CC BY
16
УДК 539.3
DOI 10.19110/1994-5655-2019-4-20-25
В.га. АНДРШКОВА, В.Н. ТАРАСОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ И КОНСТРУКТИВНО-НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ПЛАСТИН
Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар
veran@list.ru, vntarasov@dm.komisc.ru
V.YU. ANDRYUKOVA, V.N. TARASOV
NONLINEAR AND STRUCTURALLY NONLINEAR PROBLEMS IN THE THEORY OF
PLATES
Institute of Physics and Mathematics, Federal Research Centre Komi Science Centre,
Ural Branch, RAS
Аннотация
В работе рассматривается контактная задача двух параллельных прямоугольных пластин, расположенных на некотором расстоянии друг над другом. На верхнюю пластину действует нормальная нагрузка. Прогибу верхней пластины препятствует нижняя, так что возникает некоторая зона контакта. Задачи такого рода относятся к задачам теории упругости с неизвестной областью активного взаимодействия элементов конструкции. Подобные задачи являются конструктивно-нелинейными, так как при их математической интерпретации используются неравенства или недифферен-цируемые функции. Задача сводится к некоторой вариационной проблеме с ограничениями на прогиб в виде неравенств.
Ключевые слова:
устойчивость, сила реакции, двойственная задача, контактная задача, односторонние ограничения, множители Лагранжа
Abstract
The contact problem of two parallel rectangular plates located at some distance one above the other is considered. The upper plate is under normal load. The deflection of the upper plate is prevented by the lower one, so that some contact zone appears. Problems of this kind refer to the problems of the theory of elasticity with an unknown region of active interaction of structural elements. Such problems are constructively nonlinear, since their mathematical interpretation uses inequalities or undifferen-tiable functions. The problem is reduced to a certain variational problem with deflection constraints in the form of inequalities. For finite-dimensional approximation, the finite-difference method is used, as a result of which the convex quadratic programming problem is obtained. In the study of convex programming problems, duality theory can be effectively applied. Using the saddle point theorem of the Lagrange function, a dual problem of mathematical programming is formulated, the solution of which is the desired reaction force of the interaction of two plates. The method used in the work assumes a preliminary inversion of the equilibrium equations operators of the contacting elements. The solution of the equations of mechanics of rods, plates and shells is in itself a rather complicated problem. However, for this you can use all the classical methods. In the proposed paper, the results were obtained using an iterative procedure, which is a gradient projection method applied to the dual problem, the convergence of which was proved in the framework of the linear theory of rods, plates and shells. This method is also implemented in solving the nonlinear Karman problem. The results were compared. The comparison showed that the difference in the values of the contact interaction reaction forces in the linear and nonlinear cases is small, but the deflection values differ by almost one and a half times.
Keywords:
stability, reaction force, dual task, contact problem, unilateral restrictions, Lagrange multipliers
Введение
Интерес к конструктивно-нелинейным задачам механики упругих тел обусловлен необходимостью расчета все более сложных конструкций, встречающихся в инженерной практике. Данные задачи
относятся к классу контактных задач с неизвестной областью активного взаимодействия элементов конструкций. Исследование подобного рода задач - важная проблема при анализе прочности конструкций, поскольку контактное давление является одним из определяющих видов силовой нагрузки на элементы инженерной конструкции. Достаточно полный обзор алгоритмов решения контактных задач содержится в работе Н.Г. Бураго, В.Н. Кукуджанова [1].
Рассматриваемые проблемы сводятся к исследованию вариационных неравенств. Основы теории вариационных неравенств заложены в работах Ж.- Л. Лионса, Р. Гловински, Р. Тремольера [2], Бай-оки К., Капело А. [3], а также в работе Е.И. Михайловского и В.Н. Тарасова [4]. Систематическому применению неравенств и негладких функционалов в механике посвящена монография П. Панагиотопулоса [5] и работа Г Дюво, Ж.Л. Лионс [6]. В монографии Е.И. Михайловского [7] рассматриваются контактные задачи с неизвестной областью активного взаимодействия элементов. В частности, там приводится аналитическое решение контактной задачи системы двух параллельных балок, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. На верхнюю балку действует постоянная нагрузка так, что в процессе деформации балки контактируют в некоторой области. Приближенные методы решения экстремальных задач в полном объеме раскрывают В.Ф. Демьянов и А.М. Рубинов [8].
