Коэффициентом и неизвестной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.945

О РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ*)

Л, Ф, Борисова, А. И, Кожанов

Пусть В — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр В х (0,Т), 0 < Т < + го, Н(х,1), щ(х), щ(х) и и2(х) — известные функции, заданные при х £ £ [О,Т], — известная функция,

заданная при х £ Г, Ь € [О, Т], К(Ь) — известная функция, заданная при Ь £ [0, Т], наконец, А — известная положительная постоянная.

Обратная задача: Найти функции и(х, д(х) и %{х), связанные в цилиндре ф уравнением

и — А и + Аи + ц{х)и = Н(х, 1)ц$(х) + /(х, Ь), (1)

при выполнении для функции и(х,~Ь) условий

и(х, 0) = щ(х), х £ В, (2)

и(х,г)\3 = (5 = г х(о,Т)), (3)

т

и(х,Т) = и\(х), J К(~Ь)и(х,~Ь) & = х £ В. (4)

о

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01—00796).

© 2008 Борисова Л. Ф., Кожанов А. И.

В обратной задаче (1)-(4) условия (2) и (3) суть условия прямой краевой задачи для параболических уравнений (именно, первой начально-краевой задачи), условия же (4) — это условия переопределения, необходимые для нахождения двух дополнительных неизвестных функций ц{х) и цо{х). Ранее обратные задачи нахождения вместе с решением параболического уравнения коэффициентов д(х) и ^о(х), определяющих коэффициент поглощения (стока) и неизвестную правую часть, изучались в работах [1,2], но условия переопределения в указанных работах были отличными от условий (4). Отметим, что первое условие (4) принято в литературе называть «условием финального переопределения», второе же — «условием интегрального переопределения». Условие финального переопределения означает, что произведено измерение состояния среды в момент времени Т (вобще говоря, измерение можно произвести в любой промежуточный момент времени), условие же интегрального переопределения означает, что задана информация о средневзвешенном распределении температуры, или плотности, или же иной характеристике среды в случае, когда динамика изменения среды описывается параболическим уравнением.

Как и в работах [1,2], нам понадобится одно утверждение о разрешимости специальной нелокальной по времени краевой задачи для параболических уравнений.

Пусть а(х,£), <^о(х), ^(х) и ^(х) — известные функции, заданные при х € € [О, Т], Ф(х, £) — известная функция, заданная при х € Г, Ь € [О,Т]. Далее, пусть Я — пространство д(д) ПЬ1Х>(О), снабженное нормой

1М1я = |М|^22-1 (ОД + ,

V — пространство Я П д) с нормой

1Мк = 1М|я + |мите( од.

Уточним, что всюду ниже равенства или неравенства для функций из пространства Ьр или из того или иного его подпространства пони-

маются в смысле их выполнения почти всюду по мере Лебега на том или ином множестве.

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, являющуюся в цилиндре д решением уравнения

щ — Д и + ах, £)и = /(х, £) (5)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,£)= Ф(х,г), (6)

Т

и(х, 0) = <^о(х) + <^1(х)и(х, Т) + ^(х) ^ К(£)и(х,£) А. (7)

о

Положим

Т

= я), = Уь^^ 1

о

Утверждение. Пусть выполняются включения а(х,£) € д), /(х,*) € д), ^(х) € П Я), ^(х) € ^(Я) П Я),

о

<^2(х) € П Д), Ф(х,£) € Я), и пусть выполняются усло-

вия

а(х,*) ^ а > 0 при (х,£) € д; + < 1; Ф(х, 0) = <^о(х) ПРИ х € Г;

краевая задача

и — Ди + а0и = о, и(х,£) |Я = Ф (х,г), и(х,0) = ^о(х)

имеет решение и (х, принадлежащее пространству V.

Тогда краевая задача (5)-(7) имеет решение и(х, принадлежащее пространству V и такое, что для пего выполняются оценки

||и||^( ОД < 1—^—— тах {—У/од, я, ||ф||ь^( «)

1 — ^ — ^ «о

(8)

||и||и < М(||/||ь2(д) + ||иУн)

(9)

с постоянной М, зависящей лишь от функций а(х,£), <^о(х), <^1.(х) и ^(х), а также от области Б.

