О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа с двухмассовым чувствительным элементом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.383

А. М. Лестев, А. В. Ефимовская

О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА ДИНАМИКУ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С ДВУХМАССОВЫМ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Анализируется влияние нелинейных факторов на динамику двухмассового и одномассового микромеханических гироскопов типа L-L. Обосновывается более высокая стабильность технических характеристик двухмассовой конструкции по сравнению с одномассовой.

Ключевые слова: микромеханический гироскоп, нелинейные факторы, стабильность технических характеристик, резонансные кривые.

Повышение точности и надежности технических характеристик микромеханических гироскопов (ММГ) — актуальная научно-техническая проблема современной микросистемной техники [1]. Решение этой проблемы осуществляется конструкторско-технологическими и схемотехническими методами [2]. Одно из направлений повышения точности и стабильности технических характеристик ММГ — разработка многомассовых конструкций приборов этого типа (некоторые конструктивные схемы многомассовых ММГ представлены в работе [3]). В настоящей статье приводятся результаты исследований влияния нелинейных факторов — нелинейной зависимости сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы ММГ — на динамику чувствительного элемента ММГ типа L-L [4] и обосновывается более высокая стабильность технических характеристик ММГ с двумя инерционными массами по сравнению с одномассовой конструкцией прибора. В линейной постановке аналогичная задача рассматривалась в работе [5].

Описание конструкции ММГ приведено в патенте [4]. Конструкция прибора содержит две инерционные массы, подвешенные на упругих элементах в рамке, которая, в свою очередь, упругими элементами связана с корпусом прибора. Конструкция упругого подвеса обеспечивает перемещение рамки вместе с инерционными массами вдоль оси X (первичные колебания), а инерционных масс относительно рамки — вдоль оси Y (вторичные колебания). Ось чувствительности ММГ ортогональна плоскости рамки. В конструкции прибора предусмотрена система вибровозбуждения и стабилизации параметров первичных колебаний чувствительного элемента ММГ и контур подстройки частот, позволяющий электростатическим способом осуществлять изменение спектра частот колебательной системы ММГ.

Кинематическая схема и конечно-элементная модель колебательной системы ММГ в программном комплексе ANSYS приведены на рис. 1, а, б, соответственно. На основе конечно-элементной модели производится выбор параметров конструкции ММГ [6]. Первые три собственные частоты колебательной системы ММГ равны 5 659, 6 920 и 6 936 Гц.

Приведем дифференциальные уравнения движения инерционных масс ММГ при вращении основания прибора вокруг оси чувствительности с угловой скоростью Q. С рамкой ММГ свяжем систему координат 0XYZ, направив ось X в направлении перемещения рамки, ось Y — в направлении перемещений инерционных масс, ось Z — вдоль оси чувствительности прибора. Примем, что рамка ММГ вместе с инерционными массами приводится электростатическим виброприводом в колебания вдоль оси по закону х = -ax sin ш t и реализуется

режим стабилизации параметров колебаний рамки. Обозначим через _yi и _у2 перемещения инерционных масс вдоль оси Y относительно рамки, отсчитываемые от положений статического равновесия. Силы упругости подвеса инерционных масс определим выражениями

Су] (У] ) = Су]У] + Ху]У], ] = 1, 2, где Су]- и ху — коэффициенты линейной и нелинейной составляющих сил упругости. Учитывая введенные обозначения, дифференциальные уравнения движения инерционных масс запишем в виде

ЩУ1 + Vy1У + (Cy1 + Cy2 - т1П)У - Cy2У2 = 2mlQax& eos&t- (%yl + Xy2)y1 + Xy2у2;

(1)

т2У2 + ^у2У2 + (Су2 - т2& )У2 - Су2У1 = 2т2^ах® с°8 - Ху2У2 + Ху2У -- Е (А- У2) + Е (А + У2),

где ть т2 — массы инерционных элементов, , 2 — коэффициенты демпфирования, а электростатические силы контура подстройки частот ММГ определяются выражениями [3]

т2

E (А± y2) = -

s0sSU2

2(А± y2>

2

где в0— диэлектрическая постоянная вакуума, в — относительная диэлектрическая постоянная среды между электродами датчика силы, £ — площадь взаимного перекрытия электродов датчика силы, и — напряжение, подаваемое на электроды датчика силы, А — номинальный зазор между электродами датчика силы.