В данной работе численным методом решается контактная задача для двух параллельных пластин, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. На верхнюю пластину действует нормальная нагрузка. Для решения применяется метод обобщенной реакции, разработанный в работе [4]. Он представляет собой метод проекции градиента, примененный к двойственной задаче математического программирования. На каждом шаге предлагаемого алгоритма требуется решать уравнения равновесия пластины, что само по себе представляет достаточно сложную задачу. Преимущество данного алгоритма заключается в том, что для решения уравнений равновесия можно использовать все известные методы решения краевых задач в теории пластин. Учет ограничений в форме неравенств значительно усложняет использование пакетов метода конечных элементов (МКЭ), особенно в случае нелинейной теории равновесия. В случае использования линейной теории пластин двойственная задача выписывается в явной форме, что значительно упрощает вычисления. Однако метод обобщенной реакции успешно применен и в случае нелинейной теории пластин Кармана. Задачи такого рода могут быть успешно решены практически в любом пакете конечно-элементного моделирования, однако круг решаемых ими задач ограничивается, в основном, решением уравнений равновесия, либо уравнений движения элементов конструкций, тогда как в нашем случае требуется решать задачу выпуклой оптимизации. Применение теории двойственности в методах оптимизации всегда является довольно эффективным.
Теория двойственности и ее применение, в том числе и к задачам механики, подробно изло-
жена в монографии И. Экланд, Р. Темам [9]. В работе П.С. Аронова [10] представлено решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов. В [11] авторы М.А. Осипенко и Ю.Н. Няшин исследовали задачи об одностороннем контакте балок, струн и пластин, предложили метод построения аналитического решения, а также доказательство существования и единственности этого решения. В [12] К.А. Tzaros и Е^. Mistakidis рассмотрели задачу об одностороннем контактном изгибе непрерывных балок при наличии начальных геометрических несовершенств, представили аналитический метод, основанный на теории упругой устойчивости. Математический подход Эйлера, построенный на фундаментальном решении краевой задачи потери устойчивости непрерывных балок, авторы модифицировали с учетом условий одностороннего контакта. Кроме того, чтобы полученные аналитические решения были применимы для практических случаев проектирования, К.А. Tzaros и Е^. Mistakidis учли фактическую прочность поперечного сечения балки при комбинированном сжатии и изгибе. Реализация предлагаемого способа демонстрируется в статье на характерном примере. В статье А.В. Ермоленко [13] приведены уточненные уравнения теории пластин для решения контактных задач. В работе [14] особое внимание уделяется случаю, когда контактные ограничения налагаются упругим основанием типа Винклера, и основание реагирует только на сжатие, характеризуя контакт как односторонний. Для решения этого класса односторонних контактных задач предлагается подход типа Ритца с подвижными границами, в котором координаты, определяющие границы контактных областей, рассматриваются как дополнительные переменные задачи. Метод иллюстрируется конкретными примерами и результаты сравниваются с доступными результатами, полученными методами конечных элементов и математического программирования. Контактная задача для двух пластин одинаковой формы рассмотрена Е.В. Пяткиной в статье [15]. Там предполагается, что пластины, одинаковые по форме и размерам, расположены параллельно друг другу без зазора, и на боковых границах выполняются условия жесткого закрепления. Для решения использована модель Кирхгофа-Лява, выведены вариационные и дифференциальные постановки, рассмотрены случаи двух упругих пластин и когда одна из пластин является упругой.
Контактная задача для двух параллельных прямоугольных пластин
Рассмотрим систему из двух параллельных прямоугольных пластин, находящихся друг под другом на расстоянии р. Обозначим через у), 0 < х < а, 0 < у < Ъ,г = 1;2 прогибы пластин. Пусть на верхнюю пластину действует нормальная нагрузка (. Пусть для определенности выполнены граничные условия шарнирного опирания:
™г(0,у) = 0, (а, у) = 0, тг(х, 0) = 0, тг(х,Ъ) = 0,
d2wi(0,y) _ о d2wi(a, y) _ Q
dx2
dx2
d2wi(x, 0) _ 0 d2wi(x,b) _ 0
dy2
dy2
(1)
Предположим, что перемещения пластины приводят к их контактному взаимодействию. Тогда решение задачи сводится к вариационной проблеме
J (wi,w2)
(Aw2)2
D(Awi)2 - qwi +
dxdy ^ min,
(2)
при ограничениях
т1 - У]2 — р < 0, (х, у) е П, П = [0, а] х [0, Ъ], (3)
Бг - цилиндрические жесткости пластин.
