Нелинейная задача статической аэроупругости Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗА ПИ С К И Ц А Г И Т о м IX 197 8

№ 1

УДК 629.735.33.015.4: 533.6.013.42

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СТАТИЧЕСКОЙ АЭРОУПРУГОСТИ

/О. П. Нуштаев

Проводится численное исследование стационарного невязкого течения около упругозакрепленного профиля крыла с элероном при околозвуковых скоростях потока. Для профиля под углом атаки исследуется изменение угла упругого поворота всего профиля при изменении числа М^. Проводится сравнение полученных результатов с аналитическим результатом, определенным из рассмотрения асимптотического поведения этой характеристики при Мот -*■ 1. Для профиля с элероном исследуется влияние упругости на эффективность элерона.

Рассматривается вопрос о реверсе в линейной и нелинейной постановке задачи. Приводятся результаты расчетов по линейной и нелинейной теории.

При расчете аэродинамических характеристик для решения задач статической аэроупругости обычно используются линейные методы. Известно, что при Мсо 1 линейные теории сжимаемого газа приводят к неограниченному возрастанию аэродинамических коэффициентов, кроме того, линейные теории не описывают смещения аэродинамического фокуса.

Нелинейная теория не имеет указанных недостатков и поэтому, можно полагать, более приемлема для решения задач статической аэроупругости при околозвуковых скоростях потока. Существенная разница в результатах расчета по линейной и нелинейной теории при околозвуковых скоростях иллюстрируется сравнением соответствующих данных расчета для задачи об упругом равновесии упругозакрепленного на кручение профиля с элероном. Такая схема закрепления профиля принята потому, что крутильные деформации на прямом крыле оказывают наибольшее влияние на аэродинамические характеристики. Предполагается, что ось упругой заделки крыла находится на 0,35 хорды от носовой части профиля, что близко к положению оси жесткости крыла большого строительного удлинения.

1. В основу положен метод расчета трансзвуковых течений около профиля по нелинейной теории с помощью итерационного метода работы [1].

В случае жесткого профиля рассматривается система уравнений для идеального сжимаемого газа:

(При.) d(pvv) dvx dvv

~ду дхГ’ (2)

*2 I - 1 | » /Зч

* 1 2 2 (x-l)M^ ’ W

где уравнение (1) представляет собой уравнение неразрывности для сжимаемого газа; (2) — условие отсутствия вихрей; (3) — уравнение Бернулли.

Рассмотрим теперь жесткий профиль, упругозакрепленный на некоторой оси х = х0 с помощью пружины жесткости с. В этом случае необходимо дополнительно удовлетворить условию упругого равновесия профиля в потоке относительно оси крепления, т. е. равенству моментов аэродинамических и упругих сил:

Сл (х0 — хр ) = сДа, (4)

где Да — величина упругого поворота профиля в потоке.

Система уравнений (1)—(4) записана в безразмерных величинах. Полная скорость W и проекции скорости на оси х и у отнесены к величине Voo\ плотность р отнесена к рс»; х, у, х0 и величина аэродинамического фокуса хр отнесены к величине хорды профиля; Си — безразмерный коэффициент аэродинамической силы, нормальной к хорде профиля; а — скорость звука; х — показатель адиабаты.

qSl qP 1 ’

где с — жесткость пружины, моделирующей упругость заделки крыла на кручение; <? —скоростной напор; I—величина хорды

профиля.

Граничные условия задачи имеют вид: на профиле

Vn = 0; (5)

на бесконечном удалении от профиля

Vx= Cos(a-f- Да); Vy — sin (a -f Да), (6)

где а —угол атаки жесткого профиля.

Заметим, что введение безразмерной жесткости с позволяет выделить влияние числа Моо на аэродинамические характеристики. Если учесть, что Сы хр = тг, то условие (4) можно переписать в виде

сДа = См х0 — тг, (7)

где тг — безразмерный коэффициент продольного момента отно-

сительно носовой части профиля.

Была составлена программа расчета на ЭЦВМ течения около упругозакрепленного профиля. Для нахождения равновесной величины Да был реализован итерационный процесс, формула которого

еДа/+1 == CN (а + Даг)х0 — тг{а + Да,), где Даг — значение после i-й итерации.

