Некоторые возможности динамического гашения колебаний в системах с несколькими степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752, 621:534.833; 888.6 DOI: 10.12737/24954

С. В. Елисеев, В.Б. Кашуба, А.В. Николаев, К.Ч. Выонг

НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Предлагается метод динамического гашения колебаний в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы. Математическая модель системы представлена в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. Показаны возможности изменения динамических свойств системы при использовании рычажных механизмов и дополнительных связей в виде зубчатых соединений элементов системы. Предложен метод построения математических моделей и технология анализа динамических свойств при кинематическом возбуждении системы. Предлагается

система оценки динамических свойств системы в режимах динамического гашения колебаний одновременно по двум координатам на основе использования передаточных функций и анализа структурных схем. Приводятся результаты вычислительного моделирования, подтверждающие проявления эффектов динамического блокирования внешних воздействий.

Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, передаточные функции, рычажные связи, рычажные механизмы, блокирование возмущений.

S.V. Eliseev, V.B. Kashuba, A.V. Nikolayev, K.Ch. Vyong

SOME POSSIBILITIES OF DYNAMICAL VIBRATION DAMPING IN SYSTEMS WITH SEVERAL DEGREES OF FREEDOM

A method of dynamic vibration damping in mechanical oscillatory systems with several degrees of freedom is offered. The mathematical model of the system is represented in the form of structural scheme the equivalent in a dynamic relation to the automatic control system. The system contains device for converting the motion in the form of lever mechanisms containing focused additional masses. The possibilities of changing the dynamic properties of the system by using lever mechanisms and the additional ties in the form of gear connections of the elements system are shown. A method of constructing mathematical models

and technology analysis of dynamic properties at kinematic excitation of system is proposed. The system of evaluation of the dynamic properties of the system in regimes of dynamic vibration damping simultaneously on two coordinates based on the use of transfer functions and analysis of structural scheme is offered. The results of computational modeling are given, confirming the manifestation the effects of dynamic blocking of external influences.

Keywords: dynamic vibration damping, transfer functions, lever ties and mechanisms, blocking of disturbances.

Введение

Механические колебательные системы с несколькими степенями свободы часто используются в качестве расчетных схем в задачах вибрационной защиты в технологических машинах и транспортных устройствах различного назначения [1-4]. В работах, посвященных вопросам теории виброзащитных систем [5-7], предлагаются различные подходы и методы динамического синтеза в решении разнообразных задач, учитывающих конструктивно-технические особенности систем и объектов. В последние годы существенное развитие получили структурные методы математического моделирования динамических процессов, основанные на использо-

вании математического аппарата теории систем, теории цепей и автоматического управления. Современные виброзащитные системы, по-существу, приближаются по своим функциональным возможностям к системам автоматического управления и содержат в своем составе широкий набор технических средств, представленных рычажными механизмами и устройствами для преобразования движения. В этом отношении большим разнообразием отличаются системы рессорного подвешивания транспортных средств, виброзащитные системы и комплексы для защиты оборудования и приборов [7; 10-12].

Принципиальное значение в развитии методологического базиса теории и практики вибрационной защиты приобретают направления исследований, связанные с оценкой возможностей расширения набора типовых элементов систем, введением дополнительных связей и механизмов для управления динамическим состоянием объектов защиты от вибрационных нагрузок [8; 13-15]. В этом плане интерес представляет разработка подходов, ориентированных на детализацию представлений о

динамическом гашении колебаний, в которых задействованы процессы по нескольким координатам.

В предлагаемой статье развивается методологическая основа построения математических моделей виброзащитных систем с возможностями формирования оценок и корректировки динамических свойств виброзащитных систем, обладающих пространственными геометрическими параметрами.

Описание подхода. Постановка задачи ис

Рассматривается принципиальная схема подвески для виброзащиты прибора от внешних возмущений со стороны опорной поверхности. Использование систем с двумя степенями свободы в решении задач формирования вибрационных полей распределением амплитуд колебаний отдельных точек по длине объекта имеет определенные преимущества. Ряд вопросов динамики виброзащитных систем с дополнительными связями рассмотрен в работах [8; 9; 16]. Рассматриваемая система (рис. 1) содержит рычажные механизмы, соединенные между собой зубчатой передачей, имеющей две неподвижные точки опоры (01 и О2).

