Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

© В.И. Левин

Levin V.I. Non-Linear Optimisation With An Indeterminate Interval. The article looks at the general problem of non-linear mathematical programming with parameters of the target-oriented function and boundary functions that are set to an approximation of the interval. The rules are derived to turn the problem to two typical (deterministic) problems of non-linear programming. Necessary generalisations and sufficient conditions are obtained for the solution. The interval generalisation of Kuhn-and-Tucker theorem is demonstrated.

Имеется множество работ по оптимизации систем с детерминированными параметрами [1 - 4]. Однако на практике [5] чаще

встречаются системы с неполностью определенными параметрами. Очень важно, чтобы оптимизация в условиях неопределенности строилась на базе детерминистской оптимизации, а принимаемые модели неопределенности были максимально просты. В соответствии с этим в [5] был предложен новый подход к решению задач оптимизации систем с неопределенными параметрами простейшего типа - интервалами. Он позволяет решать интервальные задачи линейного программирования путем их сведения к двум детерминированным задачам того же типа [5, 6]. В настоящей работе показано, что этот подход применим также и к решению задач нелинейного программирования. Основной результат представляет собой обобщение базового положения нелинейного программирования -теоремы Куна-Таккера [7] на случай интервальных параметров оптимизируемой функции.

Детерминированная задача нелинейного (выпуклого) математического программирования хорошо известна: найти максимум нелинейной функции .Дх), х = (хь ..., х„), при нелинейных ограничениях gi(x) > О, / = 1,т, и неотрицательности неизвестных х > 0, при вогнутости /(х) и вогнутости gl{x), г = 1,т, в допустимой области, определяемой системой ограничений. В задаче параметры функций Дх), gj(x), и сами функции, детерминированы. Данную задачу можно решить при помощи основной теоремы математического программирования (теоремы Куна-Таккера).

Недетерминированная задача отличается от изложенной тем, что параметры целевой функции Дх) и функций ограничений g^(x) имеют вид замкнутых интервалов. Поэтому названные функции при любом х также имеют вид замкнутых интервалов. Тогда недетерминированную

задачу нелинейного (выпуклого) программирования можно сформулировать так: найти максимум нелинейной интервальной функции ](х) , х = (хь ..., х„),

/(х) = тах , (1)

при наличии нелинейных интервальных ограничений

Іі(х) > 0 , і = 1,т, (2)

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных

х > 0 (3)

в условиях, когда функции ](х), £і(х)- интервальные функции вида

7(х) = [/н(х), /в(х)\

їі (х) = [я/Я (х)> 8іВ (х)\ , І = 1.т (4)

с детерминированными нижними //Дх), gІH(x) и верхними /а(х), gl/^(x) граничными функциями. При этом граничные функции /д(х), /в(х) и граничные функции gІH{x), giS(x), і = \,т , вогнутые в допустимой области.

Коротко изложим принятые правила действий с интервалами (подробнее см. [5, 6, 8]). Если о - бинарная операция на множестве чисел, то соответствующая операция на множестве интервалов вводится в виде

а о Ь = |а о Ь\а є а, Ь еЬ|. (5)

Здесь а, Ь - вещественные числа, а =[щ, а2], Ь = [*ь *г] " замкнутые интервалы таких чисел.

О сравнении интервалов. Пусть (а, Ь) - любая пара вещественных чисел. Тогда верно одно

из двух: а > Ъ или а < Ь. Возьмем, например, первое неравенство. Оно означает, что тах(а, Ь) = а, тт(а, Ь) = Ь. Используя операции непрерывной логики (НЛ): тах = V (дизъюнкция), тт = л (конъюнкция), это неравенство можно заменить эквивалентностью

1 > 6) о |а V Ь = а, а л Ь = .

(6)

Пусть - любая пара вещественных интер-

валов, где а =[й1, а2^, Ь =[*1, £2] • Введем неравенства интервалов, по аналогии с неравенством чисел

а>Ь^с${с1чЬ=а, а л Ь = Ь).