Процесс считался сошедшимся при |Да(+]-—Д^К 0,005°. Исследования проводились для симметричного профиля с относительной толщиной 9%. При расчете профиль с элероном рассматривался как эквивалентный искривленный профиль, причем хорда элерона принималась равной 0,3 хорды всего профиля.

Для рассмотренных вариантов расчета итерационный процесс сходится за пять-шесть итераций.

На фиг. 1 показан характер сходимости итерационного процесса по Да для величин Даг в случае упругозакрепленного про-

с = 0,06 —Ц град

N /

\ М^‘0,8>Ь=50

\ ч

Ч, /

M^=0,85i

м^ом- 5 4°

•ч.

M^=0,6iS=3c i-i—l—l 1

M~= 0,8 ;Ь- -.10

|

■M^o.6-, S‘f°

01 2 3 Ч 5

Число итераций по й<х.

Фиг. 1

филя с элероном. Следует отметить, что если при малых дозвуковых числах Мао процесс сходится монотонно, то, начиная с числа Моо = 0,85, что близко к критическому значению числа Мо, для данного профиля, сходимость процесса приобретает колебательный характер. При этом, чем больше число М^ и угол отклонения элерона о, тем ярче выражен колебательный характер и за большее число итераций сходится весь процесс.

2. Для профиля с неотклоненным элероном исследовалось изменение установившегося угла упругого поворота профиля при изменении числа Моо. Расчет проводился для первоначального угла атаки профиля а = 1 и 3° для с — 0,06 ‘/град в диапазоне изменения чисел Моо = 0,6 — 0,87. Величина жесткости выбиралась из условия, что Да ж 0,3 а при малых дозвуковых скоростях потока (Мт ~ 0,6).

Положение оси жесткости х0 варьировалось в пределах от 0,2 до 0,5. На фиг. 2 показана зависимость величины Да/а от числа Моо. Нелинейная теория позволяет оценить число Ма, при котором Да = 0, т. е. когда аэродинамический фокус совпадает с поло-

жением оси жесткости, причем, чем больше угол атаки а, тем при меньших числах величина Да/а обращается в нуль. В результате обработки расчетной зависимости величины Да/а от числа Мот был получен график скорости изменения величины упругого поворота профиля при изменении числа М,» (фиг. 3).

/ Да'

й

Эту характеристику теории. Действительно,

сі м„

можно рассчитать и по линейной

См — Су + О [(а -)- Да)2],

ж

ос.

с =0,06 /

"\ град

/ / \

/ \

/ / \

/ у / \

/ У \

/" х0=о,5; а.=7®

У У

1 Хд-0,35 у'

у "а.=30

" 1°

<ч

Пд =0,7- -0,8- \ \М

Хц =0,2><х.=1°'

расчет по нелинейной теории » по линейной »

Фиг. 2

следовательно, в линейном приближении имеем:

Сгя да Су = Су (а + Да); тг = т% (а + Да),

где

га __________

V сж —

2тг

-у сж — г-------—5- 1

у 1 - м»

Из условия (7) получаем

Ш» сж —

2 V1 -

Да

с'У 1 — М£,— 2п х0— -г

Далее для фиксированного угла атаки а имеем

2т.с М-

l(t)

Vl

Uo

У г

Mf

Отсюда следует, что исследуемая характеристика монотонно возрастает до со при увеличении числа Мот от 0 до 1 (см. фиг. 3).

На фиг. 2 и 3 проводится сравнение результатов расчета по нелинейной и линейной теории. Соответствие результатов наблюдается лишь для чисел Моо = 0,6-т-0,7. При увеличении угла атаки а расхождение результатов линейной и нелинейной теории растет. Сравнение результатов расчета при вариации положения оси жесткости по нелинейной и линейной теории показывает, что чем ближе находится ось жесткости к носовой части профиля, тем до большего числа Мсо результаты линейной теории согласуются с результатами нелинейной теории (см. фиг. 2).

Рассмотрим характер асимптотического поведения величины

йДа ,, 1

щ- при Моо-> 1.

