Научная статья на тему 'Коэффициентом и неизвестной правой частью'

Коэффициентом и неизвестной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
9
3
Поделиться
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Л. Ф. Борисова, А. И. Кожанов

Изучается обратная задача нахождения вместе с решением параболического уравнения коэффициента поглощения и неизвестных внешних нагрузок (неизвестной правой части). Наряду с обычной краевой информацией задаются также два условия переопределения — условие финального переопределения и условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Л. Ф. Борисова, А. И. Кожанов,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Коэффициентом и неизвестной правой частью»

УДК 517.945

О РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ*)

Л, Ф, Борисова, А. И, Кожанов

Пусть В — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр В х (0,Т), 0 < Т < + го, Н(х,1), щ(х), щ(х) и и2(х) — известные функции, заданные при х £ £ [О,Т], — известная функция,

заданная при х £ Г, Ь € [О, Т], К(Ь) — известная функция, заданная при Ь £ [0, Т], наконец, А — известная положительная постоянная.

Обратная задача: Найти функции и(х, д(х) и %{х), связанные в цилиндре ф уравнением

и — А и + Аи + ц{х)и = Н(х, 1)ц$(х) + /(х, Ь), (1)

при выполнении для функции и(х,~Ь) условий

и(х, 0) = щ(х), х £ В, (2)

и(х,г)\3 = (5 = г х(о,Т)), (3)

т

и(х,Т) = и\(х), J К(~Ь)и(х,~Ь) & = х £ В. (4)

о

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01—00796).

© 2008 Борисова Л. Ф., Кожанов А. И.

В обратной задаче (1)-(4) условия (2) и (3) суть условия прямой краевой задачи для параболических уравнений (именно, первой начально-краевой задачи), условия же (4) — это условия переопределения, необходимые для нахождения двух дополнительных неизвестных функций ц{х) и цо{х). Ранее обратные задачи нахождения вместе с решением параболического уравнения коэффициентов д(х) и ^о(х), определяющих коэффициент поглощения (стока) и неизвестную правую часть, изучались в работах [1,2], но условия переопределения в указанных работах были отличными от условий (4). Отметим, что первое условие (4) принято в литературе называть «условием финального переопределения», второе же — «условием интегрального переопределения». Условие финального переопределения означает, что произведено измерение состояния среды в момент времени Т (вобще говоря, измерение можно произвести в любой промежуточный момент времени), условие же интегрального переопределения означает, что задана информация о средневзвешенном распределении температуры, или плотности, или же иной характеристике среды в случае, когда динамика изменения среды описывается параболическим уравнением.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Как и в работах [1,2], нам понадобится одно утверждение о разрешимости специальной нелокальной по времени краевой задачи для параболических уравнений.

Пусть а(х,£), <^о(х), ^(х) и ^(х) — известные функции, заданные при х € € [О, Т], Ф(х, £) — известная функция, заданная при х € Г, Ь € [О,Т]. Далее, пусть Я — пространство д(д) ПЬ1Х>(О), снабженное нормой

1М1я = |М|^22-1 (ОД + ,

V — пространство Я П д) с нормой

1Мк = 1М|я + |мите( од.

Уточним, что всюду ниже равенства или неравенства для функций из пространства Ьр или из того или иного его подпространства пони-

маются в смысле их выполнения почти всюду по мере Лебега на том или ином множестве.

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, являющуюся в цилиндре д решением уравнения

щ — Д и + ах, £)и = /(х, £) (5)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,£)= Ф(х,г), (6)

Т

и(х, 0) = <^о(х) + <^1(х)и(х, Т) + ^(х) ^ К(£)и(х,£) А. (7)

о

Положим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т

= я), = Уь^^ 1

о

Утверждение. Пусть выполняются включения а(х,£) € д), /(х,*) € д), ^(х) € П Я), ^(х) € ^(Я) П Я),

о

<^2(х) € П Д), Ф(х,£) € Я), и пусть выполняются усло-

вия

а(х,*) ^ а > 0 при (х,£) € д; + < 1; Ф(х, 0) = <^о(х) ПРИ х € Г;

краевая задача

и — Ди + а0и = о, и(х,£) |Я = Ф (х,г), и(х,0) = ^о(х)

имеет решение и (х, принадлежащее пространству V.

