Транспортная задача, линейного программирования с интервальными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.58

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

© B.H. Jleuiui

Levin V.l. The transport problem of linear programming with interval parameters. A method is proposed to solve transport problems of linear programming with inaccurate (interval) coefficients. It is based on the theory of interval comparison and extremal interval choice.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [ 1 ] был предложен некоторый новый подход к решению недетерминированных задач математического программирования, в которых параметры целевой функции и ограничений заданы интервалами возможных значений. Подход основан на разработанных мегодах прямого сравнения интервалов и определении экстремального интервала. Его достоинство -возможность сведения недетерминированной задачи к решению двух соответствующих детерминированных задач, в которых параметры целевых функций и ограничений определяются нижними и верхними границами интервалов - параметров исходной задачи. Этим путем в главе 1 была решена интервальная задача о назначениях, в главе 2 - задача интервального булева линейного программирования и в главах 3, 4 - общая задача линейного программирования в интервальной постановке. Представляется естественным распространить предложенный подход на транспортную задачу линейного программирования. Особенность интервального варианта этой задачи по сравнению с рассмотренными ранее задачами заключается в его смешанном характере, когда коэффициента при неизвестных у целевой функции - интервальные, а коэффициенты при неизвестных в ограничениях - детерминированные величины. С другой стороны, ограничения в транспортной задаче линейного про1раммироваиия имеют специальный вид по сравнению с ограничениями в общей задаче линейного программирования. Все это делает целесообразным выделе!ше транспортной задачи линейного программирования в отдельный случай, для которого ищутся более эффективные, чем в общем случае, методы решения. Как и в главах 3, 4, будем искать неизвестные, являющиеся решением этой задачи, в той же форме, в которой заданы ее параметры, т. е. в виде интервалов возможных значений.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Детерминированный вариант транспортной задачи, как известно, состоит в определении минимума линейной функции

т п

О (* ):55 £ X СчХЦ = Ш‘П > 0 )

1=1 У=1

при наличии ограничении п --- т

2>у < Ьь / —\т, ^ ь% У = Ъ" > (2)

/=1 1=1

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных

Х0 > 0, ¡ = \,т ; У = 1л. (3)

Здесь Х,у - неизвестный план перевозок продукции ОТ /-ГО производителя К У-му потребителю, Су - СТОН-МОСТ!» перевозок единицы продукции от /-го производителя к /-му потребителю, Ь1 - производительность /-/

го производителя, Ь] - потребность у-го потребителя. Все эти величины образуют соответствующие векторы и матрицы: X = Цлг^Ц - матрицу объемов перевозок от

производителей к потребителям, С = ¡Су | - матрицу стоимостей перевозок от производителей к потребителям, Ь =||^,|| - вектор производительностей, // = ||б'|

- вектор потребностей. Коэффициенты , А,, Ь'} в

(1)—(3), по смыслу задачи, являются неотрицательными величинами. Таким образом, требуется найти такой (оптимальный) план перевозок от производителей к потребителям, при котором суммарные перевозки от каждого производителя ко всем потребителям не превышают его производительности, суммарные перевозки от всех производителей к любому потребителю покрывают его потребность, а суммарная стоимость перевозок минимальна.

Задача (1)—<3) представляет собой некоторую стандартную задачу линейного программирования, т. е. •задачу с ограничениями-неравенствами. Эта задача имеет решение при следующем необходимом и достаточном условии

т п

2>, > , (4)

/=1 /=1

т. е. когда суммарная производительность превышает суммарную потребность (точнее, не меньше ее). Для отыскания решения транспортной задачи (1)—(3) разработан ряд специальных -эффективных методов, главные из них - распределительный и метод потенциалов.

Недетерминированная (интервальная) транспортная задача, изучаемая ниже, отличается от задачи (1)—(3) тем, что коэффициенты в ней имеют вид замкнутых

интервалов сь = [с,у,, су2 \, Ь1 = [б„ ,Ьа\,

Ь' = [/>',, Ь'р_ ], в которых находятся возможные значения их величин, причем конкретные значения коэффициентов внутри указанных интервалов неизвестны. Так что матрица коэффициентов с,у целевой функции задачи (1) является здесь интервальной матрицей

С=\[сІЛ>Су2ІІ = ]рьС2і где С, =||с.

