Нелинейная ячеечная модель осаждения частиц в концентрированной суспензии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.927

В.Е. Мизонов, Ю.Б. Казаков, Е.А. Баранцева, В.А. Филиппов

dy

j

dy

V

нелинейная ячеечная модель осаждения частиц в концентрированной

суспензии

(Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov@home.ivanovo.ru

Предложена нелинейная математическая модель сепарации частиц из концентрированной суспензии в поле неоднородной массовой силы с учетом влияния локальной концентрации частиц на скорость осаждения и возможности образования пробок. Выполнена расчетная оценка влияния учета этих факторов на прогнозирование кинетики сепарации.

Ключевые слова: ячеечная модель, концентрация частиц, матрица переходных вероятностей, кинетика сепарации

Осаждение частиц в вязкой жидкости под действием силы тяжести происходит с относительно низкой скоростью, и производительность такого процесса невелика. Для его интенсификации возможно использование вызывающих осаждение массовых сил другой природы, например, центробежной, магнитной, электрической и др. Однако, создание однородного по сепарационно-му объему поля этих сил невозможно или затруднительно, а отсутствие теории и методов расчета осаждения в неоднородном поле (особенно при высокой начальной концентрации частиц) не позволяет достоверно прогнозировать кинетику сепарации и оптимизировать процесс. Целью настоящей работы является построение математической модели такого процесса на основе теории цепей Маркова, основные принципы применения которого к моделированию процессов в дисперсных средах описаны в работе [1].

Расчетная схема процесса показана на рис. 1а, где на половину ширины рабочего объема нанесена двухмерная сетка ячеек размером nxm.

В нижней части зоны осаждения находится контейнер, куда выходят все отсепарированные частицы. Текущее распределение объемного содержания частиц по ячейкам представлено матрицей Sm=|Sl|| или вектором S, в котором столбцы матрицы расположены последовательно друг под другом. Процесс рассматривается в дискретные моменты времени t|=(k-1)At. где At - продолжительность, а к - номер временного перехода. Последовательные состояния процесса связаны рекуррентным матричным равенством

sk+1=psk, (1)

где Р - матрица переходных вероятностей, построение которой и является предметом моделирования.

а

11 12 1j 1m

21 ... ... ...

31 ... ... ...

i1 ... ...

... ... ... ...

n1 nm

Рис. 1. Расчетная схема процесса (а) и возможные переходы из ячейки (б)

Fig. 1. The process calculation scheme (a) and possible transitions from the cell (6)

Возможные переходы из выделенной ячейки показаны на рис. 16, где выделены симметричные чисто стохастические переходы по вертикальному и горизонтальному направлениям и конвективный переход, который обусловливает процесс осаждения. Физическая скорость этого перехода V зависит от содержания частиц в ячейке. Для определения этой зависимости воспользуемся следующим приближенным допущением. Соберем материал всех частиц в одно цилиндрическое тело высотой, равной высоте ячейки. Тогда при площади основания ячейки F свободным от частиц останется сечение (F-Fp), где Fp - площадь основания этого тела. Чтобы жидкость в целом оставалась неподвижной, при движении тела вниз со скоростью V она должна перетекать вверх со скоростью W в соответствии с уравнением неразрывности VFP = W(F-Fp), откуда скорость обтекания частиц составит

U=V+W=V+VFp/(F-Fp)=VF/(F-Fp)=V/(l-S), (2)

где объемное содержание частиц в ячейке не может превышать предельного значения 8тах, которое соответствует плотной упаковке частиц.

При квазистационарном движении Р,|=РГ„. где Рт - массовая сила (вес, магнитная, центробежная и т.д.), Ра - сила сопротивления. При медленном осаждении мелких частиц диаметром с1р в вязкой жидкости зависимость силы сопротивления от скорости может быть принята линейной и рассчитана по формуле Ра=371^ри=371^рУ/(1-8), откуда следует расчетное выражение для локальной скорости частицы в ячейке у

Уц=Ртц(1-8ц)/Зт1цс1р=Утч(1-8ц), (3) где Уту — скорость осаждения при исчезающе малом содержании частиц в ячейке. При прочих равных условиях она пропорциональна массовой силе и может служить ее аналогом.

Вероятность конвективного переноса связана с физической скоростью движения соотношением Уу=УуД1/Дх, где Дх - высота ячейки. Полученная зависимость позволяет по описанному в работах [1,2] правилу рассчитывать матрицу Р на каждом переходе и по соотношению (1) моделировать кинетику сепарации, которая характеризуется накоплением частиц в контейнере е(к)

: .:■: = У У

(4)

1=1 i=l

где а - коэффициент затрудненности выхода частиц и нижнего ряда ячеек в контейнер.