Доказательство данного утверждения в случае Ф(х,£) = 0 проведено в работе [3]; в случае же не тождественно нулевой функции Ф(х, £) мы можем воспользоваться процедурой сглаживания — именно, мы можем аппроксимировать задачу (5)-(8) семейством гладких задач, далее воспользоваться известными оценками решений параболических уравнений и затем с помощью предельного перехода получить требуемое утверждение (вся процедура сглаживания и предельного перехода в близкой ситуации осуществлена в работах [2,4]).

Вернемся к изучаемой обратной задаче.

Пусть V — пространство

V = {у(х,г): у(х,г) е V, х,г) е V};

норму в этом пространстве определим естественным образом:

1Мк = |Мк + Ык.

Определим необходимые функции и постоянные: т

^о(х)=и].(х) / К(£)^(х, — и(х)^(х,Т),

о

т

о

т

о

Ых,-Ь)и(х) Ых,г)щ(х) Ь\{х,Ь) = - -, Ь2{х,Ь) = — -

^(х ' ^(х)

В±(х,г) = ^ х,~Ь), В2(х,г) = Ьг х,~Ь),

Ь{х,Ь) = /(х,г) + { и2{х)[/{х,Т) + Ащ(х) — Хиг^х)}

—и

х

т

! К(г)/(х,г) & + Ди2(х) — \и2{х) ю

Р(х,г) = / г{ х,г),

<^о(х) = / (х, 0) Ащ(х) — Лщ(х) — Ло(х)ио(х),

Р1(х) = Ьх(х,0) — Л\(х)ио(х),

1р2(х) = Ь2(х,0) — Л2(х)щ(х),

т

л = 1Лщ, л =нл2в)}\т|¿г,

о

т

ВВ = УВ , В2 = ЦВ2\т\ ¿г,

о т

= В, = В У \К(г)\

о

Ко=1—^—— тах I тЧ^од, У^ощ, ^^с5)1 1 — — I Л0 J

Л0(1 — ^ — ф2у 1 — К

Л

Теорема 1 Пусть для функции /(х, М(х, щ(х), щ (х) и м(х, £) выполняются включения /(х,£) € д), /Дх,£) € д), /(х,0) € ^(Я), /(х,Т) € ^(Я), ММ) € д), ММ) € Ьто(д), и0(х) €

П Я), щ(х) € П Я), и2(х) € П Я),

Мх, ¿) € Я), х, ¿) € Я). Кроме того, пусть выполняются условия

Мо(х) > М0 > 0, А0(х) + Л — Л0 > а0 > 0 при х € Я; (10)

К<1, (А + ЛЖ < а0(1 — К); (11)

(12)

^1(х) = ^г(х) = 0 при х € Г; мДх,0) = ^о(х), м(х, 0) = и0(х), м(х, Т) = иДх), (14)

Т

J К(£)м(х,£) Л = щ(х) при х € Г. (15)

о

Наконец, пусть

для функций м(х,£) и ^о(х) выполняется условнекраевая задача и — Д и4 + Ли4 = 0| иД х,£) = мД х,£), иД х,0) = <^о(х), и(х,Т)=0 имеет решение, принадлежащее пространству V.

* (16)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение (и(х,£), д(х), ^о(х)} такое, что и(х,£) € V, д(х) € ®(х € Я).

Доказательство. Определим срезающую функцию С(С):

(С, если |С| < а0, а0, если С > а0, —ао, если С < —О).

Пусть «(х,£) — произвольная функция из пространства V- Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре

д

Т

Л +А0(х) + х,Т) + А2(х) / х,£)Л)

ип — Ди^

о

Т

иг

= .р(х,г) + В1(х,ф4(х,Т) + в2(х)Ук(ф4(х,г)л (17)

о

и такую, что выполняются условия

и х, и х ,

Т

щ(х, 0) = ^о(х) + (х)иг(х, Т) + <^2(х)У К(£)иг(х,£)Л, х € Я, (18)

о

а также условие (3).