Виброзащитная платформа (рис. 1) с массой МО, моментом инерции J0 может совершать малые колебания с тремя степенями свободы в координатах у0, ф, ф1 (или ф2), а также у1, у2, ух (или у2). Массоинер-ционные элементы да1, т2, так же как сосредоточенные массы т[ и т2, являются составными частями зубчатых секторов, совершающих угловые колебательные движения относительно центров в точках 01 и 02. Радиусы зубчатых секторов определяются значениями г1 и г2; через а1 и а2 обозначают числа зубьев соответствующих зубчатых секторов. Сосредоточенные массы т1 и т2 расположены на расстояниях 12 и 13 относительно точек 01 и 02. Центр тяжести платформы расположен в точке О на расстояниях 15 и 16 по отношению к точкам крепления упругих элементов с жесткостями к2 и к3 соответственно. Платформа через упругие элементы с же-сткостями к1 и к4 опирается на опорные

поверхности I, II, которые могут колебаться по гармоническим законам г1(1) и г2(1;) соответственно. Предполагается, что в системе реализуются малые колебания относительно положения статического устойчивого равновесия, а система в целом обладает линейными свойствами при исче-зающе малых силах сопротивления. Мас-соинерционные параметры устанавливаемого оборудования учитываются в значениях М0 и Jo. В качестве настроечных параметров управления динамическим состоянием рассматриваются длины 12, 13 рычагов, определяющих связи с массоинер-ционными элементами т1 и т2 . Взаимные

движения элементов т1 и т2 обеспечиваются вращением зубчатых секторов относительно точек 01 и 02.

Задача исследования заключается в развитии методологических основ построения математических моделей для систем, содержащих в своей структуре рычажные механизмы и устройства для преобразования движения, с целью разработки способов и средств управления динамическим состоянием вибрационных систем.

Построение математической модели системы

При построении математической модели учитывается ряд соотношений:

уо = аУ1 + Ьу^ (Р = с{у2 - yl), у = у0 -^ у2 = Уо + hj, где а = /6 /(/5 + /б); Ь = /5 /(/5 + /б); с = 1/(/5 + /б) .

Построение математической модели проводится в соответствии с основными положениями структурного математического моделирования [б; 8; 9].

(1)

1. Рассматриваются движения системы в координатах У1, y2 и ух; учитываются

связи между параметрами упругой системы подвешивания платформы:

j j

—=ii, т = j2r2,j=ii = ^j = yi, j2 = y;=iljí,

a

У1

У2

j

Г2 Г2 a2 l1

L

у2 = ij 4 = j • l4, =i 2, 4=iii2, i =ZL • h-=4, il=i2 =^

У1 j м M

4 /,

После проведения соответствующих выкладок, связанных с использованием уравнения Лагранжа второго рода, полу-

У1

Г2 l1 У1 l1 l4

(2)

чим систему дифференциальных уравнений

(М0а2 + У0с 2) • yi+ y¿2 + (M0cib -J0с 2) • ^ - к2у[ = 0, (М062 + Лс2) • Л + у2къ + (М0<лЬ - J0c2) • уу - к3гу[ = Q , т0 • у[ + у[(к1 + к2 + k3i2 + k4i2) ^к2у1 - k3iy'2 = 0 .

(3)

(4)

(5)

Применяя преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях [б], систему уравнений (3-5) можно записать в

операторной форме. Коэффициенты уравнений для такого случая приведены в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициенты уравнений (3-5) в координатаху1, у2 и у[ при силовом возмущении

Ü11 012 013

(M 0 a2 + J0c2) • p2 + k2 (M 0 ab - J 0 c2) • p2 -£2

021 a22 a23

(M0ab - J0c2) • p2 (M 0b2 + J 0c2) • p2 + k3 -k3i

031 032 033

-k2 -k3i m0 • p2 + (£ + k2 + k3i2 + kf)

Обобщенные силы

Q1 Q2 Q3

Q 0 0

Примечание. p = ja - комплексная переменная (j = V-Г ); знак «-» соответствует изображению переменной по Лапласу; m0 = m1 + m1(i'l)2 + m2i22 + m2(i'2)2.

отнесенной к координате У1 точки 1 на рис. 1. Для описания связей между приложен-

В (3-5) полагается, что внешнее возмущение имеет силовой вид и представлено силой Q, приложенной в точке 1 (рис.т1). Полагаем, что внешнее возмущение имеет вид сосредоточенной силы Q ,

ными силами и координатами воспользуемся формулами Крамера [17]:

V = Q (a22a33

VI = A

■ a23)

(6)

У = Q (a23a31 У2 _

- a21a33)

A

(7)

У = Q (a21a32

У3 _

■ a22a31)

A

(8)

где

является характеристическим уравнением системы (значения ац, а12, а13, а21, а22, а23, аз1, а32, а33 приведены в табл. 1).

