Нелинейная динамика кинков уравнения синус-Гордона при наличии локализованной пространственной модуляции параметров системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.611.44, 537.611.45

НЕЛИНЕЙНАЯ динамика кинков уравнения синус-гордона ПРИ НАЛИЧИИ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МОДУЛЯЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ

© Е. Г. Екомасов*, Р. Р. Муртазин, О. Б. Богомазова, А. Р. Альмухаметова

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 229 96 40.

E-mail: ekomasoveg@gmail.com

В работе аналитически и численно исследована динамика прохождения кинком точечного дефекта. Вычислена минимальная скорость необходимая для преодоления дефекта и проведено сравнение с аналитическим выражением, полученным с помощью теории возмущения. Рассмотрена эволюция захваченного в дефекте кинка. Вычислены трансляционная и пульсационная моды кинка. Исследовано зарождение и эволюция нелинейной волны солитонного вида типа слабозатухающего бризера, возникающего после прохождения кинком точечного дефекта.

бризер, точечный дефект, нелинейные волны, уравнение синус-

Ключевые слова: кинк,

Гордон.

Введение

В последние годы динамика топологических солитонов (например кинков) привлекает все большее внимание исследователей [1-4]. Это связано и с тем, что хотя первоначально солитоны возникли при изучении интегрируемых систем, очень скоро они стали применяться и для неинтег-рируемых систем, описывающих много физических приложений [5]. Например, солитоны уравнения синус-Гордона в физике твердого тела описывают ДГ в магнетиках, дислокации в кристаллах, флюк-соны в Джозефсоновских контактах и переходах и т.п. [3, 5-8]. Во многих случаях поведение солито-нов можно описать в модели точечной частицы, тогда их временная эволюция будет подчиняться простым дифференциальным уравнениям. Однако часто учет влияния возмущений приводит к существенному изменению структуры солитонов, которые уже нужно описывать как деформируемые частицы [1].

Возбуждение внутренних степеней свободы солитонов может играть определяющую роль в некоторых физических процессах [9]. Такие внутренние моды включают в себя трансляционные и пуль-сационные моды. Причем с последней модой связывают долгоживущие осцилляции ширины соли-тона [10]. Известно, что невозмущенное уравнение синус - Гордона не имеет внутренних мод. В настоящее время большое внимание исследователей привлекает вопрос - какие возмущения могут возбудить внутренние моды солитонов уравнения синус - Гордона. Например, много работ посвящено изучению влияния зависящей от времени неоднородной внешней силы [10-12].

Не менее интересен и случай пространственной модуляции (неоднородности) параметров самой системы [13]. В слабо неоднородном случае можно считать, что наличие возмущений не меняет существенно форму солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ), влияя в основном на их динамику [13]. В сильно неоднородном

случае форма солитонов МУСГ должна претерпевать сильное изменение, следует ожидать возбуждения солитонных мод и излучение возбуждений отрывающихся от солитона в виде свободных волн.

В данной работе исследуется влияние пространственной модуляции параметров системы в виде точечного дефекта на динамику кинков модифицированного уравнения синус-Гордона.

Основные уравнения и аналитический метод решения Рассмотрим кинки следующего МУСГ[1]:

—^ + вши = ^ (х, г), (1)

Эг дх

где и - функция от координаты X и времени г,

^ (х, г) = —£ (х)вш и + а (х) ^ + а'(х) ^. Если

Эх Эх

параметры (X, £ и функцию, отвечающую за неоднородность параметров системы - f (х) , можно считать малыми, то правую часть (1) можно рассматривать как некое возмущение. Тогда его наличие не меняет существенно форму солитона УСГ, влияя в основном на его динамику.

Пусть в начальный момент времени имеется кинк, являющийся решением невозмущенного УСГ:

ик (х, г) = 4arctg ехр[х - q\, (2)

где q - координата центра солитона. Ищем решение уравнения (2) в виде: и = Ц (х — ^).

Причем эта функция удовлетворяет следующим граничным условиям - и5 (—^) = 2п;

Ц (^) = 0. С помощью теории возмущения для

солитонов [1], уравнение движения для координаты центра кинка можно искать в виде:

(3)

dP = -î F (x) > -

* автор, ответственный за переписку

Рассмотрим простейший случай, когда функцию Дх) берем в виде: Дх) = 8(х). И заметить, что случай а = 0 был рассмотрен ранее [6]. Проведя необходимые вычисления, из (3) получим уравнение движения ньютоновского вида:

m

где m

= J

d2 q ~dt2

ди

dx

= (4e + 4a)

sh(q) ch3(q)

(4)

dx - эффективная масса кинка,

в нашем случае т =8.

