CC BY
109
УДК 004.67 В.А. Толстунов
Нелинейная фильтрация на основе степенного преобразования
Предлагается алгоритм цифрового сглаживающего фильтра со скользящим окном, использующий степенную обработку входных значений сигнала. Предложенный алгоритм исследуется аналитически в случае, когда мешающий шум является суммой гауссовской и импульсной помех. Приведены результаты цифрового моделирования работы данного фильтра при обработке черно-белых изображений.
Ключевые слова: фильтр, мешающий шум, погрешность фильтрации, цифровое моделирование.
Среди широкого класса задач, связанных с цифровой обработкой информационных сигналов, важную роль играют задачи удаления различных шумов, искажающих полезные сигналы при их получении и передачи по каналам связи. Для решения этой задачи широко используются линейные фильтры [1, 2]. Однако линейные алгоритмы фильтрации эффективны в случае, когда мешающий шум является гауссовским и появление шумовых составляющих с другими законами распределения (в частности импульсные помехи) существенно снижает их сглаживающие свойства. В этом отношении нелинейные цифровые фильтры [2-4] имеют определенное преимущество.
В настоящей работе строится алгоритм нелинейного сглаживающего фильтра. При этом задача определения выходного сигнала фильтра рассматривается как статистическая задача оценки неизвестного детерминированного параметра методом наименьших квадратов.
Получение и анализ алгоритма фильтрации. Пусть имеем фильтр со скользящим окном длиной апертуры п + 1, на вход которого поступают дискретные сигналы хг = яг + щ , г = 1,2,...,N, где яг = я(^) - отсчеты полезного детерминированного сигнала, щ = п(Хг) - отсчеты мешающего шума. По значениям входного сигнала из апертуры {хк _п^/,..., х*,..., хк +щ/ } будем определять значение
выхода фильтра у*, соответствующего отсчету х* . Полагаем, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Тогда
хг = я* + щ, ге[к_п/2,...,к + п/2].
Отсчеты входного сигнала хг, ге[к_п/2,...,к + п/2] будем рассматривать как выборку из распределения, задаваемого мешающим шумом, отсчет полезного сигнала я* считаем неизвестным параметром этого распределения. Оценку я* сигнала я* интерпретируем как выход уи искомого фильтра у* = я* .
В общем случае качество фильтрации будем характеризовать соотношением
Як = Ь(/(хк _у),...,/(хк),...,/(хк+у),/(У*)). (1)
Здесь /(х) - монотонная, однозначная, дифференцируемая функция, Ь - некоторое расстояние между значениями /(хг),ге[*_п/2,...,к + п/2] и точкой/(у*). Величину /(у*) будем выбирать таким образом, чтобы данное расстояние было минимальным.
В качестве расстояния Ь возьмем [4] сумму квадратов отклонений /(хг) от /(у*). Тогда
к +п/2
Кк = I (/ (хг)_ / (уук ))2.
г=к _ п/2
Решая уравнение
Зк=о,
Зук
будем иметь
Ук = f 1
( i к+п/2
v п + 1i=к-п/2
I f(x)
(2)
Алгоритм (2) позволяет построить целое семейство сглаживающих фильтров.
В частности, при /х)=х из (2) получаем классический линейный фильтр выборочного усреднения.
Если / (хг) = хг ехр{_—(к _ г)}, то из (2)
Ук =
1
к+п/2
п + 1 ■
xie
к-i к-к e
п р п
1
к+п/2
к-i
п +1 ■
Xie
(3)
i=k-n/2 i=k-n/2
При п>>1 (3) можно представить в виде рекуррентной формулы
Ук = Ук-1 + а(хк+п/2 - Ук-1), а = const. (4)
Данное соотношение представляет собой хорошо известный фильтр экспоненциального сглаживания.
