Нелинейная обратная задача с интегральным переопределением для некоторых параболических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.945

НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ*)

А. И, Кожанов

В работе изучается разрешимость задачи нахождения вместе с решением параболической системы также младших коэффициентов входящих в систему уравнений. В качестве условий переопределения рассматриваются условия интегрального типа. Для изучаемой системы доказываются теоремы существования и единственности. Работа является продолжением работы автора [1]; в указанной работе изучалась аналогичная задача, но с условиями финального переопределения.

Пусть х — точка ограниченной области В пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, t — точка конечного интервала (О, Т), ф — цилиндр В х (О,Т), Б = Г х (0, Т)

— боковая граница цилиндра ф. Далее пусть АДх, Ь), х,Ь), /¿(х,Ь), г = 1, 2, — заданные при (х,Ь) € ф функции, щ(х), ^о(х), щ(х) и щ(х)

— заданные при х € В функции, «¿(Ь), г = 1,2, — функции, заданные при Ь € [О,Т], и, наконец, фг(х,Ь), г = 1,2, — функции, заданные при х € Г, Ь € [О,Т].

Обратная задача. Найти функции и(х, £), ®_(х) и ®(х),

связанные в цилиндре ф уравнениями

и — А и + А1(х,г)и + ц\{х)и + = (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01—00796).

© 2008 Кожанов А. И.

vt — Д v + ^(x,t)v + q2{x)v + ^(x,t)u = /2(x,i), (2)

причем для функций u(x, t) н v{x, t) должны выполняться условия

u(x,0) = щ(х), v(x,0) = vo(x), x G D, (3)

Цх,^ |s = ^(x,t), v(x,t) Is = x,t), (4)

T T

/.»М^О^МА jaMH^J^nM, x G D (o)

о 0

В данной задаче условия (1)-(4) являются условиями прямой задачи (именно — первой начально-краевой задачи для системы параболических уравнений), условия же (5) суть интегральные условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвест-q x q x

но с заменой условий (5) условиями финального переопределения, рассматривалась автором в работе [1].

В случае ^(x,t) = ^(x,t) = 0 система (1), (2) распадается па два независимых уравнения, рассматриваемая обратная задача — на

u x,t v x,t q x q x ратные задачи для одного параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении в случае задания условия интегрального переопределения изучались ранее в работах [2-4]: в работах [2,3] — при некоторых условиях знакоопределенности входных данных, в работе [4] — при некоторых условиях малости. Именно подход работы [4] и будет нами использоваться.

Обозначим через H пространство

WД (Q) n LTO(Q) П LTO(0, T; Wl(D)), снабженное нормой

IMItf = llullw22-1 (Q) + IMIwq) + IMIl^(0 ,T;W(D) •

Определим необходимые нам функции и постоянные. Именно, положим

т

Fi(x) = j ai(t)/i(x, t)dt + ai(0)uo(x) + Aui(x), о

= J аг(г)/2(х,г) <М + а2(0)уо(х) + Ащ(х) о

Ам =ттА^х,г), = тах |^(х,г)|,

Я Я

сг = \\Л\\ь^(Я), Фю = \\Фг ,

а1 = \\и0Щ , а = КЩ , Кг = тах , аг, , г =1,2,

л АюА20 (^ , №оКз А = т—;- К1

АюА2о — М10М20 V. Аю

АюА2о (К + А10А20 — МЮМ20 V А20 /

N = А + тах

п

N = |а2(Т) |А2 + тах

п

А! J |а' (г) — | &

о

т

+А J |«1(г)м1(х,г) | &г

о

т

А J К (г) — а2(г)А2(х,г) | &г

о

т

+A1J |а2(г)М х,г)| &г I . о

Теорема 1. Пусть для функций Аг(х,г), х,г), /г(х,г), фг(х,г), аг(г), г = 1,2, ио(х), ^о(х), и(х) и VI (х) выполняются включения АДх,г) € С®, Мг(х,г) € с®, /г(х,г) € ф), а<(г) € С([0,Т]), х,г) € Б), ^(х € ^(В) п В), ^(х) € ШЦВ) п В), Гг(х) € В). Далее, пусть выполняются условия

щ(х) ^ к\ > О, VI (х) ^ к2 > 0, х € В; (6)

Лда >0, ¿ = 1,2; (7)

Fi{x) > mi >0, x e D; (8)

M10M20 < ЛоЛо, N ^ mi, N ^ m2; (9)

T

Ф1 (x, 0) = Uo(x), = vq(x), j a\(t)^\(x,t) dt = u\(x),

о

T

j U2{t)^2{x,t) dt = U2{x), x еГ. (10)

0

Наконец, пусть для функций фДx,t), u$(x) и vo(x)

краевые задачи

Ut - Aи+Л^^и =0,

Ui{x,t)\s = ^(x,t), U(x, 0) = uq(x), x e D, Ut -AU + h(x,t)U2 = 0, (11)

Uh{x,t)\s = ^h{x,t), U(x, 0) = vq(x), x e D, имеют решения U±(x,t) и U(x,t), принадлежащие пространству H .