в1 = в

2. Структурная схема системы в координатах у1, у2 и у[ при силовом возмущении в: = в приведена на рис. 2.

-шв-

(30е2 - М„аЪ)р' 1 \ 1

(М0Ъ2 + 30е2)р2 + к3

т0 р2 + к + к2 + к3г2 + к4/2

Рис. 2. Структурная схема системы при силовом возмущении

Как следует из рис. 2, система состоит из трех парциальных блоков с передаточными функциями

1 (10) И?(Р) ,2 . Л. 2 . , , (11)

Ж1(р)

(М 0 а + 30е ) • р + к2

ж3(р)

(М 0Ь2 + 30е 0 • р2 + к3

1

• р2 + к1 + к2 + к3/2 + к4/2

тп

(12)

Между парциальными системами (10) и (11) имеется инерционная связь с передаточной функцией

^2(р) = (30е -МаЪ) • р2

(13)

для парциальных систем (10) и (12) реализуется межпарциальная упругая связь с передаточной функцией

Га(р) = к2. (14)

Между парциальными системами (11) и (12) образуется упругая связь с передаточной функцией

W2з(p) = къ1. (15)

Передаточное отношение г входит также в структуру передаточной функции парциальной системы (12), что создает определенные возможности в реализации задач вибрационной защиты [6].

3. Запишем уравнение движения при

силовом возмущении в1 ^ в (^ = 0, г2 = 0)

в системе координат у0, ф и ф1 (ф2). Используя соотношения у0 = ау1 + Ъу2,

— = — = —-, = г1, можно найти выра-

>

<Р^ = г_=а <

Р Г2 а2 ' <1 жения для кинетической и потенциальной энергий. Сделав соответствующие преобразования, получим систему дифференциальных уравнений движения в координатах у0, ф и ф1 при действии внешнего силового фактора в1 = в . При переходе от системы координат у1, у2 и у1 к системе координат у0, ф и ф1 обобщенные силы соответствующим образом изменяются [6; 18]. Применяем преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Коэффициенты уравнений движения в координатах у0, ф и ф1 в операторной форме приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты уравнений (3-5) в координатаху0, ф и ф1 при силовом возмущении

(V - МпаЪ)р

к

к

ап а12 а13

М0 р2 + к2 + к3 — к2/5 + к31б — к2/1 — к3/4/1

а21 а22 а23

- к2/5 + к31б 3 0 р2 + к21] + к31б к2 /1 /5 — ^3/4/6/1

а31 а32 а33

— к2/1 — к3/4?1 — к3/4/6/1 2 ,2 2 г 2 2 2 2 2 т^ +т11:, +т2{1411) +т2{1311) + к211 + к111 +к3(1411) +^4(/4/1)

Обобщенные силы

в» в, в^

Определение обобщенных сил в координатной системе у0, ф и ф1 при известных внешних нагружениях в системе координат у1, у2 и у1 приводит к следующим результатам:

в* = в = вл, М<= Щ, М(Л = 0. (16)

Отметим, что внешние силы вУ и

М< должны быть локализованы на входах

соответствующих парциальных систем. Структурная схема системы в координатах у0, ф и ф1 приведена на рис. 3.

к2/5 к3/6 1

30 р2 + к2/52 + к3/62

/

[щ/2 + + т2/4г2 + т^/,2/2 ] р2 +к1/12 + кг/2 + к3/42г12 + к4/42г12

Ф1

к2/5 - Щв

М 0 р + к2 + к3

Ф

в

Передаточные функции системы при двух входных сигналах (16) могут быть определены на основе принципа суперпо-

Рис. 3. Структурная схема системы в координатаху0, ф и ф1

зиции с применением формулы Крамера [17]. В частности, передаточные функции принимают вид

W"( п) = = (а22а33 а23) + /| (а|3а32 а12а33)

W\(P) = в1 = 4

В свою очередь,

w3x р) = < =

р) = в

(а21а2

= р = (а23а31 - а21а33) + /1(а11а3

-а123)

4

$22 ^^31) + /1 (а^ ^^31 а 23)

4

где

С1пС122^33 ^^23 ^^31 ^33^12^21 ^^22 ^^13 ^^31 + .

Здесь ац, а12, а13, а21, а22, а23, а31, а32, а33 определяются из табл. 2.

Таким образом, силовое воздействие в, приложенное в точке 1 (рис. 1), вызывает движение по координатам у0, ф. В этом случае имеет смысл рассматривать возможности определения параметров дина-

(17)

(18)

(19)

(20)

мического гашения колебаний и возникновения совместных движений элементов. Аналогичным образом определяются, в случае необходимости, параметры движения по координатам ф1 (ф2), если такие данные нужны для расчетов элементов подвески на прочность.