а) _ _ б)

\\\\\\\\\\\\\\\ Vx . I Cx

t

V y2

-М^Г-

C

y2

m2

Vyl

-нЬ m1

C Cy1

Рамка

n ■ L^

Z Y

Рис. 1

Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию У2/ А< 1, разложим функции Е (А± У2) в степенные ряды и ограничимся членами не выше третьего порядка по отношению к У2 / А :

E (А + y2)-E (А-y2) = ^Q y2 + у2'

А2 А5

lo =•

ssq SU2

(2)

Решение системы уравнений (1) с учетом выражения (2) найдем в виде yj = Aj sin ш t + ф j, j = 1, 2, используя метод гармонической линеаризации [7] и полагая

3 3 2 ^ 11 d

yj = q,yj, q¡ = — Aj. Введем оператор дифференцирования по времени p = — и представим

J J J J 4 dt

систему дифференциальных уравнений движения инерционных масс ММГ в виде векторного уравнения

f (p)Y = 2ax qQ- Re<

jat

(3)

где

Y= Д2 , f (p)= p2 + 2/p + «2

Д2 - s2

« =■

Г СД1 + СД 2 + 4 X Д2 A),

2 l n2 = — mo

- sl

p2 + 2/ p + «2

г 4/0 + 3 L 8/

СД2+4 Iх Д2Г2

0 I A2

3 ,2 1 „ l U . К „2 I o,. ^J

т

= I Су2 + 4Xу2А2 I, ^ = — [Су2 + -ГугА{ I, = j = 1,2. т1 V ^ У т2 V ^ У т^

При записи уравнения (3) учтено, что для реальных конструкций ММГ и условий эксплуатации О/ш «1.

Из уравнения (3) следует

Y = 2ax qQ- Re

F ( p)

В( р)

где ^(р) — присоединенная матрица для матрицы _Др):

Jat

(4)

F (p) =

p2 + 2/ p + «I

p2 + 2/ p + «2

£(р) = ёе1 /(р) = £ djp4-j, ^о = 1, ^ = 2(А + Аг), ^2 = и? + + 4/^,

7=0

2 2 2 2 dз = 2(^1^2 + А И ), d4 = И1 И2 - ^1^2.

Выполнив вычисления в соответствии с выражением (4), получим уравнения, определяющие резонансные кривые колебаний инерционных масс ММГ:

А1 [(ш4 -d2ш2 + d4)2 +ш2^3 -d1ш2)2] = 2ахшО][(и| + s2 -ш2)(ш4 -d2ш2 + d4) +

l

l2]2

2 2 ""I2 Г 4 2 2 2 2 ~I'

+2/2q (d3 -d2a )J + [2/2q(q -d2q + d4)-a(d3 -d2a )(n2 + s2 -a )J A2 [(q4 - d2q2 + d4)2 +a2(d3 - d!a2)2 ] = 2axaQ{[(nf + s2 -q2)(q4 - d2a2 + d4) +

2 2 ""I2 Г 4 2 2 2 2 ~I'

+2/!q (d3 -d!a )] +[2/!q(q -d2a + d4)-a(d3 -d2a )(n2 + s2 -a )J

i

1^2

(5)

Если во втором из уравнений системы (1) положить у1 = 0, получим уравнение движения чувствительного элемента одномассового ММГ типа Ь-Ь по оси измерения параметров колебаний, а из выражений (5) — уравнение резонансной кривой колебаний инерционной массы:

1

~2 2 n2 - a -

з Г

4m2

х - -8/0 A2

хД2 Д5 j A2

+ 4/2 a2

= 2ax qQ,

(6)

n2 1 Г

где n2 =

m

с 4oj Гд2 Д3 j •

s

Определяемые уравнением (6) периодические движения с частотой ш инерционной массы ММГ устойчивы [8] при

б -

~2 2 п2 -ш -

(

4т2

8/0 1 л Xд2 IА2

П 2 9 ( п2 -ш —

2 4 V

8/0 1 ,2 Xд2 IА2

+ 4И^ш2 > 0

и неустойчивы при б < 0.

На рис. 2 приведены резонансные кривые (А2(ш)) колебаний инерционной массы одно-массового гироскопа (т2=1,02е-6 кг), полученные численным решением уравнения (6) в пакете программ Ма1ЬаЬ. На рисунке область неустойчивости (б < 0) выделена штриховкой. Части резонансной кривой, расположенные в области б > 0, соответствуют устойчивым периодическим движениям с частотой ш инерционной массы ММГ, а части резонансной кривой, расположенные в области б < 0, — неустойчивым движениям. При изменении частоты вибровозбуждения от значения ш>ш1 (рис. 2, а) или значения ш < Ш1 (рис. 2, б) инерционная масса ММГ совершает колебания с амплитудами, соответствующими верхним частям резонансных кривых. При значении ш = Ш1 происходит скачкообразное изменение амплитуды и инерционная масса при дальнейшем уменьшении (рис. 2, а) или увеличении (рис. 2, б) частоты ш совершает движения с амплитудами, соответствующими нижним частям резонансных кривых. Таким образом, нелинейная зависимость сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот в одномассовой конструкции ММГ приводит к появлению неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывам колебаний и скачкам амплитуд колебаний чувствительных элементов прибора.