Тогда обратная задача (1)-(5) имеет решение {u(x,t); v(x,t), qi(x), q2(x)} такое, что u(x,t) е H, v(x,t) e H, qi(x) e LTO(D), q2(x) e LTO(D), qi(x) q2{x) > 0 при x e D.

Доказательство. Определим срезающие функции G^£), i = 1,2:|

Г С, если \С\ < Ni, Gi{0 = ^ Ni, если С > Ni, [ -Ni, если С < -Ni. Пусть wi(x,t) и W2{x,t) — произвольные функции из пространства H. Определим функции уi{x,w\,w2) и qi(x,wi,w2):

fi(x,wi,w2) = -ai(T)u(x,T)

T T

+ J [a' (t) — a (t^i(x,t)]wi(x,t) dt — j ai(t)^i(x,t)w2(x,t) dt, о 0

т

т

+ / [а' (£) — а (х, ¿)]'Ш2 (х, Ь) &Ь

/

/

о

о

^(х) + ^(^(х,')) и (х)

д2(х,

^^ + С2(<Р2(х, '1, '))

Рассмотрим краевую задачу: найти функции и(х, Ь) и ^х, ¿), связанные в цилиндре Q уравнениями

иг — А и + А1 (х, Ь)и + (х, '2)и = /±(х, Ь) — Ь)'2, (1')

— АV + ^(х, + ^(х, ', '2)у = /2(х, Ь) — №(х, (2')

причем для функций и{х, Ь) н у(х, Ь) должны выполняться условия (3)

Данная задача распадается на две независимые задачи, а именно

на две первые начально-краевые для линейных параболических урав-''

включений, условия (6), а также вследствие принадлежности функций '(х,Ь) и '2(х, Ь) пространству Н коэффициенты \2{х,Ь), д1(х,'1,'2), этих уравнений, а также правые части

будут ограничены в цилиндре Q. Вместе с условиями согласования

(первыми двумя равенствами условия (10)) и с условием (11) это озна-

''

(и(х, Ь), V(х, £)) такое, что и(х,Ь) € Н, € Н, см. [5].

'

(2'), (3), (4) порождает оператор Ф, действующий из пространства Н х Н

и (4).

Определим множество

Ш = {(и, V) е И х И : ||и||Ьте(< Д, < Д,

д(Ч)пь^(о,Т\Щ(В)) + ^^д№)пь^(о^ Дз}•

Покажем, что можно выбрать числа Д-Дз так, чтобы оператор Ф переводил множество Ш в себя.

Заметим, что вследствие условий (8) и (9) функции ц\{х, ^1,^2) и ^ (ж, ^2) будут неотрицательными на множестве В. Учитывая это свойство, условие (7) и применяя априорную оценку решений первой краевой задачи для параболических уравнений, получаем два неравенства

ЦиЦь^< К + ^Д, < К2 + ^^Д. (12)

Выберем числа Д и так, чтобы для них выполнялись неравенства

Д > г^2^— + ^ ) ,

^10^20 — М10М20 \ /

д > Л">Л*°-(к2 + ^)

Ацйго — МЮМ20 \ ^20 /

Д

Д

ДД

неравенств

||и||ьте(< Д, < Д

т. е. первых двух неравенств, определяющих множество Ш.

Интегральные оценки для решений краевой задачи (1'), (2'), (3), (4) (т. е. оценки в пространстве (ф)ПЬто(0, Т; Ш^В))) выводятся с помощью стандартного анализа подходящих скалярных произведений (см., например, [5,6]); эти оценки имеют вид

д(Ч)^ мь

Постоянные и М2 в этих оценках определяются лишь коэффициентами АДх,Ь), х, Ь), функциями /¿(х,Ь), аДЬ), фДх,Ь), щ(х), щ(х), иДх) и VI (х), а также числами Д и К2. Выберем теперь число Д так, чтобы выполнялось неравенство

Д > М + М2.

Очевидно, что при таком выборе числа Д для решений краевой задачи ''

щее множество Ш.