- мини-

мальная, а С2 = су 2

- максимальная детерминированные матрицы коэффициентов, составленные из минимальных (максимальных) значений коэффициентов. Аналогично, имеем интервальный вектор ограничений

сверху Ь = р | = 1(6,.,, Ьа || = [г>! А ], где А, =¡6,, | -

минимальный, а Ь2 = |б,-21| - максимальный детерми-

нированный вектор ограничений сверху, составленный из минимальных (максимальных) значений этих ограничений.

Также имеем интервальный вектор ограничений снизу Ъ = Цб/Ц = \fbjubj2 ]| = [ь[,ь'г ]. где ь\ = Ц^Ц ~

минимальный, а Ь2 — Ц^угЦ - максимальный детерминированный вектор ограничений снизу, составленный из минимальных (максимальных) значений этих ограничений.

Введенные интервальные параметры позволяют представить интервальную транспортную задачу в таком виде: определил, минимум линейной функции

<?(^)=Х ¿СуХу = тій ,

(5)

.=1 у=1

при наливши линеиных ограничении

¿?У <ЬІУі=\т \ ¿Ху > Ь],у = 1п , (6)

>=1

/=|

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных

так что имеем интервальную матрицу неизвестных = [а |,Х2 ], где X | = ||х,

Х = ру Н1*.У'’*»У2

•у1|

минимальная, а Х2 =|ху-2|| - максимальная детерми-

нированные матрицы неизвестга»1х, составленные из минимальных (максимальных) значений неизвестных.

Интервальные коэффициенты с1}, Ь,, Ь' в (5)-(7), по

смыслу задачи, являются неотрицательными интервалами. Итак, в задаче (5)—(7), в отличие от задачи (1)-(3), неизвестные, коэффициенты при неизвестных и свободные члены - интервалы. Согласно интервальному анализу (см. также главы 1, 2), произведете и сумма интервалов есть интервал. Поэтому выражения в (5), (6) при любых значениях неизвестных равны интервалам. Так что решение задачи (5)-<7) - это набор неизвестных интервалов Ху , / = 1,т , у = 1,п , удовлетворяющих условию неотрицательности (7), которому соответствует минимальное значение суммарного интервала в (5), при выполнении системы ограничений-неравенств между интервалами (6). Видам, что отыскание решения задачи (5)—<7) требует сравнения интервалов, выбора экстремального интервала и конструирования алгоритма такого сравнения и выбора экстремума. Эти три проблемы решены в главе 1, результаты которой мы используем здесь для нахождения условий существования решения задачи (5)-(7), структуры этого решения и алгоритма его отыскания. Также используем правила действий над интервалами из главы 2.

3. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Решим поставленную интервальную задачу (5)—(7) методом детерминизации, сведя ее к двум аналогичным детерминированным задачам (1)-(3). Назовем нижней (верхней) граничной задачей интервальной задачи (5)-(7) такую детерминированную транспортную задачу (1)—(3), которая получается из (5)-(7) заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных их нижними (верхними) границами. Таким образом, нижняя граничная задача имеет вид: определить минимум линейной функции

✓ \

(?і і) - X Хс//1*у1 = «=1 7=1

(9)

при наличии линеиных ограничении

</>,,,/'-\т ; >Ь'.Ъу =1,п, (10)

М

»=1

Ху > 0,/' = 1/7/ ; у=1,п .

(7)

Неизвестные в задаче (5)—(7) шцутся в той же интервальной форме, в которой заданы параметры целевой функции и ограничений

=куь*»у2.1’

(8)

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных

Ху\ >0,і = \,т ; У =1/7.