Решение задачи (2)-(3) существует в ^22(П) — в пространстве функций Л.С. Соболева, имеющие обобщенные, суммируемые с квадратом вторые производные. Введем в рассмотрение функцию Лагран-жа
L(wi ,w2,r)
D (Awi)2 +
Ü2.
+—— (Aw2) - qwi + r(wi - w2 - p)
dxdy.
Справедливо следующее утверждение [16]: для того, чтобы функции w*,w* были решениями задачи (2)-(3), необходимо и достаточно, чтобы нашелся множитель Лагранжа r*x, y > 0, (x, y) e ü, такой, что w*,w2* и r* были седловыми точками функции Лагранжа, т.е.
L(w*, w*,r) < L(w*,w*,r*) < L(wi,w2,r*), (4)
(вообще говоря r*(x,y) - не обязательно суммируемая с квадратом функция).
Справедлива теорема о минимаксе:
max min L(wi,w2,r) _ min maxL(wi,w2,r).
r>0 (wi,W2) (wi ,W2) r>0
Задача минимизации функционала по wi,w2 приводит к системе Эйлера
Di AAwi _ q — r, D2AAw2 _ r.
(5)
Проблема F(r) ^ max и задача (2)-(3) являются парой двойственных задач выпуклой оптимизации. Наряду с уравнениями (5), необходимо рассмотреть условия, которым должны удовлетворять перемещения wi, w2,
w - w2 - p < 0,
r > о, (6)
r[w i — w2 — p] _ 0. Введем в рассмотрение функционал
F(r) _ min L(wi,w2,r). (7)
(wi W2)
Уравнения (6) являются уравнениями равновесия элементов; второе ограничение в (6) - условие односторонности связи; последнее ограничение - условие дополняющей нежесткости, заключающееся в том, что если сила реакции г не обращается в ноль, то № 1 — №2 — р = 0, т.е. пластины контактируют в некоторой точке, и наоборот, если — №2 — р < 0, то г = 0.
Решение уравнений (5) запишем в виде:
wi
Gi (q — r), w2 _ G2r,
(8)
где С1,С2 - ограниченные линейные операторы в Ь2(П). (6) будет выполнено, если сила реакции контактного взаимодействия пластин будет удовлетворять уравнению
r _ [r - a(G2r - Gi(q - r) + p)] + ,
(9)
где f+ = maxa>o{0, f} = 1 (\f \ + f) -срезка функции f. В самом деле, пусть r = 0, то получим w2 + р < w1. Еслижеr > 0,тогдаG2r— G1(q—r) + p = 0, т.е. W2 + p = w\.
Обозначим (f,g) = / fQf (x,y)g(x,y)dxdy -скалярное произведение в L2(Q). Подставляя (8) в функционал Лагранжа (4), с учетом граничных условий (1) найдем явное выражение для функционала
пл
j j (Aw\)2dxdy = j j DpiAAw\-w\dxdy = = / Jnl(Gi(q—r),q—r)dxdy = Gi(q—r),q—r), 11 D-(Aw2)2dxdy = 1(G2r,r),
F(r) = — 1(Gir,r) — 2(G2r,r)+
+ (Giq,r) + (p,r) — 2(Giq,q).
Для отыскания седловой точки функционала Лагранжа необходимо решить задачу
F(r) ^ min,
r>0
где F(r) = —F(r).
Сформулируем несколько теорем из теории экстремальных задач [8]. Пусть M е L2 - выпуклое, замкнутое, непустое множество, f (r) - непрерывно дифференцируемый функционал, f'(r) - производная функционала f (r). Пусть r е L2 - некоторая точка, v(r) = PM(r) - проекция точки r на множество M, т.е. решение экстремальной задачи
1 \\v (r) — r\\2 = mn1 \\v — r\\2
2 v£M 2
есть ближайшая точка множества M к точке r. Такая точка существует и единственная. Пусть а > 0, ш(г) - проекция точки r — af'(r) на множество M, т.е. w(r) = v (r — af' (r)).