Особенности кинематического возмущения

При известных гармонических движениях основания z1(t), г2(^) с одинаковой частотой возмущения передаточные функции системы могут быть получены путем использования принципа суперпозиции.

1. Абсолютное движение элементов механической колебательной системы рассматривается в этом случае как результат

суммирования относительного и переносного движений (движение опорных поверхностей I, II (рис. 1) считается переносным).

В табл. 3 приведены коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1, у2 и у[ в операторной форме.

Таблица 3

Коэффициенты уравнений движения системы при кинематическом возмущении

в координатах у1, у2 и у[

аи а12 аи

(М0а2 + 30е2) • р2 + к2 (М0аЬ - 30е2) • р2 -к2

а21 а22 а2з

(М0аЬ - 30е2) • р2 (М ф2 + 30е2) • р2 + кз -кз?

аз1 аз2 азз

-к2 -кз? (т1 + т'/2 +т2}2 + т2г21'2 )р2 +кх +к2 + £з/2 +кА{2

Обобщенные силы

о; 02 0'

к2 21 кз 2 2 [-(т! - щ'1)р2 -к^\ • ^ + [-(т2 - т'^р2 - кз\ ^2

° = (т0р2 - к2 - кзг) • г ,

(21)

Особый случай внешнего возмущения возникает при г1 = г2 = 2 . Кинематическое воз мущение трансформирует внешние силы к виду

0.'= к2г, =кз2,

где

ш0 = -т1 + ш1г1 р - (т2 - т2г2)г. 2. Структурная схема системы в координатах у1, у2 и у1 (рис. 4) дает пред-

ставление об особенностях формирования динамических взаимодействий между пар-

(22)

циальными блоками, их соединениями и внешними кинематическими воздействиями.

аи

ш„ р - к2 - кз1

■(03)

аз1

Рис. 4. Структурная схема системы в координатах у1, у2 и у[ при кинематическом возмущении (г = г2 = г ): а12, а23, а31 определяются из табл. 3; ш0 определяется выражением (22)

В системе координат у1, у2 и у[ при кинематическом возмущении внешнее воздействие одновременно возбуждает колебания по всем парциальным блокам. Отметим, что при воздействии по координате у1 внешнее возмущение на частоте

(к 2 + кз?)

у 1

Ш'

(2з)

обнуляется (или блокируется). То есть при частоте, определяемой из (2з), парциальная система у[ изолируется от внешнего возмущения.

Особенности структурной схемы в координатах у1, у2 и у1 при кинематических возмущениях г^, г2{() заключаются в том, что система в общем случае имеет три входных внешних сигнала, что приводит к необходимости использовать принцип суперпозиции при определении выходных сигналов. При 21 = г2 = г внешнее кинематическое возмущение также формирует три входных сигнала. Воспользуемся формулами Крамера, принимая, что

0 = к22 , 02 = кз2 , ° = (Ш0Р2 - к2 - кз0 • 2 .

Внешняя сила по координате у[ определяется выражением

'0 Р "2 "э1)" (24)

бУ; = 2 • (т0>2 - к2 - кэ0,

где т0 может быть найдено из (22)

( 21 = 22 = 2 )•

Передаточные функции системы при кинематическом воздействии имеют вид

к2(а22аээ а2Э) + "э(а1эа32 ^12^33 ) +

¡Г(р) = Л - + К>2 - к2 - "эО • (а12а2э - а1эа22) 1 2

р) - ^ 2

Р) - У2 -2

А Л0

к2(а2эаэ1 ' $21 «ээ ) + "э (^^11 ^ээ - +

= + (т";Р2- - к2 - кэ0 • (а1эа21 - а11а2э)

Л" Л00

к2(а2эаэ1 ээ) + "э (аиЯээ - ^ +

= + (т0р2 к2 "э?) (о* 1эа21 - а11а2э)

А

Здесь ац, а12, а1э, а21, а22, а2э, аэ1, аэ2, аээ определяются из табл. э.

Оценка динамических свойств

Уравнения движения в координатах у0, ф и у[ принимают вид

М^у0+у0(к2+къ) + р • (-к215 + - у[(к2 + къг) = к2г, + к3г2,

3о • р + р • С^/2 + *эО + % • + ВД + у№ь - к31б1) = + 2 У1 • (т1 + т^'2 + т2/2 + т2?2/22) + у1 • (к1 + к2 + кэ/2 + к4/2) - у0(к2 + кэ/) +

р^ (к215 - УбО = -(т1 - тЮ21 - к22 - 1(т2 - т2'2)22 - "э/22

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

Коэффициенты уравнений движения в координатах у0, ф и у[ в операторной

форме при кинематическом возмущении приведены в табл. 4.