а)

А2, м-10-6 1,4

1,2

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

б)

А2, м-10

6760 6800 6840 6880

6920 ш, Гц

Рис. 2

6760 6800 6840 6880 6920 ш, Гц

На рис. 3 представлены резонансные кривые (^(ш)) колебаний инерционной массы

двухмассового ММГ (т1=3,95е-6 кг, т2=1,02е-6 кг), полученные численным решением уравнений (5). Здесь сплошными линиями показаны резонансные кривые линейной системы (XУ1, Xу2, /0 = 0 ), точками — резонансные кривые нелинейной системы. Резонансные кривые

А (ш) приведены в окрестностях значений частот вибрационного воздействия, близких к главным частотам колебательной системы ММГ. Резонансные кривые Д(ш) аналогичны кривым А (ш). Нелинейная зависимость сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил контура подстройки частот ММГ приводит к деформациям резонансных

кривых и смещению максимумов амплитуд колебаний инерционных масс в направлении воз-

растания частот ш вибрационного возбуждения при х у2--о

8/0

ния частот ш при х у2--Г < 0.

А5

А2, м-10

> 0 и в направлении уменьше-

=7,9-1011 Н/м

4400 4600

4800

5000 8000

8200

8400 ш, Гц

А2, м-10

х у 2--^=-19,75-1011 Н/м

А5

4400 4600 4800 5000 8000 8200

Рис. 3

8400

8600 ш, Гц

При проектировании ММГ и выборе параметров конструкции прибора частота ш* вибрационного возбуждения первичных колебаний чувствительного элемента выбирается между

значениями парциальных частот » и и (и < ш* < »2) колебательной системы прибора. Вид резонансных кривых А2(ш) в окрестности частоты ш* при указанных ранее параметрах ММГ

приведен на рис. 4. Изменение частоты вибрационного воздействия в окрестности значения ш* не приводит к скачкам амплитуд колебаний Л, инерционной массы. Изменения напряженно-деформированного состояния конструкции чувствительного элемента ММГ и коэффициентов демпфирования, вызванные температурными или механическими воздействиями,

а также технологические погрешности изготовления элементов конструкции прибора приво-

*

дят к незначительному изменению вида резонансной кривой в окрестности частоты ш (см. рис. 4).

А2, м-10-7 А,, м-10-7

6 8

5,6

5,2

4,8

4,4

▲

1 2 '¡йч/'Ча^ у-----

3

-----Ь.

2 3

6600 6800 ю* 7000 7200 ю, Гц

6400 6600 6800 ю* 7000 7200 7400 ю, Гц

' — Х'2

2 — х 2--^=7,9-101: Н/м

У2 А5

3 —

_ 80

Х'2 _ А 5

= 19,75-10 Н/м

1 —

2 —

Х ' 2 _ А 5

Х ' 2 _ А 5

=0

=-7,9-10 Н/м

3 — х 2--^=-19,75-1011 Н/м

У2 А5

Рис. 4

Таким образом, рассматриваемая конструкция ММГ, содержащая две инерционные массы, обладает большей стабильностью технических характеристик по сравнению с одно-массовой конструкцией ММГ Ь-Ь типа.

список литературы

1. Пешехонов В. Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2. С. 48—55.

2. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, пути развития / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов, С. Г. Кучерков и др. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41, № 1—2. С. 57—73.

3. Распопов В. Я. Микромеханические приборы. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.

4. Пат. 84541 РФ, G 01 C 19/56. Микромеханический гироскоп / А. М. Лестев, И. В. Попова, А. В. Ефимовская, М. В. Федоров // Бюл. № 19. Опубл. 10.07.2009.

5. Acar C., Shkel A. M. Inherently robust micromachined gyroscope with 2-DOF sense-mode oscillator // J. of Micromechanical Systems. 2006. Vol. 15, N 2. P. 380—387.

6. Ефимовская А. В., Федоров М. В. О результатах разработки и исследования микромеханического гироскопа // Сб. докл. XI конф. молодых ученых „Навигация и управление движением". СПб, 2009. C. 372—378.

7

6

5

4

3

4

7. Попов Е. П. Прикладная теория управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 587 с.

8. Карелин А. П., Лестев М. А. Влияние электростатической составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа // Сб. материалов Третьего Междунар. симп. „Аэрокосмические приборные технологии". СПб, 2004. С. 285—287.

Александр Михайлович Лестев

Александра Васильевна Ефимовская

Сведения об авторах

д-р физ.-мат. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра механики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра механики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой механики

Поступила в редакцию 25.04.11 г.