Тогда краевая задача (5)-(7) имеет решение и(х, принадлежащее пространству V и такое, что для пего выполняются оценки

||и||^( ОД < 1—^—— тах {—У/од, я, ||ф||ь^( «)

1 — ^ — ^ «о

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

||и||и < М(||/||ь2(д) + ||иУн)

(9)

с постоянной М, зависящей лишь от функций а(х,£), <^о(х), <^1.(х) и ^(х), а также от области Б.

Доказательство данного утверждения в случае Ф(х,£) = 0 проведено в работе [3]; в случае же не тождественно нулевой функции Ф(х, £) мы можем воспользоваться процедурой сглаживания — именно, мы можем аппроксимировать задачу (5)-(8) семейством гладких задач, далее воспользоваться известными оценками решений параболических уравнений и затем с помощью предельного перехода получить требуемое утверждение (вся процедура сглаживания и предельного перехода в близкой ситуации осуществлена в работах [2,4]).

Вернемся к изучаемой обратной задаче.

Пусть V — пространство

V = {у(х,г): у(х,г) е V, х,г) е V};

норму в этом пространстве определим естественным образом:

1Мк = |Мк + Ык.

Определим необходимые функции и постоянные: т

^о(х)=и].(х) / К(£)^(х, — и(х)^(х,Т),

о

т

о

т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

Ых,-Ь)и(х) Ых,г)щ(х) Ь\{х,Ь) = - -, Ь2{х,Ь) = — -

^(х ' ^(х)

В±(х,г) = ^ х,~Ь), В2(х,г) = Ьг х,~Ь),

Ь{х,Ь) = /(х,г) + { и2{х)[/{х,Т) + Ащ(х) — Хиг^х)}

—и

х

т

! К(г)/(х,г) & + Ди2(х) — \и2{х) ю

Р(х,г) = / г{ х,г),

<^о(х) = / (х, 0) Ащ(х) — Лщ(х) — Ло(х)ио(х),

Р1(х) = Ьх(х,0) — Л\(х)ио(х),

1р2(х) = Ь2(х,0) — Л2(х)щ(х),

т

л = 1Лщ, л =нл2в)}\т|¿г,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

т

ВВ = УВ , В2 = ЦВ2\т\ ¿г,

о т

= В, = В У \К(г)\

о

Ко=1—^—— тах I тЧ^од, У^ощ, ^^с5)1 1 — — I Л0 J

Л0(1 — ^ — ф2у 1 — К

Л

Теорема 1 Пусть для функции /(х, М(х, щ(х), щ (х) и м(х, £) выполняются включения /(х,£) € д), /Дх,£) € д), /(х,0) € ^(Я), /(х,Т) € ^(Я), ММ) € д), ММ) € Ьто(д), и0(х) €

П Я), щ(х) € П Я), и2(х) € П Я),

Мх, ¿) € Я), х, ¿) € Я). Кроме того, пусть выполняются условия

Мо(х) > М0 > 0, А0(х) + Л — Л0 > а0 > 0 при х € Я; (10)

К<1, (А + ЛЖ < а0(1 — К); (11)

(12)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^1(х) = ^г(х) = 0 при х € Г; мДх,0) = ^о(х), м(х, 0) = и0(х), м(х, Т) = иДх), (14)

Т

J К(£)м(х,£) Л = щ(х) при х € Г. (15)

о

Наконец, пусть

для функций м(х,£) и ^о(х) выполняется условнекраевая задача и — Д и4 + Ли4 = 0| иД х,£) = мД х,£), иД х,0) = <^о(х), и(х,Т)=0 имеет решение, принадлежащее пространству V.

* (16)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение (и(х,£), д(х), ^о(х)} такое, что и(х,£) € V, д(х) € ®(х € Я).

Доказательство. Определим срезающую функцию С(С):

(С, если |С| < а0, а0, если С > а0, —ао, если С < —О).

Пусть «(х,£) — произвольная функция из пространства V- Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре

д

Т

Л +А0(х) + х,Т) + А2(х) / х,£)Л)

ип — Ди^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

Т

иг

= .р(х,г) + В1(х,ф4(х,Т) + в2(х)Ук(ф4(х,г)л (17)

о

и такую, что выполняются условия

и х, и х ,

Т

щ(х, 0) = ^о(х) + (х)иг(х, Т) + <^2(х)У К(£)иг(х,£)Л, х € Я, (18)

о

а также условие (3).

