. Шадрин. Навигация и управление движением: материалы У конф. молодых ученых / под общ. ред. В.Г. Пешехонова. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 200. С. 87-92.
30. Козин С.А. Технология МЭМС в разработках интегральных датчиков механических параметров / С.А. Козин // Микросистемная техника. 2003. № 11. С. 10-14.
31. Коновалов С.Ф. Опыт разработки навигационных приборов на базе монокристалла кремния / С.Ф. Коновалов, Т.Н. Лаптев, И.И. Медведева, Г.Н. Новоселов и др. // Микросистемная техника. 2001. №. С. 19-25.
32. Пономарев В.К. Автогенерация и стабилизация первичных колебаний в микромеханиче-ском гироскопе вибрационного типа / В.К. Пономарев // Третий международный симпозиум: Аэрокосмические приборные технологии: сб. материалов. СПб., 2004. С. 289-292.
33. Мокров Е.А. НИИ физических измерений. Специализация - космические датчики / Е.А. Мокров // Датчики и системы. 2000. №1. С. 28-30.
34. Мокров Е.А. Проблемы и перспективы датчиковой аппаратуры / Е.А. Мокров // Микроси-стемная техника. 2003. №9. С. 11-17.
35. Погалов А.И. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла / А.И. Погалов, В.П. Тимошенков, С.П. Тимошенков, Ю.А. Чаплыгин // Микросистемная техника. 1999. №1. С. 36 41.
36. Поляхов Н.Н. Теоретическая механика / Н.Н. Поляхов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков / под ред. П.Е. Товстика. М.: Высш. шк., 2000. 592 с.
37. Шелепин Н.А. Кремневые преобразователи физических величин и компоненты датчиков. Датчики и микросистемы на их основе / Н.А. Шелепин // Микросистемная техника. 2002. №9. С. 210-215.
38. Неаполитанский А.С. Микромеханические вибрационные гироскопы / А.С. Неаполитанский, Б.В. Хромов. М.: Когито-центр, 2002. 122 с.
39. Влияние температурных и технологических факторов на точность микромеханических гироскопов / В.Э. Джашитов, А.М. Лестев, В.М. Панкратов, И.В. Попова // Гироскопия и навигация. 1999. №3. (26). С. 3-16.
40. Джашитов В.Э. Математические модели теплового дрейфа гироскопических датчиков инерциальных систем / В.Э. Джашитов, В.М. Панкратов; под ред. В.Г. Пешехонова. СПб.: ГНЦРФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001. 150 с.
41. Расчет температурных: и технологических погрешностей микромеханических гироскопов /
B.Э. Джашитов А.М. Лестев, В.М. Панкратов, И.В. Попова // Микросистемная техника. 2001. №3. С. 2-10.
42. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учеб. пособие / В.Я. Распопов. Тула: Тул. гос. ун-т, 2002. 392 с.
43. Распопов В.Я. Влияние электростатических сил на параметры микромеханических гироскопов / В.Я. Распопов // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. №9. С. 29 33.
44. Бабур Н. Направления развития инерциальных датчиков / Н. Бабур, Дж. Шмидт // Гироскопия и навигация. 2000. №1 (28). С. 3-15.
45. Дейст Дж. Революция в разработке усовершенствованных систем наведения / Дж. Дейст, Дж. Уомбл // Аэрокосмическая техника. 1991. №4. С. 93-97.
46. Драгунов В.П. Нелинейная динамическая модель упругого элемента микромеханических систем / В.П. Драгунов // Микросистемная техника. 2004. №10. С. 23 29.
47. Connelly I. Manufacturing micromachined inertial sensor systems / I. Connelly, N. Barbour,
G. Brand // 4nd St. Petersburg International conf on gyroscopic technology and navigation, May, 1997. Р. 362-370.
48. Наноматериалы и нанотехнологии / Ж.И. Алферов, С.В. Асеев, Халолов, П.С. Хоньев и др // Микросистемная техника. 2003. №8. С. 3-13.
49. Брозгуль Л. И Вибрационные гироскопы / Л.И. Брозгуль, Е.Л. Смирнов. М.: Машиностроение, 1970. 216 с.
50. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций / А.А. Свешников. М.: Наука, 1968. 464 с.
