Научная статья на тему 'Нелинейная обратная задача с интегральным переопределением для некоторых параболических систем'

Нелинейная обратная задача с интегральным переопределением для некоторых параболических систем Текст научной статьи по специальности «Электротехника»

CC BY
16
4
Поделиться

Аннотация научной статьи по электротехнике, автор научной работы — А. И. Кожанов

Исследуется обратная задача нахождения вместе с решением неизвестных коэффициентов в слабо связанной параболической системе. В качестве условий переопределения задаются интегральные условия. Доказываются теоремы существования и единственности регулярного решения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Нелинейная обратная задача с интегральным переопределением для некоторых параболических систем»

УДК 517.945

НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ*)

А. И, Кожанов

В работе изучается разрешимость задачи нахождения вместе с решением параболической системы также младших коэффициентов входящих в систему уравнений. В качестве условий переопределения рассматриваются условия интегрального типа. Для изучаемой системы доказываются теоремы существования и единственности. Работа является продолжением работы автора [1]; в указанной работе изучалась аналогичная задача, но с условиями финального переопределения.

Пусть х — точка ограниченной области В пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, t — точка конечного интервала (О, Т), ф — цилиндр В х (О,Т), Б = Г х (0, Т)

— боковая граница цилиндра ф. Далее пусть АДх, Ь), х,Ь), /¿(х,Ь), г = 1, 2, — заданные при (х,Ь) € ф функции, щ(х), ^о(х), щ(х) и щ(х)

— заданные при х € В функции, «¿(Ь), г = 1,2, — функции, заданные при Ь € [О,Т], и, наконец, фг(х,Ь), г = 1,2, — функции, заданные при х € Г, Ь € [О,Т].

Обратная задача. Найти функции и(х, £), ®_(х) и ®(х),

связанные в цилиндре ф уравнениями

и — А и + А1(х,г)и + ц\{х)и + = (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01—00796).

© 2008 Кожанов А. И.

vt — Д v + ^(x,t)v + q2{x)v + ^(x,t)u = /2(x,i), (2)

причем для функций u(x, t) н v{x, t) должны выполняться условия

u(x,0) = щ(х), v(x,0) = vo(x), x G D, (3)

Цх,^ |s = ^(x,t), v(x,t) Is = x,t), (4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

T T

/.»М^О^МА jaMH^J^nM, x G D (o)

о 0

В данной задаче условия (1)-(4) являются условиями прямой задачи (именно — первой начально-краевой задачи для системы параболических уравнений), условия же (5) суть интегральные условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвест-q x q x

но с заменой условий (5) условиями финального переопределения, рассматривалась автором в работе [1].

В случае ^(x,t) = ^(x,t) = 0 система (1), (2) распадается па два независимых уравнения, рассматриваемая обратная задача — на

u x,t v x,t q x q x ратные задачи для одного параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении в случае задания условия интегрального переопределения изучались ранее в работах [2-4]: в работах [2,3] — при некоторых условиях знакоопределенности входных данных, в работе [4] — при некоторых условиях малости. Именно подход работы [4] и будет нами использоваться.

Обозначим через H пространство

WД (Q) n LTO(Q) П LTO(0, T; Wl(D)), снабженное нормой

IMItf = llullw22-1 (Q) + IMIwq) + IMIl^(0 ,T;W(D) •

Определим необходимые нам функции и постоянные. Именно, положим

т

Fi(x) = j ai(t)/i(x, t)dt + ai(0)uo(x) + Aui(x), о

= J аг(г)/2(х,г) <М + а2(0)уо(х) + Ащ(х) о

Ам =ттА^х,г), = тах |^(х,г)|,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я Я

сг = \\Л\\ь^(Я), Фю = \\Фг ,

а1 = \\и0Щ , а = КЩ , Кг = тах , аг, , г =1,2,

л АюА20 (^ , №оКз А = т—;- К1

АюА2о — М10М20 V. Аю

АюА2о (К + А10А20 — МЮМ20 V А20 /

N = А + тах

п

N = |а2(Т) |А2 + тах

п

А! J |а' (г) — | &

о

т

+А J |«1(г)м1(х,г) | &г

о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т

А J К (г) — а2(г)А2(х,г) | &г

о

т

+A1J |а2(г)М х,г)| &г I . о

Теорема 1. Пусть для функций Аг(х,г), х,г), /г(х,г), фг(х,г), аг(г), г = 1,2, ио(х), ^о(х), и(х) и VI (х) выполняются включения АДх,г) € С®, Мг(х,г) € с®, /г(х,г) € ф), а<(г) € С([0,Т]), х,г) € Б), ^(х € ^(В) п В), ^(х) € ШЦВ) п В), Гг(х) € В). Далее, пусть выполняются условия