Известно, что асимптотическое разложение аэродинамических характеристик профиля в трансзвуковом потоке имеет вид [2]:

Су = т2/3(С]+С2|/ф/2+ . . .),

:Х*Цс'1 + с'2\К\и2+ ...),

(8)

где относительная толщина профиля х 1, а параметр подобия

Кармана

1 — М*

Учитывая соотношения (7) и (8), получим

Qaa I2 + Да)2/3 Z где скоростной напор

<7оо :

1-Mi

. М„ (т: + Да)'

2/3

= сДа,

(9)

г(/о«*0(*0)+*1 (х0)\к\^,

а г0 и — константы, зависящие от фиксированного положения оси жесткости лг0. Эффективная относительная толщина

'Сэф = 1: + Ла< 1.

Дифференцируя обе части равенства (9) и обозначая величину — за X, получаем

Х =

т1/3 ^эф '

1/2

-1/2

2 с

P U ‘ ГСО **со

2 *oM£

3 т1/з

2z, М„

1/2

3-2/3

атэф

Jl +4-sign(l-Mco)j

(10)

т1/3 *0 тэф

2 “ 2/г?^з + г2

1/2

Отсюда видно, что при Моо<М величина ^ = 0 для

Мо.=

При Моо -*■ 1 величина

М£П(1 -Мот)

|1 - М*. |«» *

где {А = ---------^----=-77= .

го р Рос <& - Зст^

Следовательно, при ц<0

Пш X = — сю.

Моо-И-0

Из равенства (10) нетрудно получить, что при Мс

АХ___________(х____

<ШЖ | 1 — | 3^2 ’

Следовательно, при ц<0

йХ

НГП -гг-.— = — оо .

Мее-1 *Мсо

Таким образом, характер асимптотического поведения харак-

йДа ,. ,

теристики -щ— при числе Моо -»■ 1 согласуется с результатом расчета этой характеристики по нелинейной теории (см. фиг. 3).

3. Для профиля с элероном исследуем влияние упругости заделки профиля на эффективность элерона, т. е. на коэффициенты Су и т\.

Определим величины Су, тг и коэффициента шарнирного момента /Пш с учетом влияния упругости заделки, пользуясь линейной теорией тонкого профиля. Представим условие (4) в виде:

Су 1 (х0 — Хр 0 + Су 2 (*0 — Хрз)*** с&а,

где Су1 — коэффициент подъемной силы, возникающей при упругом повороте профиля на угол Да; Су 2 — коэффициент подъемной силы, возникающей при отклонении элерона на угол 8;

8

чг 1 0**2 тг

^ ^ ^ ^ ^"*5 у~ч5 *

1 ^у 2 °у

Не нарушая общности, положим, что начальный угол атаки

жесткого профиля равен нулю, т. е. упругий поворот профиля

вызывается только отклонением элерона.

В линейной постановке

Су1 = Су Да; Суг = СЬу 8.

Отсюда получаем, что

Да =5.................... (11)

с Су (лг0 — Хр ^

7—Ученые записки № 1 97

Коэффициент полной подъемной силы в этом случае запишем в виде

Су упр — Су ж 5 + Су Да

или

С 8 |

у упр = Ьу ж + Су -^Г- .

Аналогично получаем

(13)

(12)

5 & .• а <1ка

Мг упр — /Пг ж Т Мг

8 ___________ 8

"*ш. упр — /ГОш. ж

ти

ЙВ ’ гЗДа

~~3ь~

(14)

Аппроксимируя жесткий профиль с элероном пластиной с изломом в точке оси шарнира элерона, нетрудно определить выражения для определения величин Су, Су, т“, т\, т%, гпш по линейной теории тонкого профиля на основе метода Л. И. Седова*.

Таким образом, имеем:

/1-м?

съ —

СЖ-------

~УТ^Ж [т - агс5т/й+ /&(!-*)]; (15)

т2 сж=-

сж —

а [ 2

кОО I

2У1-М^ У1-М*

+ (1-г ЩУь{\-Ь)\,

Ь /6(1-6)

агсвШ Уь +

1 1 . хрг — тт-;. хр 2=^-7- +

тт.

4 я — 2агск1п У Ь •• 2УЬ( \ — Ь) ’ у-Дг' [(1 - щ (-1- - агсзШ 1ГЪ ) + (1+2*) УЩ^Щ ;

2+ ^

(16)

(17)

пт =

ш. сж

кУ 1-М»,

+ 2 Уь( 1 - Ь) (Я -2 агс81п УЪ) +2Ь (1 - й)] ,

где 6 — безразмерное расстояние от носовой части профиля до оси шарнира элерона.