(7)

Операции дизъюнкции V и конъюнкции л НЛ интервалов в (7) определяются теоретикомножественными конструкциями типа (5)

а V Ь = |а V Ь\а е я, Ь е Ь| ,

а а Ь = |а л Ь\а е а, Ь е 61 . (8)

Явное выражение результатов операций V и л над интервалами

[аь л2]'✓[б], *2] = [ а\ V 6] , ^2 V ^21 >

[ЙЬ а2 ]л [^Ь ^2] = [а1 л а2 л ^2] • (9)

Введение отношения неравенства интервалов эквивалентностью (7) требует от интервалов, находящихся в таком отношении, согласованности - если один из двух интервалов больше, то другой - меньше и обратно. Два интервала всегда согласованы, благодаря чему некоторые пары интервалов могут находиться в отношении > согласно (7). Такие интервалы назовем сравнимыми, остальные интервалы - несравнимыми. Для того чтобы интервалы а=|о1, а2]> и

й=[бь 62] были сравнимы и в отношении

а > Ь согласно (7), необходимо и достаточно выполнения условий {а\ > Ь\, а2 > £2) > а Для того

чтобы они были несравнимы, необходимо и достаточно выполнения условий

[а\<Ь\, «2 > *2) или {Ъ[<а\, Ь2 > а-^. Из сказанного вытекают следующие условия неравенства интервальных функций: для того чтобы интервальные функции /(х) = \f\fx), /2(х)^ и

Р(х) = х = (хь ..., х„), были срав-

нимы и в отношении /(х)>Р(х) согласно (7) в некоторой области С, необходимо и достаточно, чтобы в этой области выполнялись условия (/К*) > /Их), /2(х) > /^(х)), т.е.

/(^ = [/16* А /2(%>]> =

~ [-^1 (х), Р2(х)\, х ев j (10)

{/1 (х)>Р\(х), /2(х)>Р2(х),

а для того чтобы указанные интервальные функции были несравнимы в области С, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке X, х е (7, выполнялись условия (/!(х) < ^(х), /2(х) > ^2(х)) или (/\(х) < /(х), Нх) Т.е.

/(х) = ^/\(х), /2(х)]

несравнимо с Р(х) = [/](х), ^2(х)^, х ев

Зх, х ев^/^х) < Р\(Х), /2(х)>Р2(х)] или

[р\(х) </\(х), Р2(х) > /2(х)}

(11)

Из (10), полагая Р = Р1 = р2 = 0 и учитывая, что (/[ > 0) (/2 > 0), так что достаточно указать

первое неравенство, получаем следующие условия неотрицательности интервальной функции в некоторой области С:

\?(х) = [Ь(х), /2(х)\>0, хеС|о [А(х)>Ъ, хеС].

(12)

О выделении экстремального интервала. Пусть а\ = [й] |, 012], а2 = [а21 ’ «22] .

йк=\ак\> акг\ ~ система интервалов. Назовем а\ максимальным (минимальным) из интервалов а\, а2, ..., ак, если он сравним с а2, ак и находится с ними в отношениях а\>а2, а\>ак (в отношениях а2 > а\ , ..., ак > а\ ). Для того чтобы а] был максимальным из интервалов 3\, а2, ак , необходимо и достаточно выполнения равенств

а11 = У.Щ 1 >а12 = V °/2 1=1 1=1

(13)

а для того чтобы щ был минимальным из этих интервалов - выполнения

а11 = Д ап ,012 = Л ап ■ 1=1 1=1

(И)

Формулы (13), (14) сводят выбор экстремального интервала к обычному выбору двух экстремальных чисел. Из сказанного вытекают сле-

дующие условия экстремума интервальной функции: для того чтобы интервальная функция /(х) = [Л (х), /г(х)\ принимала максимальное

(минимальное) значение в точке х ее области определения С, необходимо и достаточно, чтобы максимальное (минимальное) значение принимали в этой точке ее НИЖНЯЯ Л(х) и верхняя /2(х) граничные функции, т.е.

f(x*) = [f\(x*), f2(x*)] =

= max{J(x) = ^fx(x), f2(x)j

(15)

\ f\(x*) = max Л (x), /2 (x*) = max f2 (x) I xeG xeG

(16)

\f(x*) = [f\(x*), f2(x*)\ =

i

i

\=mm{f(x) = {f\(x), f2(xj^

Л (x*) = min Л (x), f2(x*) = minf2(x)

xeG xeG

Соотношения (15), (16) сводят отыскание экстремума интервальной функции в заданной области к отысканию экстремумов ее нижней и верхней граничных функций в той же области.

Для недетерминированной (интервальной) задачи нелинейного программирования (1)-(4) определим две детерминированные задачи нелинейного программирования: нижнюю граничную

/н(х) = max, х = (хъ .... х„) ,

g,H(x) ^ 0, /' = \,т , х > О

и верхнюю граничную /в(х) = max, х = (хь ..., х„) , при тех же условиях (18), (19).