Выберем в (1) в качестве расстояния L сумму абсолютных величин отклонений fXi) от f (Ук). Тогда
к +п/2
Як = I |f (xi)- f (Ук ) .
i=к-п/2
В последнем соотношении перенумеруем слагаемые так, чтобы
f (хк-п/2) —...— f (хк) —...— f (хк+п/2) . (5)
Тогда
к-1 к+п/2
Як = I |f (xi)- f (Ук )|+ I \f (xi)- f (Ук )| + |f (хк )- f (Ук )|.
i=к-п/2 i=к+1
Очевидно, что минимум расстояния Як по f (Ук) достигается при
f (Ук) = f (хк). (6)
Так как f (х) по предположению монотонна, однозначна, то из (5)
хк-п/2 —...— хк —...— хк+п/2
и из (6)
Ук = хк = med(хк-п/2^..хк,...,хк+п/2) . (7)
В результате приходим к широко известному в теории и практике нелинейному медианному фильтру [3].
Вернемся к соотношению (2) и выберем для f (х) степенную зависимость вида
f (х)^——, m > 0 .
Ухт
Тогда из (2) для выхода фильтра будем иметь
У к=
п + 1
(8)
к+п/2 1
I —
^г=к_п/2 хг у
Рассмотрим свойства этого фильтра в случае, когда мешающий шум п^) является аддитивной смесью независимых стационарной гауссовской ^(1:) и импульсной ) помех. При этом полагаем,
2
что £,(1) имеет нулевое среднее значение и дисперсию ст , а п(1) принимает два значения: 0, А > 0 с вероятностями соответственно р, д = 1_ р.
Используя известную формулу полной вероятности [5], для плотности распределения входного сигнала хг при сделанных предположениях относительно модели входного сигнала можно получить
1
Р0 (х) =
•\/2По
-(Р ехр
(х - *і )2
+ д ехр
(х - *'і - А)2
2о2
), х є(-ю,ю).
(9)
Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей [5], будем считать, что при п >> 1 случайная величина
к+п /2
1
г=к _п /2 хг
из (8) распределена по нормальному закону с параметрами М (к) = тк,0(1*) = ст*2 .
я-
Используя (9), при условии слабого гауссовского шума, когда — >> 1, можно получить
ст
( \
тк =(п + 1)
{ л\н
V *к (к + А)
(10)
(11)
о
2 = (п + 1) рд
т
V *к
1
(12)
(к + АУ
Зная теперь плотность вероятностей и числовые характеристики (11), (12), величины Хк, можно по известным соотношениям [5] найти плотность вероятностей выходного сигнала фильтра (8):
1 ( п + 1
т(п + 1) р1(х)= пт- т+1 ЄХР ^
Т2П(
по кХ
2о2 I хт
~тк
, х > 0 .
(13)
Используя распределение (13), при к к = — >>1 можно найти математическое ожидание и дис-
персию выхода фильтра (8):
М (ук )=-
Ч
*к
1+
'Р+-
ът
т + 1
рд
2т2
(п + 1)
Р + -
(14)
В(Ук ) = ■
рдък
т
V —+2
(15)
V
ъ
к у
Из (14) следует, что выбранной модели входного сигнала М (у*)> я* . Так как в (14) при р Ф 0 имеют место соотношения
т + 1
Р +
1
ът т^ю
к
->1, 1+-
Рд
2т2
(
(п +1)
1
Р +-----
ът
к у
\2 т^ю
то очевидно М(ук)-------->*к . Последнее означает, что если импульсным шумом искажаются не все
4 7 от^ю
отсчеты полезного сигнала, то преобразованием (8) полезный сигнал *к можно восстановить за счет увеличения параметра нелинейности т .
Из (15) видно также, что с увеличением параметра т уменьшается дисперсия сигнала на выходе фильтра.
Алгоритм (8) можно обобщить на случай фильтрации двумерных сигналов.
Пусть укі - значение выхода фильтра, которое соответствует входному сигналу Хкі. Апертуру фильтра выберем в виде квадрата с длиной стороны п +1. Тогда согласно (8) будем иметь
*
1
т
ykl =
(n + 1)
1
(16)
к + п/2 I+п/2
I I —
„т
^ г=к _п/2 у=1 _ п / 2 ху
Моделирование. Фильтр (16) был промоделирован численно для обработки как черно-белых,
так и цветных изображений. Для этого на тестовое изображение «Ьеппа» [6] наносились аддитивно
смоделированные численно гауссовский и импульсный шумы. При этом гауссовский шум имел ну-
2
левое математическое ожидание и изменяемую дисперсию ст , а импульсный шум мог принимать только два значения 0, А с вероятностями соответственно р, д = 1_р.