Таблица 4

Коэффициенты уравнений движения системы при кинематическом возмущении

в координатах у0, ф и у[

ап Д12 а1э

М0 р2 + к2 + кэ - к2/5 + кэ/б -("2 + кэ?)

Д21 «22 «2э

- "2/5 + кэ/б 30 р2 +к 2/] + кэ/б2 к2/5 -к3/6/

аэ1 аэ2 аээ

-("2 + кэО к2/5 -к3/6/ / /2 2 /2/22 2 2 (от^ + т1/1 + т21 + т21 ¿2 )р +к1 +к2 + кэ/ + к41

Обобщенные силы

я" а' Я'

"2 21 "э ^2 - к2/5 21 + кэ/б22 - (т1 - т!/!)^2\-к221 -/(т2 - т2?2 )•£2-кэ/22

При 2 - 22 - 2 (к2 + кэ При 21 - 22 - 2 (- к2/5 + кэ/б )2 При 21 - 22 - 2 (т0р2 - к2 - кэ/)2

Передаточные функции системы при кинематическом возмущении — ¿2 — г представлены выражениями:

^ (р) = ^ =

Р

Ж- (р) = ^ =

(к2 + къ) • (а22а33 а23) + ( ^^^^ + к316) • (апаЪ2 апаъъ) +

_+ (т0Р2 — к2 - кз0 • (а12а23 — а13а22 )_

лт '

л0

[к2 + ^3 ) • С ^23^3 1 ^21^33 ^ + С ^2 + ^3^6 ^ • С^11 ^33 ^13 ^ +

+ (ш0р2 — к2 — к3/) • (а13а21 — а11а23)

л:

(к2 + • (й,21а32 <222<231) + ( к2^5 + к3^6^ (й,12а31 а1^32) + _+ (т0Р2 — к2 — к3/) • (а11а22 — а12а21)_

Л"

Л0

где параметры ап, а12, а13, а21, а22, а23, а31, а32, а33 определяются из табл. 4.

Структурная схема системы в координатах у0, ф и у представлена на рис. 5.

< ( р)=у =

z

(32)

(33)

(34)

Рис. 5. Структурная схема системы (рис. 1) в координатах у0, ф и у при кинематическом возмущении (2 = х2 = 2 )

Особенности динамических свойств системы

Сравнительный анализ динамических свойств системы, построенный на оценке передаточных функций (25-27), позволяет заключить, что при действии кинематического возмущения (в виде гармонических колебаний ¿(¿)) возможны три режима движений объекта защиты по координатам у1 и у2.

1. По координатам у1 и у2 (по отдельности) могут быть найдены частоты возмущения, при которых движения по у1 и у2, рассматриваемые по отдельности, приобретают нулевые значения. В формальном виде условия динамического гашения колебаний по отдельной координате определяются из частотных уравнений, получаемых при нии числителя передаточных ций в выражениях (25) и (27). На рис. 6 а, б приведены амплитудно-частотные характеристики

4 о)

Точка 1 (рис. 6 а) соответствует первой частоте динамического гашения колебаний, а точка 2 - соответствует второй частоте динамического гашения колебаний.

а)

б)

(рис. 6 а)

и

ЖО) = (о) (рис. 6 б).

Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики системы: а - при гашении колебаний по координате у1 (/2 = 5,0344); б - при гашении колебаний по координате у2 (/2 = 8,0584) (параметры системы или расчета: М = 100 кг, 3 = 50 кгм2, а = 0,4 м, Ь = 0,6 м, к = 60 кН/м, к2 = 100 кН/м, к3 = 100 кН/м, к4 = 80 кН/м, ц = 0,5, 1\ = 0,5, = 3,5, Шх = 200 кг, т2 = 250 кг, ш\ = 55 кг, ш'2 = 50 кг)

г

г

При этом принимается во внимание то обстоятельство, что внешнее возмущение от движения основания приходится одновременно на все входы парциальных систем. По координате у2 (рис. 6 б) также можно зафиксировать две частоты динамического гашения. Что касается движений по координате у[, то, как это следует из (27), частот динамического гашения может быть получено три. Этот случай отдельно не рассматривается. Таким образом, исходная система (рис. 1) потенциально обладает возможностями получения режимов динамического гашения колебаний по два в координатах у1, у2 и три - по координате у1 , что сопровождается нетрадиционными возможностями трансформации амплитудно-частотных характеристик. Параметры механической колебательной системы в задаче вычислительного моделирования приведены в подрисуночной надписи к рис. 6.