Краевая задача (17), (18), (3) представляет собой прежде всего нелокальную по времени краевую задачу относительно функции иг(х, ¿).| Вследствие указанных в теореме включений, условий (10), (12), (13), первого равенства условия (14), ограниченности функции С(С), полоЛ

/ Т

А0(х) + Л — Л0 + С I Л(х)^(х, Т)+ Л(х) / К(фг(х,£) Л

(вытекающей из второго неравенства условия (11) и неравенства |С(С) | ^ ао), и, наконец, принадлежности функции «(х,£) пространству V для данной краевой задачи выполняются все условия приведенного выше утверждения. Следовательно, функцию иг(х,£) мы можем найти; эта функция будет принадлежать пространству V. Используя первое равенство условия (18), нетрудно найти и саму функцию и(х,£); очевидно, что эта функция будет принадлежать пространству V.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Все сказанное означает, что краевая задача (17), (18), (5) порождает оператор А, переводами пространство V в себя: А(Х = и. Покажем, что этот оператор имеет неподвижные точки.

Определим множество

Ш = Ых,г) е V ЧМк^од < М,

ОД < М, Ми + Ми < В}.

ММ и В) так, что множество Ш окажется множеством, которое оператор Л переводит в себя.

Прежде всего заметим, что оценка (8) дает для решений краевой задачи (17), (18), (5) неравенство

Ци«У < Ко + КИь^. (19)

Выберем число М\ так, чтобы выполнялось неравенство

м ^т—Кг

М

М

пз неравенства (19) будет следовать оценка

У^Н^од < м. (20)

Эта оценка означает, что при принадлежности функции у(х,г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться второе неравенство, определяющее искомое множество. Равенство

г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и(х,Ь) = J ит{х,т) ¿т + щ(х) (21)

о

дает очевидную оценку

УиУ^(од < МТ+ Ци0щ. М

ство

м > МТ+ Ци0щ,

то при принадлежности функции у(х, г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться и первое неравенство, определяющее множество Ш.

Уравнение (17) можно записать в виде

иы — А Щ + Лиг = В

где функция Г принадлежит пространству Q). Оценка (9) утверждения дает для решений этого уравнения (при выполнении условий (18) и (3)) неравенство

УигУи < Д

с постоянной Д1, определяющейся лишь числами М, М\, ЦГУь^ц), В, В и функциями К(г) и и(х,г). Далее, используя равенство (21) и последнее неравенство, нетрудно показать, что для самой функции и(х,г) имеет место аналогичное неравенство

УиУн < Д

с постоянной Д, определяющейся лишь числами Д, Т и функцией их

Пусть теперь число До, определяющее множество Ш, будет таким, что для пего выполняется неравенство Д ^ Д + Д. Очевидно, что при таком выборе числа Д при принадлежности функции у(х,г) множеству Ш для решений краевой задачи (17), (18), (3) будет выполняться и третье неравенство, определяющее множество Ш.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ММ и До решение

и(х, г) кривой задачи (17), (18), (3) будет принадлежать множеству Ш. А это и означает, что выбранное множество Ш оператор Л переводит в себя.

Докажем теперь, что оператор Л непрерывен та пространстве V-Пусть последовательность функций {г>т(х,г)} сходится в пространстве V к функции у(х,Ь), ит(х, г) и и(х,Ь) — образы функций г>т(х, г) и ^(х, г) при действии оператора Л, ут{х,Ь) — функции ут(х,г) — г), ит(х,г) — функции ит(х,г) — и{х,г).

Функции ит(х, представляют собой решение краевой задачи

итИ — А итг

л + А (х) + С А (х)«г ( х, Т)

итг

о

Т

О

Т

СА(х)С х,Т) + А(х)У х,г)Л)—

о

Т

—С(А(х)«тДх, Т)+Л2(х)У К(фт4(х,^)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

ит х,о) = о,

итг, (22)

итг ( х

(23)

о

ит х,^ |з = 0. (24)

Заметим, что вследствие сходимости в пространстве последова-

тельности «тг (х, 4) к тождественно нулевой функции, ограниченности функций А (х), А(х), В (х, ¿) и В(х, 4), а также непрерывности функции СО правая часть уравнения (22) будет почти всюду в ^ сходится к тождественно нулевой функции. Учитывая, что функцией и (х, 4) задачи (22)^(24) является тождественно нулевая функция и используя оценки (8) и (9), нетрудно показать, что будет иметь место сходимость последовательности {ит(х, ¿)}. Все же вместе доказанное и означает

А

Докажем, что оператор А компактен. Пусть {«т(х, ¿)} есть ограниченная последовательность функций из пространства V, {ит(х,£)}

— последовательность образов функций (х, 4) при действии оператора А. Оценки (8) и (9) дают нам ограниченность в пространстве V семейства функций {итДх,4)}; используя равенство (21) для функций ит(х,4), нетрудно показать, что и семейство {ит(х,4)} будет ограничено в пространстве V.

