Интервальная модель общей задачи нелинейного программирования. Неоднородный случай Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.58

ИНТЕРВАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

НЕОДНОРОДНЫЙ СЛУЧАЙ

© В.И. Левин

Levin V.I. An interval model ofthe general problem of linear programming. A dissimilar case. The problem of linear programming in an interval positing is seen for an dissimilar case when the coefficients of the problem can have different signs.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [ 11 был разработан некоторый общий подход к решению задачи линейного программирования с интервальными коэффициентами, основанный па сведении задачи к двум аналогичным задачам с точечными коэффициентами (метод детерминизации). При этом получаемое решение учитывает все множество возможных значений коэффициентов внутри заданных интервалов, т. е., в отличие от других методов, не происходит потеря информации о параметрах задачи. На основе этого подхода были детально изучены зри базовых случая интервальной задачи, когда все коэффициенты имеют одинаковый знак (полностью однородные интервальные задачи линейного программирования). В данной главе с помощью метода детерминизации изучаются более общие возможные случаи, когда различные коэффициенты могут иметь различные знаки (неоднородные интервальные задачи линейного программирования).

2. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ 4

Будем по-прежнему решать интервальную задачу линейного программирования (3—4)-(3-6) методом детерминизации, т. е. сведением к двум аналогичным детерминирован!и,1М задачам (3—1)—(3—3) - нижней и верхней граничным задачам. Рассмотрим отдельно шесть частично однородных случаев. Каждый из них характеризуется тем, что коэффициенты в задаче (3-4)-(3-6) имеют одинаковый знак, если они принадлежат к одной группе, и различные знаки - в противном случае. При этом имеется две группы коэффициентов: при неизвестных в целевой функции (3-4), т. е.

с,,/ = У,п , и при неизвестных в системе ограничений (3-5), т. е. бГу,/ =1,/и,у =\,п. В этом параграфе изучим случай, когда интервальные коэффициенты с, в задаче (3-4)-(3-6) неотрицательны, а коэффициенты <7у неположительны, т. е.

Ц = [сп,с(2]>0,1 = 1п;

«у = К,1. % .2 ] £ о, / = 1, /// ,./ = 1 ,п. (1)

Для этого случая введем нижнюю граничную задачу в виде

с,,Хц +...+си1хн1 -мпах, (2)

а! 1.2*11 + + а\п,2хп\ -^12

--------------------------, (3)

ат\,2Х\\ •••"*■ апт,2Хп\ —Ьт2

хи >0,...,*,,, >0, (4)

и верхнюю граничную задачу в виде

с,2дг12 +... + сп2хп2 -> тах , (5)

«11.1*12 +- + %,.1*„2 ^¿11 ,----------------------------в (6)

Яш1,1*12 + ■■■ + атп.\Хп2 ~ Ьт) хп>0,...,хп2>0, (7)

т. е. нижняя (верхняя) граничная задача получается из интервальной задачи (3-4)-(3-6) заменой всех интервальных коэффициентов целевой функции и интервальных неизвестных их нижними (верхними) границами, а всех интервальных коэффициентов системы ограничений - их верхними (нижними) границами. Это более сложная конструкция граничных задач, чем было в трех, рассмотренных в главе 3, абсолютно однородных случаях. Относительная сложность вызвана частичной однородностью решаемой интервальной задачи (3—4)—(3—6). Она присутствует и во всех последующих случаях, рассматриваемых в данной главе.

Условия сводимости интервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (1) к соответствующим детерминированным (граничным) задачам определяет следующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы интервальный вектор

неизвестных X =|лг',Л‘"1, где X1 =|*,-1| - минимальный и х2 = II - максимальный детерминированные

векторы неизвестных, был решением интервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (1), необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя

граничная задача имела решение х1, а верхняя граничная задача - решение х2 и было выполнено неравенство

х'<х2. (8)

Доказательство аналогично доказательству теорем 1, 3 главы 3, с единственным уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (3-4) используется первая формула (3-8), а произведений интервалов в (3-5) - вторая формула.