Для амплитудно-частотных характеристик у 1 / 2(ю) на частотах ю ^ да наблюдается некоторый предел отношения выходного сигнала к входному. В свою очередь, при ю ^ 0 также наблюдается определенное отношение амплитуд, получаемое из (25-27) при р ^ 0.

2. Второй вид динамических режимов определяется возможностями одновременного обнуления координат у и у2 при определенных частотах. На рис. 7 показаны графики зависимостей ■у1 (ю) и

2

^(ю), которые одновременно пересекают

2

ось абсцисс на одной и той же частоте (точки 2 и 2').

3. Третий вид динамических режимов наблюдается при одновременном выполнении условий, когда "2 ^ да , кэ ^ да. В этом случае система (рис. 1) преобразуется

в систему с одной степенью свободы (рис. 8); при этом при ю ^ да отношение амплитуд колебаний у[! 2 определяется стационарным значением. Что касается отношений у[/ 2, у2 / 2, то они могут быть неодинаковыми из-за наличия связи, создаваемой зубчатой передачей.

у у-

Рис. 7. Графики зависимостей —т{ю) и —т(Ю) при усло-

2 2

виях одновременного гашения колебаний у и у 2 (параметры системы или расчета: М = 100 кг, 3 = 25 кгм2, а = 0,4 м, Ь = 0,6 м, "1 = 60 кН/м, к2 = 100 кН/м, кэ = 100 кН/м, "4 = 80 кН/м, /1 = 1,5, /2 = 0,66667, /'1 = 0,40э99,

/'2 = 0,5, т1 = 5 кг, т2 = 15 кг, т'1 = 10 кг, т'2 = 5 кг)

Для практической реализации подобного рода эффектов необходима блокировка движений у1 - у1 и у2 - у2 , что может быть обеспечено установкой параллельно пружинам с жесткостями к2 и кэ определенных стопорящих механизмов. На рис. 8 а приведено семейство частотных характеристик по отношению к объекту защиты (900) для визуализации влияния на этих параметрах изменения передаточного отношения /1 рычажного механизма.

Рис. 8. Семейство графиков зависимостей частотных характеристик 4т(о) при к2 ^ да ,к3 ^ да:

2

а - при различных значениях массы объекта защиты (1 - М = 60 кг; 2 - М = 90 кг; 3 - М = 120 кг; 4 - М = 150 кг); б - при различных значениях /1 (1' - /1 = 0,1; 2' - /1 = 1; 3' - /1 = 3), М = 100 кг

Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют расчетным массам объекта защиты 60, 90, 120, 150 кг соответственно (рис. 8 а). Кривые 1', 2', 3' на рис. 8 б являются семейством кривых, отражающих изменения /1 в пределах 0,1 ... 3.

Таким образом, использование в структуре механических колебательных

Выводы

1. Предлагается метод построения структурных математических моделей для механических колебательных систем, в составе которых имеются твердые тела, совершающие плоское движение, и устройства для преобразования движения. В подобного рода системах реализуются многочисленные динамические связи, в том числе свойственные рычажным механизмам.

2. Разработана методологическая основа получения структурных математических моделей при силовых возмущениях, приложенных непосредственно к твердому телу, рассматриваемому в качестве объекта вибрационной защиты. Для оценки динамических свойств предлагается приме-

систем, при рассмотрении задач динамики объектов машиностроения, дополнительных связей в виде механизмов для преобразования движения может существенно расширять спектр динамических свойств систем при действии возмущений кинематической природы.

нение передаточных функций, отражающих влияние различных динамических связей, в том числе создаваемых разнесенными дополнительными сосредоточенными массами.

Показаны возможности изменения динамических свойств при соответствующем выборе параметров взаимодействующих между собой рычажных механизмов с настраиваемыми параметрами.

3. При действии кинематических внешних возмущений со стороны опорной поверхности характер взаимодействия элементов системы существенным образом изменяется. Предложена технология преобразования систем и построения структурных математических моделей в виде

структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Разработана методика определения приведенных массоинерци-онных параметров и внешних сил, приводимых к соответствующим координатам системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белокобыльский, С.В. Динамика механических колебательных систем / С.В.Белокобыльский, С.В.Елисеев, И.С.Ситов. - Иркутск: ИрГУПС, 2012. - 156 с.

2. Галиев, И.И. Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей / И.И.Галиев,

B.А.Нехаев, В.А.Николаев. - М.: Учеб.-метод. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2010.