(11)

Верхняя граничная задача имеет вид: найти минимум линейной функции

т п

2)SX Yjcij2xij2 = min» i=l /=1

при наличии линеиных ог раничении

(12)

7=1

1=1

и дополнительном условии неотрицателі»ности неизвестных

xiy2 >0,/ = l,m ; 7= L/i

(14)

Сводимость интервальной транспортной задачи (5)-(7) к детерминированным транспортным задачам (1НЗ) определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Для того чтобы интервальная

матрица неизвестных X = ], где Х} = ||л*у]|| -

минимальная, а Х2 = Ц-^/уг || " максимальная детерминированные матрищл неизвестных, была решением интервальной транспортной задачи (5}-(7), необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя граничная задача (9)-

(11) имела решение Х], а верхняя граничная задача

(12)-( 14)- решение X2 и было выполнено неравенство

,V,<AY

(15)

Доказательство. Согласно условиям задачи (5)-(7), все перемножаемые интервалы в (5) неотрицательны. Поэтому произведения интервалов в (5) можно раскрыть по первой формуле (3-8). В результате получим задачу (5)-(7) в эквивалентной форме

Qyt )= X X [CiflXffi, cij2xij2 ] = min ,

,=1 У=1

п ---

І,[хІЛ,Ху2]<[ЬІЬЬі2],і =lm,

7=1

m ---

l,\Xiß,xiA]>[b'ß,bj2lj = ln, i=i

[xij\,xij2]>0,i = lm; j-\n.

Или, после суммирования интервалов по правилу (2-2), в форме

т п т п

X ХСу1*у1>Х ХСу2*у2 1=1 >=1 1=1 7=1

(16)

Х*у1>Х*у2

7=1 7=1

т т

Х*уиХ*у2 1=1 1=1

[xiß,xij2]>0j = \,m ; у =1/7. 440

(17)

(18)

По правилу выбора экстремального интервала §§ 1—

2, 1-3 условие (16) эквивалентно паре условий

т п

X XСщХщ= min, 1=1 7=1

т п

X ХСу2*у2 = min 1=1 7=1

(19)

(20)

Далее, по правилу сравнения интервалов § 1-2 условия (17) эквивалентны паре условий

п ---- т ---

¿я,.* <Ьп,¡ = Ът ; Х*у1 >6',,у =1/7, (21)

7=1

1=1

Xху2 ^ bi2J = \т ; Xху2 >b'j2,j = ln. (22)

7=1

i=i

Наконец, по определению неотрицательности интервалов условия (18) эквивалентны паре условий

х jß >0,/ = 1,/н ; У = lw, xij2 ; у =1,я.

(23)

(24)

Итак, интервальная транспортная задача (5)-(7) эк-вивалентна двухкритериальной задаче линейного программирования (19)—(24). В последней ограничения на неизвестные (21), (23) относятся только к критерию оптимизации (19), а ограничения на неизвестные (22), (24) - только к критерию оптимизации (20). Следовательно, шгтервальная транспортная задача (5)-(7) эквивалентна паре детерминированных однокритериальных задач линейного программирования (19), (21), (23) и (20), (22), (24). Обе они - детерминированные транспортные задачи вида (1)—(3), причем первая есть нижняя граничная задача (9)-(11) интервальной транспортной задачи (5)-(7), а вторая - ее верхняя граничная задача (12)—(14). Сравнив интервальную задачу (5)-(7) и эквивалентную ей пару детерминированных граничных задач (9)-(11) и (12Н14), видим, что в интервальной матрице X =\Х^,Х2] детермшшрованные границы - матрицы АГ, = |У и Х2 =||*»у2| есть решения

соответственно нижней (9>—(11) и верхней (12)—(14) граничных задач. Отсюда, учитывая, что нижняя граница Х} любой интервальной матрицы всегда не превосходит ее верхней границы Х2 , получаем утверждение теоремы.

Теорема 1 показывает, что нижняя (верхняя) граничная задача интервальной транспортной задачи (5)-(7) есть детерминированная транспортная задача, решение которой дает нижнюю (верх!пою) границу интервального решения X = [\\,Х2 \ задачи (5Н7).

4. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ И АЛГОРИТМ ЕГО ОТЫСКАНИЯ

Из теоремы 1 вытекает следующая теорема существования решения.

Теорема 2. Для того чтобы интервальная транспортная задача (3)—(7) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя и верхняя граничные задачи имели решения Хх и Х2 , между которыми имеет место неравенство (15).

Теорема 2 дает условие существования решения интервальной транспортной задачи в терминах решений ее нижней и верхней граничных задач. Использование этого критерия существования решения требует предварительного решения обеих граничных задач, что не всегда удобно. Поэтому более удобен нижеследующий критерий существования решения интервальной транспортной задачи, выраженный частично в терминах параметров задачи.