Из уравнения (4) можно получить зависимости скорости кинка и координаты центра кинка от времени для разных значений параметров а, е (рис. 1). При достижении области дефекта кинк, в зависимости от величины начальной скорости v0, может либо упруго отразиться от него, либо проходит через него. В случае положительных значений а, е при достижении области дефекта кинк вначале ускоряется, а затем замедляется. В случае отрицательных значений а, е все происходит наоборот.

Численный метод решения и результаты

Уравнение (1) также решалось численно с использованием явной схемы интегрирования [12]. В начальный момент времени задается 2п-кинк с некоторой начальной скоростью v0, находящийся вне области дефекта. Дискретизация уравнения проводилась по стандартной пятиточечной схеме типа “крест”. Для расчетов применяли равномерную

сетку с шагом £ по координатам х: { х{ = ^ ■ г,

i = 0,±1,...,±Nx }, и с шагом т по времени t: {tn = Т ■ n, n = 0,1,..., Nt}, где Nx, N t - число

точек сетки. Соблюдая условие сходимости явной схемы т/ ^ < 0.25 , вычислялось значение U в следующие моменты времени.

В численных экспериментах дельта-функция S( x) аппроксимируется гауссойдой так, что S(x) ^ S{x,p) [13, 14]:

S( x, в) = (в/п)ехр[-в2 x]. (5)

При такой замене результаты расчетов, в общем, начинают зависеть от параметра р. Предел в ^ да, с которым следует сравнивать результаты расчета в численной схеме непосредственно не может быть реализован. Поэтому хотя численный счет уравнения (1) велся при различных значениях параметра в, таких, что размер дефекта много меньше размера кинка, в принципе, нельзя ожидать полного согласия численных результатов с аналитическими. Так, например, для в = 5 минимальное значение скорости, необходимое для преодоления дефекта а = 0.1 и е = 0 равна v = 0.205, а решение уравнения (4) дает значение 0.224.

Рассмотрим динамику прохождения кинком области дефекта. На рис. 2 и 3 представлены зависимости скорости и координаты центра кинка при прохождении области дефекта от времени. Видно, что результаты, полученные численно и аналитически, неплохо согласуются между собой.

Рис. 1. Зависимость координаты центра кинка - Ц (а) и скорости кинка - V (б) от времени для случая 1 - а = 0.1, е = 0.1, у0 = 0.3; 2 - а = 0.1, е = 0.1, у0 = 0.317; 3 - а = -0.1, е = -0.1, у0 = 0.317.

а

а б

Рис. 2. Зависимость скорости кинка - V от времени для случая £ = 0 , У0= 0.3: а) (X = -0.1; б) (X =0.1. Линия 1 - решение

с помощью теории возмущения, линия 2 - численое решение.

Рис. 3. Зависимость координаты центра кинка - Ц от времени I для случая £ = 0, У0= 0.3 (1 - а =-0.1; 2 - а=0.1). Точки на графике - решение с помощью теории возмущения, линии - численное решение.

Рис. 4. Зависимость минимальной скорости - ,прохождения кинка через область дефекта от параметра А — а + £ ,

линия 1 - аналитическое значение по формуле Ушіп — д/(а + £) / 2 , линия 2 - а — 0 и линия 3 - £ — 0 - численный результат.

На рис. 4 приведена зависимость минимальной скорости, необходимой кинку для преодоления дефекта, от параметров £ и а. Согласно аналитической формуле полученной из уравнения (4):

иш1п =^1 (а+£)/2, (6)

вклад параметров £ и а на значение минимальной скорости кинка иш1п при прохождении области дефекта типа «потенциальный барьер» одинаковый. При малых значениях £ и а полученные численно результаты хорошо совпадают с аналитическими значениями. При больших значениях £ и а , значения иш|п полученные численно, значительно меньше аналитических. Это можно объяснить более точным учетом изменения структуры кинка в численном расчете. Отличие также в том, что в численном эксперименте параметр £ оказывает

большее влияние на значение иШп, чем параметр

а . Полученную зависимость иш1п (£) для случая

£ + а > 0 приближенно можно описать следующим выражением:

V —

Ш1П

[а ■ (а* +£)]?

1 + [а ■ (а + £)]

(7)

где а = Ц ~ 1.2 при а = 0, в остальных случаях

а ~ 0.63, а* - значение, при котором иш1п = 0 при фиксированном значении параметра а , Ц -константа.