Краевая задача (17), (18), (3) представляет собой прежде всего нелокальную по времени краевую задачу относительно функции иг(х, ¿).| Вследствие указанных в теореме включений, условий (10), (12), (13), первого равенства условия (14), ограниченности функции С(С), полоЛ

/ Т

А0(х) + Л — Л0 + С I Л(х)^(х, Т)+ Л(х) / К(фг(х,£) Л

(вытекающей из второго неравенства условия (11) и неравенства |С(С) | ^ ао), и, наконец, принадлежности функции «(х,£) пространству V для данной краевой задачи выполняются все условия приведенного выше утверждения. Следовательно, функцию иг(х,£) мы можем найти; эта функция будет принадлежать пространству V. Используя первое равенство условия (18), нетрудно найти и саму функцию и(х,£); очевидно, что эта функция будет принадлежать пространству V.

Все сказанное означает, что краевая задача (17), (18), (5) порождает оператор А, переводами пространство V в себя: А(Х = и. Покажем, что этот оператор имеет неподвижные точки.

Определим множество

Ш = Ых,г) е V ЧМк^од < М,

ОД < М, Ми + Ми < В}.

ММ и В) так, что множество Ш окажется множеством, которое оператор Л переводит в себя.

Прежде всего заметим, что оценка (8) дает для решений краевой задачи (17), (18), (5) неравенство

Ци«У < Ко + КИь^. (19)

Выберем число М\ так, чтобы выполнялось неравенство

м ^т—Кг

М

М

пз неравенства (19) будет следовать оценка

У^Н^од < м. (20)

Эта оценка означает, что при принадлежности функции у(х,г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться второе неравенство, определяющее искомое множество. Равенство

г

и(х,Ь) = J ит{х,т) ¿т + щ(х) (21)

о

дает очевидную оценку

УиУ^(од < МТ+ Ци0щ. М

ство

м > МТ+ Ци0щ,

то при принадлежности функции у(х, г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться и первое неравенство, определяющее множество Ш.

Уравнение (17) можно записать в виде

иы — А Щ + Лиг = В

где функция Г принадлежит пространству Q). Оценка (9) утверждения дает для решений этого уравнения (при выполнении условий (18) и (3)) неравенство

УигУи < Д

с постоянной Д1, определяющейся лишь числами М, М\, ЦГУь^ц), В, В и функциями К(г) и и(х,г). Далее, используя равенство (21) и последнее неравенство, нетрудно показать, что для самой функции и(х,г) имеет место аналогичное неравенство

УиУн < Д

с постоянной Д, определяющейся лишь числами Д, Т и функцией их

Пусть теперь число До, определяющее множество Ш, будет таким, что для пего выполняется неравенство Д ^ Д + Д. Очевидно, что при таком выборе числа Д при принадлежности функции у(х,г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться и третье неравенство, определяющее множество Ш.

ММ и До решение

и(х, г) кривой задачи (17), (18), (3) будет принадлежать множеству Ш. А это и означает, что выбранное множество Ш оператор Л переводит в себя.

Докажем теперь, что оператор Л непрерывен та пространстве V-Пусть последовательность функций {г>т(х,г)} сходится в пространстве V к функции у(х,Ь), ит(х, г) и и(х,Ь) — образы функций г>т(х, г) и ^(х, г) при действии оператора Л, ут{х,Ь) — функции ут(х,г) — г), ит(х,г) — функции ит(х,г) — и{х,г).

Функции ит(х, представляют собой решение краевой задачи

итИ — А итг

л + А (х) + С А (х)«г ( х, Т)

итг

о

Т

О

Т

СА(х)С х,Т) + А(х)У х,г)Л)—

о

Т

—С(А(х)«тДх, Т)+Л2(х)У К(фт4(х,^)

о

ит х,о) = о,

итг, (22)

итг ( х

(23)

о

ит х,^ |з = 0. (24)

Заметим, что вследствие сходимости в пространстве последова-

тельности «тг (х, 4) к тождественно нулевой функции, ограниченности функций А (х), А(х), В (х, ¿) и В(х, 4), а также непрерывности функции СО правая часть уравнения (22) будет почти всюду в ^ сходится к тождественно нулевой функции. Учитывая, что функцией и (х, 4) задачи (22)^(24) является тождественно нулевая функция и используя оценки (8) и (9), нетрудно показать, что будет иметь место сходимость последовательности {ит(х, ¿)}. Все же вместе доказанное и означает

А

Докажем, что оператор А компактен. Пусть {«т(х, ¿)} есть ограниченная последовательность функций из пространства V, {ит(х,£)}

— последовательность образов функций (х, 4) при действии оператора А. Оценки (8) и (9) дают нам ограниченность в пространстве V семейства функций {итДх,4)}; используя равенство (21) для функций ит(х,4), нетрудно показать, что и семейство {ит(х,4)} будет ограничено в пространстве V.