''

венств, определяющих множество Ш, означает, что оператор Ф, порожденный этой задачей, переводит множество Ш в себя.

Нх

Н

Пусть {'т(х,Ь),'2т(х,Ь)} — сходящаяся в пространстве Н х Н к элементу ('1(х,Ь), '2(х,Ь)) последовательность,

(ит(х,Ь)^т(х,Ь)) и (и(х,Ь),^и(х,Ь))

суть образы при действии оператора Ф пар

('1 т{х,г),'2т(х,г)) и ('1(х,г),'2(х,г))

соответственно,

(ит(х,г),vm(х,г)) = (ит{х,г) — и(х,г), vm(х,г) — -и(х,Ь)).

Имеют место равенства

итг — А ит + А1(х,Ь)ит + Ц1(х,'1,'2)ит = ^(х,Ь)('2 — ' т)

+ [д1{х,'1,'2) — ^(х,т1т ,'2т)} ит, (13)

Vmí — А Vm + А2(х^т + = — ' т)

+ [Ч2{х,'1,'2) — д2{х,'1 т ,'2т)} vm, (14) ит(х,0) = Vm(x,0) = 0, ит{х,Ь)\3 = Vm{x,i)= 0. (15)

Далее, разности х, ю) — х, т, ю2т), ^ = 1,2, представляются в виде

91 (х, — 91 (х, югт, т)

_ С (х, ю , ^2)) — С (^1 (х, ют, ют)) их

92^х, — 92(х, ют, ют)

_ — т ,Ы2 т))

% (х) '

Указанные представления, липшицевость функций СД£), а также сходимость функций юх(х, Ь) т(х, Ь), ю2(х, Ь) — ют(х, Ь) почти всюду в цилиндре ф к тождественно нулевой функции (вытекающая из сходимости в Н х Н последовательности {тт)} к элементу (ю1,ю2)) означают, что в равенствах (13) и (14) правые части почти всюду в ф сходятся к нулевой функции. Но тогда из оценок решений параболических уравнений в пространствах ф) и (ф)ПЬж(0, Т;Ш2(В)) и из равенств (15) следует, что последовательности {ит(х, Ь)} и х, Ь)}

Н

дает сходимость (ит ,vт) ^ (и^) в Н х Ни тем самым — непрерывность оператора Ф.

Докажем теперь, что оператор Ф компактен на пространстве Н х Н

Пусть {(^1 т(х, Ь), т(х, £))} — ограниченная в пространстве Н х Н последовательность, (ит(х,Ь)) суть образы при действии оператора Ф па пару (^т, т).

Семейства функций {ю1т(х,г)}, {ю2т{х,г)}, {ит(х,г)}, ^т(х,г)}

Н

положению, вторые два — вследствие априорных оценок в пространстве Н решений краевой задачи (1'), (2'), (3), (4). Из равномерной ограниченности указанных семейств вытекает, что существуют последовательность {тк} натуральных чисел и функции ю2(х,Ь),

и(х,~Ь) и такие, что при к ^ ж имеют место сходимости

Ы1тк(х,Ь) ^ юх{х,1), ю2тк(х,Ь) ^ ю2{х,Ь), итк{х,1) ^ и(х,Ь), Vmk{ х,Ь) ^ ^и(х, Ь) почти всюду в ф, ютЛх,г) ^ ю2тк{х,г) ^ ю2(х,г),

итк^ух,£) ^ u(x,t^,

vmЛх,Ь) ^ ^и(х, Ь) слабо в пространстве (ф).

Из этих сходимостей прежде всего следует, что предельные функции ю1(х,Ь), ю2(х,Ь), и(х,Ь) и ^и(х, Ь) будут связаны в цилиндре ф уравнениями (1') и (2'), и что для функций и(х,~Ь) и будут выполняться равенства (3) и (4). Повторяя теперь для последовательностей {ютЛх,г),-ш2тк(х,г)} и {(итк(х,Ь)^тк(х,Ь))} рассуждения, с помощью которых мы доказали непрерывность оператора Ф, нетрудно показать, что имеет место сходимость

Другими словами, для любой ограниченной последовательности {(^1 т( х,Ь),ю2 т( х,Ь))} найдется такая ее подпоследовательность {(^1 тЛ х,Ь),'ш2 тк (х,Ь)) }, что последовательность Ф((ю тк тк )) СХО-

Н х Н

оператора Ф.

