CC BY
18
Если %1, %2, %3 все те равны 0, хоть одна из координат нечетная, %1 + + %2 + %з = 2n, то
(k) = f( «1 ) _ 1(f(+ 1 %2 - 1 ) + f(%1 - 1 %2 + 1 ))
ii,i2,i3 ^ ^n' 2 2 2П ' 2П ' 2 2П ' 2П ' 2
Частичные суммы кусочно-линейны на треугольниках, вершины которых лежат на поверхности. Если функция на треугольнике непрерывна, то частичные суммы сходятся равномерно, что доказывает теорема 1.
Теорема 1. Пусть f (x1,x2,x3) определена в треугольнике Л1Л2Л3, где каждая сторона равна, 1, и непрерывна. И пусть (An)^=1 -равномерная треугольная сетка со сторонами Пусть далее Pn(x1,x2,x3) - интерполяционный многочлен первой степени, совпадающий с f (x1, x2, x3) б узлах сет,ки An. Тогда, V(x1, x2, x3) £ A
|f (Ж1,Ж2,Ж3) - Pn(X1,X2,X3)| < (f),
где модуль непрерывности
(f )= sup |f (Ж1,Ж2,Ж3) - f (x/1,x/2,x3i)|.
||(x1,x2,x3)-(xi,x2 ,Жз)||2<5
Теорема 2. Любую функцию нулевого ранга, из трех, т. е. ^1°°°,
^>о°1о или 1, можно приблизить по норме пространства Lp(A(0)) сколь угодно близко функциями Фабера^Шаудера ранга, больше 0, при, этом остальные две функции, нулевого ранга, не участвуют в приближении.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Кашин Б. С., Саакян A.A. Ортогональные ряды, М, : АФЦ, 1999, -560 с,
2, Аубакиров Т. У., Бокаев H.A. О новом классе систем функций типа Фабера— Шаудера, Мат, заметки, 2007, Т. 82, вып. 5, С, 643-651,
УДК 514.764
А. В. Букушева
НЕЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ И ВНУТРЕННИЕ ПОЛУПУЛЬВЕРИЗАЦИИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОЧТИ КОНТАКТНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
На распределении почти контактной метрической структуры вводятся понятия нелинейной связности и внутренней полу пульверизации. Изучаются связи между полученными структурами.
Пусть D - распределение почти контактной метрической структуры (D, n, D^, d). Являясь подмногообразием тотального пространства
D
дифференциально-геометрических свойств. В то же время, возможности для аналогий ограничены, так как в отличие от размерности TX раз-D
аналоги структур, занимающих важное место в геометрии касательных расслоений.
Одной из самых известных структур, возникающих на касательном расслоении, является касательная структура J. В канонических координатах (xa,xn+e) касательная структура получает следующее координат-
о ^
ное представление: J = gxn+a 0 dxa. Для определения аналога касательной структуры для контактного случая введем канонические координаты
D
Карту K (xa) (a,ß,Y = 1,..., n, a, b, c, e = l,...,n — 1) на многообразии X будем называть адаптированной к неголономному многообразию D, если D^ = span() [!]• Пусть P : TX ^ D проектор, определяемый разложением TX = D 0 D^, и K(xa) - адаптированная карта. Векторные поля P(да) = еа = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему DD = span(ea). Таким образом, мы имеем на мн огообразии X неголономное поле базисов ea = (еа,дп) и соответствующее ему поле кобазисов (dxa,#n = dxn + r^dx13). Непосредственно проверяется, что [ea,eb] = МаЬдп, где компоненты M^ образуют так называемый тензор неголономности [2]. Если потребовать, чтобы во всех используемых адаптированных картах выполнялось равенство^ = дп, то, в частности, окажется справедливым равенство [еа, eb] = адп, где w = dn- Адаптированным будем называть также базис еа = да — Г^дп как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство дпГП = 0. Пусть K(xa) и K(xa) - адаптированные карты, тогда при условии, что £ = дп, получаем следующие формулы преобразования координат: x а = x а(xа'), xn = xn' + xn(xа'). D
ствие каждой адаптированной карте K (xa) на многообразии X сверхкарту K(xa, xn+а) на многообразии D, где (xn+а) - координаты допустимого вектора в базисе еа = да — ГПдп. Построенную сверхкарту будем называть канонической. Определим тензорное поле J типа (1,1) па мно-
о
гообразии D, полагая, что в канонических координатах J = дх„+а 0 dxа. Легко проверить, что определение поля J не зависит от выбора канонических координат. Как и в классическом случае, будем называть J
касательной структурой. Будем называть векторное поле S внутренней полупульверизацией, если оно удовлетворяет двум условиям:
1. Векторное поле 5 проецируемо и п^ Е I;
2. J(7) = (7, где С = жп+а джП+а _ поле Лиувилля.
—* I Л Л __1
В канонических координатах 7 = — Будем говорить,
что па<? распределением, I задана нелинейная связность, если распределение I) = п— где п : Б ^ X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида I = 0 VI, где VI - вертикальное распределение на тотальном пространстве I. Векторные поля (7а = да — ГПдп — = дп, дп+а) определяют на I неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (¿жа, = + ГП#п+а = ¿жп+а + С^^ж6) -соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения: [7а, 76] = 2ы6ам + ЯСадп+с, [7а, и] = ЖП+^дпСадп+с.
Теорема 1. Всякая нелинейная связность, заданная на распределении I определяет внутреннюю полупульверизацию.
Доказательство. Не трудно проверить, что векторное поле S = = жп+а7а является полупульверизацией, если положить С6 = 2жп+аСа.
Теорема доказана.
Назовем внутреннюю полупульверизацию внутренней пульверизацией., если выполняется равенство [С, 7] = S.
Теорема 2. Пусть S - внутренняя пульверизация, тогда векторные поля, 7а = да — ГПдп — Садп+б; где С = дХИ+а; определяют, нелинейную связность, заданную на распределении I.
Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой Эйлера об
7а
висимы в каждой точке и определяемое ими распределение трансвер-сально вертикальному распределению.
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообра-зований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.
2. Вагнер В. В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в п - мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