Равномерная ограниченность в пространстве V последовательностей {г>т(х,4)}, х,4)}, {ит(х, 4)}и{ит4(х,4)}, вложение Ш22Д (Ф) с! Шз1^), вполне непрерывность вложений ^^ ^ ^{ф), ^

и теорема о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду (см., например, [5]) дают нам существование подпоследовательностей {г>ть(х,4)} и {ить(х,4)}, а также функций «(х,4) и и(х,4) таких, что при к ^ то функции г>ть (x, 4), 4), «т((х,4) и итьДх,4) сходятся почти всю-

ду в ф к функциям -у(х,4), и(х,4), х, 4) и иДх, 4) соответственно, функции г>ть4(х, Т),

0) и ит^(х,Т) сходятся почти всюду в П к функциям х, Т), и(х,0), иДх.0) и иДх, Т) соответственно, н, наконец, функции ит4(х,4) сходятся слабо в пространстве (ф) к функции иДх, 4). Очевидно, что предельные функции и(х, 4) и «(х,4) будут связаны уравнением (17) и для функции и(х, 4) будут выполняться условия (18) и (3). Но тогда для функций «й(х, 4) = г>ть(х,4) — V (х, 4) и и^х, 4) = ить(х,4) — и(х,4) будут выполняться уравнение (21) и условия (23) и (24). Вновь, как и при

А

и первое равенство (22), получаем, что последовательность {и&(х,4)} будет сходиться в пространстве V к тождественно нулевой функции.

Из доказанного вытекает, что для всякой ограниченной в пространстве V последовательности функций {«т} из последовательности {А«т} можно извлечь сильно сходящуюся подпоследовательность. А это и означает, что оператор А компактен в пространстве V-

Итак, оператор А переводит выбранное выше множество Ш в себя, непрерывен и компактен на пространстве V • Поскольку множество Ш замкнуто, выпукло и ограничено, то все сказанное означает, что для

Л

оператор Л имеет в множестве Ш неподвижную точку — функцию и(х,г), являющуюся решением уравнения

ии—А Щ+

и Л

Л + Л0(х) + С ^Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) J К{Ь)иг{х,Ь)&

т

= Г(х,г) + В{х,Ь)иг{х,Т)В2(х,г) ^ К(г)щ(х,г)А (25)

и принимающую краевые условия (18) и (3).

Нетрудно убедиться, что для решений краевой задачи (25), (18), (5) имеет место оценка

УигУь^ОД < N. Эта оценка влечет неравенство

Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) / К(г)иг(х,г)А

< Л+ Л2)М0 при х е Б.

Второе неравенство условия (11) дает следущее неравенство:

Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) / К(г)иг(х,г)¿г

Но тогда для построенного решения краевой задачи (25), (18), (3) будет выполняться равенство

С ^Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) ! К(г)иг(x,t)dt

= Л\(х)щ(х, т) + Л2(х) JК(г)иг(х,г) ¿г

и тем самым уравнение (25) преобразуется в уравнение

т

и« - Аи4 + А + А(ж) + А (ж)и4(ж, Т)+А(ж) / К(£)иДж, 4)

о т

и4

= + ВДж^и^Т) + В2(:М)уК(г)и4(:М)Л. (26)

Положим

= А(ж) + А(ж)иД ж, т) + л2(ж)У к(£)иД ж,

ад (ж) =

^(ж)

М (ж)

К(£)/(ж, 4) Л + Ди2 (ж - Ам (ж)

— и2(ж)[/(ж,Т) + Дм (ж — АмДж)]

и2 (ж

^(а

-иД ж,Т)

м(ж)

Мж)

К(£)иДж, £)

Проинтегрируем уравнение (26) по переменной 4 в пределах от 0 до Т. Получим равенство

иДж, Т) — Ди(ж, Т) + Аи(ж, Т)Ч^(ж)и(ж, Т) = ^(ж, Т^о(ж) + /(ж, Т). (27)

С другой стороны, из представлений функций и ®(ж) вытекает равенство

т) = (ж — /(ж, т) — Д иДж) + Аи (ж + иД ж, Т). Следовательно, равенство (27) можно преобразовать к виду

—Д [и(ж,Т) — и^ж)] + [АЧ^(ж)][и(ж,Т) — иДж)] =0. (28)

и х, Т и х

ство условия (14)) и поскольку функция Л + ^х) строго положительна в В, то из равенства (28) очевидным образом вытекает равенство

и х, Т и х ,

справедливое при х е В.