(17)

(18)

(19)

(20)

Теорема 1. Для того чтобы интервальная задача нелинейного программирования (1)-(4)

имела решение х* = |х], необходимо и

достаточно, чтобы это же решение имели ее нижняя и верхняя граничные задачи.

Теорема 1 сводит решение интервальной задачи нелинейного программирования (1)-(4) к решению двух детерминированных задач нелинейного программирования: нижней граничной и верхней граничной.

Назовем две детерминированные задачи нелинейного программирования одинаковой размерности п согласованными, если они имеют

хотя бы одно общее решение (которое называется согласованным). Тогда теорему 1 можно переформулировать так.

Теорема 2. Для того чтобы интервальная задача нелинейного программирования (1)-(4)

имела решение х* = |х1, ..., х„|, необходимо и

достаточно, чтобы ее нижняя и верхняя граничные задачи были согласованы, с согласованным решением х *.

Рассмотрим теперь интервальную задачу нелинейного программирования (1)-(4) с учетом ее выпуклости (вогнутости) граничных целевых функций /я(х), /д(х) и вогнутости граничных функций ограничений ёщ(х), girf^x)\. Пусть А и В - две детерминированные задачи нелинейного выпуклого программирования одинаковой размерности п с регулярной допустимой областью. Назовем функции Лагранжа этих задач РА(х, л)

и /^(л, л) согласованными, если они имеют хотя бы одну пару согласованных седловых точек вида |х* лА), вой компонентой X*

лд с одинаковой пер-

Теорема 3. Для того чтобы интервальная задача нелинейного выпуклого программирования (1)-(4) с регулярной областью допустимых решений (18), (19) имела решение х* = |х*, ..., х*|,

необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя и верхняя граничные задачи имели согласованные функции Лагранжа, с согласованной парой седловых точек вида |х*, л*) и |х*, г*|.

Теорема 3 сводит решение интервальной задачи нелинейного выпуклого программирования (1)-(4) к отысканию седловых точек функции Лагранжа двух детерминированных задач нелинейного выпуклого программирования: нижней граничной и верхней граничной.

К решению интервальной задачи нелинейного выпуклого программирования (1)-(4) можно подойти аналогично подходу к решению детерминированной задачи нелинейного выпуклого программирования, основанному на теореме Куна-Таккера. Введем интервальную функцию Лагранжа задачи (1)-(4)

F{x, к, г) = [*я(*. л), Fb(x, г)],

(21)

нижняя граница которой есть функция Лагранжа нижней граничной задачи исходной задачи (1)-(4), т.е.

Рн{х, *) = 1н(х)+%Ьёш(х)> /=1

х = {х1, ■■■, х„), Л = (\ь ..., Хот),

(22)

а верхняя граница - функция Лагранжа ее верхней граничной задачи, т.е.

/ \ т Fb{x, г) = /в(х)+^утн(х),

/'=1

(23)

х = {х\, ■■■, *и), Г = (уь 1т) ■

Введем переменную точку А = (л, г). Тогда интервальная функция Лагранжа (21) записывается Fix, д). По аналогии с детерминированным случаем определим седловую точку (л*, A*j интервальной функции Лагранжа

f[x, а) посредством неравенств

f[x, А*)</?(х\ A*J<f|.x*, aJ . (24)

Теорема 4 (интервальная теорема Куна-Таккера). В интервальной задаче нелинейного выпуклого программирования (1)-(4) с регулярной областью допустимых решений (18)-(19)

точка х* = |х] , ..., х*п J > 0 является решением

тогда и только тогда, когда существует

точка А* =(a*, r*j>0, a*=(a.i, ..., Х*т),

Г =|уь ■■■> Ут)> такая, что А*| - седловая

точка интервальной функции (21) Лагранжа задачи.

Теорема 4 имеет для интервальных задач нелинейного выпуклого программирования такое же основополагающее значение, как и теорема Куна-Таккера для детерминированных задач математического программирования: позволяет свести оптимизационную задачу с ограничениями к задаче без ограничений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Корбут А.А., Финкелыитейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1975.

3. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. Целочисленное программирование. М.: Мир, 1977.

4. Левин В. И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987.

5. Левин В.И. Дискретная оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1992 № 7. С. 97-106.

6. Левин В.И. Булево линейное программирование с интервальными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 1994. № 7. С. 111-122.

7. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1965.

8. Алефельд Г, Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

Поступила в редакцию 2 июля 1997 г.