- 340 с.

3. Доронин, С.В. Экспертиза конструктивных решений и технологии проектирования инновационных изделий машиностроения / С.В.Доронин, Ю.П.Похабов, В.В.Москвичев [и др.]. - Красноярск: СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН, 2011. - 72 с.

4. Тарасик, В.П. Математическое моделирование технических систем / В.П.Тарасик. - 2-е изд., испр. и доп. - Минск: Дизайн ПРО, 2004. - 640 с.

5. Хоменко, А.П. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных колебательных систем / А. П. Хоменко,

C.В.Елисеев, Ю.В.Ермошенко. - Иркутск, 2012.

- 288 с.

6. Елисеев, С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В.Елисеев, Ю.И.Резник, А.П.Хоменко, А.А.Засядко. - Иркутск: ИГУ, 2008. - 523 с.

7. Harris, C.M. Shock and Vibration Handbook / C.M.Harris, G.Allan. - USA, New York: Mc Graw-Hill, 2002. - 877 p.

8. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем / С.В.Елисеев, Ю.И.Резник, А.П.Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. - 384 с.

9. Елисеев, С.В. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем / С.В.Елисеев, А.И.Артюнин. - Новосибирск: Наука, 2016. - 459 с.

1 .Belokobyiski S. V., Eliseev S. V., Sitov I. S. Dina-mika mekhanicheskikh kolebatel'nyikh system. -Irkutsk: IrGUPS. 2012. - 156 p.

2. Galiev I. I., Nekhaev V. A., Nikolaev V. A. Metodyi i sredstva vibrozashityi zhyileznodoroshnyikh eki-pazhei. - M.: GOU "The training center for education on railway transport". 2010. - 340 p.

4. Получены аналитические соотношения для определения параметров характерных динамических состояний, которые могут представлять интерес для приложения в вибрационной защите машин, оборудования и приборов.

10. Хоменко, А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов / А.П.Хоменко. - Иркутск: ИГУ, 2000.

- 293 с.

11. Кирюхин, А.В. Активная виброзащита - назначение, принципы, состояние. Активная виброзащита и шумоизоляция трубопроводов и экспериментальные исследования / А.В.Кирюхин, В.А.Тихонов, А.Г.Чистяков, В.В.Яблонский // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2012. - №4. - C. 102-110.

12. Кирюхин, А. В. Активная виброзащита - назначение, принципы, состояние. Активная виброизоляция в автомобилях / А.В.Кирюхин,

B.А.Тихонов, А.Г.Чистяков, В.В.Яблонский // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2012. - №2. - C. 56-59.

13. Eliseev, S.V. Dynamics of mechanical system with additional ties / S.V.Eliseev , A.V.Lukyanov , Yu.N.Reznik , A.P.Khomenko . - Иркутск: ИГУ, 2006. - 315 с.

14. Паршута, Е.А. Оценка динамических свойств виброзащитных систем при исследовании и проектировании объектов машиностроения: ав-тореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.02.02 / Е.А.Паршута. - Братск, 2014. - 17 с.

15. Елисеев, С.В. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования /

C.В.Елисеев , А.П.Хоменко . - Новосибирск: Наука, 2014. - 357 с.

16. Белокобыльский, С.В. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем / С.В.Белокобыльский, С.В.Елисеев, В.Б.Кашуба.

- СПб.: Политехника, 2013. - 374 с.

17. Дружинский, И. А. Механические цепи / И.А.Дружинский. - М.: Машиностроение, 1977.

- 238 с.

18. Лурье, А.И. Аналитическая механика / А.И.Лурье. - М.: Наука, 1968. - 720 с.

3. Doronin S. V. Ekspertiza konstruktivnyikh reshenii i technology proektirovania innovatsionyikh izdelii mashyinostroenia / S. V. Doronin, Yu. P. Pokha-bov, V. V. Mockvichev i dr. / Preprint № 1. Krasnoyarsk: SKTB "Nayka" KNTs SO RAN, 2011. 72 p.

4. Tarasik V. P. Matematicheskoe modelirovanie tekh-nicheskikh system / V. P. Tarasik. 2-e izd. ispr. i dop. - Minsk: Dizain PRO, 2004. - 640 p.

5. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Ermoshenko Yu. V.

Systemnyi analyz i matemeticheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozashitnyikh kolebatel'nyikh system. - Irkutsk: 2012. - 288 p.

6. Eliseev S. V., Reznik Yu. I., Khomenko A. P., Za-

syadko A. A. Dinamicheski systez v obobshennyikh zadachakh vibrozashityi i vibroizolyatsii tekhni-cheskikh obektov. - Irkutsk: IGU. 2008. - 253 p.