Результат фильтрации характеризовался среднеквадратичной погрешностью
К=11,
^к=1ы1 *к1 J ’
где N хМ - размер изображения, , у*1 — значения пикселей соответственно тестового и про-
фильтрованного изображений.
Работа фильтра (16) сравнивалась с работой широко известных алгоритмов: медианный фильтр [3], фильтр Винера [2], гауссовский фильтр низких частот (ГФНЧ) [1]. Результаты работы данных алгоритмов показаны в таблице, где приведены погрешности фильтрации К.
Так как линейный фильтр Винера плохо удаляет импульсный шум, то в таблице для этого фильтра даны только результаты фильтрации гауссовского шума. Последний столбец в таблице показывает среднеквадратичное отклонение зашумленного изображения от исходного.
Погрешности фильтрации изображения «Ьеппа»
Г ауссовский шум с дисперсией 20 Апер- тура Медианный фильтр Фильтр Винера Гармонический фильтр при m = 1ОО Параметр ГФНЧ ГФНЧ Без фильтрации
З 5 7 О,О1З О,О12 О,О1б О,О11 О,О1 О,О12 О,ОО9 О,О12 О,О1В 75 1ОО 15О 2ОО О,О2З О,О2 0,19 О,О2З 0,05
Импульсный З О,1 О,ООВ 5О О,1О1
шум с 5 О,О21 О,О14 ЗО О,О6
вероятностью 0,852
появления 0,2 и 7 О,ОЗ О,О2 1О О^
амплитудой 255
Как следует из приведенных данных, в случае гауссовского шума практически одинаковые результаты дают все сравниваемые алгоритмы. В случае импульсного шума лучшие результаты дают медианный фильтр и фильтр со степенным преобразованием. Для них при слабой интенсивности импульсного шума погрешности фильтрации близки, а с ростом вероятности появления импульсного шума лучшими сглаживающими свойствами обладает фильтр со степенным преобразованием.
На рис. 1 для изображения «Ьеппа» показаны результаты зашумления и последующей фильтрации различными алгоритмами. Здесь а — изображение «Ьеппа» с импульсным шумом ( р = 0,2); б - результат обработки медианным фильтром; (в) результат обработки ГФНЧ; г - результат обработки исследуемым фильтром.
На рис. 2, 3 показаны исходный сигнал с «естественным» шумом и результат обработки этого сигнала фильтром (16).
Рис. 1. Зашумленное и профильтрованные изображения «Lenna»
1
Рис. 2. Изображения с «естественным» шумом
Рис. 3. Результат фильтрации изображений на рис. 2 фильтром (16)
Заключение. Таким образом, использованный в работе подход к построению цифрового фильтра позволил получить алгоритм, сглаживающие свойства которого не хуже, а при интенсивном импульсном шуме лучше свойств ряда широко известных фильтров.
Литература
1. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р Гонсалес, Р Вудс. - М.: Техносфера, 2005. -1072 с.
2. Цифровая обработка изображений в информационных системах: учеб. пособие / И.С. Груз-ман, В.С. Киричук, В.П. Косых и др. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 168 с.
3. Хуанг Т. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. - М.: Радио и связь, 1984. -224 с.
4. Толстунов В.А. Нелинейный усредняющий фильтр с экспоненциальным преобразованием / В.А. Толстунов, П.В. Степанец // Доклады ТУСУРа. - 2009. - Т. 2(20). - С. 43-47.
5. Боровков А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
6. PicLab - Picture Laboratory [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www. piclab.ru, свободный (дата обращения: 24.04.2012).
Толстунов Владимир Андреевич
Канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации исследований и технической кибернетики Кемеровского госуниверситета Тел.: (384-2) 54-25-09 Эл. почта: [email protected]
Tolstunov V.A.
Nonlinear filtering on the base of degree transformation
It is offered algorithm digital smoothing filter with slithering window, using degree processing of input values of the signal. The offered algorithm is researched analytically when disturbing noise is an amount of the normal end pulsed components. The results of digital modeling of the given filter are shown when processing the monochrome images.
Keywords: filter, disturbing noise, inaccuracy of filtering, digital modeling.