Равномерная ограниченность в пространстве V последовательностей {г>т(х,4)}, х,4)}, {ит(х, 4)}и{ит4(х,4)}, вложение Ш22Д (Ф) с! Шз1^), вполне непрерывность вложений ^^ ^ ^{ф), ^

и теорема о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду (см., например, [5]) дают нам существование подпоследовательностей {г>ть(х,4)} и {ить(х,4)}, а также функций «(х,4) и и(х,4) таких, что при к ^ то функции г>ть (x, 4), 4), «т((х,4) и итьДх,4) сходятся почти всю-

ду в ф к функциям -у(х,4), и(х,4), х, 4) и иДх, 4) соответственно, функции г>ть4(х, Т),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0) и ит^(х,Т) сходятся почти всюду в П к функциям х, Т), и(х,0), иДх.0) и иДх, Т) соответственно, н, наконец, функции ит4(х,4) сходятся слабо в пространстве (ф) к функции иДх, 4). Очевидно, что предельные функции и(х, 4) и «(х,4) будут связаны уравнением (17) и для функции и(х, 4) будут выполняться условия (18) и (3). Но тогда для функций «й(х, 4) = г>ть(х,4) — V (х, 4) и и^х, 4) = ить(х,4) — и(х,4) будут выполняться уравнение (21) и условия (23) и (24). Вновь, как и при

А

и первое равенство (22), получаем, что последовательность {и&(х,4)} будет сходиться в пространстве V к тождественно нулевой функции.

Из доказанного вытекает, что для всякой ограниченной в пространстве V последовательности функций {«т} из последовательности {А«т} можно извлечь сильно сходящуюся подпоследовательность. А это и означает, что оператор А компактен в пространстве V-

Итак, оператор А переводит выбранное выше множество Ш в себя, непрерывен и компактен на пространстве V • Поскольку множество Ш замкнуто, выпукло и ограничено, то все сказанное означает, что для

Л

оператор Л имеет в множестве Ш неподвижную точку — функцию и(х,г), являющуюся решением уравнения

ии—А Щ+

и Л

Л + Л0(х) + С ^Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) J К{Ь)иг{х,Ь)&

т

= Г(х,г) + В{х,Ь)иг{х,Т)В2(х,г) ^ К(г)щ(х,г)А (25)

и принимающую краевые условия (18) и (3).

Нетрудно убедиться, что для решений краевой задачи (25), (18), (5) имеет место оценка

УигУь^ОД < N. Эта оценка влечет неравенство

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) / К(г)иг(х,г)А

< Л+ Л2)М0 при х е Б.

Второе неравенство условия (11) дает следущее неравенство:

Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) / К(г)иг(х,г)¿г

Но тогда для построенного решения краевой задачи (25), (18), (3) будет выполняться равенство

С ^Л1(х)иг(х,Т) + Л2(х) ! К(г)иг(x,t)dt

= Л\(х)щ(х, т) + Л2(х) JК(г)иг(х,г) ¿г

и тем самым уравнение (25) преобразуется в уравнение

т

и« - Аи4 + А + А(ж) + А (ж)и4(ж, Т)+А(ж) / К(£)иДж, 4)

о т

и4

= + ВДж^и^Т) + В2(:М)уК(г)и4(:М)Л. (26)

Положим

= А(ж) + А(ж)иД ж, т) + л2(ж)У к(£)иД ж,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ад (ж) =

^(ж)

М (ж)

К(£)/(ж, 4) Л + Ди2 (ж - Ам (ж)

— и2(ж)[/(ж,Т) + Дм (ж — АмДж)]

и2 (ж

^(а

-иД ж,Т)

м(ж)

Мж)

К(£)иДж, £)

Проинтегрируем уравнение (26) по переменной 4 в пределах от 0 до Т. Получим равенство

иДж, Т) — Ди(ж, Т) + Аи(ж, Т)Ч^(ж)и(ж, Т) = ^(ж, Т^о(ж) + /(ж, Т). (27)

С другой стороны, из представлений функций и ®(ж) вытекает равенство

т) = (ж — /(ж, т) — Д иДж) + Аи (ж + иД ж, Т). Следовательно, равенство (27) можно преобразовать к виду

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—Д [и(ж,Т) — и^ж)] + [АЧ^(ж)][и(ж,Т) — иДж)] =0. (28)

и х, Т и х

ство условия (14)) и поскольку функция Л + ^х) строго положительна в В, то из равенства (28) очевидным образом вытекает равенство

и х, Т и х ,

справедливое при х е В.