Теорема 1. Для того чтобы r* была решением задачи
f (r) ^ min (10)
r£Q
b
a
0
0
Ü
необходимо, а в случае выпуклости f (r), и достаточно, чтобы r* была неподвижной точкой отображения
u(r) :
r* = u(r*) = v(r* - af'(r*)). (11)
Производная от функционала F(r) имеет вид
F'(r) = Gir + C2r + p - Giq,
а M - это множество неотрицательных функций в L2 из Ü. Проекция некоторой точки на множество M в данном случае имеет вид
v (r) = т^И + r) = max{0,r}.
Необходимое условие (11) для задачи (10) в форме проекции градиента имеет вид
r* = (r* - a(Gi (r* - q) + G2r* + p)+,
(12)
последнее уравнение совпадает с уравнением (9). Для решения уравнения (12) можно применить метод последовательных приближений. Пусть r0 - некоторая неотрицательная функция
rk+1 = (rk - a(Gi(rk - q) + G?Xk + p)+■ (13)
Можно показать [4], что существует а0 > 0 такое, что при всех а £ (0,а0] последовательность (13) является минимизирующей для функционала F(r) на M, т.е.
lim F(rk) = inf F(r), k^-ж reM
и последовательность перемещений
wik = Gi(q - rk), w2k = G2rk
(14)
сходится к решению задачи (1) - (3). Для реализации алгоритма (11) необходимо решать уравнение равновесия пластин (5).
Рассмотрим бигармоническое уравнение
бААу = q
при выполнении граничных условий (1).
Для конечномерной аппроксимации применим метод сеток. Сеточный бигармонический оператор имеет вид:
А А юц = А А у(хг,у^) = (Ъ^у^ -
-8(Уг,] + 1 + Уг+1,] + Уг-1,] + Уг^-1) + + 2(уг+1^ + 1 + Уг+1¿-1 + У 1-1^ + 1 + Уг-1 ¿-1) + г 2 + Уг+2+ Уг-2+ Уг 2))■
Граничные условия дают равенства:
У0
Ут-2,] = 2Ут-1 ^ = 0, 0 < ^ < П,
Уг,0 = Уг,п = 0, Уг,2 = 2Уг, 1,
Щ,п-2 = 2уг,п-1 =0, 0 < г < т.
При конечномерной аппроксимации уравнение (5) превращается в уравнение
Г А1= q - г, \ А2 = Г,
,3- wm,j = w2,j = 2wi,j,
где А1, А2 - симметричные, положительно определенные матрицы, а Ш2 е #тхп. Обратным операторам С1, С2 также соответствуют некоторые матрицы С1,С2■ В этом случае решение задачи (9) существует, и метод последовательных приближений (12) -(13), где операторы С1 и С2 нужно заменить на «сеточные» операторы С1 и С2, сходится к некоторой точке г* е . Метод (9) применялся для решения контактной задачи двух прямоугольных пластин и в нелинейном случае.
Если рассматривать нелинейные уравнения равновесия пластин в рамках теории Кармана, то вместо уравнения (5) необходимо решать систему уравнений:
DiAAwi = q + ßa(wi, ф\) - r,
2 (15)
— ААф1 = -a(wi,w2), E
D2AAW2 = ßa(w2, Ф2) + r,
2 (16)
— ААФ2 = -a(w2,W2), E
где
д 2w д 2ф d2w д 2ф д 2w д 2ф a(w, ф) = - ^ + - ^ - 2 ;
дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду
- билинейная форма Кармана. При в = 0 уравнения (15) - (16) переходят в уравнения (7).
Функции напряжений ф(х,у) в самом простом случае граничных условий - отсутствие касательных и нормальных напряжений на краях пластины - удовлетворяют краевым условиям:
д2фг(0,у) _ д2фг(а,у) _п
ду2 ду2
д 2фг(0,у) д 2 ф^а,у)
дхду дхду
д2фг(х, 0) = д 2ф1(х,Ъ)
дх2
д2фг(х, °) _ д2фг(х,ъ)
дхду
дхду
дх2
(х,у) £ [0,а] х [0,Ь\.