щ(х) ^ к\ > О, VI (х) ^ к2 > 0, х € В; (6)

Лда >0, ¿ = 1,2; (7)

Fi{x) > mi >0, x e D; (8)

M10M20 < ЛоЛо, N ^ mi, N ^ m2; (9)

T

Ф1 (x, 0) = Uo(x), = vq(x), j a\(t)^\(x,t) dt = u\(x),

о

T

j U2{t)^2{x,t) dt = U2{x), x еГ. (10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

Наконец, пусть для функций фДx,t), u$(x) и vo(x)

краевые задачи

Ut - Aи+Л^^и =0,

Ui{x,t)\s = ^(x,t), U(x, 0) = uq(x), x e D, Ut -AU + h(x,t)U2 = 0, (11)

Uh{x,t)\s = ^h{x,t), U(x, 0) = vq(x), x e D, имеют решения U±(x,t) и U(x,t), принадлежащие пространству H .

Тогда обратная задача (1)-(5) имеет решение {u(x,t); v(x,t), qi(x), q2(x)} такое, что u(x,t) е H, v(x,t) e H, qi(x) e LTO(D), q2(x) e LTO(D), qi(x) q2{x) > 0 при x e D.

Доказательство. Определим срезающие функции G^£), i = 1,2:|

Г С, если \С\ < Ni, Gi{0 = ^ Ni, если С > Ni, [ -Ni, если С < -Ni. Пусть wi(x,t) и W2{x,t) — произвольные функции из пространства H. Определим функции уi{x,w\,w2) и qi(x,wi,w2):

fi(x,wi,w2) = -ai(T)u(x,T)

T T

+ J [a' (t) — a (t^i(x,t)]wi(x,t) dt — j ai(t)^i(x,t)w2(x,t) dt, о 0

т

т

+ / [а' (£) — а (х, ¿)]'Ш2 (х, Ь) &Ь

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/

/

о

о

^(х) + ^(^(х,')) и (х)

д2(х,

^^ + С2(<Р2(х, '1, '))

Рассмотрим краевую задачу: найти функции и(х, Ь) и ^х, ¿), связанные в цилиндре Q уравнениями

иг — А и + А1 (х, Ь)и + (х, '2)и = /±(х, Ь) — Ь)'2, (1')

— АV + ^(х, + ^(х, ', '2)у = /2(х, Ь) — №(х, (2')

причем для функций и{х, Ь) н у(х, Ь) должны выполняться условия (3)

Данная задача распадается на две независимые задачи, а именно

на две первые начально-краевые для линейных параболических урав-''

включений, условия (6), а также вследствие принадлежности функций '(х,Ь) и '2(х, Ь) пространству Н коэффициенты \2{х,Ь), д1(х,'1,'2), этих уравнений, а также правые части

будут ограничены в цилиндре Q. Вместе с условиями согласования

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(первыми двумя равенствами условия (10)) и с условием (11) это озна-

''

(и(х, Ь), V(х, £)) такое, что и(х,Ь) € Н, € Н, см. [5].

'

(2'), (3), (4) порождает оператор Ф, действующий из пространства Н х Н

и (4).

Определим множество

Ш = {(и, V) е И х И : ||и||Ьте(< Д, < Д,

д(Ч)пь^(о,Т\Щ(В)) + ^^д№)пь^(о^ Дз}•

Покажем, что можно выбрать числа Д-Дз так, чтобы оператор Ф переводил множество Ш в себя.

Заметим, что вследствие условий (8) и (9) функции ц\{х, ^1,^2) и ^ (ж, ^2) будут неотрицательными на множестве В. Учитывая это свойство, условие (7) и применяя априорную оценку решений первой краевой задачи для параболических уравнений, получаем два неравенства

ЦиЦь^< К + ^Д, < К2 + ^^Д. (12)

Выберем числа Д и так, чтобы для них выполнялись неравенства

Д > г^2^— + ^ ) ,

^10^20 — М10М20 \ /

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д > Л">Л*°-(к2 + ^)

Ацйго — МЮМ20 \ ^20 /

Д

Д

ДД

неравенств

||и||ьте(< Д, < Д

т. е. первых двух неравенств, определяющих множество Ш.

Интегральные оценки для решений краевой задачи (1'), (2'), (3), (4) (т. е. оценки в пространстве (ф)ПЬто(0, Т; Ш^В))) выводятся с помощью стандартного анализа подходящих скалярных произведений (см., например, [5,6]); эти оценки имеют вид

д(Ч)^ мь

Постоянные и М2 в этих оценках определяются лишь коэффициентами АДх,Ь), х, Ь), функциями /¿(х,Ь), аДЬ), фДх,Ь), щ(х), щ(х), иДх) и VI (х), а также числами Д и К2. Выберем теперь число Д так, чтобы выполнялось неравенство

Д > М + М2.