51. Бочаров Л.Ю. Состояние и перспективы развития микроэлектромеханических систем за рубежом / Л.Ю. Бочаров, П.П. Мальцев // Микросистемная техника. 1999. №1. С. 41-46.
52. Ачильдиев В.М. Микромеханический вибрационный гироскоп-акселерометр / В.М. Ачиль-диев, В.Н. Дрофа, В.М. Рублев // Микросистемная техника. 2001. №5. С. 8-10.
53. Глыбин И.Г. Микромеханический вибрационный гироскоп с малым уровнем полях от возбуждения / И.Г. Глыбин, А.С. Неаполитанский, Б.В. Хромов // Гироскопия и навигация. 2000. №4(31). С. 150.
54. Градецкий В.Г. Динамические процессы в многозвенных микросистемах / В.Г. Градецкий, Н. Кравчук, М.М. Пушкин // Микросистемная техника. 2000. №4, С. 10-15.
55. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колебаниях точки подвеса / П.Л. Капица // Журнал эксперим. и теоретич. физики, 1551. Т. 21. Вып. 5. С. 588 597.
56. Лестев М.А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа / М.А. Лестев // Изв. вузов. Приборостроение, 2004. №2. С. 36-42.
57. Лестев М.А. Динамика системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа / М.А. Лестев // Четвертые Окуневские чтения: тез. докл. Междунар. конф. СПб., 2004. С. 37.
58. Нелинейные задачи динамики гироскопических систем / Н.В. Бутенин, Д.М. Климов, Я. Л. Лунц, Н.П. Степаненко // Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973. С. 379-401.
59. Бутенин Н.В. Успехи механики гироскопических и инерциальных систем в СССР /
Н.В. Бутенин, Д.М. Климов // Изв. вузов. Приборостроение. 1977. Т. 20. №10. С. 69-96.
60. Бутенин Н.В. Динамика нелинейных гироскопических систем при полигармонических и случайных колебаниях основания / Н.В. Бутенин, А.М. Лестев // Изв. вузов. Прибостроение. 1982. Т. 24. №8. С. 59-64.
61. Бутенин Н.В. Некоторые итоги исследований нелинейных задач прикладной теории гироскопов за 50 лет / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц // Изв. вузов. Приборостроение, 1967. Т. 10. №10. С. 79-91.
62. Митропольский Ю.А. Исследование нестационарных колебаний в нелинейных системах / Ю.А. Митропольский // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. С. 241-271.
63. Ганиев Р.Ф. Колебания твердых тел / Р.Ф. Ганиев, В.О. Кононенко. М.: Наука, 1976. 432 с.
64. Ганиев Р.Ф. Резонансные колебания гироскопических систем / Р.Ф. Ганиев, В.М. Воробьев, А.Н. Лютый. Киев: Наукова Думка, 1979. 185 с.
65. Ганиев Р.Ф. Динамика систем твердых и упругих тел / Р.Ф. Ганиев, П.С. Ковальчук. М.: Машиностроение, 1980. 208 с.
66. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. М.: Наука, 1981. 568 с.
67. Барулина М.А. Математические модели систем терморегулирования микромеханических гироскопов / М.А. Барулина, В.Э. Джашитов, В.М. Панкратов // Гироскопия и навигация. 2002. №3 (38).
С. 48-59.
68. Болотин В.В. Параметрические резонансы в автоколебательных системах / В.В. Болотин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. №5. С. 3-10.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Ярошенко Татьяна Юрьевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Жигалов Максим Викторович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. Мицкевич Светлана Александровна -кандидат физико-математических наук, доцент
Vadim A. Krysko -
Dr. Sc., Professor,
Head: Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
Tatyana Yu. Yarushenko -
Ph.D., Associated Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Maksim V. Zhigalov -
Ph. D., Associated Professor,
Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
Svetlana A. Mitskevich -
Ph. D., Associated Professor,
кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Крысько Антон Вадимович -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика и механика» Энгельского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Department of «Applied Mathematics and Systems Analysis»
Gagarin Saratov State Technical University
Anton V. Krysko -
Dr. Sc., Professor,
Head: Department of «Higher Mathematics and Mechanics»
Engels Institute of Technology (brunch) Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 15.04.12, принята к опубликованию 04.06.12