Для конечномерной аппроксимации уравнений (15)-(16) также применялся метод сеток.
0
0
Полученные результаты
Для пластин размером а = Ъ = 40 см, Н =
0,5 см, Вх = Б2 = 57,234 кг*см, Вх = В2 =
12е— 2), V = 0, 3, модуль Юнга Е = 5000кг/см2,
нормальная нагрузка ( = 0,1кг/см2, с количеством точек разбиения т = п = 40, на рис. 1 показаны графики прогибов пластин (х, Ъ/2), ■ш2 (х, Ъ/2), где вдоль оси X указано изменение размера пластины при х е [0 ... а] в линейном и нелинейном случаях. На рис. 2 изображены реакции контактного взаимодействия между пластинами. По осям X и У показаны размеры пластин а = Ъ = 40.
(a)
(b)
Рис. 1. Прогибы пластин wi(x,y), i = 1; 2. Нелинейная теория Кармана (а), линейная теория (b). Fig. 1. Deflections of the plates wi(x,y), i = 1; 2. Kar-man's nonlinear theory (а), linear theory (b).
(a)
(b)
Рис. 2. Реакция пластин r. Нелинейная теория Кармана (a), линейная теория (b).
Fig. 2. Reaction of the plates r. Karman's nonlinear theory (а), linear theory (b).
Заключение
Рассмотрена контактная задача для системы двух параллельных пластин в линейной и нелинейной постановке. Проведено сравнение полученных результатов, которое показало, что учет «Карма-новских» добавок существенно влияет на величину контактного взаимодействия. Метод, применяемый в работе, основан на теории двойственности выпуклых задач оптимизации и может быть использован для широкого класса задач с негладкой нелинейностью, в частности, для решения контактных задач с неизвестной областью активного взаимодействия элементов. Его применение предполагает предвари-
тельное обращение операторов уравнений равновесия контактирующих элементов. Решение уравнений механики стержней, пластин и оболочек само по себе представляет достаточно сложную проблему. Однако для этого можно использовать все классические методы (метод сеток, конечных элементов, граничных элементов и т.д.).
Литература
1. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 45-87.
2. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. M.: Мир, 1979. 576 p.
3. Байокки К., Капело А. Вариационные и квази вариационные неравенства. М.: Наука, 1988. 448 с.
4. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // ПММ. 1993. Т. 57. Вып 1. С. 156-160.
5. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. 494 с.
6. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
7. Михайловский Е.И. Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2011. 212 с.
8. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1968. 180 с.
9. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.:Мир, 1979. 400 с.
10. Аронов П.С. Численное решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями с помощью смешанной схемы метода конечных элементов // Политехнический молодежный журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. № 10. DOI: 10.18698/2541-8009-201710-175.
11. Осипенко МА., Няшин Ю.И. Об одном подходе к решению некоторых одномерных контактных задач // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 1. С. 77-84.
12. Tzaros KA., Mistakidis E.S. The unilateral contact buckling problem of continuous beams in the presence of initial geometric imperfections: an analytical approach based on the theory of elastic stability. International Journal of NonLinear Mechanics, Elsevier, 2011. No 46 (9). P. 1265. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2011-06-008.
13. Ермоленко А.В. Уточненные соотношения теории пластин, ориентированные на решение контактных задач // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 1 (19). 2014. С. 25-32.
14. Ricardo A.M. Silveira, Wellington LA. Pereira, Paulo B. Goncalves. Nonlinear analysis of structural elements under unilateral contact constraints by a Ritz type approach. International Journal of Solids and Structures. 2008. Vol. 45. P. 2629-2650.D0I: 10.1016/j.ijsolstr.2007.12.012.
15. Пяткина Е.В. Контактная задача для двух пластин одинаковой формы, склеенных вдоль одного берега трещины // Сибирский журнал индустриальной математики. 2018. Т. 21. № 2. С. 79-92. DOI: 10.17377/SIBJIM.2018.21.207.
16. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 384 с.