7. Harris' C. M., Allan G. Shock and Vibration Handbook. USA/ Mc Graw-Hill, New-York. 2002. - pp. 877.

8. Eliseev S. V., Reznik Yu. I., Khomenko A. P. Mek-

hatronyie podkhodyi v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nyikh system. - Novosibirsk: Nauka, 2011. - 384 p.

9. Eliseev S. V., Artyunin A. I. Prikladnya teoria kole-

banii v zadachakh dinamiki lineinyikh mekhani-cheskikh system. - Novosibirsk: Nauka, 2016. -459 p.

10. Khomenko A. P. Dinamika i upravlenie v zada-chakh vibrozashityi i vibroizolyatsii podvizhnyikh obektov / A. P. Khomenko. - Irkutsk: IGU, 2000. -293 p.

11. Kiryukhin A. V. Aktivnaya vibrozashita - nazna-chenie, printsipyi, sostoyanie. Aktivnaya vibroza-shita i shumoizolyatsia truboprovodov i eksperi-mental'nyie issledovania [Test] / A. V. Kiryukhin,

Сведения об авторах:

Елисеев Сергей Викторович, д.т.н., профессор Иркутского государственного университета путей сообщения, тел.: 8(3952)638-326, е-mail: eliseev s@inbox.ru.

Кашуба Владимир Богданович, к.т.н., первый проректор Братского государственного университета, тел.: 8(3953) 325-302, е-mail: nauka@brstu.ru. Николаев Андрей Владимирович, мл. науч. сотрудник Иркутского государственного университе-

Eliseev Segey Victorovich, D. Eng., Prof. of Irkutsk State University of Communications, Phone: 8(3952)638-326, е-mail: eliseev s@inbox.ru. Kashuba Vladimir Bogdanovich, Can. Eng., First Pro-rector of Bratsk State University, Phone: 8(3953) 325-302, е-mail: nauka@brstu.ru. Nikolayev Andrey Vladimirovich, Junior research worker of Irkutsk State University of Communications,

V. A. Tikhonov, A. G. Chictyakov, V. V. Yablons-ki // Problemyi mashinostroenia i avtomatizatsii. 2012. №4, pp 102-110.

12. Kiryukhin A. V. Aktivnaya vibrozashita - nazna-chenie, printsipyi, sostoyanie. Aktivnaya vibrozashita v avtomobilyakh [Текст] / A. V. Kiryukhin, V. A. Tikhonov, A. G. Chictyakov, V. V. Yablons-ki // Problemyi mashinostroenia i avtomatizatsii. 2012. №2, pp 56-59.

13. Eliseev S. V., Lukyanov A. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Dynamics of mechanical system with additional ties. - Иркутск: ИГУ, 2006. - 315 с.

14. Parshuta E. A. Otshenka dinamicheskikh svoistv vibrozashitnyikh system pri issledovanii i proekti-rovanii obektov mashinostroenia / avtoref. dis. kand. nauk: 05.02.02 / Parshuta E. A.. - Bratsk, 2014. - 17 p.

15. Eliseev S. V., Khomenko A. P. Dinamicheskoe gashenie kolebanii: kontseptsia obratnoi svyazi i strukturnyie metodyi matematicheskogo modeliro-vania. - Novosibirsk: Nauka, 2014. - 357 p.

16. Belokobyiski S. V., Eliseev S. V., Kashuba V. B. Prikladnyie zadachi strukturnoi teorii vibrozashit-nyikh system. - S.Petersburg: Politekhnika. 2013. -374 p.

17. Dryzhinski I. A. Mekhanicheskie tsepi. - M.: Ma-shinostroenie, 1997. - 238 p.

18. Lurie A. I. Analiticheskaya mekhanika. - M.: Nauka, 1968. - 720 p.

Статья поступила в редколлегию 14.11.2016.

Рецензент: д.т.н., профессор Иркутского государственного университета путей сообщения Артюнин А.И.

та путей сообщения, тел.: 8(3952)638-303, е-шай: шко!аеу av@irgups.ru.

Выонг Куанг Чык, аспирант Иркутского государственного университета путей сообщения, тел.: 8(3952)638-399 доб. 0296, е-шай: trucvq1990@gmail.com.

Phone: 8(3952)638-303, e-mail: niko-laev av@irgups.ru.

Vyong Kuang Chyk, Post graduate student of Irkutsk State university of Communications, Phone: 8(3952)638-399, extension number. 0296, e-mail: trucvq1990@gmail.com.