Теорема 3. Для того чтобы интервальная транспортная задача (3)-(7) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарная интервальная производительность была не меньше суммарной интервальной потребности, т. е. выполнялось неравенство

т п

»=1 7-І

(25)

и, кроме того, выполнялось неравенство (15) между решениями граничных задач задачи (3)-(7).

Доказательство. Согласно (4), для существования решения детерминированной транспортной задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы суммарная детерминированная производительность была не меньше суммарной детерминированной потребности.

Применим этот критерий к нижней и верхней граничным задачам интервальной транспортной задачи (5Н7). Получим, что для существования решения нижней граничной задачи (9)—(11) интервальной транспортной задачи (5)-(7) необходимо и достаточно выполнения неравенства

¿¿л - 5>/1

(26)

1=1

7=1

а для существования решения ее верхней граничной задачи (12)—(14) необходимо и достаточно выполнения неравенства

X^Í2 - Х^/2 •

.=1 7=1

(27)

По правилу сравнения интервалов § 1-2 пара неравенств (26), (27) эквивалента интервальному неравенству

1ьп,1ьа /= і (=1

x¿;„x¿;2

.7=1 7=1

(28)

которое, в свою очередь, по правилу суммирования интервалов (2-2) эквивалентно интервальному неравенству (25). Итак, для существования решений нижней и верхней граничных задач интервальной транспортной задачи (5)-(7) необходимо и достаточно выполнения неравенства (25). Заметов данным условием существования решений граничных задач требование их существования в теореме 2, получим теорему 3.

Теорема 3 позволяет проверять существование решения интервальной транспортной задачи (5)—(7) в два этапа, проверяя сначала выполнение неравенства (25), для чего не требуется решать граничные задачи, и лишь после установления выполнения неравенства (25) решая две гранигщые задачи. Благодаря этому во всех случаях, когда хотя бы одна граничная задача не имеет решения, необходимость выполнения наиболее трудоемкого второго этапа отпадает.

Из теорем 1-3 получаем следующий алгоритм отыскания решения интервальной транспортной задачи

(5X7)-

Шаг 1. Проверка выполнения интервального неравенства (25) [или, что то же самое, неравенства (28)). Если выполнено, то переход к шагу 2. Если не выполнено, то искомое решение задачи (5)—(7) не существует, и процедура окончена.

Шаг 2. Отыскание решения Л', = Цл^-, || нижней

граничной задачи задачи (5)-(7), с использованием какого-либо известного метода решения детерминированных транспортных задач, например, распределительного или метода потенциалов.

Шаг 3. Отыскание решения Х2 — | верхней

граничной задачи задачи (5)-(7), с использованием тех же методов, что и на шаге 2.

Шаг 4. Проверка выполнения неравенства (15). Если выполнено, то решение задачи (5)-(7) существует; переход к шагу 5. Если не выполнено, то решение не существует, и конец процедуры.

Шаг 5. Искомое решение X интервальной транспортной задачи (5)-(7) составляется из найденных решений Хх = ||*,уі|| и Х2 =||; граничных задач по правилу

ее нижнеи и верхней

X = \Х„Х2Цх,л,хп\

(29)

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенные в главе результаты показывают, что разработанный метод сравнения интервалов и выбора оптимального интервала, первоначально предназначавшийся для решения недетерминированных задач дискретного программирования, может быть применен также к решению недетерминированных непрерывных задач математического программирования. При этом сохраняется основное преимущество метода - возможность сведения недетерминированной (интервальной) оптимизационной задачи к двум детерминированным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин В.И. Интервальный подход к оптимизации в условиях неопределенности // Информационные технологии. 1999. № 1. С. 7-12.

2. ЮОинД.Б. Гольдштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио, 1964. 736 с.

3. Алефельд Г. Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М : Мир. 1987 360 с

4 Левин В.И. Интервальная модель общей задачи линейного программирования I. И II Вестн ТГУ Сер. Естеств и технич науки Тамбов, 1998. Т. 3. Вып. 4. С. 401-407; 1999. T 4. Вып. 3. С. 305-311 5. Левин В.И. Транспортная задача линейного программирования с интервальными параметрами // Вестн ТГУ Сер. Естеств и технич науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 3. С. 311-316.

Поступила в редакцию 23 октября 2001 г.