Несимметричность кривых на рис. 5 при £ + а > 0 и £ + а < 0 можно объяснить тем, что при преодолении дефекта типа «потенциальная яма» в начальный момент времени скорость кинка, а следовательно и его кинетическая энергия, увеличивается. Таким образом кинк «подъезжает» к дефекту с большей скоростю, чем начальная, тем самым уменьшается значение иш1п . В случае дефекта

типа «потенциальный барьер», наоборот, скорость кинка при подходе к дефекту вначале уменьшается,

тем самым несколько увеличивая значение Ушп .

Рис. 5. Зависимость минимальной скорости прохождения кинка через область дефекта от параметра £ для случая: 1

- а — -0.2, 2 - а — 0, з - а — 0.2.

-1.2

-0.8

-0.4

б

0.2 -

Рис. 6. Зависимость частоты трансляционной Ш (а) и пульсационной Шр (б) мод колебаний кинка от параметра £ для

случая: 1 - а = —0.2, 2 - а = 0, 3 - а = 0.2.

0

0

а

Рис. 7. Зарождение и эволюция покоящегося бризера. Штриховая линия - место расположения точеный дефект. ио = 0.5,

а=0, £ = -1.2.

Для случая £ + а < 0 , при скоростях кинка меньших значений Уш[п, происходит «пиннинг» (или захват) кинка дефектом. При этом происходит изменение структуры кинка - наблюдаются сложные колебания. Помимо трансляционной моды колебаний кинка - Ш, связанной с колебаниями центра масс кинка, имеет место и пульсационная мода - Шр, связанная с изменением ширины кинка. Причем Щ. и Шр стремятся к нулю при уменьшении параметров £ и а .

При прохождения кинком области дефекта, в ней возникает нелинейная локализованная волна солитонного вида, амплитуда которой максимальна в точке неоднородности и колеблется от до

— в^щх. Полученный тип локализованной нелинейной волны можно считать решением типа затухающий бризер. Затухание бризера происходит вследствие излучения свободных волн (рис. 7). Ве/О*

личина амплитуды вшах бризера зависит от вели-

чины £ и а . Для небольших значений £ и а зависимость #max линейная, при увеличении е зависимость описывается близкой к квадратичной функции. С уменьшением е частота колебаний бризера (Obr стремиться к единице.

Выводы

Изучена структура кинка при прохождении точечного дефекта. Исследована эволюция захваченного в дефекте кинка. Определены внутренние моды кинка - трансляционная и пульсационная. Вычислена минимальная скорость необходимая для преодоления дефекта и проведено сравнение с аналитическим выражением, полученным с помощью теории возмущения. Исследовано зарождение и эволюция нелинейной волны солитонного вида типа слабозатухающего бризера, возникающего после прохождения кинком точечного дефекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Remoissenet M. Waves called solitons. Berlin: Springer, 1996. 260 p.

2. Christiansen P.L., Sorensen M.P. and Scott A.C. Nonlinear science at the dawn of the 21st century. Berlin: Springer, 2000. P. 247-262.

3. Косевич А. М., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наукова думка, 1989. 304 с.

4. Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова думка, 1984. 288 с.

5. Шамсутдинов М. А., Назаров В. Н., Ломакина И. Ю., Харисов А. Т., Шамсутдинов Д. М. Ферро- и антиферромаг-нитодинамика Нелинейные колебания, волны и солитоны. М.: Наука, 2009. 456 с.

6. Браун О. М., Кившарь Ю. С. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения. М.: Физ-матлит, 2008. 536 с.

7. Quintero N. R., Sanches A., Mertens F. G. // Phys. Rev. E., 2000. V.62, N. 1. P. 60-64.

8. Gonzales J. A., Bellorin A., Guerrero I. E. // Phys. Rev. E. 2002. V.65. 065601(R) P.1-4.

9. Fogel M. B., Trullinger S. E., Bishop A. R., Krumhandl J. A. // Phys. Rev. B. 1976. V.15. №3. P. 1578-1592.

10. Paul D. I. // J.Phys. C: Solid State Phys. 1979. V.12. №3. P. 585-593.

11. Екомасов Е. Г., Шабалин М. А., Азаматов Ш. А. Временная эволюция кинков модифицированного уравнения синус-Гордона при наличии пространственной неоднородности параметров. Препринт. Уфа: РИО БашГУ, 2005. 40 с.

12. Екомасов Е. Г., Азаматов Ш. А., Муртазин Р. Р.// ФММ. 2008. 105. С. 341-349.

13. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

14. Белова Т. И., Кудрявцева А. Е. // ЖЭТФ. 1995. 108, в. 4. С. 1489.

15. Фарзтдинов М. М. Спиновые волны в ферро- и антиферромагнетиках с доменной структурой. М.: Наука, 1988. 240 с.

Поступила в редакцию 16.02.2012 г.