References
1. Burago N.G., Kukudzhanov V.N. // Obzor kon-taktnykh algoritmov [Overview of contact algorithms]. Mechanics of Solids, 2005. No. 1. P. 45-87.
2. Glovinsky R, Lions J.L., Tremolier R. // Chislen-noe issledovanie variatsionnykh neravenstv [Numerical research of variational inequalities]. Moscow: Mir, 1979. 576 p.
3. Bayokki K, Capelo A. Variatsionnye i kvazivari-atsionnye neravenstva [Variational and quasi-variational inequalities]. Moscow: Nauka, 1988. 448 p.
4. Mikhailovsky E.I., Tarasov V.N. // O shodi-mosti metoda obobshennoi reaktsii v sadachah so svobodnoi granitcei [On the convergence of the generalized reaction method in contact problems with a free boundary] // PMM. 1993. Vol. 57. Issue 1. P. 156-160.
5. Panagiotopulos P. Neravenstva v mekhanike i ikh prilozheniya. Vypuklyye i nevypuklyye funktsii energii [Inequalities in mechanics and their applications. Convex and non-convex energy function]. Moscow: Mir, 1989. 494 p.
6. Duvo G., Lions J.L.. Neravenstva v mehanike i fizike [Inequalities in mechanics and physics]. Moscow: Nauka, 1980. 384 p.
7. Mikhailovsky E.I. Elementy konstruktivno-ne-lineynoy mekhaniki [Elements of structural and non-linear mechanics]. Syktyvkar: Syktyvkar Univ. Publ., 2011. 212 p.
8. Demyanov V.F., Rubinov A.M. Priblizhennye metody resheniya ekstremal'nykh zadach [Approximate methods for solving extremal problems]. Leningrad: Leningrad Univ. Publ., 1968. 180 p.
9. Ekland I., Temam R. Vypuklyi analiz i variat-sionnye problemy [Convex analysis and varia-tional problems]. Moscow: Mir, 1979. 400 p.
10. Aronov P.S. Chislennoye resheniye kontakt-noy zadachi teorii uprugosti s odnostoronnimi svyazyami s pomoshch'yu smeshannoy skhemy
metoda konechnykh elementov [Numerical solution of the contact problem of the theory of elasticity with one-sided connections using a mixed scheme of the finite element method] // Politechnic. youth J. N.E. Bauman Moscow State Techn. Univ. 2017. No. 10. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175.
11. Osipenko MA, Nyashin Yu.I. // Ob odnom podkhode k resheniyu nekotorykh odnomernykh kontaktnykh zadach [About one approach to the solution of some one-dimensional contact problems] // Saratov Univ. Publ. New series. 2011. Vol. 11. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics. Issue 1. P. 77-84.
12. Tzaros KA., Mistakidis E.S. The unilateral contact buckling problem of continuous beams in the presence of initial geometric imperfections: an analytical approach based on the theory of elastic stability. International Journal of Non-Linear Mechanics, Elsevier, 2011, 46 (9), P.1265. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2011-06-008.
13. Ermolenko A.V. // Utochnennyye sootnosheniya teorii plastin, oriyentirovannyye na resheniye kontaktnykh zadach [Refined relations of the theory of plates, focused on the solution of contact problems] // Bull. of Syktyvkar Univ. Series 1. Issue 1 (19). 2014. P. 25-32.
14. Ricardo A.M. Silveira, Wellington LA. Pereira, Paulo B. Goncalves. Nonlinear analysis of structural elements under unilateral contact constraints by a Ritz type approach. International Journal of Solids and Structures. Vol. 45. 2008, P. 2629-2650. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.12.012.
15. Pyatkina E.V. // Kontaktnaya zadacha dlya dvukh plastin odinakovoy formy, skleyennykh vdol' odnogo berega treshchiny [The contact problem for two plates of the same shape, glued along one side of the crack] // Siberian J. of In-dustr. Mathematics. 2018. Vol. 21. № 2. P. 7992. DOI: 10.17377/SIBJIM.2018.21.207.
16. Balakrishnan A.V. Prikladnoi funktsional'nyi analiz [Applied functional analysis]. Moscow: Nauka, 1980. 384 p.
Статья поступила в редакцию 17.10.2019.