Итак, оператор Ф переводит определенное выше множество Ш в

Нх Н

жество Ш замкнуто, выпукло и ограничено. Следовательно, в силу теоремы Шаудера оператор Ф имеет на множестве Ш неподвижные точки. Другими словами, существуют функции и(х,Ь) и из про-

Н

и — А и + А1 (х, Ь)и + (х, и, ^и + Ь)^ = / (х, Ь), г01 — Аги + Л2(х, Ь)^ + ц2{х, и, v)v + ^2(х, Ь)и = /2(х, Ь), а также условия (3) и (4).

Нетрудно установить, что для функций и и V имеют место оценки

1Мите(< А, < м.

Следствием этих оценок являются неравенства

\<Р1(х,и/о) \ < N1, \<р2{х,и/о) \ < N. Но тогда будут выполняться равенства

Сг( х,и^)) = ^( х,и/и), 1=1,2.

Положим

чЛх) =--, тх) =—

(16)

и\{х) ' VI (х)

Очевидно теперь, что функции и(х,Ь), и определенные указан-

ным образом функции ^ (х) и д2 (х) будут связаны в цилиндре Q уравнениями (1) и (2).

Умножим уравнение (1) (с функцией ц\{х), определенной выше) на функцию а(^) и проинтегрируем по отрезку [0,Т]. После несложных преобразований получим равенство

-А

а (¿)и(х, ¿) & — щ (х)

ю

ю

•#1.(х) I а\(Ь)и(х,Ь) А — и\(х) = О,

(17)

справедливое в области В. Учитывая, что функция ^(х) неотрицательна и что функция

т

¡а^фЛ* — щ(х) о

обращается в нуль на границе Г области Б (см. условия (10)), получаем, что из равенства (17) вытекает равенство

т

J а\(Ь)и(х,Ь) &Ь = и\(х), о

справедливое в области Другими словами, для функции и(х,Ь) выполняется условие интегрального переопределения (5).

Аналогично показывается, что условие интегрального переопределения (5) будет выполняться и для функции

Итак, найденные функции и(х,~Ь), 9\{х) и 92 (х) будут свя-

заны в цилиндре ( уравнениями (1) и (2), для этих функций будут выполняться условия (3)^(5) и, наконец, эти функции будут принадлежать указанным в теореме классам. Следовательно, функции и(х,Ь), 91 (х), 92(х) дают искомое решение обратной задачи (1)-(5).

Теорема доказана.

Теорема Шаудера, использованная по ходу доказательства теоремы 1, не позволяет утверждать, что решение обратной задачи (1)-(5) будет единственным. Частично прояснить ситуацию могут следующие рассуждения.

Положим

Тогда любые два решения

{и(х, Ь), Ь), 91 (х), 92 (х)}, |и(х, Ь), у(х, Ь), 9\ (х), 92 (х)}

Теорема 2. Пусть выполняются условия

М <1, М < 1, М2М4 < (1 - М1Х1 - М3)

обратной задачи (1)-(5) такие, что

и(х,~Ь) € Н, € Н, и(х,~Ъ) € Н, ;д(х,Ь) € Н,

91 (х) > О, ®(х) > О, ^(х) ^ О, ®(х) > О,

совпадают.

Доказательство. Положим ш(х,Ь) = и(х,г) — и(х,Ь), г(х,г) = — гд(х,Ь). Имеют место равенства

' — Аш + А1 (х, Ь)и) + {х)ш = (х) — (х)]и — ^ (х, Ь)г,

г — А г + Л2(х, + ц2(х)г = [^(х) — 92 (х)^ — №(х, ш(х,0) = г(х, 0) = 0, ш(х,Ь)= г(х,1)= 0.

Оценки принципа максимума для линейных параболических уравнений [5], неравенства (16) и введенные обозначения дают неравенства

< М+ М, ед < М|И|Ьте(+ М4|ии«(ед.

Очевидными следствиями этих неравенств и первых двух неравенств из условия теоремы является неравенство

^_ММ_и и

Это неравенство и третье неравенство из условия теоремы означают, что функция ш(х,~Ь) тождественно нулевая.

Очевидно, что и функция г(х,~Ь) является тождественно нулевой. Из совпадения функций и{х, Ь) и и(х,~Ь), и следует

совпадение функций щ(х) и ^(х), ^(х) и ^(х). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Задача об определении коэффициентов при младших членах в слабо связанной параболической системе // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, вып. 2. С. 49-61.

2. Прилепко А. И., Костин А. В. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 3. С. 146-155.

3. Прилепко А. И., Костин А. В. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.

4. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, Вып. 6. С. 840-853.

5. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

6. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

г. Новосибирск

11 августа 2005 г.