Очевидно, что при таком выборе числа Д для решений краевой задачи ''

щее множество Ш.

''

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

венств, определяющих множество Ш, означает, что оператор Ф, порожденный этой задачей, переводит множество Ш в себя.

Нх

Н

Пусть {'т(х,Ь),'2т(х,Ь)} — сходящаяся в пространстве Н х Н к элементу ('1(х,Ь), '2(х,Ь)) последовательность,

(ит(х,Ь)^т(х,Ь)) и (и(х,Ь),^и(х,Ь))

суть образы при действии оператора Ф пар

('1 т{х,г),'2т(х,г)) и ('1(х,г),'2(х,г))

соответственно,

(ит(х,г),vm(х,г)) = (ит{х,г) — и(х,г), vm(х,г) — -и(х,Ь)).

Имеют место равенства

итг — А ит + А1(х,Ь)ит + Ц1(х,'1,'2)ит = ^(х,Ь)('2 — ' т)

+ [д1{х,'1,'2) — ^(х,т1т ,'2т)} ит, (13)

Vmí — А Vm + А2(х^т + = — ' т)

+ [Ч2{х,'1,'2) — д2{х,'1 т ,'2т)} vm, (14) ит(х,0) = Vm(x,0) = 0, ит{х,Ь)\3 = Vm{x,i)= 0. (15)

Далее, разности х, ю) — х, т, ю2т), ^ = 1,2, представляются в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

91 (х, — 91 (х, югт, т)

_ С (х, ю , ^2)) — С (^1 (х, ют, ют)) их

92^х, — 92(х, ют, ют)

_ — т ,Ы2 т))

% (х) '

Указанные представления, липшицевость функций СД£), а также сходимость функций юх(х, Ь) т(х, Ь), ю2(х, Ь) — ют(х, Ь) почти всюду в цилиндре ф к тождественно нулевой функции (вытекающая из сходимости в Н х Н последовательности {тт)} к элементу (ю1,ю2)) означают, что в равенствах (13) и (14) правые части почти всюду в ф сходятся к нулевой функции. Но тогда из оценок решений параболических уравнений в пространствах ф) и (ф)ПЬж(0, Т;Ш2(В)) и из равенств (15) следует, что последовательности {ит(х, Ь)} и х, Ь)}

Н

дает сходимость (ит ,vт) ^ (и^) в Н х Ни тем самым — непрерывность оператора Ф.

Докажем теперь, что оператор Ф компактен на пространстве Н х Н

Пусть {(^1 т(х, Ь), т(х, £))} — ограниченная в пространстве Н х Н последовательность, (ит(х,Ь)) суть образы при действии оператора Ф па пару (^т, т).

Семейства функций {ю1т(х,г)}, {ю2т{х,г)}, {ит(х,г)}, ^т(х,г)}

Н

положению, вторые два — вследствие априорных оценок в пространстве Н решений краевой задачи (1'), (2'), (3), (4). Из равномерной ограниченности указанных семейств вытекает, что существуют последовательность {тк} натуральных чисел и функции ю2(х,Ь),

и(х,~Ь) и такие, что при к ^ ж имеют место сходимости

Ы1тк(х,Ь) ^ юх{х,1), ю2тк(х,Ь) ^ ю2{х,Ь), итк{х,1) ^ и(х,Ь), Vmk{ х,Ь) ^ ^и(х, Ь) почти всюду в ф, ютЛх,г) ^ ю2тк{х,г) ^ ю2(х,г),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

итк^ух,£) ^ u(x,t^,

vmЛх,Ь) ^ ^и(х, Ь) слабо в пространстве (ф).

Из этих сходимостей прежде всего следует, что предельные функции ю1(х,Ь), ю2(х,Ь), и(х,Ь) и ^и(х, Ь) будут связаны в цилиндре ф уравнениями (1') и (2'), и что для функций и(х,~Ь) и будут выполняться равенства (3) и (4). Повторяя теперь для последовательностей {ютЛх,г),-ш2тк(х,г)} и {(итк(х,Ь)^тк(х,Ь))} рассуждения, с помощью которых мы доказали непрерывность оператора Ф, нетрудно показать, что имеет место сходимость

Другими словами, для любой ограниченной последовательности {(^1 т( х,Ь),ю2 т( х,Ь))} найдется такая ее подпоследовательность {(^1 тЛ х,Ь),'ш2 тк (х,Ь)) }, что последовательность Ф((ю тк тк )) СХО-

Н х Н

оператора Ф.