Проинтегрируем теперь уравнение (26) по временной переменной в пределах от 0 до текущей точки. Очевидно, что получим уравнение

иг — А и + Ли + ц(х)и = Н(х, г)до(х) + /(х, г),

Кг

Т т

х К г и х, г ¿г,

о

получим равенство т

1Кти,{ х-А* М + ад + '/МФМ

о

т т

= <?о(х)JК(г)Н(х,г)¿г + JК{г)/{х,г)аг. (зо)

о о

Вновь из представления функций д(х) и ад(х) вытекает равенство т т

до(х) J К(г)Н(х,г) ¿г = ц{х)и2{х) — J К(г)/(х,г)йг о о

т

— и х Ли х К г и х, г ¿г.

о

Следовательно, равенство (30) преобразуется к виду

—д[ф (х) — ^^ + [л + ?(х)][ф(х) — ^^ = о.

Совпадение функций Ф(х) и и2{х) на Г (условие (15)) и положительность функции Л + ^х) означают, что следствием равенства (30) является равенство

т

К г и х, г ¿г и х ,

о

хеБ и х, г

по функции и{х, г) функции ц(х) и ^о(х) будут связаны в цилиндре ф уравнением (1), функция и(х,г) будет принадлежать пространству У, для функции и(х,г) будут выполняться условия (2) и (3). Кроме и х, г

т. е. требуемые равенства (4). Принадлежность функций д(х) и 9о(х) пространству В) очевидна. Все это вместе и означает, что нужное решение {и(х,г)^(х)^$(х)} обратной задачи (1)-(4) найдено. Теорема доказана.

Обсудим вопрос о единственности решений обратной задачи (1)-

(4).

Теорема 2 Пусть {щ( х,г), х), х)}, % = \,2, суть два решения обратной задачи (1)-(4) такие, что щ(х,г) е У, ^¿¿Н^^^ < Щ. Если выполняются условия

Л0(х) + Л — Л0 > ао>0 при х е В; (32)

Щ0(Л1+Л2) Л0(1 — ^ — ¥2)

Л + Л2)К < а0(1 — Ю, (34)

то функции щ(х, г) совпадают в функции х) и адДх) совпадают в В

Доказательство. Обозначим т(х,г) = и\(х,г) — и2(х,г). Для

функции ы(х,г) выполняются соотношения 'юи - А Ы

А + А (ж) + А (^щ г (х, т) + А (х) J г(х, г) ¿г

о

т

= х,т) + В(х,г) J к(г)тг( х,г)&

и г, (х,г) е

А(х)и>г(х,т) + А(х I к(г)и)г{х,г)& о

т

ы(х,о) = о, и>г(х,о) = ^\{х)ыг{^к(г)ыг(х,г) ¿г, х е Б;

о

т(х,г)= о.

Учитывая, что функция

т

А(х) + А — Ао + А(хи1 г( х,т) + А(х J к(г)и1 г( х,г)А

о

неотрицательна (вследствие условий (32), (34) и неравенства Ни ^ N0), и применяя оценку (8), получим неравенство

< к

ж0(А + А)

ч -I- т—71—=-I НыгНь^ф.

Ао(1 — — Ф2))

Из этого неравенства вследствие условия (33) вытекает, что ыг(х,г) — тождественно нулевая в цилиндре Q функция. Очевидно, что и ы(х,г) — тождественно нулевая в цилиндре Q функция. Другими словами, функции щ(х,г) и и2(х, г) совпадают в цилиндре Q. Поскольку функции qi{х) и qoг(х) выражаются через функции иДх), то получаем автоматически, что и функции q¿(х) и ад¿(х), г = 1,2, совпадают па области Б.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozbanov А. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002, N 6. P. 611-630.

2. Kozbanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003, N 5. P. 505-522.

3. Кожанов А. If. Нелокальная но времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индуст. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

4. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.

5. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Стерлшпамак, г. Новосибирск 19 августа 2005 г.