Проинтегрируем теперь уравнение (26) по временной переменной в пределах от 0 до текущей точки. Очевидно, что получим уравнение

иг — А и + Ли + ц(х)и = Н(х, г)до(х) + /(х, г),

Кг

Т т

х К г и х, г ¿г,

о

получим равенство т

1Кти,{ х-А* М + ад + '/МФМ

о

т т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= <?о(х)JК(г)Н(х,г)¿г + JК{г)/{х,г)аг. (зо)

о о

Вновь из представления функций д(х) и ад(х) вытекает равенство т т

до(х) J К(г)Н(х,г) ¿г = ц{х)и2{х) — J К(г)/(х,г)йг о о

т

— и х Ли х К г и х, г ¿г.

о

Следовательно, равенство (30) преобразуется к виду

—д[ф (х) — ^^ + [л + ?(х)][ф(х) — ^^ = о.

Совпадение функций Ф(х) и и2{х) на Г (условие (15)) и положительность функции Л + ^х) означают, что следствием равенства (30) является равенство

т

К г и х, г ¿г и х ,

о

хеБ и х, г

по функции и{х, г) функции ц(х) и ^о(х) будут связаны в цилиндре ф уравнением (1), функция и(х,г) будет принадлежать пространству У, для функции и(х,г) будут выполняться условия (2) и (3). Кроме и х, г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т. е. требуемые равенства (4). Принадлежность функций д(х) и 9о(х) пространству В) очевидна. Все это вместе и означает, что нужное решение {и(х,г)^(х)^$(х)} обратной задачи (1)-(4) найдено. Теорема доказана.

Обсудим вопрос о единственности решений обратной задачи (1)-

(4).

Теорема 2 Пусть {щ( х,г), х), х)}, % = \,2, суть два решения обратной задачи (1)-(4) такие, что щ(х,г) е У, ^¿¿Н^^^ < Щ. Если выполняются условия

Л0(х) + Л — Л0 > ао>0 при х е В; (32)

Щ0(Л1+Л2) Л0(1 — ^ — ¥2)

Л + Л2)К < а0(1 — Ю, (34)

то функции щ(х, г) совпадают в функции х) и адДх) совпадают в В

Доказательство. Обозначим т(х,г) = и\(х,г) — и2(х,г). Для

функции ы(х,г) выполняются соотношения 'юи - А Ы

А + А (ж) + А (^щ г (х, т) + А (х) J г(х, г) ¿г

о

т

= х,т) + В(х,г) J к(г)тг( х,г)&

и г, (х,г) е

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А(х)и>г(х,т) + А(х I к(г)и)г{х,г)& о

т

ы(х,о) = о, и>г(х,о) = ^\{х)ыг{^к(г)ыг(х,г) ¿г, х е Б;

о

т(х,г)= о.

Учитывая, что функция

т

А(х) + А — Ао + А(хи1 г( х,т) + А(х J к(г)и1 г( х,г)А

о

неотрицательна (вследствие условий (32), (34) и неравенства Ни ^ N0), и применяя оценку (8), получим неравенство

< к

ж0(А + А)

ч -I- т—71—=-I НыгНь^ф.

Ао(1 — — Ф2))

Из этого неравенства вследствие условия (33) вытекает, что ыг(х,г) — тождественно нулевая в цилиндре Q функция. Очевидно, что и ы(х,г) — тождественно нулевая в цилиндре Q функция. Другими словами, функции щ(х,г) и и2(х, г) совпадают в цилиндре Q. Поскольку функции qi{х) и qoг(х) выражаются через функции иДх), то получаем автоматически, что и функции q¿(х) и ад¿(х), г = 1,2, совпадают па области Б.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozbanov А. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002, N 6. P. 611-630.

2. Kozbanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003, N 5. P. 505-522.

3. Кожанов А. If. Нелокальная но времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индуст. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

4. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.

5. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Стерлшпамак, г. Новосибирск 19 августа 2005 г.