Из теоремы 1 вытекает такая теорема существования решения.

Теорема 2. Для того чтобы интервальная задача линейного программирования (3^4)—(3—6) в случае (1) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы имели

решения х1 =||х,ч I и х~ =||*/2І ее нижняя и верхняя

граничные задачи и было выполнено неравенство (8).

В соответствии с теоремами 1, 2 алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (З^НЗ-6) в случае (1) совпадает с алгоритмом для случая (3-9), при соответствующей замене нижней и верхней граничных задач.

3. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ 5

Пусть интервальные коэффициенты с, в задаче (3-4НЗ-6) неотрицательны, а коэффициенты разнозначны (содержат в себе нуль)

Ц=[сц,сп_]>0,1=1п:

Яу = [<*ууац2]^у,| <0< Яу,2>' = !>"»(9)

Для этого случая введем верхнюю граничную задачу в виде

с,2х12 + ... + сп2хп2 -> шах , (10)

а\\,\х\2+- + а]„,]хп2<Ь]]

ат\.\Х\2 +-'- + атп,\Хп2 ~^т\ «11,2*12 +-- + а\п,2Хп2 -^12

«»»1,2*12 + + атп.2хп2 ~^т2

х]2>0,...,хп2>0, (12)

и нижнюю граничную задачу в виде (2)-(4), (13), где

хи <хи,...,хпХ <хп2. (13)

В ограничениях (13) нижней граничной задачи коэффициенты хп,....хп2 - это решение верхней гра-

ничной задачи. Таким образом, нижняя и верхняя граничные задачи в рассматриваемом случае оказываются связаны. Верхняя граничная задача получается из интервальной задачи (3^4)—(3—6) заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных целевой функции их верхними границами и заменой в системе ограничений всех интервальных неизвестных их верхними границами, а всех интервальных коэффициентов - сначала их нижними, а затем - верхними границами, с объединением результатов. Нижняя граничная задача имеет целевую функцию, получаемую из целевой функции интервальной задачи (3-4)-(3-6) заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных их нижними границами, и систему ограничений на нижние границы интервальных неизвестных в виде двухсторонних неравенств (4), (13).

Условия, при которых интервальная задача линейного программирования (3^4)—(3—6) в случае (9) сводится к соответствующим детерминированным (граничным) задачам, определяются следующей теоремой.

Теорема 3. Для того чтобы интервальный вектор

неизвестных X = [лг1, JC2 ] , где X1 =¡*,11 - минимальный и х2 = |х,2| - максимальный детерминированные

векторы неизвестных, был решением интервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (9), необходимо и достаточно, чтобы ее верхняя

граничная задача имела решение х 2, а построенная по

ней нижняя граничная задача - решение х1 .

Доказательство аналогично доказательству теорем I, 3 главы 3, с единственным уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (3-4) используется первая формула (3-8), а произведений интервалов в (3-5) - третья формула.

Из теоремы 3 вытекает такая теорема существования решения.

Теорема 4. Для того чтобы интервальная задача линейного программирования (3—4)-(3-6) в случае (9) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы имели решения X2 — ||х,-21 и X1 =!*■/]! ее верхняя и нижняя граничные задачи.

В соответствии с теоремами 3, 4 алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (3—4)—(3—6) в случае (9) таков.

Шаг 1. Отыскание решения х~ = Ц-ЗС/21| веР*ней

граничной задачи (3-4)-(3-6), с использованием како-го-либо известного метода решения детерминированных задач линейного программирования, например, симплекс-метода.

Шаг 2. Составление по результатам шага 1 нижней фаиичной задачи (3-4)-{3-6).

Шаг 3. Отыскание решения х1 = ||х,,|| нижней

граничной задачи с использованием тех же методов, что и на шаге 1.

