CC BY
35
Мосты и тоннели
191
УДК 624.072.014:539.37
НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ ШПРЕНГЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
В.В. Егоров
Аннотация
Рассмотрены вопросы создания методики расчета комбинированных систем шпренгельного типа с учетом факторов геометрической и конструктивной нелинейности при комбинаторном воздействии статических и динамических нагрузок. Созданы разрешающие уравнения. Алгоритмизирована процедура расчета. Разработана программа «Impuls2D», позволяющая учитывать как широкий спектр параметров пространственно-шпренгельных конструкций, так и разнообразные статические и динамические воздействия. Приведены результаты численного анализа, показывающие отличия поведения конструктивно нелинейных систем шпренгельного типа от обычных стержневых конструкций.
Ключевые слова: пространственные предварительно напряженные
шпренгельные систем; конструктивная нелинейность
Введение
На кафедре «Строительные конструкции» ПГУПСа предложены и разрабатываются легкие комбинированные системы шпренгельного типа, применяемые для покрытий и перекрытий зданий, а, также специальных сооружений, в частности, транспортных (рис.1,2). Рассматриваемые конструкции подвержены воздействию как статических - собственный вес, технологическое оборудование и т.п., так и динамических нагрузок: ветровых, аварийных, например, от обрыва несущих тросов или нагрузок
промышленной сейсмики - от проходящих железнодорожных составов и т.п. Эти обстоятельства определяют необходимость динамического расчета таких конструкций.
1. Механико-математическая модель динамического расчета
Колебания рассматриваемых систем носят нелинейный характер. Факторами, обуславливающими геометрическую нелинейность являются:
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
192
Мосты и тоннели
упругий отпор предварительно напряженных затяжек, продольные и
поперечные деформации.
А ~ А Конструктивная нелинейность
проявляется скачкообразно вследствие попеременного отключения гибких элементов -затяжек.
Для анализа рассматриваемых конструкций разработана механико - математическая модель изгибно-крутильных колебаний с учетом
предварительного напряжения затяжек и возможностей их отключения.
Исходная задача
представлена в виде системы трех дифференциальных уравнений первого порядка по времени и четвертого порядка по координате с соответствующими граничными условиями, первые два уравнения отражают изгибные, а третье крутильные колебания.
Уравнение пространственных колебаний балки с пространственным шпренгелем имеет следующий вид:
Рис.2.
Л, N
5> ll+EHi
д2 [f; sin cp0 + 0 ] д2у
аг
I „ д2у
~—Ь
+ EI,
д4 У ~Ус
ах4
a5v
+2^&?a = ^4iSin Y-+eiei9 + F
e
2_ N
m
a2z
Eh,
a2 [f; c°s ф0 + e ] a2z I a2z
H----T- > - h„„ —- +
+ EL
a4 z - z,
+ 2^-
a5z
E
m r
ax4 ax4at
a2e „ (s2 <-e>„ a2ft
У •
m ~u-2
ir
Ент
i=l
V
ax-
= EqicosC+eiej'e)F^
2 a
ax"
+ r H
FT g4Q | g5Q C0ax4 ^ax4a
cos <£o + (-ej »M
°n 2
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Мосты и тоннели
193
Здесь: у0(х), z0(x), y(x,t), z(x,t) - начальные и текущие координаты продольной оси балки жесткости; 6(t) - текущий угол поворота балки; щ -начальный угол наклона затяжки; x - продольная координата; m(x) -удельная (на единицу длины) масса балки; f = fi (х) - функция выноса затяжек; / - номер затяжки; N - количество затяжек; Hi(x,t) - проекция усилия в /-ой затяжке на ось т; у0 - угол наклона линии действия нагрузки к оси z; lj - длина «рычага» силы; у/0 - угол между линией действия нагрузки и «рычагом»; ej - тип силы: 0 - постоянного направления, i -следящая; E, G, - модуль упругости и модуль сдвига балки жесткости; Iy, Iz, Iс, , Id - изгибные, секториальный и крутильный моменты инерции сечения балки жесткости соответственно; r, rm - полярные радиусы инерции поперечного сечения и массы балки жесткости соответственно.