Итак, оператор Ф переводит определенное выше множество Ш в

Нх Н

жество Ш замкнуто, выпукло и ограничено. Следовательно, в силу теоремы Шаудера оператор Ф имеет на множестве Ш неподвижные точки. Другими словами, существуют функции и(х,Ь) и из про-

Н

и — А и + А1 (х, Ь)и + (х, и, ^и + Ь)^ = / (х, Ь), г01 — Аги + Л2(х, Ь)^ + ц2{х, и, v)v + ^2(х, Ь)и = /2(х, Ь), а также условия (3) и (4).

Нетрудно установить, что для функций и и V имеют место оценки

1Мите(< А, < м.

Следствием этих оценок являются неравенства

\<Р1(х,и/о) \ < N1, \<р2{х,и/о) \ < N. Но тогда будут выполняться равенства

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Сг( х,и^)) = ^( х,и/и), 1=1,2.

Положим

чЛх) =--, тх) =—

(16)

и\{х) ' VI (х)

Очевидно теперь, что функции и(х,Ь), и определенные указан-

ным образом функции ^ (х) и д2 (х) будут связаны в цилиндре Q уравнениями (1) и (2).

Умножим уравнение (1) (с функцией ц\{х), определенной выше) на функцию а(^) и проинтегрируем по отрезку [0,Т]. После несложных преобразований получим равенство

а (¿)и(х, ¿) & — щ (х)

ю

ю

•#1.(х) I а\(Ь)и(х,Ь) А — и\(х) = О,

(17)

справедливое в области В. Учитывая, что функция ^(х) неотрицательна и что функция

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т

¡а^фЛ* — щ(х) о

обращается в нуль на границе Г области Б (см. условия (10)), получаем, что из равенства (17) вытекает равенство

т

J а\(Ь)и(х,Ь) &Ь = и\(х), о

справедливое в области Другими словами, для функции и(х,Ь) выполняется условие интегрального переопределения (5).

Аналогично показывается, что условие интегрального переопределения (5) будет выполняться и для функции

Итак, найденные функции и(х,~Ь), 9\{х) и 92 (х) будут свя-

заны в цилиндре ( уравнениями (1) и (2), для этих функций будут выполняться условия (3)^(5) и, наконец, эти функции будут принадлежать указанным в теореме классам. Следовательно, функции и(х,Ь), 91 (х), 92(х) дают искомое решение обратной задачи (1)-(5).

Теорема доказана.

Теорема Шаудера, использованная по ходу доказательства теоремы 1, не позволяет утверждать, что решение обратной задачи (1)-(5) будет единственным. Частично прояснить ситуацию могут следующие рассуждения.

Положим

Тогда любые два решения

{и(х, Ь), Ь), 91 (х), 92 (х)}, |и(х, Ь), у(х, Ь), 9\ (х), 92 (х)}

Теорема 2. Пусть выполняются условия

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М <1, М < 1, М2М4 < (1 - М1Х1 - М3)

обратной задачи (1)-(5) такие, что

и(х,~Ь) € Н, € Н, и(х,~Ъ) € Н, ;д(х,Ь) € Н,

91 (х) > О, ®(х) > О, ^(х) ^ О, ®(х) > О,

совпадают.

Доказательство. Положим ш(х,Ь) = и(х,г) — и(х,Ь), г(х,г) = — гд(х,Ь). Имеют место равенства

' — Аш + А1 (х, Ь)и) + {х)ш = (х) — (х)]и — ^ (х, Ь)г,

г — А г + Л2(х, + ц2(х)г = [^(х) — 92 (х)^ — №(х, ш(х,0) = г(х, 0) = 0, ш(х,Ь)= г(х,1)= 0.

Оценки принципа максимума для линейных параболических уравнений [5], неравенства (16) и введенные обозначения дают неравенства

< М+ М, ед < М|И|Ьте(+ М4|ии«(ед.

Очевидными следствиями этих неравенств и первых двух неравенств из условия теоремы является неравенство

^_ММ_и и

Это неравенство и третье неравенство из условия теоремы означают, что функция ш(х,~Ь) тождественно нулевая.

Очевидно, что и функция г(х,~Ь) является тождественно нулевой. Из совпадения функций и{х, Ь) и и(х,~Ь), и следует

совпадение функций щ(х) и ^(х), ^(х) и ^(х). Теорема доказана.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Задача об определении коэффициентов при младших членах в слабо связанной параболической системе // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, вып. 2. С. 49-61.

2. Прилепко А. И., Костин А. В. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 3. С. 146-155.

3. Прилепко А. И., Костин А. В. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.

4. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, Вып. 6. С. 840-853.

5. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

6. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

г. Новосибирск

11 августа 2005 г.