Шаг 4. Составление искомого решения х интервальной задачи (3-4)-(3-6) из найденных решений

X1 = ||х,-11 их2 = ||х,-21 ее иижней и верхней граничных задач по правилу

х = [х’,х2 ] = ((xn,x12 1...,[хп\,хп2 ]) (14)

4. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ 6

В этом случае интервальные коэффициенты с, в задаче (3-4)-(3-6) неположительны, а коэффициенты аи неотрицательны

Ц=[сп,с(2]<0,1=1п\

«у = [%» aij.2 ] ^ 0, / = 1, mj = l,w. (15)

Для этого случая введем нижнюю граничную задачу в виде

С12*П +• Сп2Хп\ -> шах

«11,1*11 + . • «1м,1*м1 <¿11

«»»1,1*11 «»Ш,1*и1 ^ьт

Хц >0,.>0 , (18)

и верхнюю граничную задачу в виде

спх,2 + ... + си1х„2 -> шах , (19)

«11.2*12 + -" + «1/»,2*и2 -^12 , --------------------------, (20)

[«»»1,2*12 + " + «»»»,2*»2 -«»»2

*12 -0,...,х„2 >0, (21)

т. е. нижняя (верхняя) граничная задача получается из интервальной задачи (3-4)-(3-6) заменой всех интервальных неизвестных их нижними (верхними) границами, всех интервальных коэффициентов целевой функции их верхними (нижними) границами и всех интервальных коэффициенте системы ограничений -их нижними (верхними) границами.

Условия сводимости интервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (15) к паре детерминированных граничных задач таковы.

Теорема 5. Для того чтобы интервальный вектор

неизвестных х = (л*1,лг2], где х1 =||*;|| - минимальный и х~ — ||х('21| - максимальный детерминированные

векторы неизвестных, был решением интервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (15), необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя граничная задача имела решение х1, а верхняя

граничная задача - решение х , и было выполнено неравенство (8).

Доказательство аналогично доказательству теорем 1, 3 главы 3, с таким уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (3-4) используется вторая формула (3-8), а произведений интервалов в (3-5) -первая формула.

Из теоремы 5 вытекает такая теорема существования решения.

Теорема 6. Для того чтобы интервальная задача линейного программирования (34)-{3-6) в случае (15) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы имели

решения х1 =|*л I их“ = I*,-г I ^ нижняя и верхняя

граничные задачи, и было выполнено неравенство (8).

Согласно теоремам 5, 6 алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (З-^НЗ-б) в случае (15) совпадает с алгоритмом для случая (3-9) при соответствующей замене нижней и верхней граничных задач.

5. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ 7

В этом случае интервальные коэффициенты с, в задаче (3-4)-(3-6) неположительны, а коэффициенты 2?у разнозначны (содержат нуль)

Ц = [с,ї , сп 1 - 0, / = 1, л;

«»у = [«»у.1»«»у,2 ]»«»),1 <0<«»у,2>|' = ІІИ,У = !>"• (22)

Для этого случая введем нижнюю граничную задачу в виде

сп*12 + ... + с„,хи2 -> шах (23)

при ограничениях (11), (12), и нижнюю граничную задачу в виде (16), (13), (18). Таким образом, здесь, как и в случае (9), нижняя и верхняя граничные задачи связаны. При этом верхняя граничная задача получается из интервальной задачи (3-4)-(3-6) заменой всех ин-тервальных коэффициентов целевой функции их нижними границами, а интервальных неизвестных - их верхними іратгицами; заменой в системе оіраничегшй всех интервальных неизвестных их верхними границами, а всех ингервальиых коэффициентов - сначала их нижними, а затем - верхними границами, с объединением результатов. Нижігяя іраничная задача имеет целевую функцию, получаемую из целевой функции интервальной задачи (3-4)-{3-6) заменой всех интервальных коэффициентов их верхними границами, а всех интервальных неизвестных - нижггими грашщами, и систему ограничений на нижние границы интервальных неизвестных в виде двухсторонних неравенств (13),(18).