То, что матрица переходных вероятностей зависит от текущего вектора состояния, обусловливает первый тип нелинейности модели процесса. Второй тип нелинейности появляется, когда по ходу движения частиц формируются пробки, которые возникают тогда, когда содержание частиц

в ячейке становится равным предельному и переход в нее новых частиц оказывается невозможным. Эта нелинейность учитывается за пределами матрицы следующим образом. На каждом переходе содержание частиц сравнивается с предельным. Если содержание оказывается выше предельного, то избыточные частицы перемещаются в предыдущую по ходу ячейку столбца и так далее, то есть в потоке образуется пробка, которая может рассасываться через свою нижнюю ячейку. Пробки могут формироваться, если массовая сила убывает сверху вниз и частицы в верхних ячейках движутся быстрее, чем в нижних. Они также могут образовываться из-за затрудненности выхода частиц из нижнего ряда ячеек в контейнер.

Ниже приведены результаты численных экспериментов с моделью, демонстрирующие ее работоспособность и влияние ряда факторов на кинетику сепарации. Расчеты выполнены для неоднородной массовой силы, распределение которой представлено величиной УШу и показано на рис. 2.

V

1 J

Рис. 2. Распределение массовой силы в примере расчета процесса

Fig. 2. Mass force distribution for the computational example

S

S

Рис. 3. Распределение содержания частиц после различного числа переходов (d=0,l; а=0,5, Smax=0,6) Fig. 3. Particle content distribution after different number of transitions (d=0.1; a=0.5, Sm!LX=0.6)

е(к)

0.8

1 / [ 2/ / 3

Рис. 4. Расчетная кинетика сепарации: 1 - без учета влияния концентрации и пробок, 2-е учетом влияния концентрации (без пробок), 3-е учетом влияния концентрации и пробок Fig. 4. Calculated kinetics of separation. 1 - without influence of concentration and particle plugs, 2 - with influence of concentration (no particle plugs), 3 — with influence of concentration and particle plugs

На рис. 3 показано распределение содержания частиц по ячейкам в различные моменты времени (после различного числа переходов), начиная с заданного начального распределения. При движении частиц к нижней границе сепарацион-ной камеры сначала пробок не образуется (к=50).

но по мере достижения ими границы зоны в нижних ячейках формируется пробка (к=100, 150), которая полностью рассасывается к 250-му переходу.

Рис. 4 иллюстрирует расчетную кинетику сепарации частиц при разном уровне учета влияющих эффектов.

Из рисунка видно, что при отсутствии учета всех эффектов, наблюдаемых на рис. 3, расчетная скорость сепарации существенно завышена, что часто и наблюдается при сравнении опытных данных с расчетными, полученными на основе упрощенных моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berthiaux H., Mizonov V. // Canadian Journal of Chemical

Engineering. V. 85. N 6. 2004. P. 1143-1168.

2. Болотов И.А., Мизонов B.E., Зайцев B.A., Жуков П.В. //

Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 8.

С. 97-99;

Bolotov I.A., Mizonov V.E., Zaiytsev V.A., Zhukov P.V. //

Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010.

V. 53. N 8. P. 97-99 (in Russian).

Кафедра прикладной математики

k

УДК 662.612

Г.А. Зуева, Г.Н. Кокурина, В.М. Дмитриев, Н.А. Зуев, В.А. Карасев ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ СУШКИ ЛЬНЯНОГО ВОЛОКНА

(Ивановский государственный химико-технологический университет. Тамбовский государственный технический университет) e-mail: zueva_galina 15 @mail. ru

Проведено исследование процесса конвективной сушки льняного волокна. Определены пористость и плотность материала, на специально созданной экспериментальной установке получены данные по кинетике сушки и нагрева льняного волокна, на основании которых построены кривые сушки и нагрева, приведена и описана зависимость влагосо-держания от температуры сушильного агента.

Ключевые слова: сушка, льняное волокно, кривые сушки и нагрева

ВВЕДЕНИЕ

Важным составляющим элементом такого широко распространенного процесса, как сушка, является описание кинетики тепломассопереноса применительно к единичному телу, например, волокну.

По своим физико-химическим свойствам большинство волокнистых материалов относится к коллоидным капиллярно-пористым материалам, к гидрофобным материалам с плохо смачиваемыми стенками пор, в которых затруднен капиллярный перенос жидкофазной влаги. Поэтому при

описании процесса сушки на микроуровне (отдельное волокно) мы остановились на модели с углублением поверхности испарения [1]. Нами построено математическое описание процесса сушки тела цилиндрической формы последовательно для всех периодов сушки, включая период падающей скорости сушки (внутридиффузионный кинетический режим) [2-3]. Для этого сформулирована и аналитически решена методом дифференциальных рядов сопряженная задача теплопроводности для неограниченного цилиндра с движущейся границей испарения в нем (задача