Учитывая (11), (15), (17), получаем, что

ЛАа

X

— йхЫпУЬ-\-УЬ{\ — &)| х ьуь( 1 - ь)_______

тс — 2 агсвт /б + 2 (1 — Ь)

с —

2я

У1-м?я

Хп —

* В работе [3] были получены выражения для определения величин Су, т^., тьт по методу Глауэрта. Автором были. получены выражения для С&у, тъг, т“ , тьш по методу Л. И. Седова [4].

п

11

10

8

б

Ч

2

О

-2

-Ч

-6

-8

-10

Фиг. 4

Жесткому профилю соответствует случай с —ос, при этом Ааг-.::0.

В результате анализа соотношений (12) —(14) получаем, что при определенном числе Мю возможна полная потеря эффективности элерона — реверс элерона, т. е. изменение знака величин С\, т'г, т°ш. Так:

4кЧ3( Г~Т) ; .г

2 агсБШ уь + 2 УЬ (1—6)]2 ’ :

16 -- (і _й)

г - ' гг1 .р~ ’

С2 агсвіп Уг> + (1+2Ь)уг>(1-Ь)

м 5 = 1/1__________-Ы (хо — 4-] — Су *л>2) Г •

00 1)ев < V ' С2 \ • 4 / т* I

. ' ” ■ ш. ж *

Необходимым условием реверса является

Отметим, что число мярев: С8 < Мм ревш5 при х0<хРГ Этот факт подтверждается и расчетом по нелинейной теории.

На фиг. 4 и 5 приведены графики величин С^упр, тдгупр, полученные . по линейной и нелинейной теориям -для угч-іа .8 ^ 1° ч- 3°. Сравнение показывает, что линейная и- нелинейная теорий в, в.-,данном случае дают близкие результаты лишь для чисел Мсо=0,6ч-0,8 (в зависимости, от жесткости заделки). В некотором диапазоне чисел Мсо, больших 0,6 “ 0,8, нелинейная теория дает в несколько раз меньшие коэффициенты СууПр, т^пр, чем линейная теория. При этом при расчете по нелинейной теории реверс, элерона наступает при меньших числах Мао, чем 110 линейной теории. . !

На фиг. 6 показано влияние упругого поворота профиля с элероном на распределении' скоростей на верхней и нижней поверхностях. Из графиков видно, что течение около профиля при уп-

М

00 рев С,

Vі

С2 [те-

тп;

ч С=О»

V

,0,06

4 Ї5С „I. .««• ‘и‘

> N

**4 п О 0,0 ч V (Г

О, к * і & о«э

\

> С'0,0 2 1 \ \

град \ —расчет по нелинейной теории — » по линеинои "

Фиг. 5

1,2

0

0.9

0,2

О

Верхняя поверхность

С— во

0,06-

М 1,6 1Л 1,2 1,0 О,В 0,6 0,4 0,2

Нижняя поверхность

^,0г град

ь '5 . \ -0,06

<

расчет для жесткого профиля ’ 1 » для упругого^ » |

Фиг. 6

ругом равновесии его в потоке заметно отличается от течения около жесткого профиля при отклонении элерона на один и тот же угол.

При уменьшении жесткости заделки с скачок уплотнения на верхней поверхности смещается к носовой части профиля, а интенсивность местных сверхзвуковых зон заметно уменьшается. На нижней поверхности наблюдаются обратные эффекты.

Автор благодарит Ю. Б. Лифшица за постановку задачи и постоянное внимание в процессе выполнения работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л ифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 4, № 5, 1973.

2. Л 4 ф ш и ц Ю. Б. О структуре течения в области за ударной волной при трансзвуковом обтекании профиля. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 7, № 3, 1976.

3. Гроссман Е. П., Келдыш М. В., ПархомовскийЯ. М. Вибрации крыла с элероном. Труды ЦАГИ, № 337, 1938.

4. К о ч и н Е. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, т. 1, М.—Л., Гостехтеориздат, 1948.

Рукопись поступила /З/ VI 1977 г.