Условия сводимости ингервальной задачи (3—4)-(3-6) в случае (22) к паре детерминированных гратгич-ных задач дает

Теорема 7. Для того чтобы интервальный вектор

неизвестных х =(х1,х2), где х1 =||*,і|| - минимальный и х2 = ||х/21| - максимальный детерминированные

векторы неизвестных, бьгл решением ингервальной задачи линейного программирования (3-4)-(3-6) в случае (22), необходимо и достато1шо, чтобы ее верхняя граничная задача имела решение х2, а построенная по ней нижняя граничная задача - решение х1.

Доказательство аналогично доказательству теорем 1, 3 главы 3, со следующим уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (34) используется вторая формула (3-8), а произведений интервалов в (3-

5) - третья формула.

Из теоремы 7 следует теорема существования решения.

Теорема 8. Для того чтобы интервальная задача линейного программирования (34)-(3-6) в случае (22) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы имели решения х~ = ||*,-21| и х' =||*,і|| ее верхняя и нижняя граничные задачи.

Теоремы 7, 8 определяют алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (34)-(3-6) в случае (22), совпадающий с алгоритмом для случая (9), при соответствующей замене нижней и верхней граничных задач.

6. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАИ 8

Здесь интервальные коэффициенты с- в задаче (34)-(3-6) разнозначны (содержат в себе нуль), а коэффициенты аи неотрицательны

3 = 1с/| > Сі2 ]>С,1 < 0 < С,.2, / = 1,п\

я,у = [аі]Ьаіі2]>0,і = 1,/я, у = 1,и. (24)

Введем для данного случая первую и вторую верх-нюю граничную задачи ингервальной задачи (3-4)-(3-6), с целевыми функциями соответственно (23), (10) и одинаковой системой ограничений (20), (21).

Условия сводимости интервальной задачи (34)-(3-6) в случае (24) к паре детерминированных граничных задач таковы.

Теорема 9. Для того чтобы интервальный вектор

неизвестных х = [х'.х21, где х1 =||*,і|| - минимальный и х2 = ||*і2 I - максимальный детерминированные

векторы неизвестных, был решением интервальной задачи линейного программирования (3-4НЗ-6) в

случае (24), необходимо и достаточно, чтобы х было общим решением ее первой и второй верхних граничных задач, а х1 -любым вектором в интервале

х2 > х1 > 0, (25)

удовлетворяющим системе ограничений (17).

Доказател і.ство аналогично доказательству теоремы 5 главы 3 с таким уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (3—4) используется третья формула (3-8), а произведений интервалов в (3-5) -первая формула.

Из теоремы 9 вытекает такая теорема существования решения.

Теорема 10. Для того чтобы интервальная задача линейного проіраммирования (34)-(3-6) в случае (24) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы имели

общее решение х" = I*,21 66 первая и вторая верхние

іраничние задачи, а система ограничений-неравенств

(17) имела решение х1 = ||хп || в интервале (25).

Алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (34)-(3-6) в случае (24) следующий.

Шаг 1. Отыскание решения ' х2 = Цх/21| первой

верхней граничной задачи (3—4)-(3-6), с использованием какого либо известного метода решения детерминированных задач линейного программирования, например, симплекс-метода.

Шаг 2. Отыскание решения "х2 =||*/2|| второй

верхней граничной задачи задачи (3—4)-(3-6) с использованием тех же методов, что и на шаге 1.

Шаг 3. Сравнение х2 с х2, полученных на

шаге 1 и 2. Если х2 / х2, то решения зада™ (34)-(3-6) не существует и конец процедуры. Если

х' = "х2 =х~ = ||х,21|, то переход к шагу 4.

Шаг 4. Решение системы линейных ограничений-неравенств (17), при дополнительных ограничениях

(25). Выберем любой вектор-решение х1 = Цх,, ||.

Шаг 5. Составление искомого решения х интервальной задачи (3-4)-{3-6) из найденных решений

X2 = ||*/21 И X1 =||*,1|| первой и второй верхних граничных задач и систем неравенств (17), (25) по правилу (14).

7. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ. СЛУЧАЙ 9

В этом случае интервальные коэффициенты с, в задаче (3-4)-(3-6) разнозначны (содержат в себе нуль), а коэффициенты неположительны

Ц = \сп,сп ],сл < 0 < са, / =10;

«у = К.1 > аол = т ’У = " (26)

Определим для этого случая первую и вторую верхнюю граничную задачи интервальной задачи (3—4)—(3—6), с целевыми функциями соответственно (23), (10) и одинаковой системой ограничений (6), (7).

Условия сводимости интервальной задачи (34)-(3-6) в случае (26) к паре детерминированных граничных задач таковы.

Теорема 1 1. Для того чтобы интервальный вектор неизвестных, х = [х1 ,х21, где х1 = |хл| - мини-%

мальный их" = ||*/21 ~ максимальный детерминированные векторы неизвестных, был решением интервальной задачи линейного программирования (34)-(3-

6) в случае (26), необходимо и достаточно, чтобы х2 был общим решением ее первой и второй верхних граничных задач, а х1 - любым вектором в интервале (25), удовлетворяющим системе ограничений (3).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 главы 3 со следующим уточнением: для раскрытия произведений интервалов в (34) используется третья формула (3-8), а произведений интервалов в (3-5) - вторая формула.

Из теоремы 11 вытекает такая теорема существования решения.

Теорема 12. Для того чтобы интервальная задача линейного программирования (3—4)—(3—6) имела решение в случае (26), необходимо и достаточно, чтобы имели

общее решение х~ =||*/21 ее первая и вторая верхние

граничные задачи, а система ограничений-неравенств (3)

имела решение х] =||*,||| в интервале(25).

Теоремы 11, 12 определяют алгоритм отыскания решения интервальной задачи линейного программирования (З^НЗ-6) в случае (26), совпадающий с алгоритмом для случая (24), при соответствующей замене первой и второй верхних граничных задач на шагах 1,2 и системы ограничений - на шаге 4.

8. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ В ОБЩЕМ (НЕОДНОРОДНОМ) СЛУЧАЕ

До сих пор рассматривались полностью или частично однородные интервальные задачи линейного программирования. Теперь рассмоірим общую (неоднородную) интервальную задачу линейного программирования (3-4)—(3—6). Такая задача характеризуется тем, что ее коэффициенты, принадлежащие даже одной группе (группе с] или іругаїе аи ), имеют различные знаки.

Например, часть коэффициентов с, может был. неотрицательна, другая часть - неположительна, третья - разнозначна. Дегерминизация неоднородных интервальных задач линейного проіра ммирования осуществляется по той же схеме, что и для полностью или частично однородных задач, на основе формулы (3-8) умножения интервалов и правил (§§ 1-2, 1-3) их сравнения и выбора экстремального интервала. Однако, для того чтобы сформулировать единую теорему о сводимости любой неоднородной тггервальной задачи линейного ироірам-

мирования к соответствующей паре детерминированных іраничньїх задач (как это делалось в однородных случаях), надо использовать векторно-матричную запись условий задачи. В то же время каждую конкретную неоднородную интервальную задачу можно детерминизиро-вать отдельно, используя указанную выше общую схему.

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный в предыдущей главе общий подход к решению задачи линейного программирования с интервальными коэффициентами позволяет решать любую задачу этого класса, путем ее сведения к двум аналогичным задачам с точечными коэффициентами, определяющими нижнюю и верхнюю границы искомого интервального решения исходной задачи. При этом, в отличие от точечных задач линейного программирования, всегда имеющих решение (при замкнутой области ограничений), интервальные задачи в ряде случаев (в первую очередь, в случаях 3, 8-10) могут для конкретных численных значений коэффициентов не иметь решения. Отсутствие решений в некоторых случаях у интервальной задачи линейного программирования есть плата за недостаточность информации о коэффициентах задачи, заданных лишь с точностью до интервала. Получив эту информацию, можно добиться наличия решения в любом случае интервальной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин В.И. Интервальная модель общей задачи линейного программирования. Однородный случай // Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т 3. Вып. 4. С. 401-407.

2. Левин В.И. Недетерминистская дискретная оптимизация // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7.

Поступила в редакцию 6 января 1999 г.