Fy, Fz, Ме - силы и крутящий момент, действующие на балку
жесткости со стороны гасителей. Предложенный учет влияния гасителей позволяет изменять в процессе колебаний жесткость пружин и коэффициент вязкого трения (демпфирования), что дает возможность, варьируя параметрами жесткости пружины и коэффициентом вязкого трения, добиваться наибольшего эффекта гашения колебаний.
Приведенную крутильную жесткость балки жесткости, в постановке В.З. Власова предложено определять следующим образом:
— 14 1L 1 l
GId =GIdJFL • r2-f2(x) dx + — JaKO(x)dx,
i=l L о L о
где второе слагаемое учитывает влияние затяжек, а третье предварительный выгиб частей балки жесткости.
Граничные условия:
у| =Y ; у| =Y, ; z| = Z ; z| =Z ; 0| =0| =0;
J lx=0 A0’ J lx=L AL’ lx-0 A0’ Ix-L Al’ lx-0 lx=L ’
x=0,L
V
f
v
УС -sin cp -H I ±G
^ 1 TO i lx=0,L У
5 У-Уо
Эх
XC -cos cp -H | ±G а Z Z°
^ 1 1 lx=0,L z
x=0,L J
л
x=0,L J
^iy;
'Eiz;
= ±G
Где: L - пролет; Gy, Gz, - изгибные жесткости опорного контура относительно осей у и z; Gq - жесткость опорного контура при кручении. Усилие в i-ой затяжке определяются по следующей формуле:
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
194
Мосты и тоннели
Н; = шах
Изменение длины затяжки из-за деформации балки:
/\11 = А1с ч- А.1, ч- /\1 N ч- /\1,, ч- /\1 м.
Здесь: Л1с - изменение длины затяжки за счет наклона опорных сечений балки жесткости;
Alj- укорочение затяжки за счет изменения длины балки при
изгибе;
A1n - изменение длины затяжки за счет упругого отпора стоек;
А1Н - укорочение затяжки за счет сжатия балки затяжками;
А1@ - влияние угла поворота на длину затяжки.
Метод расчета включает решение стационарной (статической задачи и еннестационарной (динамической) задач.
Стационарная задача после замены переменных и установления соответствующих граничных условий решается при помощи неявной схемы второго порядка по пространству и первого порядка по времени с итерациями по нелинейности за счет Hi методом трехдиагональной прогонки.
Усилия в затяжках Hi определяются с помощью соответствующих итерационных процедур.
Расчет нестационарной задачи. Расчет начального состояния нестационарной задачи соответствует решению статической задачи, но при действии инициирующих сил. В общее решение вносится дополнительное возмущение, определяемое заданными параметрами.
Для решения динамической задачи использовалась явная схема Рунге-Кутты-Мерсона четвертого порядка точности по времени с автоматическим контролем точности решения.
На основе предложенного расчетного алгоритма разработана программа «Impuls2D».
Созданная механико-математическая модель позволяет определять с учетом нелинейных факторов и истории загружения напряженно деформированное состояние комбинированных систем в условиях одновременного действия статических и динамических нагрузок.
Анализ работы рассматриваемых предварительно напряженных комбинированных конструкций шпренгельного типа показал, что их поведение при действии динамических нагрузок существенно отличается от аналогичных стержневых.
нм+%^-Д1„о
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Мосты и тоннели
195
На рис. 3 приведены осциллограммы колебаний балки и шпренгельной системы с отключающимися затяжками, имеющих одинаковые собственные частоты колебаний, в условиях резонансного воздействия периодической внешней силы.
Из рис.3 видно, что, в отличие от обычной балки, где за 4 секунды резонансных колебаний амплитуды монотонно возрастают до 0,7 м, в шпренгельной системе за этот же период времени отключение затяжек переводит резонансный колебательный процесс в режим биения и стабилизирует амплитуду на величине 0,11 м.
А)
Б)
у, м
t, сек
t, сек
Рис.3 Осциллограммы резонансных колебаний а) балки, б) шпренгельной системы с отключающимися затяжками
При пролете конструкции 1=24 м относительная амплитуда колебаний
1 т
шпренгельной системы составляет —L и не превышает допустимых
218
значений относительных прогибов.
2. Заключение
Выявленное свойство шпренгельных конструкций имеет положительное влияние и может рассматриваться как собственный гаситель колебаний системы при резонансных частотах внешней возмущающей силы.
Отмеченные особенности поведения комбинированных систем шпренгельного типа следует учитывать при их практическом проектировании.
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
